三角函数图像变换顺序详解(全面)
三角函数的图像及其变换规律
三角函数的图像及其变换规律三角函数是高中数学中的重要内容之一，也是大学数学和物理的基础。
其中，三角函数与图像变换规律是我们需要深入了解的。
一、初步认识三角函数的图像三角函数是由单位圆上的点的坐标表示的函数，我们称这些点的坐标为正弦和余弦，正弦函数的图像和余弦函数的图像可以通过下面的方式作出：1. 画一个以原点 O 为圆心、1 为半径的单位圆；2. 以非负 x 轴正半轴为起始线，从原点开始按逆时针方向旋转一定角度θ，记作点 A (1,0)，A 点纵坐标就是正弦值sinθ；3. 以非负 y 轴正半轴为起始线，从原点开始按逆时针方向旋转一定角度θ，记作点 B (0,1)，B 点横坐标就是余弦值cosθ。
4. 相邻两个峰值之间的水平距离称为周期，即正弦函数和余弦函数的周期都是2π。
这样我们就可以画出正弦函数 y = sin x 和余弦函数 y = cos x 的图像了。
在这个图像中，横轴表示角度，纵轴表示函数值。
另外，三角函数中还有一种常见的函数，即 y = tan x（正切函数）和 y = cot x（余切函数），它们的图像可以通过画出正弦函数和余弦函数的图像来得到。
二、三角函数的图像变换规律我们还可以通过对函数公式的系数进行变换，来改变函数图像的期数、振幅、图像的左右平移及上下平移等。
具体变换规律如下：1. 函数 y = A sin(Bx - C) + D，其中 A 为振幅，B 为周期，C 为左右平移，D 为上下平移。
当 A 和 B 变化时，函数图像的振幅和期数也随之发生变化。
其中，若 A > 1，则函数图像沿 y 轴方向压缩；若 A < 1，则函数图像沿 y 轴方向伸长。
当 B > 1 时，函数图像变窄了，其左右的振动次数增多，周期减小；当 B < 1 时，函数图像变宽了，左右振动次数减少，周期增加。
当 C > 0 时，函数图像向右移动；当 C < 0 时，函数图像向左移动。
三角函数的图像变换
cosθ = 邻边/斜边，在单位圆中表示为x坐标。
正切函数（tangent）
三角函数的周期性
tanθ = 对边/邻边，表示为正弦与余弦之比。
正弦、余弦函数周期为2π，正切函数周期为 π。
三角函数在各象限表现
第一象限
所有三角函数值均为正。
第三象限
正弦、余弦函数值为负，正切函数值为正。
第二象限
正弦函数值为正，余弦、正切函数值为负。
伸缩变换对正弦函数影响
横向伸缩
改变正弦函数图像的周期长度。缩小周期使得函数图像更加紧密，扩大周期则 使得函数图像更加稀疏。
纵向伸缩
改变正弦函数图像的振幅大小。增大振幅使得函数图像波动范围更大，减小振 幅则使得函数图像波动范围更小。
周期性与相位调整方法
周期性调整
通过改变正弦函数的周期来调整图像的疏密程度。可以通过调整函数中的系数来 实现周期的变化。
相位调整
通过改变正弦函数的相位来调整图像出现的位置。可以通过在函数中添加常数项 来实现相位的调整。同时，利用三角函数的和差化积公式，也可以实现相位的调 整。
03 余弦函数图像变换分析
余弦函数基本图像特征
波形图像
余弦函数图像呈现周期性波动，具有典型的波形 特征。
振幅和周期
余弦函数的振幅和周期是确定其图像形状和尺寸 的关键参数。
拓展：其他类型周期函数图像变换
锯齿波和方波
除了正弦波和余弦波外，还有其 他类型的周期函数如锯齿波和方 波等，它们的图像变换同样具有 实际应用价值。
周期函数的合成与分解
通过三角函数的线性组合可以合 成其他类型的周期函数；反之， 其他类型的周期函数也可以通过 傅里叶级数展开成三角函数的线 性组合。
三角函数图象变换ppt课件
3
7 12
5 6
x
（3）连线：
-3
（4）根据周期性将作出的简图左右 扩展。
函数 y=sinx
（1）向左平移 3
y=sin(x+ ) 的图象 3
倍
（2）横坐标缩短到原来的 纵坐标不变
1 2
y=sin(2x+ ) 的图象 3 y=3sin(2x+ )的图象 3
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
1 函数 y sin x 2 1. 列表： x
1 x 2
0
0 0
2π
3π
3 2
4
2π 0
2
2. 描点：
sin 1 x 2
1
1 2
0
-1
y 1
． y=sin x 2 ． ． O
y=sinx
3
4 ．
1
．
1 y=sin x 2
x
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍 y=sinx 1 式变：x换成( x)。 2
y=Sin(x+ ) 的图象
（2）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到
1 原来的 倍，（纵坐标不变）
y=Sin( x+ ) 的图象
三角函数图象变 换
1 例1 作函数 y 2 sin x及 y 2 sinx 的图象。 解：这两个函数的周期都为 2π，则先画出 [ 0, 2π] 上的简图。
1. 列表：
x
0
1 sin x 2 y 2. 描点、作图： 2
sinx 2sin x
0 0 0
1
2
0 0 0
3 2 1
高考数学《图像变换在三角函数中的应用》基础知识与典型例题分析
高考数学《图像变换在三角函数中的应用》基础知识与典型例题分析在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如()sin y A x ωϕ=+的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。
要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。
一、基础知识：（一）图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数） 1、函数图像的平移变换：（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位 （2）()f x a −：()f x 的图像向右平移a 个单位 （3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位 （4）()f x b −：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换：（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的1k（图像表现为横向的伸缩） （2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）()fx ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴对称的图像（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称）（二）图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤()2y f x =−+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数”⇔ 平移变换（2）添“系数”⇔放缩变换 （3）加“绝对值”⇔翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化 例如：()()21y f x y f x =→=+可有两种方案方案一：先平移（向左平移1个单位），此时()()1f x f x →+。
三角函数的图像及其变换
振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一 个常数，可以改变函数图像的形 状和大小。例如，将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x)，图像的 高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大 小和形状，但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实 现。例如，对于正弦函数y=sin(x)，乘 以2得到y=2sin(x)，图像的高度变为 原来的两倍。同样地，对于余弦函数 y=cos(x)，乘以2得到y=2cos(x)，图 像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如，复数的三角形式就是由三角函数来表示的，这使得复数 的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外，在复分析中，三角函数也起着重要的作用，如在求解某些复数域上的微分方程时，经常需要用 到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学 问题中也有应用，例如在几何学 和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数，其基本周期为$2pi$，在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$，其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期，可以改变
函数图像的形状和位置。例如，将正 弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π， 图像将变为原来的两倍长，但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度， 但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例 如，将函数y=sin(x)变为y=sin(2x)，周期 从2π变为π，图像长度减半。同样地，对于 余弦函数，将y=cos(x)变为y=cos(2x)，周 期从2π变为π，图像长度也减半。
(完整版)三角函数图像平移变换
三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量"起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换）先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左（ϕ＞0）或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin （ωx ＋ϕ)的图象。
1。
为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( A ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A ）向右平移6π个单位长度 （B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度 （D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是CA sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+,x R ∈5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B（A)向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7。
三角函数图像变换
三角函数图象的平移和伸缩函数s i n ()y A x k ωϕ=++的图象与函数s i n y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x kϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x=的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x kωϕ=++的图象．例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πs i n24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2s i n 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2s i n 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数． 解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象．练习：1、选择题：已知函数)5sin(3π+=x y 的图象为C 。
三角函数图形的变换
三角函数图形的变换1、正弦与余弦函数图象的变换2、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换):先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
作y =sin x （长度为2π的某闭区间）的图象 得y =sin(x +φ) 的图象得y =sin ωx 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =Asin(ωx +φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短沿x 轴平 移|ωϕ|个单位 纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短【经典例题】图像变换一：左右平移1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4π个单位，所得函数的解析式为 _________2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5π个单位，所得函数的解析式为 _________图像变换二：纵向伸缩3、对于函数R x x y ∈=,s i n 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______（伸长或缩短）为原来的______而得到的图像。
最全三角函数的图像与性质知识点总结
三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质
(
二、正切函数的图象与性质
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象
注意：图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质
（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2
ππϕ±=k 时为偶函数；
（3）最小正周期：ω
π2=T
3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义
(1) A 称为振幅； (2)2T πω
=称为周期；
(3)1f
T
=
称为频率；
(4)x ωϕ+称为相位；
(5)ϕ称为初相 (6)ω称为圆频率.。
三角函数的图像变换
三角函数b x A y ++=)sin(ϕω的图像变换三角函数的图像变换是历年来高考的重点内容，因此我们有必要对这一问题作一下研究。
下面就三角函数的图像变换的基本题型，做以详细讲析：一、 振幅变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x Af y =的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的纵坐标变为原来的A 倍，即)()(A x Af y x f y =−−−−−−→−=倍纵坐标变为原来的。
例1、要得到)32sin(4π-=x y 的图像，只需将)32sin(π-=x y 的图像( )。
A 、 向上平移4个单位；B 、 将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍； C 、 将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4-倍； D 、 向下平移4个位单位。
分析：由题意可知，将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍，就可以得到)32sin(4π-=x y 的图像。
故选B 。
二、 周期变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x f y ω=的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的横坐标变为原来的ω1倍，即)()(1x f y x f y ωω=−−−−−−→−=倍横坐标变为原来的。
例2、如何由x y sin =的图像得到x y 2sin 2=的图像。
解：由x y sin =的图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到x y sin 2=的图像，再将x y sin 2=的图像各点的横坐标压缩为原来的21倍，得到x y 2sin 2=的图像。
三、 相位变换(左右平移变换)由函数)(x f y =的图像变换为)(ϕ+=x f y 的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上所有点向左或向右平移ϕ个单位。
即)()(0)(ϕϕϕ+=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向左平移 )()(0)(ϕϕϕ-=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向右平移 例3、如何由)32sin(31π+=x y 的图像得到x y sin =的图像。
1.3.3三角函数图像变换
方法1： (按 , , A顺序变换 )
y
y sin x
3
2
y=3sin(2x+ ) 3
y 3 sin(2 x ) 3
1
y=sinx
3
5 6
6
o
-１
3
5 3
2
x
-2
y=sin2x y=sin(2x+ ) 3
-3
方法2：(按 , , A顺序变换 )
已知函数f ( x) A sin(x )( 0, | |
2
)的图象与y轴
3 交于点(0, ), 它与y轴右侧的第一个最大值点和最小值点 2 分别是( x0 ,3), ( x0 2 ,3)
(1)求函数y f ( x)的解析式； (2)用“五点法”作此函数在一个周期内的图象； (3)说明它是由函数y sin x的图象经过哪些变换得到的？
y 3 sin(x ) 6
小结：
1、作函数y=Asin(x+) 的图象：
（1）用“五点法”作图。
（2）利用变换关系作图。 2、函数 y = sinx 的图象与函数
y=Asin(x+)的图象间的变换关系。
解 : 因为它与y轴右侧的第一个最大值点和最小值点 分别是( x0 ,3), ( x0 2 ,3)，
T 2 x0 2 x0 2 , 所以 1 2 T
y 3 sin(x )
3 又 过点(0, ), 2 3 3 sin , 且 | | 2 2 6
四、课堂练习
1、要得到函数 y sin(2 x ) 的图象， 3 只需要将 y sin 2 x
高中三角函数的平移变换 讲解+习题
三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
1.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ D ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( C )A sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+，x R ∈5.为了得到函数的图像，只需把函数的图像( B )（A ）向左平移个长度单位 （B ）向右平移个长度单位 （C ）向左平移个长度单位 （D ）向右平移个长度单位 6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象( A )A 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于( B ) .(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π- .(,2)6D π8.将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6x π-的图象，则ϕ等于（ D ） A ．6π B ．56π C. 76π D.116π9.若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为( D )A ．16B.14C.13D.1210.设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于C （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）911.将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ） A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π12.将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是( A )A. π125B. π125-C. π1211D. 1112π-13.把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ C ） A ．（1－y ）sin x +2y －3=0 B ．（y －1）sin x +2y －3=0 C ．（y +1）sin x +2y +1=0D ．－(y +1)sin x +2y +1=0解析：将原方程整理为：y =x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。
三角函数的像变换规律总结
三角函数的像变换规律总结三角函数是数学中的重要概念，它们在数学和物理等领域中有广泛的应用。
像变换规律是描述三角函数在图像上的移动、拉伸和反转等变化规律。
在本文中，我们将总结常见的三角函数的像变换规律。
一、正弦函数的像变换规律正弦函数是最常见的三角函数之一，其一般式为y =A*sin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数参数。
1. 水平方向平移：当C改变时，函数图像在水平方向上发生平移。
当C>0时，向左平移；当C<0时，向右平移。
平移的距离等于C的绝对值除以B。
2. 垂直方向平移：当D改变时，函数图像在垂直方向上发生平移。
当D>0时，向上平移；当D<0时，向下平移。
平移的距离等于D。
3. 垂直方向拉伸或压缩：当A改变时，函数图像在垂直方向上发生拉伸或压缩。
当|A|>1时，发生纵向拉伸；当|A|<1时，发生纵向压缩。
拉伸或压缩的程度与|A|的大小有关。
二、余弦函数的像变换规律余弦函数也是常见的三角函数之一，其一般式为y =A*cos(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数参数。
1. 水平方向平移：与正弦函数类似，余弦函数在改变C时在水平方向上发生平移。
当C>0时，向左平移；当C<0时，向右平移。
平移的距离等于C的绝对值除以B。
2. 垂直方向平移：与正弦函数类似，余弦函数在改变D时在垂直方向上发生平移。
当D>0时，向上平移；当D<0时，向下平移。
平移的距离等于D。
3. 垂直方向拉伸或压缩：与正弦函数类似，余弦函数在改变A时在垂直方向上发生拉伸或压缩。
当|A|>1时，发生纵向拉伸；当|A|<1时，发生纵向压缩。
拉伸或压缩的程度与|A|的大小有关。
三、正切函数的像变换规律正切函数是另一个常见的三角函数，其一般式为y =A*tan(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数参数。
由于正切函数在某些点上无定义，因此在图像上会有一些特殊的性质。
三角函数图像变换顺序详解(全面)
《图象变换的顺序寻根》题根研究一、图象变换的四种类型从函数y = f (x)到函数y = A f ( )+ m，其间经过 4 种变换：1.纵向平移——m 变换2.纵向伸缩—— A 变换3.横向平移——变换4.横向伸缩——变换一般说来，这 4 种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样.以下以y = sin x 到y = Asin ( )+m 为例，讨论 4 种变换的顺序问题.【例1】函数的图象可由y = sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法1】第1 步，横向平移：将y = sin x 向右平移，得第2 步，横向伸缩：将的横坐标缩短倍，得第3 步：纵向伸缩：将的纵坐标扩大 3 倍，得第4 步：纵向平移：将向上平移1，得【解法2】第1 步，横向伸缩：将y = sin x 的横坐标缩短倍，得y = sin 2x第2 步，横向平移：将y = sin 2x 向右平移，得第3 步，纵向平移：将向上平移，得第4 步，纵向伸缩：将的纵坐标扩大 3 倍，得【说明】解法 1 的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法 2 中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法 1 的“可靠性”大，而解法 2 的“风险性”大.【质疑】对以上变换，提出如下疑问：（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？（2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反——如当<0 时对应右移（增方向），而m < 0 时对应下移（减方向）？（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反——如| | > 1 时对应着“缩”，而| A | >1 时，对应着“扩”？【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ( )+m 中x 和y 的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式(y+ ) = f ( )，则x、y 在形式上就“地位平等”了.如将例 1 中的变成它们的变换“方向”就“统一”了.对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x 进行的.故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响；但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这就是为什么（在例 1 的解法 2 中）后平移时，有的原因.【说明】为了使得 4 种变换量与 4 个参数（A，，，m）对应，降低“解题风险”，在由sinx 变到Asin ( ) ( > 0) 的途中，采用如下顺序：（1）横向平移：x→（2）横向伸缩：x+ →（3）纵向伸缩：sin ( ) →Asin ( )（4）纵向平移：Asin ( ) →Asin ( ) + m这正是例 1 中解法 1 的顺序.二、正向变换与逆向变换如果把由sin x 到Asin ( )+m 的变换称作正向变换，那么反过来，由Asin ( )+m 到sin x 变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.因为正向变换的一般顺序是：（1）横向平移，（2）横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移.所以逆向变换的一般顺序则是：（1）纵向平移，（2）纵向伸缩，（3）横向伸缩，（4）横向平移.如将函数y= 2sin (2 －) +1 的图像下移 1 个单位得y=2sin (2 x－)，再将纵坐标缩小一半得y= sin(2 x－),再将横坐标扩大 2 倍得y= sin( x－),最后将图象左移得函数y= sinx.2 x.【例2】将y = f (x)·cos x 的图象向右平移, 再向上平移1, 所得的函数为y=2sin试求 f ( x)的表达式.【分析】这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.2【解析】将y = 2sin x下移1 个单位（与正向变换上移 1 个单位相反），得y = 2sin 2 2x－1，再将2sin x－1 左移（与正向变换右移相反）得令 f (x)·cos x = 2sin x cos x 得 f (x) = 2sin x2x,其逆【说明】由此得原函数为y=f(x)cosx=2 sin x cosx=sin2 x. 正向变换为s in 2x→2sin 2x→sin2x. 变换为2sin2sin2x=1+sin(2 x－),所以下移 1 个单位得sin(2 x－),左移得sin2 x.因为三、翻折变换使> 0.忽略平移变换x→是“对x 而言”，由于x过于简单而易被里x 的系数是+1. 千万不要误以为是由sin( - x)左移而得.强调一下，这于y 其实，x 或y 的系数变- 1，也对应着两种不同的图象变换：由x→- x 对应着关于x 轴的对称变换,即沿x 轴变换,即沿y 轴的翻折变换；由 f (x) →- f (x)对应着关轴的对称的翻折变换.【例3】求函数的单调减区间.【分析】先变换- 3x→3x,即沿y 轴的翻折变换.【解析1】，转化为求g(x)=sin(3 x－) 的增区间令≤≤≤x ≤（f(x)减区间主解），故函数f(x)减区间的通解为又函数的f(x)周期为≤x ≤【解析2】的减区间为≤≤即是≤x ≤,比较解析 1 和解析 2 可知,求f(x)的减区间,实际上分问题度看【说明】从图象变换的角两步进行:(1)先求得f(x)减区间的主解≤x ≤(2)再利用主解进行横向平移(的整数倍)即得f(x)减区间的通解.【思考】本解先将“正数化”，使>0 是本解成功的关键.否则，如果去解不等式组将会使你陷入歧途，不防试试！。
高中三角函数的像变换
高中三角函数的像变换三角函数是数学中常见的函数形式，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
像变换是对函数图像进行的一种变换操作，可以通过变换操作来改变原始函数图像的形态和位置。
在高中数学中，三角函数的像变换是一个重要的概念，掌握它可以帮助我们更好地理解和应用三角函数。
一、平移变换平移变换是一种保持函数形状不变，只改变位置的变换操作。
对于三角函数来说，平移变换可以分为水平平移和垂直平移两种类型。
1. 水平平移水平平移是将函数图像沿x轴的方向移动，可以使函数图像向左或向右平移。
数学上，水平平移的量可以用常数c表示。
对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(x + c)的图像向左平移c个单位；- 余弦函数y = cos(x + c)的图像向右平移c个单位；- 正切函数y = tan(x + c)的图像向左平移c个单位。
2. 垂直平移垂直平移是将函数图像沿y轴的方向移动，可以使函数图像向上或向下平移。
数学上，垂直平移的量可以用常数d表示。
对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(x) + d的图像向上平移d个单位；- 余弦函数y = cos(x) + d的图像向上平移d个单位；- 正切函数y = tan(x) + d的图像向上平移d个单位。
二、伸缩变换伸缩变换是一种改变函数图像形状和大小的变换操作。
对于三角函数来说，伸缩变换可以分为水平伸缩和垂直伸缩两种类型。
1. 水平伸缩水平伸缩是通过改变自变量x的取值范围来改变函数图像的形状。
数学上，水平伸缩的量可以用常数a表示。
对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图像被水平挤压；- 余弦函数y = cos(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图像被水平挤压；- 正切函数y = tan(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图像被水平挤压。
2. 垂直伸缩垂直伸缩是通过改变因变量y的取值范围来改变函数图像的形状和大小。
三角函数图像变化PPT课件
2
,1)
最低点： ( 3
,1)
y=cosx=sin(x+
2
)
2
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0)
周期： T
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 数的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
概念介绍：
当函数 S Asin(t ), x [0, )( A 0, 0) 表示一个振动量时,A就表示物体振动时离开平 衡位置的最大距离,通常称 A 为这个振动的振幅. 往复振动一次所需要的时间T 2 ,T称为这个振
1 例2 对于函数y sin x 和 y=sin2x 与 2
y=sinx 的图像。
y
0
y sin 2 x
x
y sin x
y sin 1 x 2
结论二 周期变换(横向伸缩变换)
y sin x （0<ω <1时）到原来的1/ω倍 y sin x
横坐标缩短（ω >1时)或伸长 （纵坐标不变）
画出正弦曲线在长度为2π 的闭区间上的简图
横坐标伸长 缩短
y sin 2 x
6
0
得到sinωx x∈R在长度为一 个周期的闭区间上简图
沿x轴 平行移动
得到sin(ωx+φ) x∈R在长度 为一个周期的闭区间上简图
3
5 6
x
纵坐标
伸长或缩短
得到Asin(ωx+φ) x∈R在长度为 一个周期的闭区间上简图
y sin 2 x y sin( 2 x ) 3 y 3 sin( 2 x ) 3
方法一变换过程
y sin x y sin( x ) 3 横坐标向左平移π/3 个单位
三角函数图像变换经典
y sin x 01所有点的横坐标伸长 y sinx T 2 : 周期
13
练习2：画出函数 y sin 4 x , x R的简图。
解：∵函数y=sin4x的周期T=/2 ∴在[0, /2]上作图
令Z=4x 则x=Z/4 从而sinZ=sin4x
x
0
8
3
48
2
4x 0
三角函数的图像变换
y
x
上蔡一高高一（15）班
2017.04.17
1
教学目的：掌握用“五点法”画函数y=Asinx和y=Asinωx的图 象，明确A与ω对函数图象的影响作用；并会由 y=sinx的图象通过变换得出y=Asinωx的图象。
教学重点： “用五点法”作函数y=Asinx和y=sinωx的简图及振 幅、周期对正弦函数图象的影响。
纵坐标不变
y=sinx
向左>0 (向右<0) 平移||/个单位
y
sin
(
x
)
sin(
x
)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
25
课时小结
通过本节学习，掌握y=Asinωx的“五点法”作图及 振幅和周期变换。
课后作业
1、指出函数y=2/5sin3x的振幅、周期，并画出其图象。 2、作出y=2sin1/2x的简图。
2、函数y=3sin(2x+π/3)的图象 是由 y=sinx如何变换而得到。
20
用“五点法”画出函数y=3sin(2x+π/3)的简图.
解:
x 6
2 x 0
12
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《图象变换的顺序寻根》
题根研究
一、图象变换的四种类型
从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换：
1.纵向平移——m 变换
2.纵向伸缩——A变换
3.横向平移——变换
4.横向伸缩——变换
一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样.
以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题.
【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？
【解法1】第1步，横向平移：
将y = sin x 向右平移，得
第2步，横向伸缩：
将的横坐标缩短倍，得
第3步：纵向伸缩：
将的纵坐标扩大3倍，得
第4步：纵向平移：
将向上平移1，得
【解法2】第1步，横向伸缩：
将y = sin x 的横坐标缩短倍，得y = sin 2x
第2步，横向平移：
1
将y = sin 2x向右平移，得
第3步，纵向平移：
将向上平移，得
第4步，纵向伸缩：
将的纵坐标扩大3倍，得
【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变
换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大.
【质疑】对以上变换，提出如下疑问：
（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？
（2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反——
如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？
（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反——
如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？
【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式
(y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了.
如将例1中的变成
它们的变换“方向”就“统一”了.
对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的.
故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响；
但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这
就是为什么（在例1的解法2中）后平移时，有的原因.
【说明】为了使得4种变换量与4个参数（A ，，，m）对应，降低“解题风险”，在由sin x变到A sin () (> 0) 的途中，采用如下顺序：
（1）横向平移：x →
（2）横向伸缩：x +→
（3）纵向伸缩：sin () →A sin ()
（4）纵向平移：A sin () →A sin () + m
这正是例1中解法1的顺序.
二、正向变换与逆向变换
如果把由sin x 到A sin ()+m的变换称作正向变换，那么反过来，由A sin ()+m到sin x变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.
因为正向变换的一般顺序是：
（1）横向平移，（2）横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移.
所以逆向变换的一般顺序则是：
（1）纵向平移，（2）纵向伸缩，（3）横向伸缩，（4）横向平移.
如将函数y= 2sin (2－) +1的图像下移1个单位得y=2sin (2x －)，再将纵坐标缩小一半
得y= sin(2 x －),再将横坐标扩大2倍得y= sin(x －),最后将图象左移得函数y= sin x.
【例2】将y = f (x)·cos x 的图象向右平移, 再向上平移1, 所得的函数为y=2sin2 x. 试求f (x)的表达式.
【分析】这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.
【解析】将y = 2sin2 x下移1个单位（与正向变换上移1个单位相反），
3
得y = 2sin2 x－1，再将2sin2x－1左移（与正向变换右移相反）
得
令 f (x)·cos x = 2sin x cos x 得f (x) = 2sin x
【说明】由此得原函数为y=f(x)cos x=2sin x cos x=sin2x. 正向变换为sin 2x→2sin2x,其逆变换为2sin2x→sin2x.
因为2sin2x=1+sin(2 x－),所以下移1个单位得sin(2 x－),左移得sin2x.
三、翻折变换使> 0
平移变换x→是“对x而言”，由于x过于简单而易被忽略.
强调一下，这里x的系数是+1. 千万不要误以为是由sin(-x)左移而得.
其实，x或y的系数变-1，也对应着两种不同的图象变换：由x→- x对应着关于y 轴的对称变换,即沿y轴的翻折变换；由f (x) →-f (x)对应着关于x轴的对称变换,即沿x轴的翻折变换.
【例3】求函数的单调减区间.
【分析】先变换-3x→3x,即沿y轴的翻折变换.
【解析1】，转化为求g(x)=sin(3x－)的增区间
令≤≤
≤x ≤（f(x)减区间主解）
又函数的f(x)周期为，故函数f(x)减区间的通解为
≤x ≤
【解析2】的减区间为
≤≤
即是≤x ≤
【说明】从图象变换的角度看问题,比较解析1和解析2可知,求f(x)的减区间,实际上分两步进行:
(1)先求得f(x)减区间的主解≤x ≤
(2)再利用主解进行横向平移(的整数倍)即得f(x)减区间的通解.
【思考】本解先将“正数化”，使>0是本解成功的关键. 否则，如果去解不等式组
将会使你陷入歧途，不防试试！
5。