高中学业水平数学模拟测试卷(一)
高中学业水平考试模拟测试卷(一)
(时间：90分钟满分100分)
一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合N＝{1，3，5}，则M∩N 等于()
A．{2}B．{2，3}
C．{1，3} D．{1，2，3，4，5}
解析：M∩N＝{1，2，3，4}∩{1，3，5}＝{1，3}，故选C.
答案：C
2．函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为()
A．{x|x>－3} B．{x|x>0} C．{x|x>3} D．{x|x≥3}
解析：由x－3>0得x>3，则定义域为{x|x>3}．故选C.
答案：C
3．下列命题中的假命题是()
A．?x∈R，2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x∈R，lg x<1 D．?x∈R，tan x＝2
解析：当x＝1∈N*时，x－1＝0，不满足(x－1)2>0，所以B为假命题．故选B.
答案：B
4．设i是虚数单位，若复数z＝5(1＋i)i，则z的共轭复数为() A．－5＋5i B．－5－5i C．5－5i D．5＋5i
解析：由复数z ＝5(1＋i)i ＝－5＋5i, 得z 的共轭复数为－5－5i.故选B.
答案：B
5．已知平面向量a ＝(0，－1)，b ＝(2，2)，|λa ＋b |＝2，则λ的值为( )
A ．1＋ 2 B.2－1 C ．2 D ．1
解析：λa ＋b ＝(2，2－λ)，那么4＋(2－λ)2＝4，解得，λ＝2.故选
C.
答案：C
6．已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )
A ．4x ＋2y ＝5
B ．4x －2y ＝5
C ．x ＋2y ＝5
D ．x －2y ＝5
解析：线段AB 的中点为? ????2，32，k AB ＝1－23－1
＝－12， 所以垂直平分线的斜率k ＝－1k AB ＝2，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y －32
＝2(x －2) ? 4x －2y －5＝0.故选B.
答案：B
7．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )
A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
解析：(1)三视图复原的几何体是放倒的三棱柱．(2)三视图复原的几何体是四棱锥．(3)三视图复原的几何体是圆锥．(4)三视图复原的几何体是圆台．所以(1)(2)(3)(4)的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台．故选C.
答案：C
8．已知f(x)＝x＋1
x－2(x>0)，则f(x)有()
A．最大值为0B．最小值为0 C．最大值为－4D．最小值为－4
解析：由x>0，可得1
x>0, 即有f(x)＝x＋
1
x－2≥2 x·
1
x－2＝2
－2＝0, 当且仅当x＝1
x，即x＝1时，取得最小值0.
答案：B
9．要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人
调查学习负担情况，应采取的抽样方法是( )
A ．(1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法
B ．(1)用分层抽样法，(2)用系统抽样法
C ．(1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法
D ．(1)(2)都用分层抽样法
解析：根据简单随机抽样及分层抽样的特点，可知(1)应用分层抽样法，(2)应用简单随机抽样法．故选C.
答案：C
10．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c ＝( )
A ．1∶2∶3
B ．3∶2∶1
C ．2∶3∶1
D ．1∶3∶2 解析：在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1, 可得A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.
a ∶
b ∶
c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32
∶1＝1∶3∶2.故选D. 答案：D
11．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么{a n }的前7项和S 7＝( )
A ．22
B ．24
C ．26
D ．28
解析：因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12, 所以3a 4＝a 3＋a 4＋a 5＝12，
解得a 4＝4，
所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42
＝7a 4＝28.故选D.
答案：D
12．抛物线y ＝14
x 2的焦点到准线的距离是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4
解析：方程化为标准方程为x 2＝4y .所以2p ＝4，p ＝2.所以焦点到准线的距离为2.故选C.
答案：C
13.? ????cos π12－sin π12? ??
??cos π12＋sin π12＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32
解析：? ????cos π12－sin π12? ??
??cos π12＋sin π12＝cos 2 π12－sin 2 π12＝cos π6＝32
.故选D. 答案：D
14．已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形，若将该几何体削成球，则球的最大表面积是( )
A ．16π
B ．8π
C ．4π
D ．2π
解析：因为三视图均为边长为2的正方形，所以几何体是边长为2的正方体，将该几何体削成球，则球的最大半径为1，表面积是4π×12＝4π.故选C.
答案：C
15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－10，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N *)，则S n 取最小值时，n 的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：在数列{a n}中，由a n＋1＝a n＋3，得a n＋1－a n＝3(n∈N*), 所以数列{a n}是公差为3的等差数列．
又a1＝－10，所以数列{a n}是公差为3的递增等差数列．由a n＝
a1＋(n－1)d＝－10＋3(n－1)＝3n－13≥0，解得n≥13 3.
因为n∈N*，所以数列{a n}中从第五项开始为正值．所以当n＝4时，S n取最小值．故选B.
答案：B
二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)
16．若点(2，1)在y＝a x(a>0，且a≠1)关于y＝x对称的图象上，则a＝________．
解析：因为点(2，1)在y＝a x(a>0，且a≠1)关于y＝x对称的图象上，
所以点(1，2)在y＝a x(a>0，且a≠1)的图象上，所以2＝a1，解得a＝2.
答案：2
17．已知f(x)＝x2＋(m＋1)x＋(m＋1)的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是________(用区间表示)．
解析：依题意Δ＝(m＋1)2－4(m＋1)＝(m＋1)(m－3)<0?－1 答案：(－1，3) 18．设f (x )＝?????lg x ，x >0，10x ，x ≤0， 则f (f (－2))＝________． 解析：因为x ＝－2<0，所以f (－2)＝10－2＝ 1100 >0, 所以f (10－2)＝lg10－2＝－2，即f (f (－2))＝－2. 答案：－2 19．已知4x ＋9y ＝1，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值是________． 解析：因为4x ＋9y ＝1，且x >0，y >0, 所以x ＋y ＝? ?? ??4x ＋9y (x ＋y )＝13＋4y x ＋9x y ≥13＋2 4y x ·9x y ＝25， 当且仅当4y x ＝9x y ，即x ＝10且y ＝15时取等号． 答案：25 三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．) 20．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ·cos B －b ＝2a . (1)求角C 的大小； (2)设角A 的平分线交BC 于D ，且AD ＝3，若b ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)由已知及余弦定理得2c ×a 2＋c 2－b 2 2ac ＝2a ＋b, 整理得a 2＋b 2－c 2＝－ab, 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12 ， 又0 . (2)由(1)知C ＝2π3 ，依题意画出图形．在△ADC 中，AC ＝b ＝2，AD ＝3， 由正弦定理得sin ∠CDA ＝AC ×sin C AD ＝23×32＝22， 又△ADC 中，C ＝2π3， 所以∠CDA ＝π4， 故∠CAD ＝π－2π3－π4＝π12 . 因为AD 是角∠CAB 的平分线， 所以∠CAB ＝π6 ， 所以△ABC 为等腰三角形，且BC ＝AC ＝ 2. 所以△ABC 的面积S ＝12BC ·AC ·sin 2π3＝12×2×2×32＝32 . 21．已知圆C 经过A (3，2)、B (1，6)两点，且圆心在直线y ＝2x 上． (1)求圆C 的方程； (2)若直线l 经过点P (－1，3)且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解：(1)方法1：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0), 依题意得，?????（3－a ）2＋（2－b ）2＝r 2， （1－a ）2＋（6－b ）2＝r 2，b ＝2a ， 解得a ＝2，b ＝4，r 2＝5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5. 方法2：因为A (3，2)、B (1，6)，所以线段AB 中点D 的坐标为 (2，4), 直线AB 的斜率k AB ＝6－21－3 ＝－2， 因此直线AB 的垂直平分线l '的方程是 y －4＝12 (x －2)，即x －2y ＋6＝0. 圆心C 的坐标是方程组???x －2y ＋6＝0，y ＝2x ， 的解．解此方程组，得???x ＝2，y ＝4， 即圆心C 的坐标为(2，4)． 圆C 的半径长 r ＝|AC |＝（3－2）2＋（2－4）2＝ 5. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5. (2) 由于直线l 经过点P (－1，3), 当直线l 的斜率不存在时，x ＝－1与圆C ：(x －2)2＋(y －4)2＝5相离，不合题意． 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y －3＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋3＝0. 因为直线l 与圆C 相切，且圆C 的圆心为(2，4)，半径为5，所以有|2k －4＋k ＋3|k 2＋1 ＝ 5.解得k ＝2或k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －3＝2(x ＋1)或y －3＝－12 (x ＋1), 即2x －y ＋5＝0或x ＋2y －5＝0.