2018年4月浙江省高中学业水平考试数学试题

2018年4月浙江省学业水平考试

数学试题

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符

合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）

1. 已知集合{}10<≤=x x P ，{}

32≤≤=x x Q .记Q P M =，则 A .{}M ?2,1,0 B .{}M ?3,1,0 C .{}M ?3,2,0 D .{}M ?3,2,1 2. 函数x

x x f 1

)(+

=

的定义域是 A .{}0>x x B .{}0≥x x C .{}

0≠x x D .R 3. 将不等式组?

?

?≥-+≥+-01,

01y x y x 表示的平面区域记为Ω，则属于Ω的点是

A .)1,3(-

B .)3,1(-

C .)3,1(

D .)1,3( 4. 已知函数)3(log )3(log )(22x x x f -++=，则=)1(f

A .1

B .6log 2

C .3

D .9log 2

5. 双曲线13

2

2

=-y x 的渐近线方程为 A .x y 31±

= B .x y 3

3±= C .x y 3±= D .x y 3±= 6. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，直线C A 1与平面ABCD 所成角的余弦值是

A .31

B .33

C .32

D .3

6 7. 若锐角α满足5

3

)2πsin(=+α，则=αsin

A .

52 B .53 C .43 D .5

4

8．在三棱锥ABC O -中，若D 为BC 的中点，则= A .

OB OC OA -+2121 B . OC OB OA ++21

21 C .-+2121 D . ++2

1

21

9. 设{}n a ，{}n b )N (*

∈n 是公差均不为零的等差数列.下列数列中，不构成等差数列的是 A .{}n n b a ? B .{}n n b a + C .{}1++n n b a D .{}1+-n n b a

A

B

C D 1A

1D 1C 1B

（第6题图）

10.不等式1112<+--x x 的解集是 A . ?

?????<<-313x x B . ??????<<-

331

x x C . ?

?????>-<31,3x x x 或 D . ?

???

??>-<3,3

1x x x 或

11．用列表法将函数)(x f 表示为 ，则

A .)2(+x f 为奇函数

B . )2(+x f 为偶函数

C .)2(-x f 为奇函数

D . )2(-x f 为偶函数

12．如图，在直角坐标系xOy 中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD 分

割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD 的外接圆，四个小圆分 别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是 A .01222=++-+y x y x B .012222=+-++y x y x C .01222=-+-+y x y x D .012222=-+-+y x y x

13. 设a 为实数，则“21a

a >”是“a a 12

>”的

A .充分不必要条件

B . 必要不充分条件

C .充分必要条件

D . 既不充分也不必要条件

14. 在直角坐标系xOy 中，已知点)1,0(-A ，)0,2(B ，过A 的直线交x 轴于点)0,(a C ，若直

线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则=a A .

41 B .43 C .1 D .3

4

15. 甲、乙两个几何体的三视图分别如图①、图②所示，分别记它们的表面积为乙甲，S S ，体

积为乙甲，V V ，则

A .乙甲乙甲，V V S S >>

B . 乙甲乙甲，V V S S <>

C .乙甲乙甲，V V S S ><

D . 乙甲乙甲，V V S S

<<

15题图①）

侧视图

15题图②）

16．如图，F 为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的右焦点，过F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，点

B A ,分别为椭圆的右顶点和上顶点，O 为坐标原点.若△OAB 的面积是△OPF 面积的2

5

倍，则该椭圆的离心率是 A .52或53 B .51或5

4

C .

510或515 D .55或5

52 17．设a 为实数，若函数a x x x f +-=22)(有零点，

则函数)]([x f f y =零点的个数是

A .1或3

B . 2或3

C . 2或4

D .3或4 18．如图，设矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .

若3,1==BC AB ，1===EC FE AF ，则下列二面角的平面角的大小为定值的是

A . C A

B F -- B . D EF B --

C . C BF A --

D . D AF B --

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19. 已知函数1)3

π

2sin(2)(++

=x x f ，则)(x f 的最小正周期是 ▲ ，)(x f 的最大值是 ▲ .

20. 若平面向量,满足)6,1(2=+，)9,4(2-=+，则=? ▲ . 21. 在△ABC 中，已知2=AB ，3=AC ，则C cos 的取值范围是 ▲ . 22．若不等式02)(22

≥----a x a x x 对于任意R ∈x 恒成立，则实数a 的最小值是

▲ .

三、解答题（本大题共3小题，共31分.）

23. (本题满分10分)在等差数列{})N (*∈n a n 中，已知21=a ，65=a .

(Ⅰ)求{}n a 的公差d 及通项n a ；

（Ⅱ）记)N (2*∈=n b n a

n ，求数列{}n b 的前n 项和.

24. (本题满分10分) 如图，已知抛物线12

-=x y 与x 轴相交于点A ，B 两点，P 是该抛物

A

B

C

D

E

F

（第18题图）

（第16题图）

线上位于第一象限内的点.

(Ⅰ) 记直线PB PA ，的斜率分别为21,k k ，求证12k k -为定值；

（Ⅱ）过点A 作PB AD ⊥，垂足为D .若D 关于x 轴的对称点恰好在直线PA 上，求△

PAD 的面积.

25. (本题满分11分) 如图，在直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(A ，)3,1(B ，直线t x =

)20(<

)(t f ，Ω各边长的倒数和为)(t g .

(Ⅰ) 分别求函数)(t f 和)(t g 的解析式；

（Ⅱ）是否存在区间),(b a ，使得函数)(t f 和)(t g 在该区间上均单调递减？若存在，求

a b - 的最大值；若不存在，说明理由.

(第25题图)

x

y

O A

B

P

D

（第题图）

2018年4月浙江省学业水平考试

数学试题答案

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19．

π，3 20. 2- 21.)1,3

5

[

22. 3 三、解答题（本大题共3小题，共31分.） 23．解：（Ⅰ）因为d a a 415+=，将21=a ，65=a 代入，解得数列{}n a 的公差1=d ； 通项1)1(1+=-+=n d n a a n . （Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项n a 代入 122

+==n a n n

b .

由此可知{}n b 是等比数列，其中首项41=b ，公比2=q .

所以数列{}n b 的前n 项和421)1(21-=--=+n n n q

q b S

24. 解：（Ⅰ）由题意得点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B .

设点P 的坐标为)1,(2

-t t P ，且1>t ，则

11121-=+-=

t t t k ，11

1

22+=--=t t t k ， 所以212=-k k 为定值.

（Ⅱ）由直线AD PA ,的位置关系知 t k k AD -=-=11.

因为PB AD ⊥，所以 1)1)(1(2-=+-=?t t k k AD ， 解得 2±=t .因为P 是第一象限内的点，所以2=

t .

得点P 的坐标为)1,2(P . 联立直线PB 与AD 的方程 ??

?+-=-+=),

1)(21(,)1)(21(x y x y 解得点D 的坐标为)2

2,22(

-D . 所以△PAD 的面积2

2

121+=-??=D P y y AB S .

25.解：（Ⅰ）当10≤

当21<

所以，???<<+-≤<=,21,20208,

10,8)(22t t t t t t f

???

????<<+-+-+≤<+=.21,21)1(21)2(311,10,1)3323()(t t t t t t

t g

（Ⅱ）由（Ⅰ）中)(t f 的解析式可知，函数)(t f 的单调递减区间是)4

5

,1(，所以 )4

5,1(),(?b a .

另一方面，任取)4

5,1(,21∈t t ，且21t t <，则

)()(21t g t g -])

2)(2(31)1)(1(211)[(21212112t t t t t t t t -----+-=. 由 45121<<

1

)1)(1(2021<--

16

3

9)2)(2(321>--t t .从而<--<)1)(1(2021t t )2)(2(321t t --,

即 0)

2)(2(31

)1)(1(212121>-----t t t t

所以 0)()(21>-t g t g ，得)(t g 在区间)4

5

,1(上也单调递减.证得

)4

5

,1(),(=b a .

所以，存在区间)45

,1(，使得函数)(t f 和)(t g 在该区间上均单调递减，且

a b -的最大值为4

1

.

(第25题图②)