17.2 古典概型与几何概型

17、概率

17．2 古典概型与几何概型

【知识网络】

1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的

基本事件数及事件发生的概率。

2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概

念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。 【典型例题】

[例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ）

A ．

4

9

B ．29

C ．23

D ．13

（2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），

骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （

）

A ．

6

1

B ．

36

5 C ．

12

1 D ．

2

1 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形

的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为

（

）

A ．

56

B ．

12

C ．13

D ．

16

（4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3

S

”的概率为 ．

（5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ．

[例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。

[例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．

[例4]抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了．

某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动——“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”．

方案1：总点数是几就送礼券几十元．

方案2：总点数为中间数7时的礼券最多，为120元；以此为基准，总点数每减少或增加1，礼券减少20元．

方案3 总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元．

如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决．

【课内练习】

1． 某班共有6个数学研究性学习小组，本学期初有其它班的3名同学准备加入到这6个

小组中去，则这3名同学恰好有2人安排在同一个小组的概率是 （

）

A ．

15

B ．

524

C ．

1081

D ．

512

2． 盒中有1个红球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10

人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P 1，第8个人摸出红球的概率是P 8，则

（

）

A ．P 8=18P 1

B ．P 8=

45

P 1 C ．P 8=P 1

D ．P 8=0

3． 如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 是圆O 的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概

率为

（ ）

A ．12

B ．1

3

C ．

23

D ．

14

4． 两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离

都大于1m 的概率为

（

）

A ．

12

B ．13

C ．

14

D ．

23

5． 一次有奖销售中，购满100元商品得1张奖卷，多购多得．每1000张卷为一个开奖单

位，设特等奖1个，一等奖5个，二等奖100个．则任摸一张奖卷中奖的概率为 ．

6． 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学

生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ．

7． 在圆心角为150°的扇形AOB 中，过圆心O 作射线交

AB 于P ，则同时满足：∠AOP ≥45°且∠BOP ≥75°的概率为 ．

8． 某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备

在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．

（1）共有多少个基本事件？

（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？

第3题图

C

9．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P与A连结，倍的概率．

10．正面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的点．

①设“V P-ABC≥1

4

V”的事件为X，求概率P(X)；

②设“V P-ABC≥1

4

V且V P-BCD≥

1

4

V”的事件为Y，求概率P(Y)．

17、概率

17．2 古典概型与几何概型

A 组

1． 取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率

为 （ ）

A ．

2

π B ．

2

ππ

- C D ．4

π

2． 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为 （ ）

A ．12

B ．1

3

C ．14

D ．16

3． 已知椭圆22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)及内部面积为S=πab ，A 1，A 2是长轴的两个顶点，B 1，

B 2是短轴的两个顶点，点P 是椭圆及内部的点，下列命题正确的个数是 （ ） ①△PA 1A 2为钝角三角形的概率为1； ②△PB 1B 2为直角三角形的概率为0；

③△PB 1B 2为钝角三角形的概率为b

a ；

④△PA 1A 2为钝角三角形的概率为b

a ；

⑤△PB 1B 2为锐角三角形的概率为a b

a

-。

A ．1

B 。2

C 。3

D 。4

4． 古典概型与几何概型的相同点是 ，不同点是基本事件的 ．

5． 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．其中“恰有两枚正面向

上”的事件包含 个等可能基本事件．

6． 任取一正整数，求该数的平方的末位数是1的概率．

7． 如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和

∠BOC 都不小于30°的概率．

8． 如图，在等腰三角形ABC 中，∠B =∠C =30°，求下列事件的概率：

问题1 在底边BC 上任取一点P ，使BP ＜AB ； 问题2 在∠BAC 的内部任作射线AP 交线段BC 于P ，使BP ＜AB ．

17、概率

17．2 古典概型与几何概型

B 组

1． 在20瓶饮料中，有2瓶过了保质期，从中任取1瓶，恰好为过期饮料的概率为 （ ）

A ．

1

2

B 。

110

C 。

120

D 。

140

2． 一个罐子里有6只红球，5只绿球，8只蓝球和3只黄球。从中取出一只球，则取出

红球的概率为 （ ）

A ．

1

22

B 。

522

C 。

311

D 。

611

3． 已知O （0，0），A （30，0），B （30，30），C （0，30），E （12，0），F （30，18），P

（18，30），Q （0，12），在正方形OABC 内任意取一点，该点在六边形OEFBPQ 内的概率为 （ ）

A ．

4

25

B 。

2125

C 。

725

D 。

1625

4． 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为P 点的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2=16

A C

P

B

第8题

A

第7题 O

E D C

B

内的概率是_________．

5．在所有的两位数（10~99）中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是．

6．在△AOB中，∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C。试分别求下列事件的概率：

①△AOC为钝角三角形；

②△AOC为锐角三角形；

③△AOC为锐角三角形。

7．在区间[-1，1]上任取两实数a、b，求二次方程x2+2ax+b2=0的两根都为实数的概率．

8．一海豚在水池中自由游弋．水池为长30m，宽20m的长方形，随机事件A记为“海豚嘴尖离岸边不超过2m”．

（1）试设计一个算法（用伪代码表示），使得计算机能模拟这个试验，并估算出事件A发生的概率；

（2）求P（A）的准确值．

参考答案

17．2 古典概型与几何概型

【典型例题】 [例1]（1）A 。

（2）C ．提示：总事件数为36种。而满足条件的(x ，y)为（1，2），（2，4），（3，6），共

3种情形。

（3）D ．提示：M 只能在中间6cm~9cm 之间选取，而这是一个几何概型。

（4）作△ABC 的边BC 上的高AD ，取E ∈AD 且ED=1

3

AD ，过E 作直线MN ∥BC 分别交AB 于M ，AC 于N ，则当P 落在梯形BCNM 内时，△PBC 的面积小于△ABC 的面积的13

，故P=

59

BCNM ABC

S S ?=

梯形． （5）

1

6

。提示：总事件数为6×6=36种，相同点数的有6种情形。 [例2]由方程有实根知：m 2≥4n ．由于n ∈N *，故2≤m ≤6． 骰子连掷两次并按先后所出现的点数考虑，共有6×6=36种情形．其中满足条件的有： ①m=2，n 只能取1，计1种情形； ②m=3，n 可取1或2，计2种情形； ③m=4，n 可取1或2、3、4，计4种情形；

④m=5或6，n 均可取1至6的值，共计2×6=12种情形．

故满足条件的情形共有1+2+4+12=19（种），答案为

19

36

． [例3]以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的条件是

15x y -≤．在平面上建立直角坐标系如图7，则(x ，y)的

所有基本事件可以看作是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示．故

P(两人能会面) 167

60

45602

22=-=． 答 两人能会面的概率为

716

． [例4]由图可知，等可能基本事件总数为36种．

其中点数和为2的基本事件数为1个，点数和为3的基本事件数为2个，点数和为4的基本事件数为3个，点数和为5的基本事件数为4个，点数和为6的基本事件数为5个，点数和为7的基本事件数的和为6个，点数和为8的基本事件数为5个，点数和为9的基

本事件数为4个，点数和为10的基本事件数为3个，点数和为11的基本事件数为2个，点数和为12的基本事件数为1个．

根据古典概型的概率计算公式易得下表：

由概率可知，当点数和位于中间（指在7的附近）时，概率最大，作为追求最大效益与利润的老总，当然不能选择方案2，也不宜选择方案1，最好选择方案3．

另外，选择方案3，还有最大的一个优点那就是，它可造成视觉上与心理上的满足，顾客会认为最高奖（120元）可有两次机会，即点数和为2与12，中次最高奖（100元）也有两次机会，所以该方案是最可行的，事实上也一定是最促销的方案．

我们还可以从计算加以说明．三个方案中，均以抛掷36次为例加以计算（这是理论平均值）：

从表清楚地看出，方案3所需的礼券额最少，对老总来说是应优先考虑的决策．

【课内练习】

1． D 。3个人加入6个小组中有36种方法。3人中恰有2人在同一小组的，于是只须加

入两个小组，共有

65

2

?=15种选择，而3人的分组又有6种情形，故答案为156521612?=。

2． C 。提示:虽然摸球的顺序有先后，但只需不让后摸的人知道先摸人摸出的结果，那么

各个摸球者摸到红球的概率都是相等的，并不因摸球的顺序不同而影响到其公平性．∴P 8=P 1。

1 2 3 4 5 6 1

2 3 4 5 6 例4答图

第一次抛掷后向上的点

第

二次抛掷后向上的点

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 6 7 8 9 10 7 8 9 10 11 11 12 10 9

3． B 。

4． B 。提示：记“彩珠与两端都大于1m ”为事件A ，则P (A )=13

。

5．

1510053

1000500++=

6． 3394416?=?

7． 1

5

。提示：P 点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为150°-45°-75°，

即就是30°，301

1505

=。

8．（1）三类客车分别记为上、中、下．则有如下的基本事件：

①上-中-下；②上-下-中；③中-上-下； ④中-下-上；⑤下-上-中；⑥下-中-上． 因此，基本事件总数为6个．

（2）小曹能乘上上等车的事件记为A ，则A 中包含上述事件中的：

③中-上-下；④中-下-上；⑤下-上-中，故

P (A )=

3162

=． 答 共有6个基本事件，能乘上上等车的概率为

12

． 9．连结圆心O 与A 点，作弦AB 使∠AOB =120°，这样的点B 有两点，分别记为B 1与

B 2，仅当P 在劣弧 12

B B 上取点时，AP

，此时∠B 1OB 2=120°，故所求的概率为

1201

3603

=． 10．①分别取DA 、DB 、DC 上的点E 、F 、G ，并使DE =3EA ，DF =3FB ，DG =3GC ，并连结EF 、FG 、GE ，则平面EFG ∥平面ABC ．

当P 在正四面体DEFG 内部运动时，满足V P -ABC ≥

1

4

V ，故P (X )=33327(

)()464D EFG D ABC V DE V DA --===．

②在AB 上取点H ，使AH =3HB ，在AC 上取点I ，使AI =3IC ，在AD 上取点J ，使AJ =3JD ，则P 在正四面

体AHIJ 内部运动时，满足V P -BCD ≥1

4

V ．

结合①，当P 在正四面体DEFG 的内部及正四面体AHIJ 的内部运动时，亦即P 在正

③

④

⑤ ①

②

⑥

I

A 第8题答

A

M D

C

B

J I H

G

F E

N

四面体EMNJ 内部运动时，同时满足V P -ABC ≥14V 且V P -BCD ≥14

V ，于是

P (Y )=

3311

()()28

J EMN D ABC V JE V DA --===．

17、概率

17．2 古典概型与几何概型

A 组

1． B 。提示：所求概率为圆面积与正方形面积的差值除以圆面积。

2． B 。提示：乙可选3个位置中的一个坐下。 3． D 。提示：①②③⑤是正确的。

4． 基本事件的等可能性；有限性与无限性的区别． 5． 3。提示：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）。

6． 一个正整数的平方的末位数字只取决于该正整数的末位数，它必然是0，1，2，…，9

中的任意一个，因而基本事件为 Ω={1，2，3，…，9}，共10个． 正整数的平方的末位数是1的事件A ={1，9}，共2个．

因为所有这些事件都是等可能基本事件，故由概率的计算公式得21()105

P A =

=． 7． 记A={作射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°}，作射线OD 、OE 使∠AOD=30°，

∠AOE=60°．当OC 在∠DOE 内时，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则P(A)=

301

903

=．

8． 问题1，因为点P 随机地落在线段BC 上，故线段BC 为区域D ．以B 为圆心、BA 为半径画弧交BC 于M ，则P 必须落在线段BM 内才有BP ＜BM =BA ，于是

()()2cos30BM BA BA P BP AB P BP BM BC BC BA ==

==== <<．

问题2，作射线AP 在∠BAC 内是等可能分布的，在BC 上取点M ，使∠AMB =75°，

则BM =BA ，当P 落在BM 内时，BP ＜AB ．于是所求的概率为7551208

=．

B 组

1． B 。 2． C 。

3． D 。提示：221816

13025

-=。

4． 29

。提示：基本事件的总数为6×6=36个，记事件A ={点P (m ，n )落在圆x 2+y 2=16内}，

则A 所包含的基本事件为(1，1)，(2，2)，(1，3)，(1，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(2，1)，共8个．

5．

2

3

。提示：被2整除的有45个，被3整除的有30个，被6整除的有15． 6． ①0.4；②0.6；③0。

7． 方程有实根的条件为⊿=(2a )2-4b 2≥0，故|a |≥|b |．点(a ，b )的

取值围成如图所示的单位正方形的区域D ，随机事件A “方程有实根”的所围成的区域如图所示的阴影部分．易求得

1

()2

P A =．

8． （1）建立如图的直角坐标系，并用计算机所产生的随机数x 和y 组成的有序数组(x ，

y )来表示海豚嘴尖的坐标．

这里几何区域D 所表示的范围为长方形：x ∈（-15，

15），y ∈（-10，10），事件A 所表示的区域为图中的阴影部分d ：13≤|x |＜15，8≤|y |＜10．

算法的伪代码表示如下：

s ←0

Read n Fo r I from 1 to n x ←30×Rnd -15 y ←20×Rnd -10 If 13≤int(x )＜15 and 8≤int(y )＜10 then s ←s +1 End for Print “海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率为”&

s n

End

说明 1．实验次数n 由实验者任意输入．

2．∵0＜Rnd ＜1，∴x =30×Rnd -15∈（-15，15），y =20×Rnd -10∈（-10，10）． （2）如图7-3-11，所求概率为

3020261623

()302075

d P A D D ?-?=

===?的测度阴影部分的面积的测度区域的面积．

第7题答图