空间图形的位置关系

空间图形的位置关系

一、选择题

1．若点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( )

A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行

B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直

C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交

D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面

答案：B 命题立意：本题考查异面直线的几何性质，难度较小．

解题思路：因为点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，故选B.

2．如图，P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD 的位置关系是( )

A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直

B．它们两两垂直

C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直

D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直

答案：A 解题思路：∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，

∴DA⊥平面PAB，又DA?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.同理可证平面PAB⊥平面PBC.把四棱锥P－ABCD放在长方体中，并把平面PBC补全为平面PBCD1，把平面PAD补全为平面PADD1，易知∠CD1D即为两个平面所成二面角的平面角，∠CD1D＝∠APB，

∴∠CD1D＜90°，故平面PAD与平面PBC不垂直．

3．设α，β分别为两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A 命题立意：本题主要考查空间线面、面面位置关系的判定与充分必要条件的判

断，意在考查考生的逻辑推理能力．

解题思路：依题意，由l⊥β，l?α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l?α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.

4．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列结论正确的是( ) A．若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线

B．若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线

C．已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β

D．m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直

答案：B 解题思路：本题考查了空间中线面的平行及垂直关系．在A中：因为平行于同一平面的两直线可以平行，相交，异面，故A为假命题；在B中：因为垂直于同一平面的两直线平行，故B为真命题；在C中：n可以平行于β，也可以在β内，也可以与β相交，故C为假命题；在D中：m，n也可以不互相垂直，故D为假命题．故选B.

5．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为( ) A．4π B．2π

C．π D.π2

D 解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系．如图可知，端点N在正方形ABCD内运动，连接ND，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，设P为NM的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得，不论△MDN如何变化，点P到点D的距离始终

等于1.故点P 的轨迹是一个以D 为中心，半径为1的球的18球面，其面积为π

2

.

技巧点拨：探求以空间图形为背景的轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡．

6．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①直线BE 与直线CF 是异面直线；②直线BE 与直线AF 是异面直线；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD .

其中正确结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④

D ．②④

B 解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系．画出几何体的图形，如图，由题意可知，①直线BE 与直线CF 是异面直线，不正确，因为E ，F 分别是PA 与PD 的中点，可知EF ∥AD ，所以EF ∥B

C ，直线BE 与直线CF 是共面直线；②直线BE 与直线AF 是异面直线，满足异面直线的定义，正确；③直线EF ∥平面PBC ，由E ，F 是PA 与P

D 的中点，可知

EF ∥AD ，所以EF ∥BC ，因为EF ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，所以判断是正确的；④由题中条件

不能判定平面BCE ⊥平面PAD ，故④不正确．故选B.

技巧点拨：翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来，然后考查立体几何的常见问题：垂直、角度、距离、应用等问题．此类问题考查学生从二维到三维的升维能力，考查学生空间想象能力．解决该问题时，不仅要知道空间立体几何的有关概念，还要注

意到在翻折的过程中哪些量是不变的，哪些量是变化的．

二、填空题

7．如图，四边形ABCD 为菱形，四边形CEFB 为正方形，平面ABCD ⊥平面CEFB ，CE ＝1，∠AED ＝30°，则异面直线BC 与AE 所成角的大小为________．

答案：45° 解题思路：因为BC ∥AD ，所以∠EAD 就是异面直线BC 与AE 所成的角． 因为平面ABCD ⊥平面CEFB ，且EC ⊥CB ， 所以EC ⊥平面ABCD .

在Rt △ECD 中，EC ＝1，CD ＝1，故ED ＝12

＋12

＝ 2. 在△AED 中，∠AED ＝30°，AD ＝1，由正弦定理可得

AD

sin ∠AED ＝

ED

sin ∠EAD

，即sin ∠

EAD ＝ED sin ∠AED AD ＝2sin 30°1＝22

.

又因为∠EAD ∈(0°，90°)，所以∠EAD ＝45°. 故异面直线BC 与AE 所成的角为45°. 8．给出命题：

①异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线；

②两异面直线a ，b ，如果a 平行于平面α，那么b 不平行于平面α； ③两异面直线a ，b ，如果a ⊥平面α，那么b 不垂直于平面α； ④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线． 上述命题中，真命题的序号是________．

答案：①③ 解题思路：本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系．根据异面直线的定义知：异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线，故命题①为真命题；两条异面直线可以平行于同一个平面，故命题②为假命题；若b ⊥α，则a ∥b ，即a ，b 共面，这与

a ，

b 为异面直线矛盾，故命题③为真命题；④两条异面直线在同一个平面内的射影可以是：

两条平行直线、两条相交直线、一点一直线，故命题④为假命题．

9．如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的

最大值为________．

答案：16 3 命题立意：本题以球的内接组合体问题引出，综合考查了棱锥体积公式、利用导数工具处理函数最值的方法，同时也有效地考查了考生的运算求解能力和数学建模能力．

解题思路：设球心到底面的距离为x ，则底面边长为9－x 2

，高为x ＋3，正六棱锥的体积V ＝13×34(9－x 2)×6(x ＋3)＝32(－x 3－3x 2＋9x ＋27)，其中0≤x ＜3，则V ′＝32(－3x

2

－6x ＋9)＝0，令x 2

＋2x －3＝0，解得x ＝1或x ＝－3(舍)，故V max ＝V (1)＝3

2

(－1－3＋9＋27)＝16 3.

10．已知三棱锥P －ABC 的各顶点均在一个半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，PO ⊥平面ABC ，AC BC

＝3，则三棱锥与球的体积之比为________．

答案：3

8π 命题立意：本题主要考查线面垂直、三棱锥与球的体积计算方法，意在考查

考生的空间想象能力与基本运算能力．

解题思路：依题意，AB ＝2R ，又AC BC

＝3，∠ACB ＝90°，因此AC ＝3R ，BC ＝R ，三棱锥

P －ABC 的体积V P －ABC ＝1

3PO ·S △ABC ＝13×R ×12×3R ×R ＝

36R 3.而球的体积V 球＝4π

3

R 3，因此V P －ABC

∶V 球＝

36R 3∶4π3R 3＝38π

. 三、解答题

11.

如图，四边形ABCD与A′ABB′都是正方形，点E是A′A的中点，A′A⊥平面ABCD.

(1)求证：A′C∥平面BDE；

(2)求证：平面A′AC⊥平面BDE.

解题探究：第一问通过三角形的中位线证明出线线平行，从而证明出线面平行；第二问由A′A与平面ABCD垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明出BD与平面A′AC垂直，从而得到平面与平面垂直．

解析：(1)设AC交BD于M，连接ME.

∵四边形ABCD是正方形，

∴M为AC的中点．

又∵E为A′A的中点，

∴ME为△A′AC的中位线，

∴ME∥A′C.

又∵ME?平面BDE，

A′C?平面BDE，

∴A′C∥平面BDE.

(2)∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.

∵A′A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

∴A′A⊥BD.

又AC∩A′A＝A，∴BD⊥平面A′AC.

∵BD?平面BDE，

∴平面A′AC⊥平面BDE.

12.

如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.

(1)求证：D1C⊥AC1；

(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．

命题立意：本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定，考查考生的空间想象能力和推理论证能力．通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直，从而证明线线的垂直关系．并通过线段的长度关系，借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行，证明出线面的平行关系．解决本题的关键是学会作图、转化、构造．解析：(1)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D，∵DC＝DD1，

∴四边形DCC1D1是正方形，

∴DC1⊥D1C.

又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，

∴AD⊥平面DCC1D1，

又D1C?平面DCC1D1，

∴AD⊥D1C.

∵AD?平面ADC1，DC1?平面ADC1，

且AD∩DC1＝D，

∴D1C⊥平面ADC1，

又AC1?平面ADC1，

∴D1C⊥AC1.

(1)题图

(2)题图

(2)连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN. ∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，

要使D1E∥平面A1BD，

可使MN∥D1E，又M是AD1的中点，

则N是AE的中点．

又易知△ABN≌△EDN，

∴AB＝DE.

即E是DC的中点．

综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.

13.

已知直三棱柱ABC －A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1

2AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B

和B ′C ′的中点．

(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥C －MNB 的体积．

命题立意：本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识．意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．

解析：(1)证明：如图，连接AB ′，AC ′， ∵ 四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，

∴ AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点． ∴ MN ∥AC ′.

又MN ?平面A ′ACC ′且AC ′?平面A ′ACC ′， ∴ MN ∥平面A ′ACC ′. (2)由图可知V C －MNB ＝V M －BCN ，

∵ ∠BAC ＝90°，∴ BC ＝AB 2

＋AC 2

＝22， 又三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，且AA ′＝4，

∴ S △BCN ＝1

2

×22×4＝4 2.

∵ A ′B ′＝A ′C ′＝2，∠BAC ＝90°，点N 为B ′C ′的中点， ∴ A ′N ⊥B ′C ′，A ′N ＝ 2. 又BB ′⊥平面A ′B ′C ′， ∴ A ′N ⊥BB ′， ∴ A ′N ⊥平面BCN . 又M 为A ′B 的中点， ∴ M 到平面BCN 的距离为

22

， ∴ V C －MNB ＝V M －BCN ＝13×42×22＝4

3

.

如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.

(1)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积．

命题立意：本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等，意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力，考查化归与转化思想．

解析：(1)证明：在△ABD 中，因为AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，所以AD 2

＋BD 2

＝AB 2

. 故AD ⊥BD .

又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ?平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD ， 又BD ?平面MBD ， 所以平面MBD ⊥平面PAD .

(2)过点P 作OP ⊥AD 交AD 于点O ， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .

因此PO 为四棱锥P －ABCD 的高． 又△PAD 是边长为4的等边三角形， 所以PO ＝

3

2

×4＝2 3. 在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， 所以四边形ABCD 是梯形．

在Rt △ADB 中，斜边AB 上的高为4×845＝85

5，此即为梯形ABCD 的高．

所以四边形ABCD 的面积S ＝

25＋452×855

＝24. 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝1

3

×24×23＝16 3.