计算理论习题答案CHAP7new

Operation X Y

127410505 X mod Y X127410505

X Y105051274 X mod Y X3131274

X Y1274313 X mod Y X22313

X Y31322

X mod Y X522

X Y225

X mod Y X25

X Y52

X mod Y X12

X Y21

X mod Y X01

X Y10当Y=0时，输出X=1，所以1274和10505是互素的。

对于字符串w=baba和下面的文法CFG G，试填写定理中识别上下文无关语言的多项式时间算法中所描述的表。

S RT

R TR|a

T RT|b

T R,T S R,T,S

R S S

T R,T

R

下面的公式是可满足得吗

=(x y)(x y)(x y)( x y)

解:(x,y)共有四种取值：(true, true),(true, false),(false, true),(false, false).分别将其带入公式得：

若(x,y)=(true, true)，=(true true) (true false) (false true) (false false)=false

若(x,y)=(true, false)，=(true false) (true true) (false false) (false true)=false

若(x,y)=(false, true)，=(false true) (false false) (true true) (true false)=false

若(x,y)=(false, false),=(false false) (false true) (true false) (true true)=false

所以原公式不可满足。

证明P在并、连接和补运算下封闭。

(1) 并：

对任意 L

1, L

2

P，设有n a时间图灵机M

1

和n b时间图灵机M

2

判定它们，

且c=max{a,b}。

对L

1L

2

构造判定器M:

M=“对于输入字符串w :

1)在w上运行M

1，在w上运行M

2

。

2)若有一个接受则接受，否则拒绝。”

时间复杂度：设M

1为O(n a),M

2

为O(n b)。令c=max{a,b}。

第一步用时O(n a+n b) ，因此总时间为O(n a+ n b)=O(n c),

所以L

1L

2

属于P类，即 P在并的运算下封闭。

(2) 连接：

对任意 L

1, L

2

属于P 类，设有n a时间图灵机M

1

和n b时间图灵机M

2

判定它

们，且c=max{a,b}。对L

1οL

2

构造判定器M:

M=“对于输入字符串w=w

1,w

2

,…,w

n

，

1)对k=0,1,2,…,n重复下列步骤。

2)在w

1w

2

…w

k

上运行M

1

，在w

k+1

w

k+2

…w

n

上运行M

2

。

3)若都接受，则接受。否则继续。

4)若对所有分法都不接受则拒绝。“

时间复杂度：(n+1)×(O(n a)+O(n b))=O(n a+1)+O(n b+1)=O(n c+1)，所以L

1οL

2

属于P类，即 P在连接的运算下封闭。

(3)补：

对任意 L

1属于P 类，设有时间O(n a)判定器M

1

判定它，对

1

L构造判定器M:

M=“对于输入字符串w :

(1)在w上运行M

1

。

(2)若M

1接受则拒绝，若M

1

拒绝则接受。”

时间复杂度为：O(n a)。所以

1

L属于P类，即 P在补的运算下封闭。证明NP在并和连接运算下封闭。

(1) 并：

对任意 L

1, L

2

NP，设分别有n a时间非确定图灵机M

1

和n b时间非确定图灵

机M

2

判定它们，且c=max{a,b}。

构造判定L

1L

2

的非确定图灵机M:

M=“对于输入字符串w :

1)在w上运行M

1，在w上运行M

2

。

2)若有一个接受则接受，否则拒绝。”

对于每一个非确定计算分支，第一步用时为O(n a)+O(n b)，因此总时间为

O(n a+n b)=O(n c)。所以L

1L

2

NP，即 NP在并的运算下封闭。

(2) 连接：

对任意 L

1, L

2

NP，设分别有n a时间非确定图灵机M

1

和n b时间非确定图灵

机M

2

判定它们，且c=max{a,b}。

构造判定L

1οL

2

的非确定图灵机M:

M=“对于输入字符串w :

1)非确定地将分成两段x,y，使得w=xy。

2)在x上运行M

1，在y上运行M

2

。

3)若都接受则接受，否则拒绝。”

对于每一个非确定计算分支，第一步用时O(n),第二步用时为

O(n a)+O(n b)，因此总时间为O(n a+ n b)=O(n c)。所以L

1οL

2

NP，即NP在连接

运算下封闭。

8.8证明如果对数采用一进制编码而不是二进制编码,则素数判定是多项式

时间可解的.换句话说,证明语言UNARY-PRIME={1n|n是素数}属于P.

证明:设x为被判定的数. 构造判定器M.

M=“输入1n，n为正整数,

1)对k=2,3,…,n-1重复下列步骤。

2)对于1n，每次消去k个1。若刚好可以消完，则拒绝。

3)若都不能刚好消完，则接受。”

时间分析:

1)最多执行n-2次,每次1步;

2)对于每个k的值,执行步数小于n;

3)需要一步

整个判定过程需要时间小于 (n-2)(1+n)=n2-n-2。运行时间为O(n2)。

所以UNARY-PRIME P。

令CONNECTED＝｛|G是连通的无向图｝。分析4.3.2节给出的算法，证明此语言属于P。

证明：判定CONNECTED的TM M的一个高水平描述：

M=“输入是图G的编码：

1)选择G的第一个顶点，并作标记。

2)重复步骤(3)，直到没有新的顶点可以作标记。

3)对于G的每一个顶点，如果存在一条边，将其连到一个已作标

记的顶点，则标记该顶点。

4)扫描G的所有顶点，确定它们是否都已作了标记，如果是，则

接受，否则拒绝。”

分析该算法的执行，步骤1)执行一次。一个n个顶点连通的无向图最多有n(n-1)/2条边，所以每次执行步骤3，运行时间是O(n2)。为标记所有的n个顶点，步骤3至多需要执行n次。所以用于标记的总的运行时间是O(n3)。步骤4需要执行n步。

该算法的总步数1+ O(n3)+n即为O(n3),从而有该语言属于P。

无向图中的三角形是一个3-团。证明TRIANGLE P。其中

TRIANGLE＝{|G包含3-团}

证明思路：采用相邻矩阵的形式存储图，有n个结点的无向图G存储在矩中，并且满足：R[i,i]=0, R[i,j]=1(当结点i和结点j之间有一阵R

n×n

条边)，R[i,j]=∞(当结点i和结点j之间不存在边)。从矩阵的第一行开始逐行扫描矩阵各行，在每一行中找两个为1的元素，假设当前扫描到第i行,若R[i,j]=1且 R[i,k]=1，则检查矩阵中 R[j,k]是否为1，若成立则接受，否则继续搜索。

证明：以算法D实现这一思路。

D=“对输入

1）计算R的结点数n。若n≤2，则拒绝。否则转2）

2）For i=1 to n

3）For j=i+1 to n

4）若R[i,j]=1 则

5）For k=j+1 to n

6）若R[i,k]=1 则检查矩阵中R[j,k]是否为1，若是则接受

7）若i,j,k同时为n，则拒绝。”

分析D，每一步都是在多项式时间内运行，步骤2最多运行n次，步骤2

每运行一次步骤3最多运行n-i次,步骤3每运行一次步骤4最多运行n-j 次。所以总计D执行O(n3)步。

证明：构造NTM如下：

N=“对于输入，

1)比较G与H节点数，若不相同，则拒绝。

2)非确定地对G的节点进行重排。

3)若G和H完全相同，则接受。否则拒绝”

N有n！个计算分支，每个长度为n，则此NTM有多项式时间，所以ISO∈NP。证明MODEXP P。

设二进制整数b= k

m k

m-1

…k

1

k

，则b=k

20+k

1

21+k

2

22+…+k

m

2m(k

i

=0,1)。构造

判定MODEXP的图灵机如下：

M=“对于输入，a,b,c,p为二进制整数，

(1)以k

0,k

1

,…,k

n

记b的从低位到高位的1至n+1位。

(2)令d

0=a，对于i=1,2,…,n计算d

i

=d

i-1

×d

i-1

mod p。

(3)对于i=0,1,…,n，若k

i =1，则令c

i

=d

i

；若k

i

=0，则令c

i

=1。

(4)计算e=c

0×c

1

×…×c

n

mod p。

(5)若e=c mod p，则接受，否则拒绝。”

设对于两个n位二进制整数，相乘再模一个至多n位的二进制整数，需要运行的时间为T。则第二步的时间为nT，第四步为nT，所以总的运行时间为O(nT)。这意味着MODEXP∈P。

证明P在星号运算下封闭。

证明：设M为判定A的时间f(n)图灵机，不妨设f(n)n。设计如下TM：

D=“对于输入y=y

1y

2

…y

n

，

1)若y=ε，则接受；

2)对于i,j＝1,2,…,n重复(3)。

3)在y

i y

i+1

…y

j

上运行M。若接受，则令T(i, j)=“yes”。

4)重复下面步骤直到表T不再改变。

5)对于i,j＝1,2,…,n重复下面步骤。

6)若T(i,j)=“yes”，转(5)。否则继续。

7)对于k = i,i+1,…,j-1,若T(i,k)=T(k+1,j)=“yes”,则令T(i,j)=

“yes”。

8)若T(1, n)=yes，则接受；否则拒绝。

运行时间：设O(n2f(n))+O(n3)＝O(n2f(n))。

证明NP在星号运算下封闭。

证明：设M为判定A的时间f(n)非确定图灵机，不妨设f(n)n。设计如下NTM：

D=“对于输入y=y

1y

2

…y

n

，

1)若y=ε，则接受；

2)非确定地选择y的一个划分y=x

1x

2

…x

k

，其中是x

1

,x

2

,…,x

k

字符串。

3)对于i=1,2,…,k，重复下一步骤：

4)在x

i

上运行M，若M拒绝，则拒绝。

5)若都接受，则接受。”

以下略。若有兴趣讨论，可与刘庆晖)联系。