任意角的三角函数导学学案

课题任意角的三角函数学习者

学习目标（1）通过对锐角正弦函数在直角坐标系中的研究，借用信息技术推广探究过程，理解并掌握任意角的三角函数的定义，渗透从特殊到一般的研究方法及量变到质变的哲学观点；

(2）用映射观点，理解任意角的三角函数是以实数为自变量的函数；

（3）通过对任意角三角函数定义域、三角函数值的符号研究，提高学生分析、探究、解决问题的能力．

学习重点任意角三角函数的定义

学习难点任意角的三角函数定义的形成过程.

小组成员：

自学导引

导引一：

（1）任意角的定义

____________________________________________________________________________________________

（2）象限角的定义

_____________________________________________________________________________________________

（3）与角α终边相同角的集合

______________________________________________________________________________________________

探究一

当任意角顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边的位置由什么量来决定？

探究二：

象限角的定义采用了终边定义法，从映射角度说明任意角与终边是哪种对应关系

探究三：

在平面直角坐标系下，角的终边是一条射线，顶点与坐标原点重合，还可以用什么量来确定终边位置？

导引二：

写出函数定义

探究一：

构成函数的对应关系有几种？

导引三：

写出初中所学习的锐角三角函数的定义

探究一：

初中所定义的锐角的正弦函数中自变量、定义域、函数值、对应法则是什么？为什么对于任意的锐角α都有唯一的“对边斜边”与之相对应？

探究二：

现在我们研究角的问题是在平面直角坐标系内研究，如果将锐角的始边与x 轴的非负半轴重合，锐角α的顶点与坐标原点重合，放在平面直角坐标系中，如何用坐标语言描述锐角的正弦函数定义？

问题4：

二、反馈与巩固

例1.已知角α终边经过点)4,3(0--P ，求角α的正弦、余弦和正切值。

例2．已知角α终边经过点0(2,3)P a a -，求角α的正弦、余弦和正切值。

例3.求3

5π的正弦、余弦和正切值。

三、自学小结

四、作业

倒数的认识导学案

数导学案一、找答案。请在下面数字中找出算式的答案 1×（1 ）=1 0.1×（）=1 ×（）=1 ×（）=1 2×（）=1 0.2×（）=1 ×（）=1 ×（）=1 3×（）=1 0.3×（）=1 ×（）=1 ×（）=1 4×（）=1 0.4×（）=1 ×（）=1 ×（）=1 5×（）=1 0.5×（）=1 ×（）=1 ×（）=1 你能找到算式的规律，再写一组算式吗？（）×（）=1 （）×（）=1 （）×（）=1 （）×（）=1 二、想一想，这些算式都有什么特点？ 1.积有什么特点。（口头展示） 2.算式的乘数有什么特点。三、理解 1. 什么是倒数? 2.“互为”是什么意思？（倒数是指两个数之间的关系，这两个数相互依存，一个数不能叫倒数） 3. 互为倒数的两个数有什么特点？（两个数的分子、分母正好颠倒了位置）四、看谁写得快。请试着写出5组倒数，并与同桌说一说。五、思考求倒数的方法，写一写再与小组讨论。（要记忆部分） 1、求一个自然数的倒数，就是先把整数看成分母是1的分数，再交换分子和分母的位置。例如：（）和（）（）和（） 2. 求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子和分母交换位置。例如：（）和（）（）和（）如果分数是假分数，就是把这个分数的分子和分母交换位置，例如：。如果分数是带分数，应该把这个分数先化成假分数，再把这个分数的分子和分母交换位置，例如：。 3. 求一个小数的倒数，就是：把小数化成十进制分数，再把这个分数的分子和分母交换位置。。例如：0.2 =（），它的倒数是（）。0.83=（），它和（）互为倒数。 4. 1的倒数是（1 ），因为（1×1＝1，根据“乘积是1的两个数互为倒数”，所以1的倒数是1。） 0 没有倒数，因为（0与任何数相乘都不等于1，所以0没有倒数）六：阅读书上24页，完成下面的练习。

高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数导学案

1.2.1任意角的三角函数（A 层学案）学习目标：1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义； 2.记住诱导公式一并会应用。学习重点：任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。学习难点：任意角的三角函数的定义。一、课前预习案 1．任意角三角函数 (1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的________，记作______，即sin α＝y ； ②x 叫做α的________，记作______，即cos α＝x ； ③ y x 叫做α的________，记作______，即tan α＝y x (x ≠0)． (2)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )，它到原点的距离r(r>0),r= ,那么任意角α的三角函数的定义为： sin α＝ cos α＝ tan α＝ 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号记忆口诀：。 3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值________，即： sin(α＋k ·2π)＝________，cos(α＋k ·2π)＝________， tan(α＋k ·2π)＝________，其中k ∈Z . 4.利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值. 角α 0 π6 π4 π3 π2 23π 34π 56π π 3 2 π 2π sin α cos α tan α

二、课内探究案知识点一利用定义求角的三角函数值例1：已知角α的终边经过点P(－4,3)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练1：（1）已知角α的终边过点 0(3,4) P--，求角α的正弦、余弦和正切值. （2）已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．知识点二：三角函数值的符号问题例2. （1）α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin α B.cos α C.tan α D.cos α或tan α （2）若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ______0 (填“＞”“＜”或“=”). (3)函数的值域是_______. 变式训练2：判断下列各式的符号. (1)sin 370°+cos 370°.

人教版小学数学六年级上册倒数的认识教学设计

《倒数的认识》教学设计学习目标： 1、理解倒数的意义，掌握求一个数倒数的方法，能准确熟练地写出一个数的倒数。 2、通过独立思考、小组合作、展示质疑，在探索活动中，培养观察、归纳、推理和概括能力。教学重点：求一个数倒数的方法。教学难点：1和0倒数的问题。教学设计：一、导入：同学们，在上数学课之前，老师想考你一个语文知识，怎么样？（出示“杏”和“呆”）看到这两个字，你发现了什么？生：上下两部分调换了位置，变成了另一个字师：对了，把其中任一个字上下两部分倒过来，就变成了另一个字，这个现象很有趣很奇妙吧！师小结：这种奇妙有趣的现象不仅出现在语文中，其实在数学中也存在着，想了解吗？今天我们就一起揭秘这种现象，好吧？板书：倒数的认识二、合作探究：（一）揭示倒数的意义 1.（出示课件）请看大屏幕，先计算，再观察这些算式，同桌互相说一说它们有什么规律？（学生自学，经历自主探索总结的过程，并独

立完成）。请同学们按照要求逐一完成，看谁是认真仔细的人，既能准确的计算，又能发现其中的秘密。师：同学们，在以前我们看来非常简单的乘积是1的两个数，研究起来有如此大的发现，那么，像符合这种规律的两个数叫什么数呢？谁能给这种数取个名字？（生取名字）师：那么根据刚才的计算结果与发现的规律你能说出什么叫倒数吗？（生答）师板书：乘积是1的两个数互为倒数。你认为哪些字或词比较重要？你是如何理解“互为”的？你能用举例子的方法来说明吗？（生答）师小结：刚才我们认识了倒数的意义，知道乘积是1的两个数互为倒数，而且倒数不能单独存在，是相互依存的。（二）小组探究求一个数倒数的方法 1.出示课件（精彩配合）：请看这里，哪两个数互为倒数？（生找）(生说教师演示）提问：你用什么好办法这么快就找出了这组数的倒数？（同桌互相说说看）（找几名学生汇报）师板书：求倒数的方法：分数的分子、分母交换位置同学们想出了找倒数的好方法，那就是分数的分子、分母交换位置，你们把老师想说的都说出来了，太棒了！我们一起来看一看。在这些数里哪一组不同于其它两组？

(完整word版)七年级生物上册导学案和答案

第三节开花和结果学校：铁锁桥初级中学教研组：生物教师：谭德权学生：重点：花的结构、传粉和受精过程，果实和种子的形成。难点：受精的过程及果实和种子的形成过程。一、课前预习1、一朵花是由、、、和等组成的。 2、花药成熟后会自然裂开，散放出。从落到雌蕊柱头上的过程，叫做传粉。 3、花粉落到柱头上以后，在柱头上黏液的刺激下开始萌发，长出。穿过花柱，进入子房，一直到达。花粉管中的精子随着花粉管的伸长而向下移动，最终进入内部。胚珠里面有，它跟来自花粉管的结合，形成。 4、受精完成后，子房继续发育，最终成为，其中子房壁发育成，子房里面的胚珠发育成，胚珠里面的受精卵发育成。二、导入新课被子植物生长到一定时期就会开花，把我们周围的环境装点得五彩缤纷。那么，植物为什么会开花呢？花朵美丽的色彩和四溢的芳香，对植物本身有什么意义？为什么有的植物的花既不艳丽又不芳香？三、合作探究（一）花的结构阅读课本P102观察与思考以小组为单位对花进行观察和解剖，并讨论完成下列问题：1，观察的方法：（1）取一朵桃花对照图Ⅲ－15观察它的、、、和。（2）用镊子从外向内依次摘下、、和，仔细观察和的特点。（3）用镊子夹开一个，用放大镜观察其里面的。（4）用刀片纵向剖开，用放大镜观察其里面的。 2，桃花的结构花的结构内生内生（二）传粉和受精 1、阅读课本P103完成下列问题： 1、什么叫传粉？有几种方式？各有什么特点？（1）如桃花、李花、苹果花、油菜花都是靠传粉的花，其特点是、、。（2）如玉米、杨、柳的花是靠传粉的。其特点是、、。 1、描述受精的过程，（受精，双受精，图示）（三）果实和种子的形成阅读课本P104并读图Ⅲ—18回答下列问题： 1、受精完成后花的各部分发生了哪些变化？

2020年普通高考数学一轮复习第22讲任意角的三角函数及诱导公式精品学案

2020年普通高考数学科一轮复习精品学案第22讲任意角的三角函数及诱导公式一?课标要求： 1 .任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2.三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（n /2 ±a , n±a的正弦、余弦、正切）。二.命题走向从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。预测2020年高考对本讲的考察是： 1.题型是1道选择题和解答题中小过程； 2 .热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。三.要点精讲 1.任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点。为了区别起见，我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角。 2.终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称为非象限角。终边相同的角是指与某个角a具有同终边的所有角，它们彼此相差2k n （k € Z），即 { 3 | 3 =2k n +a, k€ Z},根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。区间角是介于两个角之间的所有角，女口a€ { a| — WaW—}=[_,—]。 6666 3 .弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作 1 rad , 或1弧度，或1（单位可以省略不写）。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-n, -2n等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。角的弧度数的绝对值是：丄，其中，|是圆心角所对的弧长，r是半径。 r 角度制与弧度制的换算主要抓住180 rad。 180

任意角的三角函数教案

1.2.1 任意角的三角函数教学目标 1．知识与技能 (1)掌握任意角的三角函数的定义． (2)已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值． (3)记住三角函数的定义域． 2．过程与方法 (1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义，最后到直角坐标系中一般化的三角函数定义，培养学生发现数学规律的思维方法和能力． (2)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数． (3)通过对定义域介绍，提高学生分析、探究、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 (1)使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式． (2)学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神．重点、难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)．教学难点：利用角的终边上点的坐标刻画三角函数，三角函数的符号以及三角函数的几何意义．授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 新知探究一、三角函数的定义：提出问题问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗? 学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.

图1 如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OP MP =a b . 讨论结果: ①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数. ②sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OM MP =a b . 提出问题问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么? 问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化? 最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变. 过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化. 此时sinα=OP MP =b,cosα=OP OM =a,tanα=OM MP =a b . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数. 图2 如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y; (2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x; (3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=x y (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数. 值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sinα不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的. 二、例题讲解

《倒数的认识》教学设计

倒数的认识教学设计指导思想与理论依据：数学新课程标准强调：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生学习的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握数学知识与基本技能、数学思想的方法，获得广泛的数学活动经验。本课以学生发展为本，着眼于数学方法的教学和数学思维能力的培养，引导学生在已有的知识和经验的基础上，进行充分的观察、分析、讨论，理解倒数的意义，认识倒数的特征，自主构建新的知识。培养和发展学生的观察比较、分析概括能力以及语言表达能力和数学思维能力。教学背景分析：教学内容：《义务教育课程标准试验教科书数学》六年级上册第24、25页教材分析： “倒数的认识”是西师版六年级上册第三单元第一课时的教学内容，这部分内容学生是在学习了分数乘法的计算方法基础上进行教学的，是为后面学习分数除法的计算方法做准备，因为一个数除以分数的计算方法，归结为乘这个数的倒数。所以它是学习分数除法计算的知识基础，沟通分数乘法和除法的计算，起着承前启后的桥梁作用。教材中通过几组乘积为“ 1”分数乘法的算式，积累学生对倒数的感性认识。试一试的安排掌握求倒数的方法。学情分析：部分学生在课前预习学习中已经接触了一些关于倒数的知识，但是对于倒数概念的建立非常不系统、不牢固，他们不会用语言叙述倒数的意义，在写法上也会出错，并且认为倒数就是分数的分子、分母颠倒位置，将倒数的意

义和求一个数倒数的方法混为一谈。学生对倒数的认识局限于一个数，或者是把两个数倒过来。而大多数学生还没有接触过倒数知识。设计理念：本课以学生自己的举例、观察、比较、分析、抽象和概括为学习的主要方法，获得“倒数”的概念这一知识要点，通过自主探索、合作交流，掌握求不同数的倒数的一般方法和数学的思想方法，发展初步的抽象能力，并使学生在学习和探索的过程中，培养独立思考和与人合作的能力。教学目标设计：课标要求： 1、理解倒数的意义，掌握求倒数的方法。 2、学生经历探索“倒数意义”和“求倒数的方法”的过程，学习运用数学的思维方式进行思考并发现它们的规律；借助几何直观渗透数学知识之间普遍联系的思想，感悟“ 1”的重要作用。 3、初步培养学生乐于思考，勇于质疑的良好品质。体会数学的特点，感受数学的价值。学习目标： 1、知道倒数的意义。 2、经历倒数的意义这一概念的形成过程。 3、会求一个数的倒数。教学重点：倒数的意义与求法数学难点：理解“互为”的意义，明确倒数只表示两个数间的关系，而不能单独

七年级生物下册导学案及答案

第四单元生物圈中的人第一章人的由来第一节人类的起源和发展【学习目标】 1.说出人类起源于森林古猿，人类是在与自然环境的斗争中逐渐进化来的。 2.对比观察四种现代类人猿和人类起源与示意图，概述人类在起源和发展过程中自身形态和使用工具等方面的变化。【学习重、难点】： 1.运用比较的方法找出人类与类人猿的异同点。 2.认同现代人类是在与自然环境的长期斗争中进化来的观点。【学习过程】：一、自主学习 1、在人类的进化过程中，“露西”时代的古人类适于下地生活的特点是：上肢___________，下肢___________。 2、人类和类人猿有共同的祖先，但在发展进化的过程中，人类不仅能适应环境，而且能够不断地改变环境，成为地球的强者，其主要原因是：_____________ ____。二、合作探究任务一:认真阅读教材P2至P3思考： 3. 教材中的四种现代类人猿今天分布在地球的那些地方 ? 大猩猩黑猩猩长臂猿猩猩它们的生活方式的共同点是。其中与人亲缘关系最近的是。 4、今天人类的数量在急剧增加，而类人猿的数量日益减少，原因是什么？ 5、类人猿在形态结构上确实与人有许多相似，但与人的根本区别是什么？ 6、现代类人猿和人类的共同祖先是。任务二：认真阅读分析教材P4至P5内容思考 7、“露西”少女的化石与现代人类较为相似，想象一下他的运动方式会是什么？ 8、“东非人用图中的石块做什么?它们已经具有能力。三、系统总结现代类人猿和人类的共同祖先是：人类的起源和发展自然条件：人类的起源和发展自身的变化：

创造和使用。四、生活链接现代的类人猿是否有一天会进化为人类？五、反馈检测 9、许多生活的森林古猿，由于使前肢解放出来，臂和手变得灵巧，为使用、制造工具提供了前提；随着制造的工具越来越来复杂，并且使用了火，也越来越发达，在群体生活中产生了，因此相互之间能更好地交流与合作。 10、人类和黑猩猩有许多相似之处，这说明（） A 黑猩猩是人类的原始祖先 B 人类是由黑猩猩进化而来的 C 人类是黑猩猩进化的一个分支 D 黑猩猩和人类有着共同的祖先 11、古猿进化成人，人脑比猿脑发达，其中最主要的原因是（） A 古猿的直立行走 B 古猿的手和足得到了发展和改善 C 古猿转移到平原上生活 D 古猿进行劳动和集体生活 12、下列关于生命起源和人类起源的叙述正确的是（） A 生命起源于原始海洋 B 生命起源与原始大气 C 人类起源于现代类人猿 D 人类起源于森林古猿教学反思：第二节人的生殖【学习目标】知识目标 1．概述男性和女性生殖系统的结构，说出它们的功能。 2．描述受精过程以及胚胎发育过程。技能目标：运用观察的方法，识别有关的插图和模型。情感目标：与父母交流自己对生育和养育的认识，增进敬爱父母的情感。【学习重、难点】 1.男性和女性生殖系统的结构及功能. 2.受精过程以及胚胎发育过程.

2018版高中数学三角函数1.2.1任意角的三角函数一导学案新人教A版

1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r . 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案 sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？答案不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x . 梳理 (1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.

高中数学任意角的三角函数教案

§1.2.1 任意角的三角函数教学目标 <一> 知识目标 1、掌握任意角的三角函数的定义。 2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 3、记住三角函数的定义域和诱导公式（一）。 <二> 能力目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。 2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 <三> 德育目标 1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。 2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。教学重难点任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。教学过程问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？锐角三角函数定义

问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则: 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)

所以三角函数可以记为: 我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1：解：例2：事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

倒数的认识教学设计及评析

“倒数的认识”教学设计及评析【设计理念】数学概念是构建数学理论大厦的基石。小学阶段的数学概念是学生掌握基本的数学思想方法、形成基本的数学能力的重要载体。因此，精心设计和教学好每一个数学概念，使学生切实掌握概念的数学本质，是数学教学的重要任务。 “倒数”是人为的抽象概念，也是没有直接生活原型的数学概念。为了让学生掌握好这一与日常生活经验没有直接联系的抽象概念，我设计了专门的、纯粹的数学活动，既把握概念本身的基本特征,又尊重学生的认知规律,使学生在观察、筛选、归纳一个个数学算式特征的活动中构建“倒数”、“互为倒数”的数学模型，同时获得由直观到抽象的数学活动经验，经历从感性认识到理性认识的学习过程。本课以学生自己的举例、观察、比较、分析、抽象和概括为学习的主要方法，获得“倒数”的概念这一知识要点，通过自主探索、合作交流，掌握求不同数的倒数的一般方法和抽象概括的思想方法，发展初步的抽象能力，并促使学生在学习和探索的过程中，逐步形成独立思考的习惯及抽象思维的能力。【教学内容】《义务教育教科书·数学》（人教版）六年级上册第28、29页例题1、做一做及相关练习。【学情与教材分析】本课是义务教育教科书人教版数学第十一册第二单元《分数除法》中的第一课时——“倒数的认识”。它是在学生学习了分数乘法计算的基础上进行教学的，是为学生进一步学习分数除法做准备。因为一个数除以分数等于用这个数乘它的倒数。所以它是学习分数除法计算的知识基础，把分数乘法和分数除法的计算通过倒数这一概念的应用进行关联，关联之后形成知识结构及认知结构。进而彰显学生的应用意识这一核心素养。教材编排了几组乘积是1的乘法算式，使学生通过计算、观察、讨论等活动，归纳出它们的共同规律，引出倒数的定义，并用实例突出“互为倒数”的含义，让学生在数学活动中构建“倒数”、“互为倒数”的数学模型，并帮助学生完成数学抽象及数学建模这一核心素养的形成。再引导学生思考并归纳出互为倒数的两个数的特点：它们的分子、分母交换了位置。如果这两个数不是分数，通过转化为分数后，也同样具有这一特征。例1的教学，则是充分地利用互为倒数关系的两个数的这一特点来求倒数的。通过尝试，让学生初步体验找倒数的一般方法：调换两个数的分子、分母的位置。在总结求倒数的方法时，也分三种情况：求分数的倒数；求整数的倒数；1和0的倒数问题。【教学目标】（1）使学生理解倒数的意义，掌握求倒数的方法，并能正确熟练的求出倒数。（2）采用自学与小组讨论的方法进行教学，培养学生观察、比较、抽象、归纳的学习能力；使学生学会和同伴合作交流。（3）在学习“倒数”的过程中，体验归纳概括的乐趣，养成独立思考、质

数学人教A版高中必修1任意角的三角函数导学案

2.2.2任意角的三角函数（1）【学习目标】 1．掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 2．会用三角函数线表示任意角三角函数的值 3．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号【学习重点、难点】任意角的正弦、余弦、正切的定义【自主学习】一、复习旧知，导入新课在初中，我们已经学过锐角三角函数：角的范围已经推广，那么对任意角是否也能定义其三角函数呢？二、建构数学 1．在平面直角坐标系中，设点是角终边上任意一点，坐标为,它与原点的距离，一般地，我们规定： ⑴比值___________叫做的正弦,记作___________,即___________=___________； ⑵比值___________叫做的余弦,记作___________,即___________=___________； ⑶比值___________叫做的正切,记作___________,即___________=___________. 2.当=___________________时, 的终边在轴上,这时点的横坐标等于____________,所以_____________无意义.除此之外,对于确定的角,上面三个值都是______________.所以, 正弦、余弦、正切都是以_________为自变量,以__________为函数值的函数,我们将它们统称为___________________. 3.由于________________________与________________________之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为_________________的函数. 4.其中，和的定义域分别是________________；

《任意角的三角函数一》教案苏教版

数学：1.2.1《任意角的三角函数（一）》教案（苏教版必修4）第 3 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（一）【三维目标】：一、知识与技能 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。 3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；二、过程与方法 1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神； 2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； 3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。三、情感、态度与价值观 1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； 2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。【教学重点与难点】：重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。难点：任意角的三角函数概念的建构过程【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 3. 教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题用与用坐标均可表示圆周上点，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说， ● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系？二、研探新知 1.三角函数的定义【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是。当为锐角时，过作轴，垂足为，在中，,,

公开课《倒数的认识》教学设计

《倒数的认识》教学设计教学目标： 1、使学生理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法。 2、培养学生观察、归纳、推理和概括的能力。 3、培养学生严谨好学的学习态度。重点难点：重点：理解倒数的意义。难点：掌握求倒数的方法。教学过程：一、创设情境 1、创设问题情境，确定研究主题师：在以前的学习过程中，天天与数打交道，并且总结出关于数的运算的一些非常重要的规律，比如：一个数和1相乘还得原数；一个数和0相乘结果还是0；一个不是0的数除以它本身结果得1；……这些运算中都有着非常稳定的规律，说明两个数的关系比较稳定。今天我们就来继续研究两个数的关系。出示： 3883和 715157和 515和 1212 1和请大家思考：每组中的两个数有怎样的关系？（生交流汇报）生1：每组中都是一个真分数和一个假分数。生2：两个数的分子和分母的位置正好颠倒了。生3：它们的乘积都是1。师：看来大家已经透过表面现象发现了两个数的本质关系，即乘积都是1。请大家逐个验证一下。 2、学生举例，丰富体验。师：请大家自己举出这样的例子。生：…… 3、提炼概念。师：通过刚才的研究，具有这种关系的数叫互为倒数。谁来具体说一说什么样的两个数叫做互为倒数？（根据学生的回答出示：乘积是1的两个数叫互为倒数。）二、加深理解师：乘积是1的两个数叫互为倒数，在这个概念中你认为哪个词比较关键？为什么？自己思考后再和小组的同学交流。（小组交流后汇报）组1：“互为”非常关键。师：“互为”是什么意思？组1：“互为”是说一个数是另一个数的倒数，不能说某一个数是倒数。比如：3 883和

中，不能说83是倒数，应该说83是3 8的倒数，即要说清楚谁是谁的倒数。师：还可以怎么说？组1：38是8 3的倒数。组2：我们组认为“两个”这个词非常关键，必须是两个数。师：1214338=??，2 14338、、成倒数关系吗？组2：不成，因为我们研究的是两个数的关系，多了不行。组3：我们组认为“乘积是1”非常关键。如果乘积不是1的两个数就不能称为“互为倒数”。师：通过刚才的交流，大家已经找到了在这个概念中特别关键的部分，那就是“乘积是1”、“两个数”、“互为”。师：老师给大家提一个问题：概念中的“两个数”有可能是两个怎样的数？你能举例说明吗？再次小组讨论。组4：有可能是两个分数，也有可能是一个整数和一个小数，或者整数和分数，只要乘积是1就行。三、探究方法 1、探究找一个数的倒数的方法。（1）师：刚才同学们都举出了许多倒数的例子。现在老师来考考你们，看看谁能很快的找出互为倒数的两个数，并说说是怎样找的？出示例1。生汇报结果：生1：我找到了，53和35互为倒数，27和7 2互为倒数。我的方法是看这两个分数的分子和分母是不是颠倒了位置。生2：我有补充，6 1和6也互为倒数。我是看两个数的乘积是否为1。师：说说你的理由。生2：我们要判断两个数是否互为倒数，就要看它们是否符合倒数的概念，也就是两个数的乘积是否为1，因为61和6的乘积也是1，所以6 1和6也互为倒数。师：都回答的很好，看来你们对“倒数”理解得很透彻。那你更喜欢哪种方法呢？生3：第一种方法，因为比较简便，一眼就可以判断。生4：我也喜欢第一种，因为它比较快。师小结：看来大家都喜欢用直接观察的方法来判断，也就是看这两个分数的分子和分母是不是交换了位置。（2）师：同学们都会判断两个数是否互为倒数了吗？如果给你一个数，你能写出它的倒数吗？生齐说：能。师板书：11 7 生汇报方法：

七年级生物下册导学案及答案(全册)66283word版本

七年级生物下册第四单元生物圈中的人第一章人的由来导学1 第一节人类的起源和发展【学习目标】： 1.说出人类起源于森林古猿，人类是在与自然环境的斗争中逐渐进化来的。 2.对比观察四种现代类人猿和人类起源与示意图，概述人类在起源和发展过程中自身形态和使用工具等方面的变化。【学习重、难点】： 1.运用比较的方法找出人类与类人猿的异同点。 2.认同现代人类是在与自然环境的长期斗争中进化来的观点。【学习过程】：一、自主学习 1、在人类的进化过程中，“露西”时代的古人类适于下地生活的特点是：上肢___________，下肢___________。 2、我国的古人类化石非常丰富，著名的北京人化石发现于______________。1929年，________ 发现了第一个北京猿人头盖骨的化石。 3、人类和类人猿有共同的祖先，但在发展进化的过程中，人类不仅能适应环境，而且能够不断地改变环境，成为地球的强者，其主要原因是：_____________ ____。二、合作探究任务一:认真阅读教材P2至P3思考： 4、教材中的四种现代类人猿今天分布在地球的那些地方 ? 大猩猩黑猩猩长臂猿猩猩它们的生活方式的共同点是。其中与人亲缘关系最近的是。 5、今天人类的数量在急剧增加，而类人猿的数量日益减少，原因是什么？ 6、类人猿在形态结构上确实与人有许多相似，但与人的根本区别是什么？ 7、现代类人猿和人类的共同祖先是。任务二：认真阅读分析教材P4至P5内容思考 8、“露西”少女的化石与现代人类较为相似，想象一下他的运动方式会是什么？

三、系统总结现代类人猿和人类的共同祖先是：人类的起源和发展自然条件：人类的起源和发展自身的变化：创造和使用。四、生活链接现代的类人猿是否有一天会进化为人类？五、反馈检测 10、许多生活的森林古猿，由于使前肢解放出来，臂和手变得灵巧，为使用、制造工具提供了前提；随着制造的工具越来越来复杂，并且使用了火，也越来越发达，在群体生活中产生了，因此相互之间能更好地交流与合作。 11、人类和黑猩猩有许多相似之处，这说明（） A 黑猩猩是人类的原始祖先 B 人类是由黑猩猩进化而来的 C 人类是黑猩猩进化的一个分支 D 黑猩猩和人类有着共同的祖先 12、古猿进化成人，人脑比猿脑发达，其中最主要的原因是（） A 古猿的直立行走 B 古猿的手和足得到了发展和改善 C 古猿转移到平原上生活 D 古猿进行劳动和集体生活 13、下列关于生命起源和人类起源的叙述正确的是（） A 生命起源于原始海洋 B 生命起源与原始大气 C 人类起源于现代类人猿 D 人类起源于森林古猿

高考数学《三角函数》专题任意角的三角函数学案

高考数学《三角函数》专题任意角的三角函数学案一、角的概念的推广 1．与角α终边相同的角的集合为． 2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为． 3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为，终边在y 轴上的角的集合为，终边在坐标轴上的角的集合为． 4．象限角是指：． 5．区间角是指：． 6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系． 7．弧度与角度互化：180o＝弧度，1o＝弧度，1弧度＝ ≈ o． 8．弧长公式：l ＝；扇形面积公式：S ＝ . 二、任意角的三角函数 9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝； cos α＝；tan α＝； 10．三角函数的符号与角所在象限的关系： 12解析式 y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx 定义域值域 13．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线．－＋－ + cos x , ＋＋－－ sin x , －＋＋－ tan x , x y O x y O x y O αx y O

例1. 若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α ,3α 的终边所在位置. 解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k∈Z ）. （1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k·180°+45°＜2α ＜k·180°+90°（k∈Z ），当k=2n （n∈Z ）时， n·360°+45°＜2α ＜n·360°+90°；当k=2n+1（n∈Z ）时， n·360°+225°＜2α ＜n·360°+270°. ∴2α 是第一或第三象限的角. （3）∵k·120°+30°＜3α ＜k·120°+60°（k∈Z ），当k=3n （n∈Z ）时， n·360°+30°＜3α ＜n·360°+60°；当k=3n+1（n∈Z ）时， n·360°+150°＜3α ＜n·360°+180°；当k=3n+2（n∈Z ）时， n·360°+270°＜3α ＜n·360°+300°. ∴3α 是第一或第二或第四象限的角. 变式训练1：已知α是第三象限角，问3α 是哪个象限的角？解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k∈Z ）， 60°+k·120°＜3α ＜90°+k·120°. ①当k=3m(m∈Z )时，可得典型例题

任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计会宁县第二中学数学教研组曹蕊一、教学内容分析本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、学生情况分析本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。三、教学目标知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。四、教学重、难点分析：重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。五、教学方法与策略：教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备：为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维．七、教学过程（一）教学情景 1．复习锐角三角函数的定义问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？