江苏省淮阴中学高三数学第三次学情调查苏教版

高三数学学情调查（A ）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.命题2

:0,0p x x ?≥>则p ?是 ▲ .

2.复数31i i

--等于 ▲

3．在5件产品中，有2件合格品，3件次品。从中任取2件，2件都是次品的概率 ▲

4.若幂函数(

)

22

23

1m m y m m x --=--在()0,x ∈+∞上是减函数,则实数m 的值为 ▲ .

5．一物体的运动方程为2

2(1)S t =+，则若在 1.2t =秒时的瞬时速度为 ▲ 6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，

B ，

C 所对的边，已知?===30,3,3C b a ，

则A= ▲ 。

7.已知函数x x f x

+=2)(,x x x g +=2log )(,2log )(2-=x x h 的零点依次为a ,b ,c , 则它们的大小关系是 ▲ .

8、等差数列前n 项和为n S ，若9100,0S S ><,则当n = ▲ 时，n S 最大 9. 实数x 满足,sin 1log 3θ+=x 则91-+-x x 的值 ▲

10．已知函数()f x 在),0[+∞上是减函数, ()()g x f x =-,若(lg )(1)g x g <,则x 的取值范围是 ▲ . 11．已知

114sin cos 3

αα+=，则sin 2α= ▲ ． 12. b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐()0m >,则盐水就变咸了，试 根据这一事实提炼一个不等式 ▲ .

13.已知P 是ABC ?内一点，且满足230PA PB PC ++=

，记ABP ?、BCP ?、ACP

?的面积依次为1S 、2S 、3S ，则1S ：2S ：3S ▲ ．

14.已知函数21()()log ,0

,3

x

f x x a b c =-<<<()()()0f a f b f c <()d f x 实数是函数的一个零点。给出下列六个判断：

①a d < ②d a > ③d b < ④d b > ⑤c d < ⑥c d >

其中可能成立的个数为 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题．．纸．指定区域．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. （本题满分14分）已知向量)21,sin (--=→

θa m ，)cos ,2

1

(θ=→n ．

（1）当2

2

=a ，且→

→⊥n m 时，求θ2sin 的值；

（2）当0=a ，且→

m ∥→

n 时，求θtan 的值．

16．（本题满分14分）如图，菱形ABCD 所在平面与矩形ACEF 所在平面相互垂直，点M 是线段EF 的中点。

（1）求证：AM // 平面BDE （6分） （2）当AF

BD

为何值时，平面DEF ⊥平面BEF ？并证明你的结论。（8分）

17． （本小题共15分））如图，直角三角形ABC 的顶点坐标(20)A -，，

直角顶点(0,B -，顶点C 在x 轴上，M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心， （1）求BC 边所在直线方程； （2）求圆M 的方程；

（3）求过（-2，4）与圆M 相切的直线方程．

18．（本题满分15分）某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD 的非农业用地中 规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE （线段EQ 和RP 为两个底边），已知2,6,4,AB km BC km AE BF km ====其中AF 是以A 为顶点，AD 为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．

19、（本题满分16分）对于数列{}n a ,规定数列{}n a ?为数列{}n a 的一阶差分数列，其中

1()n n n a a a n N *+?=-∈;一般地，规定{}k n a ?为{}n a 的k 阶差分数列，其中

111k k k n n n a a a --+?=?-?,且,2k N k *∈≥.

(I)已知数列{}n a 的通项公式2513

()22

n a n n n N *=

-∈。试证明{}n a ?是等差数列; （II ）若数列{}n a 的首项113a =-，且满足2

212,().n

n n n a a a n N *

+?-?+=-∈，求数列

11

{

}22

n n

n n a a ++-及{}n a 的通项公式;

20. (本小题满分16分)已知函数2

()f x ax ax =+和()g x x a =-,其中a R ∈且0a ≠． （1）若函数()f x 与()g x 的图像的一个公共点恰好在x 轴上,求a 的值；

（2）若函数()f x 与()g x 图像相交于不同的两点A 、B ,O 为坐标原点,试问：△OAB 的 面积S 有没有最值?如果有,求出最值及所对应的a 的值；如果没有,请说明理由． （3）若p 和q 是方程()()f x g x =的两根,且满足1

0p q a

<<<

,证明：当()0,x p ∈时, ()()g x f x p a <<-

高三年级数学学情调查答题纸一、填空题

1． 2． 3．

4． 5． 6．

7． 8． 9．10． 11． 12．13． 14．

二、解答题

15．（14分）

16．（14分）

18．（15分）

高三年级数学学情调查答案

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1. ?x ≥0,x 2

≤0 . 2。 2i + 3．

3

10

4. 2 .5． 4.4 6. 0

30 7. a

-

12. .m

b m

a b a ++< . 13． 3：1：2 ． 14． 5

15．（1）当22=a 时，)2

1

,sin 22(--=→θm ，

→→⊥n m ， ∴由0=?→

→n m ， 得2

2

cos sin =

+θθ， 上式两边平方得212sin 1=

+θ，因此，21

2sin -=θ． …………… 7分 （2）当0=a 时，)1,sin (--=→θm ，由→

m ∥→n 得41cos sin =θθ ．即2

1

2sin =θ．

θ

θ

θθθθθ2

22tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin +=+= ， ∴32tan +=θ或 32-． …………… ……………14分 16．证明（1）取AC 与BD 的交点N ，连接EN ， ……………1分

由题意知：EN // AM ， …………… 4分又EN 在平面BDE 内， ……………5分

所以AM // 平面BDE ……………6分

（2）当

2=AF

BD

时，平面DEF ⊥平面BEF ……………7分 因为面ACEF ⊥面ABCD ，四边形ACEF 为矩形，

所以FA 、EC 都垂直于面ABCD ，又四边形ABCD 是菱形，

所以?FAD ??ECA ，所以DF ＝DE 又M 为EF 的中点，所以DM ⊥EF ，………10分 当DM ⊥BM 时，就有DM ⊥平面BEF ……………12分

即∠DMB ＝900

时，平面DEF ⊥平面BEF ∴2=AF

BD

……………14分

17．（1）∵AB k =,AB BC

⊥ ……………1分

∴

2CB k =

:2

BC y x =- …………… 4分 （2）在上式中，令0,y =得：(4,0),C ∴圆心(1,0),M ．

又∵3,AM =∴外接圆的方程为2

2

(1)9.x y -+= …………… 8分

（3）当斜率不存在时，切线方程为2x =- …………… 10分

当斜率存在时，设直线方程为4(2)y k x

-=+，由

3d =

=，解得924

k =

即切线方程为9241140x y -+= …………… 15分

18．解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系如图，

则(0,0),(2,4)A F ，…………（2分）

由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为2

(0)y ax a =>，由

2

42a =?得，1a =，

∴AF 所在抛物线的方程为2

y x =，…………（5分） 又(0,4),(2,6)E C ，∴EC 所在直线的方程为4y x =+， 设()(02)P x x x <<2

，，

则2

2

,4,4PQ x QE x PR x x ==-=+-， …………（9分） ∴工业园区的面积22321

1(44)422

S x x x x x x x =-++-?=-++(02)x <<，…………（12分） ∴2

34,S x x '=-++令0S '=得4

3x =

或1x =-（舍去负值） ，…………（13分） 当

2)

由表格可知，当3x =时，S 取得最大值10427

． …………（15分）

答：该高科技工业园区的最大面积

104

27

． …………（16分） 19、解析：（I ）依题意：1n n n a a a +?=-,

22513513

[(1)(1)][]5 4.2222

n a n n n n n ∴?=+-+--=-

15n n a a +∴?-?= ∴数列{}n a ?是首项为1，公差为5的等差数列. ……6分

(II)由2

212,n

n n n a a a +?-?+=-得2112n

n n n n a a a a ++?-?-?+=-,

22n n n a a ∴?-=,212n n n n a a a +∴--=, 2122n n n a a +∴=+, 1

11222

n n n n n

a a -++∴

-=. …………9分 当2n ≥时，13342211

143322

()()()()2222222222n n n n n n a a a a a a a a a a --=-++-+-+-+ 12

1

1132(12)13152

22221222

n n n -----=++++=-=--

2112152(2,)n n n a n n N --*∴=-?≥∈ …………14分

当n=1时，113a =-也满足上式. 21

12

152(1,)n n n a n n N --*∴=-?≥∈…………16分

20、解：（Ⅰ）设函数()g x 图像与x 轴的交点坐标为(a ,0).

∵点（a ，0）也在函数()f x 的图像上，∴3

2

0a a +=．而0a ≠，∴1a =-． ----4

分

（Ⅱ）依题意，()()f x g x =，即2a x a x x a +=-，整理，得 2

(1)0ax a x a +-+=，(*)

∵0a ≠，函数()f x 与()g x 图像相交于不同的两点A 、B ， ∴0?>，即△=2

2

(1)4a a --=2

321a a --+＝(3a -1)(-a -1)>0. ∴-1

1

且0a ≠. -----------------------6分

设A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且1x <2x ，由(*)得，1x 2x ?=1>0, 121

a x x a

-+=-.

则||AB ==2?(x 1+x 2)2-4x 1x 2=

2|a |

?-3a 2

-2a +1.----8分

设点O 到直线g (x )=x -a ,的距离为d ，则

d =，

∴

OAB S ?＝

2

1

12|x x -=21

=

. ------10分

∵-1

31且0a ≠,∴当1

3

a =-时，OAB S ?有最大值33，OAB S ?无最小值. --12分

（Ⅲ）由题意可知

()()()()f x g x a x p x q -=--．

1

0x p q a

<<<<

,∴()()0a x p x q -->, ∴当()0,x p ∈时，()()0,f x g x ->即()()f x g x >．-----------------14分

又()()()()()()(1)f x p a a x p x q x a p a x p ax aq --=--+---=--+,

0,110,x p ax aq aq -<-+>->且

∴()()f x p a --<0, ∴()f x p a <-.

综上可知，()()g x f x p a <<-．---------------------------16分