=-B AC ,判别法失效,需进一步判断;
如果02
<-B AC ,则该驻点不是极值点.
2．计算二元函数在区域D 内的最大值和最小值
设函数),(y x f z =在有界区域D 上连续，则),(y x f 在D 上必定有最大值和最小值。求),(y x f 在D 上的最大值和最小值的一般步骤为：
步骤1. 计算),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值；
步骤2. 计算),(y x f 在D 的各个边界线上的最大值和最小值；
步骤3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在D 内的最大值和最小值。 3．函数求偏导数的MATLAB 命令
MATLAB 中主要用diff 求函数的偏导数,用jacobian 求Jacobian 矩阵。
可以用help diff, help jacobian 查阅有关这些命令的详细信息
【实验方法与步骤】
练习1 求函数32824-+-=y xy x z 的极值点和极值.首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数
>>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y)
结果为
ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即
.48,843y x y
z y x x z +-=??-=??再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve 命令，当方程组不存在符号解时，solve 将给出数值解。求解正规方程的MATLAB 代码为：
>>clear;
>>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y')
结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：
>>clear; syms x y;
>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2)
结果为
A=2*x^2 B =-8 C =4
由判别法可知)2,4(--P 和)2,4(Q 都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，
)2,4(--P 和)2,4(Q 是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍
点。
>>clear;
>>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y);
>>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3;
>>mesh(X,Y,Z)
>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')
结果如图6.1
图6.1 函数曲面图
可在图6.2种不容易观测极值点与鞍点,这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值.
>>contour(X,Y,Z, 600)
>>xlabel('x'),ylabel('y')
结果如图6.2
图6.2 等值线图
由图6.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点-
P和)2,4(
Q.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指(-
,4
)2
Q周围没有等高线环绕,不向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点)0,0(
是极值点,是鞍点.
练习２ 求函数xy z =在条件1=+y x 下的极值..构造Lagrange 函数
)1(),(-++=y x xy y x L λ
求Lagrange 函数的自由极值.先求L 关于λ,,y x 的一阶偏导数
>>clear; syms x y k >>l=x*y+k*(x+y-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,k)
得
,1,,-+=??+=??+=??y x L x y L y x L λ
λλ再解正规方程 >>clear; syms x y k
>>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k')
得,2
1
,21,21-===
λy x 进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.
练习3 抛物面2
2y x z +=被平面1=++z y x 截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最
长与最短距离.
这个问题实际上就是求函数
222),,(z y x z y x f ++=
在条件2
2y x z +=及1=++z y x 下的最大值和最小值问题.构造Lagrange 函数
)1()(),,(22222-+++-++++=z y x z y x z y x z y x L μλ
求Lagrange 函数的自由极值.先求L 关于μλ,,,,z y x 的一阶偏导数
>>clear; syms x y z u v
>>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,z) >>diff(l,u) >>diff(l,v)
得
μλμλμλ+-=??++=??++=??z z
L y y y L x x x L 2,22,22
1,22-++=??-+=??z y x L z y x L μ
λ 再解正规方程
>>clear;
>>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0', 'x^2+y^2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v')
得
.32,2
3
1,33117,3353 =±-==±-=±
-=z y x μλ 上面就是Lagrange 函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数f 在有界闭集}1,:),,{(22=++=+z y x z y x z y x ，上连续，从而存在最大值与最小值），故由
359.)32,2
3
1,231(
=±-±-f 求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为359+，最短距离为359-。
练习4 求函数72422+--+=y x y x z 在上半圆0,1622≥≤+y y x 上的最大值和最小值。
首先画出等高线进行观测，相应的MATLAB 程序代码为：
>>clear;
>>x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^2+Y.^2-4*X-2*Y+7; >>contour(X,Y,Z,100) >>xlabel('x'),ylabel('y')
结果如图6.3
观测图6.3可看出，在区域D 内部有唯一的驻点，大约位于)1,2(在该点处汉书趣的最小值。在圆弧与直线的交点处取得最大值，大约位于)2,4(-。下面通过计算加以验证。
求函数在区域D 内的驻点，计算相应的函数值。求z 关于x,y 的偏导数
>>clear; syms x y; >>z=x^2+y^2-4*x-2*y+7; >>diff(z,x) >>diff(z,y)
结果得
,22,42-=??-=??y y
z
x x z 解正规方程 >>clear; [x,y]=solve('2*x-4=0','2*y-2=0','x','y')
得驻点为(2,1),相应的函数值为2。
求函数在直线边界44,0≤≤-=x y 上的最大值和最小值。将0=y 代入原函数，则二元函数变为一元函数
.44,742≤≤-+-=x x x z
首先观测此函数图形，相应的MATLAB 程序代码为：
>>x=-4:0.01:4; y=x.^2-4*x+7; >>plot(x,y);
>>xlabel('x'),ylabel('z')
结果如图6.4所示
由图6.4可看出，当4-=x 时函数取得最大值，2=x 时函数取得最小值。下面用计算验证。对函数求导
>>clear; syms x ; >>z=x^2-4*x+7; diff(z,x) 得
42-=x dx
dz
，可知驻点为2=x ，而边界点为4±=x ，计算着三个点上的函数值可得当4-=x 时函数取得最大值39，2=x 时函数取得最小值3。
求函数在圆弧边界线上0,1622
≥≤+y y x
的最大值和最小值。此边界线可用参数方程
π≤≤==t t y t x 0,sin 4,cos 4
表示。则二元函数变为一元函数
23sin 8cos 16+--=t t z
首先观测此函数图形，相应的MATLAB 程序代码为：
>>t=0:0.01*pi:pi; z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; >>plot(t,z);
>>xlabel('t'),ylabel('z')
结果如图6.5所示
由图6.5可看出，当5.0≈t 时函数取得最小值，π=x 时函数取得最大值。下面用计算验证。对函数求导
>>clear; syms t ;
>>z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; diff(z,t) 得
t t dt
dz
cos 8sin 18-=,解正规方程 >>clear;
>>t=solve('16*sin(t)-8*cos(t)=0','t') >>numeric(t) %求出t 的数值
得4636,02
1
arctan
≈=t ，边界点为π,0=t ，计算着三个点上的函数值可得当4636.0=t 时函数取得最小值0.5111，)0,4(,=-==y x t π时函数取得最小值39。
综上所述，在点(2,1)处函数取得最小值2，在点(-4,0)处函数取得最大值39。
【练习与思考】
1. 求144
4
+-+=xy y x z 的极值，并对图形进行观测。
2. 求函数()2
2
2,y x y x f +=在圆周12
2
=+y x 的最大值和最小值。
3. 在球面12
22=++z y x 求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。
4. 求函数z y x z y x f 32),,(++=在平面1=+-z y x 与柱面12
2=+y x 的交线上
的最大值。 5. 求函数2
2y x z +=在三条直线1,1,1=+==y x y x 所围区域上的最大值和最小
值。
