概率论第四章-习题解答

第四章随机变量的数字特征

I 教学基本要求

1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；

2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差；

3、了解切比雪夫不等式及应用；

4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念；

5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理；

6、了解林德伯格－列维中心极限定理、棣莫弗―拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用.

II 习题解答

A 组

1、离散型随机变量X 的概率分布为

求()E X 、(35)E X +、2

()E X ？

解：()(2)0.4000.3020.300.2E X =-?+?+?=-；

(35)3()5 4.4E X E X +=+=；

2222()(2)0.4000.3020.30 1.8E X =-?+?+?=.

2、某产品表面瑕疵点数服从参数0.8λ=的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元.求产品的平均价值？

解：设X 为产品价格，则0X =、8、10.通过查泊松分布表可知其相应概率分布为

则()80.1898100.80889.61E X =?+?≈(元).

3、设随机变量X 的分布函数为0

0()/40414x F x x x x ≤??

=<≤??>?

.求()E X ？

解：由分布函数知X 的密度函数为

1/404

()0

x f x <≤?=?

?其它则4

()()24

E X xf x dx dx +∞

-∞

==?

. 4、设随机变量X 服从几何分布，即1

()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k =L ，其中

01p <<是常数.求()E X ？

解：1

()(1)

(1)k k k k E X kp p p k p +∞

+∞

--===

-=-∑∑

由级数

1123(1)

k x x kx x -=+++++-L L (||1)x <，知 211

()[1(1)]E X p p p

=--.

5、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，即

()!

p X k e k λλ-==

(0,1,2,)k =L

求()E X 、2

()E X ？

解：1

()!(1)!k

k k k E X k e

e e k k λ

λλλλλλλ-+∞

+∞

---

===

===-∑∑；

010

(1)()[]!

(1)!!k

k k k k k k k E X k

e e k k k λ

λλλλλ-+∞

+∞

---===+===-∑∑∑

[]()(1)!

k k

k k e e e e k k λ

λλλλλλλλλλλ-+∞

+∞

--===+=+=+-∑

∑

6、某工程队完成某项工程的时间X (单位:月)服从下述分布

(1) 求该工程队完成此项工程的平均时间；

(2) 设该工程队获利50(13)Y X =-(万元).求平均利润？解：(1) ()100.4110.3120.2130.111E X =?+?+?+?=(月)；

(2) ()[50(13)]65050()100E Y E X E X =-=-?=(万元). 7、若随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，即

1()a x b

f x b a

?≤≤?=-???其它

求()E X 、2

()E X ？

解：()()2

x a b

E X xf x dx dx b a +∞

-∞

； 222

()()3

x a ab b E X x f x dx dx b a +∞

-∞

++===-?

. 8、若随机变量X 服从参数为λ的指数分布，即

()0

e x

f x x λλ-?>=?

≤?０

求()E X 、2

()E X ？

解：0

()()x

x E X xf x dx x e

dx xde λλλ+∞

+∞

---∞

==-?

x xe e dx λλλ

+∞

+∞--=-+=

?；

222

()()2x

x x E X x f x dx x e

dx x e

xe dx λλλλλ+∞

+∞+∞

+∞

----∞

===-+=

9、离散型随机变量X 的概率分布为

求()E X 、[ln(2)]E X +？

解：34519()0261212126

E X =?

+?+?=； 34513

[ln(2)]ln(02)ln(22)ln(62)ln 21212126

E X +=+?++

?++?=.

10、设2

~(,)X N μσ，求(||)E X μ-？

解：22

()2(||)||x E X x e

dx μσμμ--

+∞

-∞

-=-

令x t μ

，由偶函数性质有

(||)()2t t E X e d μ+∞

--==.

11、设某商品需求量(10,30)X U :，销售商进货量n 在(10，30)之间，是一个整数.每销售一件商品获利500(元)，若供小于求，每件产品亏损100(元).若供大于求，则从外地调运，每件商品可获利300(元).为使利润期望值不少于9280(元)，进货量最少应为多少?

解：按题意利润Y 与X 、n 的关系为

500300()1030

500100()1030

n X n n X Y X n X X n +-≤<≤?=?

--≤<≤? 则利润平均值为

101()[[500100()][500300()]20n

n E Y X n X dx n X n dx =--++-??

27.53505250n n =-++

由题意知

27.535052509280n n -++≥

解得

263

n ≤≤，则最少进货量为21. 12、某保险公司规定，如果一年内顾客投保事件A 发生，则赔偿顾客a 元.以往资料表明事件A 发生的概率为p .为使公司收益期望值为0.1a ，则应向顾客收取都少保费?

解：设应向顾客收取x 元保费，公司的收益为Y 元.则

按题意()(1)()0.1E Y x p x a p a =-+-= 解得0.1x ap a =+.

13、设随机变量X 的密度函数为1cos

0()22

x x f x π

?≤≤?=???其它

.对X 进行独立重复观测

4次，Y 表示观测值大于/3π的次数，求2

Y 的数学期望？

解：显然~(4,)Y b p ，其中p 是(/3)X π>的概率，故

1()cos 0.53

p p X dx π

==? 所以

44()0.50.5k

k k p Y k C -==? (0,1,2,3,4)k =

则有

2440()0.50.55k k k k E Y k C -==?=∑.

14、设随机变量X 、Y 相互独立，且都服从标准正态分布.

求Z =的数学期

望？

解：由题意知X 、Y 的联合密度函数为

222

1(,)2x y f x y e

-= 于是

222

()(,)2x

y E Z x y dxdy dxdy π

++∞

+∞--∞

-∞

令cos x r θ=、sin y r θ=得

2220

()2r r E Z r e drd r e dr πθπ

+∞

--=

?15、已知(,)X Y 的分布如下，令max{,}Z X Y =，求()E Z ？

解：由题设可得Z 的分布为

()00.0250.25100.52150.219.6E Z =?+?+?+?=.

16、设(,)X Y 的联合密度函数为

1201

(,)0

y y x f x y ?≤≤≤=?

?其它

求()E X 、()E Y 、()E XY 、22

()E X Y +？

解：120

4()(,)125

E X xf x y dxdy dx xy dy +∞+∞

-∞-∞

??； 13

003()(,)125

x E Y yf x y dxdy dx y dy +∞

+∞

-∞-∞===?

???； 13001

()(,)122

x E XY xyf x y dxdy dx xy dy +∞+∞-∞-∞===????；

122222220

()()(,)()15

E X Y x y f x y dxdy dx x y y dy +∞

+∞

-∞

+=+=+=

??. 17、设随机变量(,)X Y 的密度函数为

()02,02

(,)8

x y x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其它求()E X ？

解：2

()(,)()88

x E X xf x y dxdy x y dxdy +∞+∞

-∞

=+=??

. 18、甲乙二人相约在12:00~13:00之间会面，设X 、Y 分别表示甲乙到达时间，且相互独立.已知X 、Y 的密度函数为

301

()0

x x f x ?<<=?

?其它

、201

()0

y y f y <

?其它求先到达者需要等待时间的数学期望？

解：等待时间可以表示为||X Y -，由于X 、Y 的联合密度函数为

2601,01

(,)0

x y x y f x y ?<<<<=??其它

11200

(||)||6E X Y x y x ydxdy ?-=-?

200

()6()|64

x y x ydydx y x x ydxdy =-+-=?

19、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2

y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，求数学期望()E X 、()E Y ？

解：设(,)X Y 的联合密度函数为(,)(,)0(,)c x y G

f x y x y G

∈?=?

??，由密度函数性质解出

9/2c =.下面分别求出边沿密度函数

当12x -≤≤时，有2

222

()(2)99

x X x f x dy x x +=

=+-?

，故此 2

2(2)12

()9

0X x x x f x ?+--≤≤?=???

其它当01y ≤≤

时，有()Y f y =

当14y <≤

时，有222

()(2)99

Y y f y dx y -==+，所以

012

()(2)

149

0Y y f y y y ?

≤≤???=+<≤???

其它

从而2

121()()(2)92

X E X xf x dx x x x dx +∞

-∞-=

=+-=??

；

1401428

()()(2)995

Y E Y yf y dy y y dy +∞-∞==+=???.

20、离散型随机变量X 的概率分布为

求()D X ？

解：由题意易知()0.2E X =-、2

() 1.8E X =，所以

22()()[()] 1.80.04 1.76D X E X E X =-=-=.

21、设随机变量X 的分布函数为0

0()/40414x F x x x x ≤??

=<≤??>?

.求()D X ？

解：由题意易知X 的密度函数为1/404

()0x f x <≤?=?

其它，且()2E X =，则

(2)4()(())()43

x D X x E X f x dx dx +∞

-∞

-=-==??

. 22、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求()D X ？解：由题意易知()E X λ=、2

()E X λλ=+，故

22()()[()]D X E X E X λ=-=.

23、设随机变量(,)X Y 的密度函数为

()02,02

(,)8

x y x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其它求()D X ？

解：由题意易知7

()8

E X =

，故 222

2001711

()[()](,)()()8636

D X x

E X f x y dxdy x x y dxdy +∞

+∞

-∞

=-=-+=?

???. 24、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2

y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，求方差()D X 、()D Y ？

解：由题意易知

2(2)12

()9

0X x x x f x ?+--≤≤?=???其它

、012()(2)1490Y y f y y y ?

≤≤???=+<≤?????其它

1()2E X =

、8()5

E Y = 2

2222127

()()(2)910X E X x f x dx x x x dx +∞

-∞-==+-=?

14222014247

()()(2)9914

Y E Y y f y dy y y y dy +∞-∞==+=

??? 229()()[()]20D X E X E X =-=； 22279

()()[()]350D Y E Y E Y =-=.

25、设10只同种元件中由2只是坏的，装配仪器时，从中任取1只，如果是不合格品，则扔掉后重取1只，求取出合格品前取出次品数的方差？

解：设X 表示取出合格品前已取出次品的数目，则

故

2()9E X =

、2

4()15

E X = 所以

2288

()()[()]405

D X

E X E X =-=

. 26、设随机变量X 的密度函数为||

1()2

x f x e -=.求()E X 、()D X ？解：||1

()()02

x E X xf x dx x e dx +∞

+∞

--∞

-∞

==?

； 222||2011

()(())()222

x x D X E X E X x f x dx x e dx x e dx +∞

+∞+∞---∞

-∞

=-====?

27、设X 为随机变量，证明:对任意常数C ，有2

()()D X E X C ≤-，当()C E X =时等号成立.

证明：2

()(2)()2()E X C E X CX C E X CE X C -=-+=-+

22222()[()]{[()]2())}()[()]E X E X E X CE X C D X E X C =-+-+=+-

由于2

[()]E X C -非负，从而有2

()()

D X

E X C ≤-，且当()C E X =时

2()()D X E X C =-.

28、设U 服从(-2，2)上的均匀分布，定义X 、Y 如下

1111U X U -<-?=?

>-?、11

11U Y U -?

求()D X Y +？

解：先求X Y +的分布

(2)(1,1)(1,1)(1)1/4p X Y p X Y p U U p U +=-==-=-=<-<=<-= (2)(1,1)(1,1)(1)1/4p X Y p X Y p U U p U +=====≥-≥=≥= (0)1(2)(2)1/2p X Y p X Y p X Y +==-+=-+=-=

所以()0E X Y +=，从而

2()()2D X Y E X Y +=+=.

29、已知()750E X =、2

()15D X =.请估计概率(700800)p X <<？解：由切比雪夫不等式有

215(700800)(|750|50)10.9150

p X p X <<=-<≥-≈.

30、设()2E X =-、()1D X =、()2E Y =、()4D Y =、0.5XY ρ=-，利用由切比雪夫不等式估计概率(||6)p X Y +≥的上限？

解：因为()0E X Y +=、()()()2(,)3D X Y D X D Y Cov X Y +=++=，所以

()1

(||6)(|()()|6)612

D X Y p X Y p X Y

E X Y ++≥=+-+≥≤

=. 31、设()4D X =、()9D Y =、0.5XY ρ=，求(23)D X Y -？

解：(,)3XY Cov X Y =

(23)4()9()2(2,3)16813661D X Y D X D Y Cov X Y -=++-=+-=.

32、设(,)X Y 的联合密度函数为

1201

(,)0

y y x f x y ?≤≤≤=?

?其它

求(,)Cov X Y ？

解：由题意易知4()5E X =

、3()5E Y =、1

()2

E XY =，故 1431

(,)()()()25550

Cov X Y E XY E X E Y ?=-=-=

?. 33、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2

y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，求协方差(,)Cov X Y 与相关系数XY ρ？

解：由题意易知

1()2E X =

、8()5E Y =、9()20D X =、279()350

D Y = 2221225

()994x x G

E XY xy dxdy xdx ydy +-===????

所以

(,)()()()20

Cov X Y E XY E X E Y =-=

； 0.751

XY ρ=

≈.

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案一、单选题 1. 在下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（）成立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（）．

概率论与数理统计第四章习题及答案

概率论与数理统计习题第四章随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）. 解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ P =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)] 查二项分布表 1－=. 因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=??? ? ??04×× =. P (X =1)=???? ??14××=, P (X =2)= ???? ??24××=. P (X =3)=???? ??34××=, P (X =4)= ??? ? ??44××=. 从而 E (X )=np =4×= 习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==???? ??-=+j j X P j j j ,说明X 的数学期望不存在. 解：由于 1 11 1133322(1) ((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞ ∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数1 12j j ∞ =∑发散，故级数1 11 33(1) ((1))j j j j j P X j j ∞ ++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X -2 0 2 k p 求)53(),(),(2 2 +X E X E X E . 解 E (X )=(-2)+0+2= 由关于随机变量函数的数学期望的定理，知 E (X 2)=(-2)2+02+22= E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[3 22 +5] = 如利用数学期望的性质，则有 E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=

概率统计试题库及答案

、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为，事件“A 、B 、 C 都发生”可表示为， 5、设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三个事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现；至少有一个事件出现；至少有两个事件出现。（ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、以 A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销 ”，则其对立事件 A 表示。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3），试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否。（0，不成立） 14、设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ）。（0.7） 15、设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3，概率论与数理统计试题库不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ）；三个事件恰有一个发生为 ABC; ABC ABC ABC ）。；三个事件至少有一个发生为事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ）三个元件都正常工作；恰有一个元件不正常工作至少有一个元件正常工作。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）

概率论第4章习题参考解答

概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为 =??==733 103.07.0}3{C P ξ0.0090 至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为 =??-=<-=≥∑=-2 010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ0.9984 因np +p =10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为 =??=≤∑=-2 0101099.001.0}2{i i i i C P ξ0.9999 3. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此 2061.02.08.0}18{}15 270 {}27015{}270{20 18 2020=??==≥=≥ =≥=≥∑=-i i i i C P P P P ξξξη 4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此 ∑=-??=≤=≤=≤3 20209.01.0}3{}15.020 { }15.0{i i i i C P P P ξξ η=0.867 5. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20 件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率 } 2{} 23{}2|3{≥≥?≥= ≥≥ξξξξξP P P 因事件}3{}2{≥?≥ξξ, 因此2}23{≥=≥?≥ξξξ 因此

概率论习题第三章答案

第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。）（解：)0(1)()4(); (1)()3(); 0()(P 2); ()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 211 F(x)+=就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果在其它场合恰当定义。在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在），（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ???≥<<∞=01 0)()(~x x X F x F －则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为 []。，）；（，）；（，）（?? ??????????πππ230302201 解:(1)当?? ????∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=?πxdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分布密度; (2) 因为12sin 0≠=?πxdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ?????? ∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有

概率论与数理统计练习题1

《概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或× 1．是取自总体的样本，则服从分布； 2．设随机向量的联合分布函数为，其边缘分布函数是； 3．设，，，则表示； 4．若事件与互斥，则与一定相互独立； 5．对于任意两个事件，必有； 6．设表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．为两个事件，则； 8．已知随机变量与相互独立，，则； 9．设总体， ,,是来自于总体的样本，则是的无偏估计量； 10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。二、填空题 1．设是3个随机事件，则事件“和都发生而不发生”用表示为；2．设随机变量服从二项分布，则； 3．是分布的密度函数； 4．若事件相互独立，且，，，则= ； 5．设随机变量的概率分布为 -4-1024 则； 6．设随机变量的概率分布为 012 0.50.30.2

则的概率分布为 7．若随机变量与相互独立，，则； 8．设与是未知参数的两个估计，且对任意的满足，则称比有效；9．设是从正态总体抽得的简单随机样本，已知，现检验假设，则当时，服从； 10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平（），则犯第一类错误的概率是。三、计算题 1.已知随机事件的概率，事件的概率，条件概率，试求事件的概率。 2.设随机变量，且，试求，。 3.已知连续型随机变量，试求它的密度函数。 4.已知一元线性回归直线方程为，且，，试求。 5.设总体的概率密度为式中>－1是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，用最大似然估计法求的估计量。 6.设是取自正态总体的一个样本，其中未知。已知估计量是的无偏估计量，试求常数。 7.设有10个零件，其中2个是次品，任取2个，试求至少有1个是正品的概率。四、证明题 1.设二维连续型随机向量的联合密度函数为证明:与相互独立。 2. 1．若事件与相互独立，则与也相互独立。 2．若事件，则。

第一章概率论习题解答附件

教案概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、 3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件：（1）只击中第一枪；（2）只击中一枪；（3）三枪都没击中；（4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。（2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值：（１）A 与B 互斥；（２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1）因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21 （2）因为；B A ?所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -= 6 13121=-

概率论与数理统计习题及答案第三章

习题3-1 1. 而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律. 解由12 {0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律

(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1和X 2 不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解从7只球中取4球只有354 7 =C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红球有j 只(余下为白球4i j -- 只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1{0,2}35 35 P X Y C C C ====,111322 6{1,1}35 35 P X Y C C C ====, 121322 6 {1,2}35 35 P X Y C C C ====,202322 3 {2,0}35 35 P X Y C C C ==== , 211 322 12{2,1}35 35P X Y C C C ==== ,220 322 3{2,2}35 35P X Y C C C === = , 301 322 2 {3,0}3535P X Y C C C === =, 310 322 2 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<<

概率论(计算)习题

概率论计算： 1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1) 45 2897108)1|2()1()21(=?==A A P A P A A P (2) 45 191102)1|2()1()2,1(=?= =A A P A P A A P (3) 45 169810292108)1|2()1()1|2()1() 21()21(=???=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4) 5 19110292108)1|2()1()1|2()1() 2(=???=+=A A P A P A A P A P A P 2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。（1）由全概率公式 0125 .003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|() 2()1|()1()(=?+?+?=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式 24 .00125.002.015.0) () 1|()1()|1(=?== A P B A P B P A B P 3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。解：由等可能概型有：（1）12110 25== C C P ; （2） 1 10 24 ==C C P 4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型 5336 1224== C C C P 5．设随机变量X 具有概率密度???? ?≤>-=0, 00 , 3)(x x x ke x f 。（1）确定常数k ；（2）求P （X>0.1）解：（1）由1)(=∞ -+∞ ?dx x f 有33 3303301==-+∞ =-+∞-??k k x d x e k dx x ke 所以（2） 7408 .0331 .0)1.0(=-+∞=>? dx x e x P 6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t ，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？解：由题意，以X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是（1） 0729.039.021.025 )2(===C X P （2） 9995 .051.0559.041.045[1)]5()4([1) 3(1)3()2()1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P

概率论与数理统计习题及答案__第一章

《概率论与数理统计》习题及答案第一章 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， A =‘甲盒中至少有一球’ ；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不少于3台’ 。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论套练习题及答案

《概率论与数理统计》同步练习册学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿＿＿班级＿＿＿＿＿＿＿＿

省电子技术学校继续教育部二O一O年四月

练习一一、选择题 1．设A，B，C表示三个随机事件，则A B C表示（A）A，B，C中至少有一个发生；（B）A，B，C都同时发生；（C）A，B，C中至少有两个发生；（D）A，B，C都不发生。2．已知事件A，B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.8，则P（A B）＝ (A) 0.65 ; (B) 1.3; (C)0.9; (D)0.3。3．设X～B（n，p），则有（A）E（2X－1）＝2np；（B）E（2X＋1）＝4np＋1；（C）D（2X＋1）＝4np（1－p）＋1；（D）D（2X－1）＝4np（1－p）。4．X的概率函数表（分布律）是 xi －1 0 1 pi 1/ 4 a 5/12 则a＝（）（A）1/3；（B）0；（C）5/12；（D）1/4。5．常见随机变量的分布中，数学期望和差一定相等的分布是（A）二项分布；（B）标准正态分布；（C）指数分布；（D）泊松分布。二、填空题 6．已知:A={x|x<3} ,B={x|2

7．已知电路由电池A 与两个并联电池B 和C 串联而成，各电池工作与否相互独立。设电池A ，B ，C 损坏的概率均为0.2。则整个电路断电的概率是______________________. 三、证明题 8. 设随机变数ξ具有对称的分布密度函数)(x p ，即),()(x p x p -=证明：对任意的,0>a 有（1）-= -=-2 1)(1)(a F a F ? a dx x p 0 )(；（2）P （1 )(2)-=ξ。