(完整)高三一轮复习《不等式》
第五部分:不等式专题(线性规划,一元二次不等式,基本不等式)
不等式是高中数学重要的知识,考试中涉及的考点也很多,从江苏目前的高中数学要求来说,除了不等式证
明以外,其他形式的考察还是很多的。就内容来说,这部分分为高一难度和高考难度;从题型上来说,包含:线性规划,基本不等式,解不等式,不等式恒(能)成立,还有一些转化为不等式问题的题型。
高一难度的不等式问题主要是线性规划,基本不等式的常规考察,解不等式(包含含参形式),涉及常规函数
的不等式恒(能)成立问题。
1、线性规划
(1)掌握好线性规划,首先需要知道,线性规划的考题特点:已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程,问题一般是求解一个含有两个变量式子的范围、最值。所以,有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式,将所求解问题转化为线性规划问题。
比如:已知等差数列{}n a ,2,185≤≥a a ,则12a 的取值范围是
(2)线性规划性的常规考题相对简单一些,从问题来说有三个常见形式:(1)截距型:by ax +;(2)距离型:
()()2
2b y a x -+-;(3)斜率型:
a
x b
y --;如果直接考这几个类型倒还好。 比如:已知y x ,满足条件??
?
??≥≤-+≥00120y y x x ,则y x +2的最大值是 ,
()()2212-+-y x 的最小
值是 ,
3
+x y
的取值范围是 。
(3)有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。 比如:
① 已知),(b a P 满足不等式组??
?
??≥++≤+≥-040202y x y x y x ,则P 所在区域的面积是
② 已知y x ,满足条件???
??≥≤-+≥00120y y x x ,使得y ax +取得最大值的点有无数个,则实数a 的值是
③ 已知y x ,满足条件??
?
??≥≤-+≥00120y y x x ,且y ax +在点(1,0)处取得最大值,则实数a 的范围是
(4)稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。
比如:已知y x ,满足条件??
?
??≥≤-+≥0
0120
y y x x ,则2
2)1(652-++--x y y x xy 的取值范围是
2、解不等式
解不等式分为含参和不含参之分,普通解不等式倒还好,不管是解一元一次不等式,一元二次不等式,分数不等式(注意分母不为零),指数、对数不等式,还是需要用“换元”解决的一些复合不等式,都还不算难;有时候可以用函数单调性解不等式,但是需要考虑定义域,这个需要在解题的时候能够想到,一般会条件这么给“已知或者能求出单调性,知道函数的零点”。
另外需要注意的是,其实解不等式和解方程的过程是差不多的,所以不等式的解集中式“边界”和不等 式对应的根式有关系的,比如:已知不等式012
≥--bx ax 的解是3
1
21-≤≤-x ,则不等式02<-+a bx x 的解是________.
解含参不等式是相对难一点的,不过过了高一后,真正到后面的函数学习中,又不多见这种情况,只是作为不等式的内容之一,也要好好的学一学,理清楚分类讨论的思路和步骤。
而含参不等式中,最为重要的就是一元二次不等式的分类讨论,因为在高二所学的导数那部分知识中会涉及这个内容。关于这个分类讨论,条理性要注意的:首先考虑是否是一元二次不等式,其次考虑对应的一元二次方程根的情况(是否有根,有几个根,大小怎么样,是否在定义域中),最后根据题目变量x 的取值范围去得出不等式的解集。 例1、解不等式)0( 01)1
(2
≠<++-a x a
a x
分析: 首先因式分解)1)((a x a x --,二次函数=y )1)((a x a x --的两根为a
x a x 1
,21==,解应该是两根之间,但是两根大小关系不确定,这就需要进行分情况讨论,
1°a a 1=
,解不存在;2°a a 1>,即1>a 或01<<-a ,a x a
<<1
;3°a a 1<,即1- x a 1< < 例2、解不等式:()0112 >+++x a ax 分析:因式分解0)1)(1(>++x ax ,考虑到影响因素,到底解是在两根之间还是两根之外是由二次项系数决定的,所以a 的取值是关键,联系到二次函数)1)(1(++=x ax y ,两根为1,1 21-=- =x a x 1°0=a ,不等式变为01>+x ,解为1->x , 2°0- a ,12x x x <<,解为a x 11-<<-, 3°0>a ,a 1 -和1-的大小关系不一定,这个时候就需要进行二者的讨论, 当a 1->1-时,即1>a ,a x 1->或1- -<1-时,1 ->x 或a x 1 -< 例3、解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+01412 2 分析:当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式;当m+1≠1时,还需对m+1>0及m+1<0来分类讨 论,并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论: ⑴ 当m<-1时,⊿=4(3-m )>0,图象开口向下,与x 轴有两个不同交点,不等式的解集取两边。 ⑵ 当-1 4410 x x -+=的根。 ⑷ 当m>3时,⊿=4(3-m )<0,图象开口向上全部在x 轴的上方,不等式的解集为?。 3、不等式恒成立、不等式有解常见方法 1) 恒成立问题 (1)若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > (2)若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < (3)特别的,若上述的()()min max x f x f 取不到,则最后的参数范围需要加上“=”. (4)有一些可以转化为恒成立问题的,比如:“函数()x f 的图像横在()x g 的图像的上方()()x g x f >?恒成立”。 2) 能成立问题(也就是有解问题) 若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >; 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. 3) 恰成立问题(相对少见) 若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ; 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D . 以上题型和方法在函数解答题的材料中有涉及,这里就不具体展开了。 4、基本不等式 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式:(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式:若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形:(1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值; 4、求最值的条件:“一正,二定,三相等” 5、常用:若* ,R b a ∈,则 22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 二、题型分析 题型:利用不等式求最值 (一)(凑项) 1、已知2>x ,求函数4 24 42-+-=x x y 的最小值; 2、已知5 4x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值; 题型:巧用“1”的代换求最值问题或者两者相乘 1、已知12,0,=+>b a b a ,求t a b =+11 的最小值; 法一: 法二: 变式:已知12,0,=+>b a b a ,求b a 1 11++的最小值; 变式:已知12,0,=+>b a b a ,求b a b 1 1++的最小值; 变式:已知12,0,=+>a ab b a ,求a b 1 2+的最小值; 变式:已知0>>b a ,求2 2 12a ab ab a ++-的最小值; 变式:已知2,0=+>b a b a ,,求 1 21222++ +b a a b 的最小值; 变式:已知2,0=+>b a b a ,,求1 12 2+++b b a a 的最小值; 变式:已知0>>>z y x 且z x n z y y x -=-+-11恒成立,如果+ ∈N n ,求n 的最小值;(参考:4) (提示:分离参数,换元法) 变式:已知28 ,0, 1x y x y >+=,求xy 的最小值; 变式:已知正项等比数列{}n a 满足:5672a a a +=,若存在两项n m a a ,,使得14a a a n m =,求n m 41+的最小值; 题型:分离换元法求最值(了解) 1、求函数)1(1 10 72-≠+++= x x x x y 的值域; 变式:求函数)1(1 8 2>-+= x x x y 的最小值; 2、求函数5 22 ++=x x y 的最大值;(提示:换元法) 变式:求函数9 41 ++=x x y 的最大值; 题型:基本不等式的综合应用 1、已知1log log 22≥+b a ,求b a 93+的最小值 2、已知0,>b a ,求ab b a 211++的最小值; 3、已知0,>y x ,822=++xy y x ,求y x 2+最小值; 变式1:已知0,>b a ,满足3++=b a ab ,求ab 范围; 变式2:已知0,>y x ,3 12121=+++y x ,求xy 最大值;(提示:通分或三角换元) 变式3:已知0,>y x ,12 2 =++xy y x ,求xy 最大值; 4、设正实数z y x ,,满足0432 2 =-+-z y xy x ,则当 z xy 取得最大值时,z y x 212-+的最大值为 (提示:代入换元,利用基本不等式以及函数求最值) 变式:设z y x ,,是正数,满足032=+-z y x ,求xz y 2 的最小值; 变式:设z y x ,,是正数,满足2,>>z y x ,求2 5 2-+ -+z z xy z y xz 的最小值;