2019-2020学年成都市成都七中实验学校九年级(上)开学数学试卷(含解析)
2019-2020学年成都七中实验学校九年级（上）开学数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
A卷（共100分）
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）
A．a（m+n）＝am+an
B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
3．要使分式有意义，则x的取值应满足（）
A．x≠2 B．x≠1 C．x＝2 D．x＝﹣1
4．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5，1
5．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
6．若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）
A．k＜5 B．k≥5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD
9．如果不等式组有解，那么m的取值范围是（）
A．m＞5 B．m≥5 C．m＜5 D．m≤8
10．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）
A．B．BC2＝AB?BC C．D．
二、填空题：（每题4分，共16分）
11．分解因式：x2﹣2x+1＝．
12．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标为．
13．如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是．
14．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA＝度．
三、解答题：（共计54分）
15．（12分）（1）计算：（1﹣）÷；
（2）解一元二次方程（公式法）x2+4x+2＝0
（3）解一元二次方程x2+8x﹣9＝0．
16．（6分）解不等式组：．并把它的解集在数轴上表示出来
17．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；（2）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
18．（8分）如图，直线AB过点A（3，0），B（0，2）
（1）求直线AB的解析式．
（2）过点A作AC⊥AB且AC：AB＝3：4，求过B、C两点直线的解析式．
19．（10分）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，现在有一足够大的直角三角板，它的直角顶点D是BC上一点，另两条直角边分别交AB、AC于点E、F．
（1）如图1，若DE⊥AB，DF⊥AC，求证：四边形AEDF是矩形；
（2）在（1）条件下，若点D在∠BAC的角平分线上，试判断此时四边形AEDF的形状，并说明理由；（3）若点D在∠BAC的角平分线上，将直角三角板绕点D旋转一定的角度，使得直角三角板的两条边与两条直角边分别交于点E、F（如图2），试证明AE+AF＝AD．
B卷（50分）
一、填空题：（每小题4分，共20分）
21．若3x＝5y，则＝；已知＝＝＝2，且b+d+f≠0，则＝．
22．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为．
23．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝，则图中阴影部分的面积等于．
24．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝1.2cm，则AB＝cm．
25．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；
④若＝，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有（填写序号）．
二、解答题（共30分）
26．（8分）去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
27．（10分）如图1，在第四象限的矩形ABCD，点A与坐标原点O重合，且AB＝4，AD＝3．点Q从B点出发以每秒1个单位长度的速度沿B→C→D运动，当点Q到达点D时，点Q停止运动，设点Q运动的时间为t 秒．
（1）请直接写出图1中，点C的坐标，并求出直线OC的表达式；
（2）求△ACQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图2，当点Q开始运动时，点P从C点出发以每秒2个单位长度的速度运动向点A运动，当点P到达A点时点Q和点P同时停止运动，当△QCP与△ABC相似时，求出相应的t值．
28．（12分）【问题背景】
如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，＝＝
【问题应用】
如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C三点共线，连接BD，
（1）求证：△ADB≌△AEC；
（2）直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；
如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在△ABC内部作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE、CF．
（1）判断△EFC的形状，并给出证明．
（2）若AE＝5，CE＝2，求BF的长．
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项符合题意．
故选：D．
2．【解答】解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；
（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
故选：C．
3．【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得，x≠2，
故选：A．
4．【解答】解：5x2﹣1＝4x，
5x2﹣4x﹣1＝0，
二次项的系数和一次项系数分别是5、﹣4，
故选：C．
5．【解答】解：180﹣108＝72，
多边形的边数是：360÷72＝5．
则这个多边形是五边形．
故选：B．
6．【解答】解：∵关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，∴，
解得：k≤5且k≠1．
故选：C．
7．【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝6．
又∵DE垂直平分AC交AB于点E，
∴DE∥BC，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE＝BC＝3．
故选：D．
8．【解答】解：需要添加的条件是AC＝BD；理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：B．
9．【解答】解：∵不等式组有解，
∴m＜5．
故选：C．
10．【解答】解：∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB：AC＝AC：BC，故A正确，不符合题意；
AC2＝AB?BC，故B错误，
，故C正确，不符合题意；
≈0.618，故D正确，不符合题意．
故选：B．
二、填空题：（每题4分，共16分）
11．【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．
12．【解答】解：点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3），故答案为：（﹣2，﹣3）．
13．【解答】解：当x＞3时，x+b＞kx+6，
即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．
故答案为：x＞3．
14．【解答】解：∵正五边形的外角为360°÷5＝72°，
∴∠C＝180°﹣72°＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CDB＝36°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA＝∠CDB＝36°，
故答案为：36．
三、解答题：（共计54分）
15．【解答】解：（1﹣）÷
＝?
＝x+1；
（2）x2+4x+2＝0
∵a＝1，b＝4，c＝2，
∴△＝42﹣4×1×2＝8，
∴x＝＝﹣2，
解得 x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（3）x2+8x﹣9＝0，
（x+9）（x﹣1）＝0，
∴x+9＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣9，x2＝1．
16．【解答】解：，
解不等式①得：x＞1；
解不等式②得：x＜4，
所以不等式组的解集为：1＜x＜4，
解集在数轴上表示为：
17．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所作；点B的对应点B'的坐标的坐标为（0，﹣6）；
（2）如图所示，点D的坐标为（﹣5，﹣3）或（﹣7，3）或（3，3）．18．【解答】解：（1）设直线AB为y＝kx+b，
∵点A（3，0），B（0，2），
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；
（2）作CD⊥x轴于D，
∵AC⊥AB，
∴∠OAB+∠CAD＝90°，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠CAD＝∠OBA，
∵∠AOB＝∠CDA＝90°，
∴△CAD∽△ABO，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
∴CD＝，AD＝，
∴OD＝OA+AD＝3+＝，
∴C（，），
设直线BC的解析式为y＝ax+2，
把C（，）代入得，＝a+2，
解得a＝，
∴过B、C两点直线的解析式为y＝x+2．
19．【解答】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：6000（1+x）2＝8640
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；
（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，
所以2017年该县投入教育经费为：y＝8640×（1+0.2）＝10368（万元），答：预算2017年该县投入教育经费10368万元．
20．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形；
（2）四边形AEDF是正方形，
理由：∵点D在∠BAC的角平分线上，DE⊥AB，BF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴矩形AEDF是正方形；
（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∴∠AMD＝∠AND＝∠BAC＝90°，
∵点D在∠BAC的角平分线上，
∴DM＝DN，
∴四边形AMDN是正方形，
∴AM＝DM＝DN＝AN，∠MDN＝∠AMD＝90°，∴∠MDF+∠NDF＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠MDF+∠EDM＝90°，
∴∠NDF＝∠EDM，
在△EMD与△END中，，
∴△EMD≌△END，
∴EM＝FN，
∵∠AMD＝90°，
∴AM2+DM2＝AD2，
∴AD＝AM，
∵AM＝（AM+AN）＝（AE+AF），
∴AD＝×（AE+AF），
∴AE+AF＝AD．
一、填空题：（每小题4分，共20分）21．【解答】解：∵3x＝5y，
∴＝；
∵＝＝＝2，
∴a＝2b，c＝2d，e＝2f，
∴＝＝2．
故答案为，2．
22．【解答】解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
+﹣x1x2
＝﹣3x1x2
＝4﹣3（k﹣1）
＝13，
k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
23．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，
∴BC＝2，∠C＝∠B＝∠CAC′＝∠C′＝45°，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD＝BC＝1，AF＝FC′＝sin45°AC′＝AC′＝1，
∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′＝×1×1﹣×（﹣1）2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
24．【解答】解：作DG∥CF于G，根据平行线等分线段定理，得BG＝FG，根据平行线分线段成比例定理，得：，AG＝3.6cm，则FG＝2.4cm，所以AB＝1.2+4.8＝6cm．
25．【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，
∴EF＝AD＝CD，∠ACD＝45°，∠GFC＝90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF＝FC，
∵EG＝EF﹣GF，DF＝CD﹣FC，
∴EG＝DF，故①正确；
②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD，
在△EHF和△DHC中，，
∴△EHF≌△DHC（SAS），
∴∠HEF＝∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝∠AEF+∠ADF＝180°，故②正确；
③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD，
在△EHF和△DHC中，，
∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；
④∵＝，
∴AE＝BE，
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH＝GH，∠FHG＝90°，
∵∠EGH＝∠FHG+∠HFG＝90°+∠HFG＝∠HFD，
在△EGH和△DFH中，，
∴△EGH≌△DFH（SAS），
∴∠EHG＝∠DHF，EH＝DH，∠DHE＝∠EHG+∠DHG＝∠DHF+∠DHG＝∠FHG＝90°，∴△EHD为等腰直角三角形，
过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：
设HM＝x，则DM＝2x，DH＝x，CD＝3x，
则S△DHC＝×HM×CD＝，S△EDH＝×DH2＝×＝，
∴3S△EDH＝5S△DHC，
故④不正确；
故答案为：①②③．
26．【解答】解：（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x﹣80）件．
x+（x﹣80）＝320，
解这个方程，得x＝200．
∴x﹣80＝120．
答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；
（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8﹣m）辆．
得：
，
解这个不等式组，得2≤m≤4．
∵m为正整数，
∴m＝2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．
设计方案分别为：
①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；
（3）3种方案的运费分别为：
①2×400+6×360＝2960（元）；
②3×400+5×360＝3000（元）；
③4×400+4×360＝3040（元）；
∴方案①运费最少，最少运费是2960元．
答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．
27．【解答】解：（1）∵在第四象限的矩形ABCD，点A与坐标原点O重合，且AB＝4，AD＝3，∴点C的坐标为（4，﹣3），
设直线OC的函数解析式为y＝kx，
﹣3＝4k，得k＝﹣，
即直线OC的表达式为y＝﹣x；
（2）当0≤t＜3时，S＝＝﹣2t+6，
当3＜t≤7时，S＝＝，
由上可得，S＝；
（3）∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，
∴AC＝5，
当△ABC∽△QPC时，
则，
∵AC＝5，QC＝3﹣t，CB＝3，CP＝2t，
∴，
解得，t＝；
当△ABC∽△PQC时，
，
∵AC＝5，PC＝2t，BC＝3，QC＝3﹣t，
∴，
解得，t＝；
由上可得，当△QCP与△ABC相似时，t值是或．
28．【解答】解：【问题应用】如图2，（1）
∵∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠DAB＝∠CAE，
在△DAE和△EAC中，
∵，
∴△DAB≌△EAC，
（2）结论：CD＝AD+BD．
理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．
∵△DAB≌△EAC，
∴BD＝CE，
在Rt△ADH中，DH＝AD?cos30°＝AD，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE，
∵CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD．
如图3，（1）证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．