四边形证明题及综合题
四边形证明题及综合题
1、已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，∠BAE =∠DAF ． （1）求证：BE = DF ；
（2）联结AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，联结EM 、FM ．
求证：四边形AEMF 是菱形．
2、如图8，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥， E 、G 分别是AB 、CD 的中点，点F 在
边BC 上，且)(21
BC AD BF +=． （1）求证：四边形AEFG 是平行四边形； （2）联结AF ,若AG 平分FAD ∠，
求证：四边形AEFG 是矩形．
3、如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =AB =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE=CF ，AF 、BE 交于点P 。
（1）求证：AF=BE ；
（2）请猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论。
4、如图，在矩形ABCD 中，BM ⊥AC ，DN ⊥AC ，M 、N 是垂足.
（1）求证：AN =CM ；
（2）如果AN =MN =2，求矩形ABCD 的面积.
A D
B
E
F O C
M
第1题图
B E
A D G
C F
（第2题图）
5.如图.在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点E 为线段BC 延长线上的一点，
且BC CE 2
1
=
.过点E 作EF ∥CA ，交CD 于点F ，联结OF . （1）求证：OF ∥BC ；
（2）如果梯形OBEF 是等腰梯形，判断四边形ABCD 的形状，
并给出证明.
6、如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD
的中点，DE 与CF 相交于G ，DE 、CB 的延长线相交于点H ，点M 是CG 的中点． 求证：（1）BM//GH ；
（2）BM ⊥CF ．
7．已知：如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAD ，交BF 于点C ，BD 平分∠ABC ，交AE 于点D ，联结CD .求证：四边形ABCD 是菱形．
8．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，DE 与CF 相交于G ，
DE 、CB 的延长线相交于点H ，点M 是CG 的中点.
求证：（1）//BM GH (2)BM CF ⊥
A B
（图5）
D
C
O
E
F
（第6题）
F
O E
D
C B
A
第21题图
9．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，点E 、F 在边BC 上，BE =CF ，
EF =AD ．
求证：四边形AEFD 是矩形．
10．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边ABCD 的中点，BD 是对角线，过A 点作AG //DB 交CB 的延长线于点G ．
（1）求证：DE ∥BF ；
（2）若∠G ＝90 ，求证：四边形DEBF 是菱形．
11．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =2AD ，AC ⊥AB ，点E 是AC 的中点，DE
的延长线与边BC 相交于点F ．
求证：四边形AFCD 是菱形．
12．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）
已知：如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，点E 、F 在边BC 上，DE // AB ，A F // CD ，且四边形AEFD 是平行四边形．
（1）试判断线段AD 与BC 的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）现有三个论断：①AD = AB ；②∠B +∠C = 90°；③∠B = 2∠C ．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD 是菱形．
A E F C D （第9题） A
B
D G
E
F （第11题图）
A
B
F
C
D E A
B
D
C
E
F
（第12题图）
（第27题图）
P
N
M D
C
B
A
13．已知：如图，矩形纸片ABCD 的边AD =3，CD =2，点P 是边CD 上的一个动点（不与点C 重合，把这张矩形纸片折叠，使点B 落在点P 的位置上，折痕交边AD 与点M ，折痕交边BC 于点N .
（1）写出图中的全等三角形. 设CP =x ，AM =y ，写出y 与x 的函数关系式；
（2）试判断∠BMP 是否可能等于90°. 如果可能，请求出此时CP 的长；如果不可能，请说明理由.
14、已知边长为1的正方形ABCD 中， P 是对角线AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合）， 过点P 作 PE ⊥PB ，PE 交射线DC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F . （1）当点E 落在线段CD 上时（如图10），
① 求证：PB=PE ；
② 在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值， 若变化，试说明理由；
（2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断
上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；
（3）在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能，试求出AP 的长，如果
不能，试说明理由．
D C
B
A
E P 。
F
（图1）
D
C
A （备用图）
15
、如图，直线y =+与x 轴相交于点A
，与直线y =相交于点P . (1) 求点P 的坐标.
(2) 请判断△OPA 的形状并说明理由.
(3) 动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O P A →→的路线向点A 匀速运
动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF x ⊥轴于F ，EB y ⊥轴于B .设运动
t 秒时，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S .求S 与t 之间的函数关系式
.
16．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，ο90=∠A ，ο45=∠C ，4==AD AB ．E 是直线AD 上一点，联结BE ，过点E 作BE EF ⊥交直线CD 于点F ．联结BF ． （1）若点E 是线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），（如图1所示）
①求证：EF BE =．
②设x DE =，△BEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域． （2）直线AD 上是否存在一点E ，使△BEF 是△ABE 面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由．
（第3题图1）
F
E
D
C
B
A
（第3题备用图） D
C
B
A
17．已知： O 为正方形ABCD 对角线的交点，点E 在边CB 的延长线上，联结EO ，OF ⊥OE 交BA 延长线于点F ，联结EF （如图4）。 （1） 求证：EO =FO ；
（2） 若正方形的边长为2， OE =2OA ，求BE 的长；
（3） 当OE =2OA 时，将△FOE 绕点O
猜想并证明△AOE 1是什么三角形。
18．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题3分）
如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 的延长线上，且EA ⊥CF ，垂足为H ，
AE 与CD 相交于点G ．
（1）求证：AG =CF ；
（2）当点G 为CD 的中点时（如图1），求证：FC =FE ；
（3）如果正方形ABCD 的边长为2，当EF =EC 时（如图2），求DG 的长．
图1
图2
A
B
C
D
E
F
H
G
A
B
C
D
E
F
H
G
答案
1．证明：（1）∵正方形ABCD ，∴AB=AD ，∠B =∠D =90°…………………………（2分）
∵∠BAE = ∠DAF
∴△ABE ≌△ADF ……………………………………………………………（1分） ∴BE = DF ……………………………………………………………………（2分） （2）∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠DAC ………………………………………（1分） ∵∠BAE =∠DAF ∴∠EAO =∠FAO ……………………………………（1分）
∵△ABE ≌△ADF ∴AE = AF …………………………………………（1分） ∴EO=FO ，AO ⊥EF …………………………………………………………（2分） ∵OM = OA ∴ 四边形AEMF 是平行四边形……………………………（1分） ∵AO ⊥EF ∴四边形AEMF 是菱形……………………………………（1分） 2．（1）证明：联结EG ，
∵ 梯形ABCD 中，AD BC ∥，且E 、G 分别是AB 、CD 的中点， ∴ EG //B C ，且)(2
1
BC AD EG +=，…………………………（2分） 又∵)(2
1
BC AD BF +=
∴ EG =BF ．……………………………………………………（1分） ∴ 四边形AEFG 是平行四边形．…………………（2分）
（2）证明：设AF 与EG 交于点O ， ∵ EG //AD ，∴∠DAG =∠AGE
∵AG 平分FAD ∠，∴∠DAG =∠GAO ∴∠GAO =∠AGE
∴ AO=GO ．………………………………（2分）
∵四边形AEFG 是平行四边形，
∴ AF =EG ，四边形AEFG 是矩形…………………………（2分）
3．证明：（1）∵梯形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC
∴ ∠BAE=∠ADF ………………………………………………（1分）
∵AD = DC ∴ AE=DF …………………………………………（1分）
∵BA=AD ∴△BAE ≌△ADF ， …………………………………（1分） ∴BE=AF ． …………………………………………………………（1分） （2）猜想∠BPF=120°．……………………………………………………（1分）
∵由（1）知△BAE ≌△ADF ，∴∠ABE=∠DAF ．…………………（1分） ∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE ．……………………………………（1分） 而AD ∥BC ，∠C=∠ABC=60°，∴=120°．
∴∠BPF=∠BAE =120°．………………………………………………（1分）
4、证：（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，AD =BC . ∴∠DAC =∠BCA .
又∵DN ⊥AC ，BM ⊥AC ，
∴∠DNA =∠BMC .
∴⊿DAN ≌⊿BCM , ---------------------------------------------------（3分）
∴AN =CM . ---------------------------------------------------------------（1分） （2）联结BD 交AC 于点O ， ∵AN = NM =2,
∴AC = BD =6,
又∵四边形ABCD 是矩形， ∴AO =DO =3，
在⊿ODN 中，OD =3，ON =1，∠OND =?90,
∴DN =2222=-ON OD ,--------------------------------------（2分） ∴矩形ABCD 的面积=212=?DN AC .-----------------------（1分）
5.解：（1）方法1：延长EF 交AD 于G （如图1）.……………1分 在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AD =. ∵EF ∥CA ，EG ∥CA ， ∴四边形ACEG 是平行四边形. ∴ CE AG =.……………1分
又∵BC CE 2
1
=，BC AD =，
∴ GD AD BC CE AG ====2
1
21.……………1分
∵AD ∥BC ，∴ECF ADC ∠=∠. 在CEF △和DGF △中，
∵DFG CFE ∠=∠，ECF ADC ∠=∠，DG CE =，
∴CEF △≌DGF △（A.A.S ）. ∴DF CE =.…………………1分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD OB =.
∴OF ∥BE . ………………1分 方法2：将线段BC 的中点记为G ，联结OG （如图2）. ………………1分
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD OB =.
∴OG ∥CD . …………1分 ∴FCE OGC ∠=∠.
∵EF ∥CA ，∴FEC OCG ∠=∠.
∵BC GC 21=，BC CE 2
1
=，
∴CE GC =.
A
B
（第5题图1）
D
C
O
E
F
G
A
B
（第5题图2）
D
C O
E
F
G
在OGC △和FCE △中，
∵FEC OCG ∠=∠，CE GC =，FCE OGC ∠=∠， ∴OGC △≌FCE △（A.S.A ）. …………………1分 ∴FC OG =. 又∵OG ∥CF ，
∴四边形OGCF 是平行四边形. …………………1分
∴OF ∥GC . …………………1分 其他方法，请参照上述标准酌情评分.
（2）如果梯形OBEF 是等腰梯形，那么四边形ABCD 是矩形. ……………1分 ∵OF ∥CE ，EF ∥CO ，∴四边形OCEF 是平行四边形. ∴OC EF =.……………1分
又∵梯形OBEF 是等腰梯形，∴EF BO =. ∴OC OB =.
（备注：使用方法2的同学也可能由OGC △≌FCE △找到解题方法；使用方法1的同学也可能由四边形ACEG 是平行四边形找到解题方法）. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OC AC 2=，BO BD 2=. ∴BD AC =.……………1分
∴平行四边形ABCD 是矩形. ……………1分
6．证明：（1）∵在正方形ABCD 中，AD //BC ，∴∠A =∠HBE ，∠ADE =∠H ，…（1分）
∵AE =BE ，∴△ADE ≌△BHE ．………………………………………（1分） ∴BH =AD =BC ．…………………………………………………………（1分） ∵CM =GM ，∴BM //GH ．………………………………………………（1分）
（2）∵在正方形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠A =∠ADC =90o，
又∵DF =
21AD ，AE =2
1
AB ，∴AE =DF ．∴△AED ≌△DFC ．………（1分） ∴∠ADE =∠DCF ．………………………………………………………（1分） ∵∠ADE +∠GDC =90o，∴∠DCF +∠GDC =90o．∴∠DGC =90o．…（1分） ∵BM //GH ，∴∠BMG =∠DGC =90o，即BM ⊥CF ．…………………（1分）
7、证明：∵AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC=∠CAD .
又 ∵AE ∥BF ， ∴∠BCA=∠CAD . --------------------------1分
∴∠BAC=∠BCA .
∴ AB=BC . --------------------1分 同理可证AB=AD .
∴ AD=BC . ----------------------1分 又 AD ∥BC ，
∴ 四边形ABCD 是平行四边形. -----1分 又AB=BC ，∴□ABCD 是菱形. -----1分 8. 证明：（1）∵正方形ABCD ∴90A EBH ∠=∠=?
AD BC =…………1′
∵E 是AB 的中点 ∴ AB BE =…………1′ ∵AED BEH ∠=∠
∴AED BEH ?V V …………1′
∴AD BH = ∴BC BH =…………1′ ∵M 是CG 的中点 ∴//BM GH …………1′
(2)证AED CDF ?V V …………1′ ∴ADE DCF ∠=∠ ∵90DCF CDE ∠+∠=? ∴90CGH ∠=? ………1′ ∵//BM GH ∴90CMB CGH ∠=∠=? ∴BM CF ⊥ …………1′
9．证法一： ∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，又∵EF =AD
∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………………………（1分） ∴AD //DF ，∴∠AEF =∠DFC ．………………………………………（1分）
∵AB =CD ，∴∠B =∠C ．………………………………………………（1分） 又∵BE =CF ，∴△ABE ≌△DCF ．……………………………………（1分） ∴∠AEB =∠DFC ，……………………………………………………（1分） ∴∠AEB =∠AEF ．………………………………………………………（1分） ∵∠AEB +∠AEF =180o，∴∠AEF =90o．……………………………（1分） ∴四边形AEFD 是矩形．………………………………………………（1分）
证法二： 联结AF 、DE ．…………………………………………………………（1分）
∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，又∵EF =AD ，
∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………………………（1分）
∵AB =CD ，∴∠B =∠C ．………………………………………………（1分） ∵BE =CF ，∴BE +EF =CF +EF ，即BF =CE ，…………………………（1分）
∴△ABF ≌△DCE ．……………………………………………………（1分） ∴AF =DE ，………………………………………………………………（2分） ∴四边形AEFD 是矩形．………………………………………………（1分）
10、证明：（1）∵□ABCD ，∴A B ∥CD ，AB ＝CD -----------------------------------1分 ∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝1
2
AB
∴DF ∥BE ，DF ＝BE ---------------------------------------------------------------------1分 ∴四边形DEBF 为平行四边形
∴DE ∥BF -----------------------------------------------------------------------------------1分 (2)证明：∵AG ∥BD ，∴∠G ＝∠DBC ＝90°，∴?DBC 为直角三角形---1分 又∵F 为边CD 的中点．∴BF ＝1
2DC ＝DF ------------------------------------------1分
又∵四边形DEBF 为平行四边形，∴四边形DEBF 是菱形----------------------1分 11．证明：∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，∴∠DAE =∠FAE ，∠ADE =∠CFE ．……（1分）
又∵AE =EC ，∴△ADE ≌△CFE ．…………………………………………（1分） ∴AD =FC ，…………………………………………………………………（1分） ∴四边形AFCD 是平行四边形．……………………………………………（1分）
∵BC =2AD ，∴FC =AD =2
1
BC ．……………………………………………（1分） ∵AC ⊥AB ，∴AF =
2
1
BC ．…………………………………………………（1分） ∴AF =FC ，……………………………………………………………………（1分） ∴四边形AFCD 是菱形．……………………………………………………（1分）
12．（1）解：线段AD 与BC 的长度之间的数量为：3BC AD =．…………………（1分）
证明：∵ AD // BC ，DE // AB ，∴ 四边形ABED 是平行四边形．
∴ AD = B E ．………………………………………………………（2分） 同理可证，四边形AFCD 是平行四边形．即得 AD = FC ．……（1分） 又∵ 四边形AEFD 是平行四边形，∴ AD = EF ．……………（1分） ∴ AD = BE = EF = FC ．
∴ 3BC AD =．……………………………………………………（1分）
（2）解：选择论断②作为条件．…………………………………………………（1分）
证明：∵ DE // AB ，∴ ∠B =∠DEC ．…………………………………（1分）
∵ ∠B +∠C = 90°，∴ ∠DEC +∠C = 90°． 即得 ∠EDC = 90°．………………………………………………（2分） 又∵ EF = FC ，∴ DF = EF ．……………………………………（1分） ∵ 四边形AEFD 是平行四边形，
∴ 四边形AEFD 是菱形．…………………………………………（1分）
13．（1） ⊿MBN ≌⊿MPN (1)
∵⊿MBN ≌⊿MPN ∴MB=MP, ∴22MP MB = ∵矩形ABCD
∴AD=CD (矩形的对边相等) ∴∠A=∠D=90°(矩形四个内角都是直角) ………………………………1 ∵AD=3, CD=2, CP=x, AM=y
∴DP=2-x, MD=3-y ………………………………1 Rt ⊿ABM 中，
42222+=+=y AB AM MB
同理 2
2
2
2
2
)2()3(x y PD MD MP -+-=+= (1)
222)2()3(4x y y -+-=+ (1)
∴ 6
942+-=
x x y ………………………………1 （3）?=∠90BMP ………………………………1 当?=∠90BMP 时，
可证DMP ABM ??? ………………………………1 ∴ AM=CP ，AB=DM
∴ 1,32=-=y y ………………………………1 ∴ 1,21=-=x x ………………………………1 ∴当CM=1时，?=∠90BMP
14．（1）① 证：过P 作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，交CD 于点N
∵正方形ABCD ，∴ PM=AM ，MN=AB ，
从而 MB=PN ………………………………（2分） ∴ △PMB ≌△PNE ，从而 PB=PE …………（2分） ② 解：PF 的长度不会发生变化，
设O 为AC 中点，联结PO ，
∵正方形ABCD ， ∴ BO ⊥AC ，…………（1分） 从而∠PBO =∠EPF ，……………………（1分） ∴ △POB ≌△PEF ， 从而 PF=BO 2
2=
…………（2分）
（2）图略，上述（1）中的结论仍然成立；…………（1分）（1分） （3）当点E 落在线段CD 上时，∠PEC 是钝角，
从而要使⊿PEC 为等腰三角形，只能EP=EC ，…………（1分）
这时，PF=FC ，∴ 2==AC PC ，点P 与点A 重合，与已知不符。……（1分） 当点E 落在线段DC 的延长线上时，∠PCE 是钝角，
从而要使⊿PEC 为等腰三角形，只能CP=CE ，…………（1分）
设AP=x ，则x PC -=2，2
2-=-=x PC PF CF ，
又 CF CE 2=，∴)2
2(22-=-x x ，解得x =1. …………（1分）
综上，AP =1时，⊿PEC 为等腰三角形
15.解：（1
）y y ?=+??=??
解得：2
x y =???=??………………………1′
∴ 点P 的坐标为（2
， ………………………1′
（2）当0y =时，4x = ∴点A 的坐标为（4，0） ………………………1′ ∵
4OP =
=
4PA == ……………1′
∴ OA OP PA ==
∴POA V 是等边三角形 ...........................1′ （3）当0＜t ≤4时， (1)
′
2
128
S OF EF ==g g ………………………1′
当4＜t ＜8时， ………………………
1′
2
8
S =-
+-………………………1′ 16．（1）①
证明：在AB 上截取AE AG =，联结EG .
∴AEG AGE ∠=∠.
又∵∠A ＝90°，∠A ＋∠AGE ＋∠AEG ＝180°.
∴∠AGE ＝45°. ∴∠BGE ＝135°. ∵AD ∥BC .
∴∠C ＋∠D ＝180°.
又∵∠C ＝45°. ∴∠D ＝135°.
∴∠BGE ＝∠D . ……………………………………………………………1分 ∵AD AB =，AE AG =.
∴DE BG =. …………………………………………………………………1分
∵BE EF ⊥.
∴∠BEF ＝90°.
又∵∠A ＋∠ABE ＋∠AEB ＝180°，
∠AEB ＋∠BEF ＋∠DEF ＝180°，
∠A ＝90°.
∴∠ABE ＝∠DEF . ……………………………………………………………1分 ∴△BGE ≌△EDF . ……………………………………………………………1分 ∴EF BE =.
（1）②
y 关于x 的函数解析式为：2
32
82+-=
x x y .………………………………1分 此函数的定义域为：40< Ⅰ当点E 在线段AD 上时，522±-=DE （负值舍去）. ………………1分 Ⅱ当点E 在线段AD 延长线上时，522±=DE （负值舍去）. ………………1分 Ⅲ当点E 在线段DA 延长线上时，5210±=DE . ………………………………1分 ∴DE 的长为252-、252+或5210±. 17、（1）证明：∵ABCD 是正方形，对角线交于点O ， ∴AO=BO ，AC ⊥BD ，-----------------------------------------------------------1分 ∴ ∠OAB=∠OBA,∴∠OAF=∠OBE ，--------------------------------------1分 ∵AC ⊥BD ，OF ⊥OE ，∴∠AOF=90AOE ?-∠=∠BOE ，------------1分 ∴△AOF ≌△BOE ， ∴EO=FO.----------------------------------------------------------------------------1分 （2）解：∵ABCD 是正方形，边长为2，∴,∴OE=2OA= ∵OF ⊥OE ，EO=FO ，∴EF=4，--------------------------------------------------1分 ∵△AOF ≌△BOE ，∴AF=BE ，--------------------------------------------------1分 设AF=BE=x ， 在Rt △EFB 中，222 EF EB BF =+,即2 2 16(2)x x =++ 解得1x =-±x ＞0，∴1x =，即1---------------2分 （3）△AOE 1是直角三角形。-------------------------------------------------------------1分 证明：取OE 中点M ，则OM=EM=1 2 OE ,-----------------------------------------------1分 ∵OE =2OA ，∴OA= 1 2 OE ，∴OA=OM ∵∠EOB=30?,∵AC ⊥BD ，∴∠AOE=60?,∴△OAM 是等边三角形，----------1分 ∴AM=OM=EM ，∴∠MAE=∠MEA,∴∠MAO=∠MOA ， ∵∠MAE+∠MEA+∠MAO+∠MOA=180?，∴2∠MEA+2∠MOA=180?， ∴∠MEA+∠MOA=90?，--------------------------------------------------------------------1分 即△AOE 1为直角三角形。 18．（1）证明：∵在正方形ABCD 中，AD =CD ，∠ADC =∠CDF =90o， ∵AE ⊥CF ，∴∠AGD =90o–∠GAD =∠CFD ，………………………（1 分） ∴△ADG ≌△CDF ，…………………………………………………（1 分） ∴AG =CF ．……………………………………………………………（1 分） （2）证明：过点F 作FM ⊥CE ，垂足为M ，……………………………………（1 分） ∵∠ECG =∠ADG =90o，∠CGE =∠DGA ，CG =DG ，∴△ECG ≌△ACD ，… （1 分） ∴CE =AD =CD ．∵FM //CD ，∴CM=DF=DG= 21CD=2 1 CE ，………（1 分） ∴FC =FE ．………………………………………………………………（1 分） （3）解：联结GF ，∵EF =EC ,EH ⊥CF ,GF =CG ．……………………………………（1 分） 设DF = DG =x ，则GF =CG =2–x ， ∵222FG DG DF =+，∴222)2(x x x -=+， …………………………（1 分） ∴222±-=x （负值舍去），∴DF =222-．…………………………（1 分） 全等三角形的判定 班级： 姓名： 1．已知AD 是⊿ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，求证BE =CF 。 2．已知AC =BD ，AE =CF ，BE =DF ，求证AE ∥CF 3．已知AB =CD ，BE =DF ，AE =CF ，求证AB ∥CD 4．已知在四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =CB ，求证AB ∥CD 5．已知∠BAC =∠DAE ，∠1=∠2，BD =CE ，求证⊿ABD ≌⊿ACE . 6．已知CD ∥AB ，DF ∥EB ，DF =EB ，求证AF =CE 7．已知BE =CF ，AB =CD ， ∠B =∠C ，求证AF =DE 8．已知AD =CB ， ∠A =∠C ，AE =CF ，求证EB ∥DF 9．已知M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC =MD ，求证∠C =∠D 。 10．已知，AE =DF ，BF =CE ，AE ∥DF ，求证AB =CD 。 11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证AC =AD 12．已知∠E =∠F ，∠1=∠2，AB =CD ，求证AE =DF 13．已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，求证BM =ME 。 14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，求证⊿BHD ≌⊿ACD 。 A C D B 1 2 3 4 A B C D E F 1 2 A B C E H A C M E F B D A B C D F E C B D E F D C F E A B A D E B C 1 2 A D C E F B A D B A D F E C M A B C D 1 2 D C F E A B 1已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分角BAD ，CE 垂直AB 于E ，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BE A B D C E 1 2 2已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。 3已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 4如图，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF 5、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 F E A C D B A E D C B D C B E G 6、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。 （１）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。 你添加的条件是：________ ___ （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程） 7、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E B 8、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 9. 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 10. 已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇ D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A ’B’C’。 A B C D E F O A B C D E F A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4 七年级数学下册《全等三角形》专题练习 1、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C（做AB=AE交AC于E点） 6、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE（做AD=AF交AB于F点） 8. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求 证：BC=AB+DC。 C D B A 9、已知：AB 知：如图所示，AB ＝ AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 35．在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. A B C D D C B A F E P E D C B A D C B A M F E C B A F E D C B A F D C B F E D C B A D B C A F E 46. 如图, AB=12, CA⊥AB于A, DB⊥AB于B, 且AC=4m, P点从B向A运动, 每分钟走1m, Q 点从B向D运动, 每分钟走2m,P、Q两点同时出发, 运动几分钟后△CAP≌△PQB 试说明理由. 47、如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E. (图1) (图2) (图3) (1)试说明: BD=DE+CE. (2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD 三角形证明经典题 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝ CG B A C D F 2 1 E 1、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是 BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG 上，连接BE、DF，∠1=∠2 ，∠3=∠4. (1)证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求EF的长. 【解析】 （1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD， 在△ABE和△DAF中，? ? ? ? ? ∠ = ∠ = ∠ = ∠ 3 4 1 2 DA AB ， ∴△ABE≌△DAF. （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠1+∠4=90o ∵∠3=∠4, ∴∠1+∠3=90o ∴∠AFD=90o 在正方形ABCD中，AD∥BC, ∴∠1=∠AGB=30o 在Rt△ADF中，∠AFD=90o AD=2 , ∴AF=3 , DF =1, 由(1)得△ABE≌△ADF, ∴AE=DF=1, ∴EF=AF-AE= 1 3- . 2、如图， , AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠ 于点，，平分交于点 ，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以 证明． 【解析】 （1） ADB ADC △≌△、 ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、 BFD BFE △≌△、 ABE ACD △≌△（写出其中的三对即 可）. （2）以 △ADB≌ADC为例证明． 证明： ,90 AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠= °. 在Rt ADB △和Rt ADC △中， ,, AB AC AD AD == ∴Rt ADB △≌Rt ADC △. 3、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F为AB延长线上 一点,点E在BC上,且AE=CF. (1)求证:Rt△AB E≌Rt△CBF; (2)若∠CAE=30o,求∠ACF度数. 全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即 4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 5. 证明：连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三 角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又EF ＝CG ∴EF ＝AC 7. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 8. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 9. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE ， B A C D F 2 1 E D C B A F E A 七年级数学下---全等三角形证明题精选 1、已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分角BAD ，CE 垂直AB 于E ，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 2、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 3. 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 4. 已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’。 5、已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥D 于F 。求证：OE=OF 。 6.已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。 7.已知：如图，AB//DE ，AE//BD ，AF=DC ，EF=BC 。求证：△AEF ≌△DBC 。 8.如图，B ，E 分别是CD 、AC 的中点，AB ⊥CD ，DE ⊥AC 求证：AC=CD （连接AD ） 9.已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，?它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线． 10、如图，已知AD 是∠BAC 的平分线， DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ， 且BE=CF ， 求证： (1)AD 是△ABC 的中线；(2)AB=AC ． 11.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD ＋BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD －BE ； （3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 12、如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为腰CB 上的中线，CE ⊥AD 交AB 于E ． 求证∠CDA ＝∠EDB ．（作CF ⊥AB ） C B A E D 图1 N M A B C D E M N 图2 A C B E D N M 图3 1 2 C D A B C D E F A 1 2 E C D B 全等三角形证明经典50题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP ,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 A D B C ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） B A C D F 2 1 E 《三角形》证明题专题训练 名字_____________ 第一组 简单角度计算 1.如图，∠1=40°，∠2=25°，∠A=35°，求∠BDC 的度数。 2.如图，∠A=80°，∠B=25°，∠C=30°,求∠BDC 的度数。 3.如图，AB ∥CD ，∠BAE=∠DCE=45°，求∠E 的度数. 4.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=158°,求∠EDF 的度数. 第二组 折叠问题 5.如图，将一长方形纸片按如图方法折叠，BC 、BD 为折痕，求∠CBD 的度数； 6.如图，把△ABC 沿DE 折叠，请求出∠A 与∠1＋∠2之间的数量关系。 第三组 三角形内角外角平分线夹角 7.如图，△ABC 的两条内角平分线交于点P ，求证：∠P=90°+ ∠A ； 8.如图，△ABC 的两条外角平分线交于点P ，求证：∠P=90°+ ∠A ； 9.如图，△ABC 的一条内角平分线与一条外角平分线交于点P ，求证：∠P= ∠A 第四组 三角形边长大小比较 10.如图，点P 是△ABC 内任意一点，说明：PA+PB+PCA>2 1(AB+BC+AC) ； 11.如图，AC 和BD 相交于点O ，说明：AC+BD ＞AB+CD 。 第五组 三角形中线平分面积 12.如图，CD 、DE 、EF 分别是△ABC 、△ACD 、△ADE 的中线，若△AFE 的面积为12cm ，求ABC S ?； 13.如图，已知∠1=∠2=∠3，∠FDE=43°，∠DEF=64°，求△ABC 的各内角度数。 14.如图，AD=1,DC=2,AB=4，△ABC 的面积等于△DEC 的面积的2倍，求BE 的长。 15.如图，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，求四边形ABGD 面积。 第六组 多边形周长 16.如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的中线，三角形ABD 的周长比三角形ACD 的周长小5，求出AC 与AB 的边长的差。 17. 如图，六边形ABCDEF 的六个角都是120°，边长AB ＝2，BC =8，CD ＝11，DE ＝6，EF=4,FA=12，求出△PGH 的周长。 第七组 三角板组合 18.如图，把一幅三角板按如图方式放置，求∠1的度数。 19.如图，把一幅三角板按如图方式放置，求两条斜边所形成的钝角α的度数。 20.如图，将两块三角板的直角顶点重合，当三角板AOB 绕点O 旋转时, 写出∠BOC 与∠AOD 之间的数量关系 第八组 三角形一边上角平分线与高线的夹角 21.如图，AF 、AD 分别是?ABC 的高和角平分线,且∠B =36°，∠C=76°,求∠DAF 的度数; 22．如图，在△ABC 中， AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠DAC ，∠BAC=800，∠B=600，求∠AEC 的度数. 23. 如图，在△ABC 中， AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠DAC ，∠B>∠C ，求证：∠DAE=2 1（∠B-∠C ） 第九组 利用三角形面积相等求底、高 24.如图,AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，AB=4cm ，CD=3cm ，AE=5cm ，求CE 的长。 25.如图，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BC =16，AD ＝3，BE =4，CF =6，求△ABC 的周长。 26.如图，△ABC 中，AB=2cm ，BC=4cm ，△ABC 的高AD 与CE 的比是多少？ 第十组 方位角中的三角形 27.如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，乙、丙在甲的正东方，丁在丙的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52°方向，乙岛在丁岛的南偏东40°方向。丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向； 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD A D B C B A C D F 2 1 E C D B A 8. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 9. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 10. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 11. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C B A C D F 2 1 E C D B A 12. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C D C B A F E 全等三角形证明题精选 一．解答题（共30小题） 1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO． 2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D． （1）求证：AC∥DE； （2）若BF=13，EC=5，求BC的长． 3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点． （1）求证：△AOD≌△BOC； （2）求证：AD∥BC． 5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D． 6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF． 8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE． 9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE． 10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF． 11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB． 12．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 13．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC． 14．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E． 15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：AB=AC； （2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长． 16．如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数． 17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD． 18．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF． 求证：△ABC≌△DEF． 19．已知：点 A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ABM ≌△CDN，并给出证明． （1）你添加的条件是：； （2）证明：． 20．如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C． 21．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F． 求证：BE=CF． 22．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC． 23．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2． 请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论， 组成一个真命题，并给予证明． 题设：；结论：．（均填写序号） 证明： 24．如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1． 1、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 2、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 3、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 4．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA 5．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线 交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． P E D C B A F A E D C B 6．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ， 若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立 请给予证明；若不成立请说明理由． 7．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积 相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 8．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线 垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ． O E D C B A F E D C B A B D A F E G C 1．如图，在等腰Rt △ABC 与等腰Rt △DBE 中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE 在AB 边上,取AE 的中点F,CD 的中点G,连结GF. （1）FG 与DC 的位置关系是 ,FG 与DC 的数量关系是 ； （2）若将△BDE 绕B 点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论. 2. （7分）一个多边形的内角和等于它的外角和的3 倍，它是几边形？ 3. （7分）如图AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B ＝20°，∠C ＝80°，求∠AED 的度数. B A C E D 4. 如图△中∠A =∠E,BE 是∠DBC 的角平分线，求证：∠ACB=∠A+2∠E （7分） A E D B C 5. （9分）如图，在中（A B ＞BC ），AC=2BC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60和40两部分，求AC 和AB 的长. 6．（8分）如图：E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ， BD=CE 。求证：△ABC 是等腰三角形．（过D 作DG ∥AC 交BC 于G ） A C B D C E F B D A 图1D C A B E 图2 D C A B E F G E D B A C B C A P Q 7、（本题8分）已知C 点是直线AB 上的一动点。 （1）如图1，当C 在线段AB 上运动时，作DC AB ⊥,垂足为C,EA AB ⊥,垂足为A,且 ,DC AB AE BC ==.连接DE,判断BDE ?的形状，并说明理由。（4分） （2）如图2，当C 在线段AB 的延长线上运动时，作DC AB ⊥,垂足为C,EA AB ⊥,垂足为A,且,DC AB AE BC ==.连接DE,判断BDE ?的形状，并说明理由。（4分） 8.(本题10分)如图，已知△ABC 中∠A=60°，AB=2cm,AC=6cm, 点P 、Q 分别是边 AB 、AC 上的动点，点P 从顶点A 沿AB 以1cm/s 的速度向点B 运动，同时点Q 从顶点C 沿CA 以3cm/s 的速度向点A 运动，当点P 到达点B 时,点P 、Q 都停止运动.设运动的时间为t 秒 (1)当t 为何值时AP=AQ ；（4分） (2)是否存在某一时刻使得△APQ 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.（6分） 9. （本题11分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，过点B 作BG ∥AC 交DE 的延长线于点G ，连接CG ， （1）求证：DBE ?≌GBE ? (3分) （2）求证：AD ⊥CF （4分） （3）连接AG ，判断ACG ?的形状，并说明理由。（4分） 全等三角形证明题 一．解答题（共10小题） 1．（2013?泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：BE=CF． 2．（2013?河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是_________； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________． （2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA 上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长． 3．（2013?大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H． （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数． 4．（2012?阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°． ①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； ②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由． 甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°． 5．（2009?仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE 绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题： （1）若AB=AC，请探究下列数量关系： ①在图②中，BD与CE的数量关系是_________； ②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想； 全等三角形证明经典题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = A D B C C D B B A C D F 2 1 E A 6. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 7. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 8. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 一：如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 二：已知a 1+b 1= )(29b a +，则a b +b a 等于多少？ B B A C D F 2 1 E C D B A 9. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 13. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 14.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 1：已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点， AD 是整数，求AD 长。 2：已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB :3：已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 :4：已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 B C A D B C B A C D F 2 1 E 7：P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 11：如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA : 12：如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF （2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 13：已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点， （1）求证：△AED≌△EBC． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 新人教版八年级上学期全等三角形证明题 一．解答题（共10小题） 1．（2013?泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：BE=CF． 2．（2013?河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是_________； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________． （2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA 上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长． 3．（2013?大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H． （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数． 4．（2012?阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°． ①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； ②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由． 甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°． 三角形全等的判定专题训练题 1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD ．求证：△ABD ≌△ACD ． 2、如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD ．求证：△ABC ≌△EDF ． 3、 如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C ．求证：△AED ≌△BFC ． 4、 如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ．求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE 5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE ．求证：AC ⊥CE ． （图1）D C B A F E D C B A F E （图3）D C B A E （图4）D C B A E D B A 6、如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上． 求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG ． 7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN=BC ． 求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM ． 8、如图（8）：A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC=DB ，BE ∥CF ，AE ∥DF ． 求证：△ABE ≌△DCF ． 9、如图（9）AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF ． 求证：AM 是△ABC 的中线． 10、如图（10）∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE ． 求证：AB=AC ． G F E （图6）D C B A N M （图7）C B A F E （图8）D C B A M F E （图9） C B A E （图10）D C B A 全等二角形证明题精选 .解答题(共30小题) 1. 四边形ABCD 中，AD=BC , BE=DF , AE 丄BD , CF 丄BD ，垂足分别为 E 、F . (1) 求证：△ ADE CBF ; 4. 如图，点 0是线段AB 和线段CD 的中点. (1) 求证：△ AOD ◎△ BOC ; (2) 求证：AD // BC . (2)若 BF=13 , EC=5，求 BC 的长. AC=DE ，/ A= / D . 5. 如图：点C 是AE 的中点，/ A= / ECD , AB=CD，求证：/ B= / D . 6. 如图，已知△ ABC 和厶DAE , D 是AC 上一点，AD=AB , DE // AB , DE=AC . 求证: AE=BC . 9.如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E, DE=FE , FC / AB 求证：AE=CE . BE 交AD 于点F, EF=BF .求证：AF=DF . &如图，点B、E、C、F 在同一条直线上，AB=DE , AC=DF , BE=CF ,求证：AB // DE . 四点共线，且AC=BD , / A= / B , / ADE= / BCF ,求证：DE=CF . C D 11. 如 图，点 A , B , C, D 在同一条直线上，CE // DF, EC=BD , AC=FD .求证：AE=FB . 12. 已知△ ABN和厶ACM 位置如图所示，AB=AC , AD=AE，/ 1 = / 2 . (1)求证：BD=CE ; (2)求证：/ M= / N. 13. 如图，BE丄AC , CD丄AB，垂足分别为E, D, BE=CD .求证：AB=AC . 14. 如图，在△ ABC 和厶CED 中，AB // CD, AB=CE , AC=CD .求证：/ B= / E. 15. 如图，在△ ABC中，AD平分/ BAC，且BD=CD , DE丄AB于点E, DF丄AC于点F. (1)求证：AB=AC ; (2 )若AD=2 近,/ DAC=30 ° 求AC 的长. A(完整版)全等三角形基础练习证明题
全等三角形证明题精选
七年级全等三角形证明经典题
三角形证明经典题
全等三角形证明题(含答案版)
全等三角形证明经典题(含答案)
七年级数学下全等三角形证明题精选
全等三角形证明经典50题(含答案)
《三角形》证明题专题训练
全等三角形证明经典100题
全等三角形证明题精选
全等三角形证明经典50题(含答案)
三角形证明题和压轴题
全等三角形证明中考题精选
八年级全等三角形证明经典题
全等三角形证明100题
全等三角形证明中考题精选(有答案)
全等三角形证明题集锦(一)解析
全等三角形证明题精选