课标高一数学同步测试—期末

新课标高一数学同步测试——期末

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填

在题后的括号内（每小题5分，共50分）．

1．在斜二测画法中，与坐标轴不垂直的线段的长度在直观图中 （ ）

A ．变大

B ．变小

C ．可能不变

D ．一定改变 2．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是

（ ）

A ．平行

B ．相交

C ．不在同一平面内

D ． A 、B 、C 均有可能

3．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的 表面积为

（ ）

A ．π52

B ．π34

C ．π45

D ．π37

4．直线y =kx +2与圆x 2+y 2+2x =0只在第二象限有公共点，则实数k 的取值范围为 （ ）

A ．[

4

3

，1] B ．[

4

3

，1） C ．[

4

3

，+∞） D ．（－∞，1）

5．已知球面上的四点P 、A 、B 、C ，PA 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为

（ ）

A ．202π

B ．252π

C ．50π

D ．200π

6．一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直, 则这两个二面角

（ ） A ．互补 B ．互余

C ．互补或互余

D ．不确定

7．如右图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内 有一动点P ，动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为

（ ）

8．对于一个长方

体，都存在一点：（1）这点到长方体各顶点距离相等（2）这点到长方体各条棱距离相等（3）这点到长方体各面距离相等。以上三个结论正确的是 （ ）

A ．（1）（2）

B ．（2）

C ．（1）

D ．（1）（3） 9．直线1+=x y 与直线1y ax =+的交点的个数为

（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．随a 值变化而变化

10．在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱

支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三 根立柱1AA 、1BB 、1CC 的长度分别为m 10、m 15、m 30， 则立柱1DD 的长度是（ ） A ．m 30 B ．m 25 C ．m 20 D ． m 15

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．

11．将边长为m 4的正方形钢板适当剪裁，再焊接成一个密闭的正四棱柱水箱，并要求这个水箱

的全面积等于该正方形钢板的面积（要求剪裁的块数尽可能少，不计焊接缝的面积），则该水箱的容积为 ．

12．过点P （3，6）且被圆2

2

25x y +=截得的弦长为8的直线方程为 ． 13．光线由点(－1，4)射出，遇直线2x ＋3y －6=0被反射，已知反射光线过点(3 ，

13

62

)，反射光线所在直线方程__________________． 14．已知m 、l 是直线, αβ、是平面, 给出下列命题: ①若l 垂直于α内的两条相交直线, 则l ⊥α; ②若l 平行于α, 则l 平行α内所有直线; ③若m l l m ??⊥⊥αβαβ,,，且则; ④若l l ?⊥⊥βααβ,且，则;

⑤若m l m ??αβαβ,,，且∥则∥l ．

其中正确的命题的序号是 (注: 把你认为正确的命题的序号都填上)． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．

15．（12分）已知两条直线l 1 = x + my + 6 = 0, l 2: (m －2)x + 3y + 2m = 0，问：当m 为何值时, l 1

与l 2(i)相交; (ii)平行; (iii)重合．

16．（12分）某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一幢

八层楼的公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积（精确到1m 2）. E 100m D

60m 80m

A

B 70m C

17．（12分）已知方程2

2

2

4

2(3)2(14)1690()x y t x t y t t R +-++-++=∈的图形是圆. （1）求t 的取值范围；

（2）求其中面积最大的圆的方程．

18．（12分）自点P （－3，3）发出的光线l 经过x 轴反射，其反射光线所在直线正好与圆

074422=+--+y x y x 相切，求入射光线l 所在直线的方程．

19．（14分）四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，边长为a ，PD=a ，PA=PC=2a ， （1）求证：PD ⊥平面ABCD ； （2）求证，直线PB 与AC 垂直； （3）求二面角A －PB －D 的大小；

（4）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径； （5）求四棱锥外接球的半径．

20．（14分）设M 是圆22680x y x y +--=上动点，O 是原点，N 是射线OM 上点，

若|OM|·|ON|＝120，求N 点的轨迹方程．

高一新数学期末测试题参考答案

一、CDABC DCCDB

二、11．3

4m ；12．34150x y -+=和3x =；13．13x －26y ＋85=0；14．①④； 三、 15．解： 若m = 0时，l 1: x = －6，l 2: 2x －3y = 0, 此时l 1与l 2相交；

若313120=-==-≠m m m m m

或有，由

，由36

23±==m m

m 有；

故i)当m

m m m

3

1231≠-≠-≠时，且, l 1与l 2相交；

ii)当m = －1时,

m m m

-=≠

21326

, l 1与l 2平行； (iii)当m = 3时m m m

-==

21326

, l 1与l 2重合. 16．解：如图建立坐标系，在AB 上任取一点P ，分别向 CD 、DE 作垂线划得

一长方形土地，则直线AB 的方程为120

30=+y

x 设)3

220,(x

x P -

,则长方形的面积为

3

50

6000)5(32)]3220(80)[100(2+

+--=-

--=x x x S ∴当X ＝5时Smax ≈6017 17．解：解：（1）方程即167)41()3(2222++-=-++--t t t y t x

16722++-=t t r ＞0 ∴7

1

-

＜t ＜1 （2） ∵1672++-=t t r

∴当t=

7

3时， 77

4max =

r ，此时圆面积最大，所对应圆的方程是 222413167497x y -

++=（）（）

18．解：设入射光线l 所在的直线方程为

)3(3+=-x k y ，反射光线所在

直线的斜率为1k ，根据入射角等于反射角，得

1k k -=，而点P （－3，3）关于x 轴的对称点1P （－3，－3），根据对称性，点1P 在反射光线所在

直线上，故反射光线所在直线1l 的方程为：

)3(3+-=-x k y 即033=+++k y kx ，又此直线

与已知圆相切，所在圆心到直线

1l 的距离等于半径r ，因为圆心为（2，2），半径为1，所以

1133222

=++++k k

k 解得：3

4

43-=-=k k

或故入射光线l 所在的直线方程为：

)3(433+-=-x y 或)3(3

4

3+-=-x y 即03340343=++=-+y x y x 或

19．解：⑴分析：要证PD ⊥平面ABCD ，只需证PD 垂直于平面ABCD 内的两条相交线，而所给已知

y

E D A

P

O B C x

)

3,3(-P )

3,3(1-P

量都是数，故可考虑勾股定理的逆定理

⑴证明：∵PD=a ，AD=a ，PA=

2a ，∴PD 2+DA 2=PA 2，同理∴∠PDA =90°.

即PD ⊥DA ，PD ⊥DC ，∵AO ∩DC=D ，∴PD ⊥平面ABCD . ⑵分析：从图形的特殊性，应先考虑PB 与AC 是否垂直，若不垂直然后再转化

⑵解：连结BD ，∵ABCD 是正方形∴BD ⊥AC ∵PD ⊥平面ABCD ∴PD ⊥AC ∵PD ∩BD=D

∴AC ⊥平面PDB ∵PB ?平面PDB ∴AC ⊥PB ∴PB 与AC 所成的角为90° ⑶分析：由于AC ⊥平面PBD ，所以用垂线法作出二面角的平面角

⑶解：设AC ∩BD =0，过A 作AE ⊥PB 于E ，连接OE ∵AO ⊥平面PBD ∴OE ⊥PB ∴∠AEO 为二面角 A －PB －D 的平面角∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ∴PA ⊥AB 在Rt △PDB 中，

PB PD BD a =

+=223，在Rt △PAB 中，∵AE PB AB PA S ??=?=

2

1

21

∴a a a a PB AB PA AE 3

232=?=?=，AO AC a ==1222

在Rt △AOE 中，sin ∠=

=AEO AO AE 32

，∴∠AEO =60°∴二面角A －PB －D 的大小为60.

⑷分析：当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积法求解

⑷解：设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连SA 、SB 、SC 、SD 、SP ，则把此四

棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R

33

1

3131a a a a PD S V ABCD ABCD P =???=??=?-

2

222

222121

21a S a a a S S a a a S S ABCD PBC PAB PDC PAD ==??===??=

=?????

∵ V V V V V V a R S S S S S P ABCD S PDA S PDC S ABCD S PAB S PBC

PAD PDC PAB PBC ABCD ------?=++++=

++++13

1

3

3()

???? 131312122222

322222a R a a a a a =++++() ∴R a a 3221323()+= ∴R a a a =+=-=-22222122()

∴球的最大半径为（122

-a ）

⑸分析：四棱锥的外接球的球心到P 、A 、B 、C 、D 五的距离均为半径，只要找出球心的位置即可，在Rt △

PDB 中，斜边PB 的中点为F ，则PF=FB=FD 不要证明FA=FC=FP 即可

⑸解：设PB 的中点为F ，∵在Rt △PDB 中：FP=FB=FD

在Rt △PAB 中：FA=FP=FB ，在Rt △PBC 中：FP=FB=FC ∴FP=FB=FA=FC=FD ∴F 为四棱锥外接球的球心

则FP 为外接球的半径 ∵FP=

1

2

PB ∴FP a =32

∴四棱锥外接球的半径为32

a

评述：⑴本题主要考查棱锥的性质以及内切外接的相关知识点

⑵“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，

然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，例如本例中球内切于四棱锥中时，球与四棱锥的五个面相切，即球心到五个面的距离相等

⑶求体积或运用体和解决问题时，经常使用等积变形，即把一个几何体割补成其它几个几何体的和或差

20．解：设M 、N 的坐标分别为11(,)x y 、(,)x y ，

由题设||||120OM ON ?=，

120 （＊）

当M 不在y 轴上时，10x ≠，0x ≠，于是有11

y y x x =

设

1

1

y y x x =＝k ，代入（＊），化简得 21||(1)120x x k += 因1x 与x 同号，于是12120(1)x k x =

+，1

2120(1)k

y k x

=+ 代入22680x y x y +--=并化简，可得34600(0)x y x +-=≠ 当10x =时，18y =，点N (0,15)也在直线34600x y +-=上

所以，点N 的轨迹方程为34600x y +-=．

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