【附20套高考模拟试题】2020届江西省宜春市丰城中学高考数学模拟试卷含答案

2020届江西省宜春市丰城中学高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ?为锐角三角形，且满足，

2sin 2tan (2sin cos 2)C A C C =+-，则等式成立的是（ ）

A ．2b a =

B ．2a b =

C ．2A B =

D ．2B A =

2．在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，90BAC ∠=?，3AB =，4AC =，60PBC ∠=?，则三棱锥P ABC -外接球的体积为( )

A ．100π

B ．5003π

C ．125π

D ．1253π

3．定义在上的函数满足：

，

，则不等式

（其中为自然对数的底

数）的解集为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

4．我们可以用随机数法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，

它能随机产生()0,1内的任何一个实数）.若输出的结果为7840，则由此可估计π的近似值为（ ）

A ．3.119

B ．3.124

C ．3.136

D ．3.151

5．已知π1

cos 25

α??-= ???，则cos2α=( )

A ．7

25 B ．725-

C ．2325

D ．23

25-

6．如图，在边长为2的正方体''''ABCD A B C D -中，P 为平面ABCD 内的一动点，PH BC ⊥于H ，若2

2

'||4PA PH -=，则点P 的轨迹为（ ）

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．抛物线

D ．圆

7

．已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，若

FOM ?的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（ ）

A ．2

2

415

y x -= B ．22

2125

x y -

= C ．22145x y -= D ．22

11620x y -=

8．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48

B ．72

C ．90

D ．96

9．如图所示，两个不共线向量

的夹角为，分别为

与

的中点，点在直线

上，且

，则

的最小值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．已知12,F F 为双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点，过12,F F 分别作垂直于x 轴的直线交双

曲线于,,,A B C D 四点，顺次连接这四个点正好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（ ） A ．5

B ．

512+ C ．32 D ．31

+

11．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，且23BP BC =u u u v u u u v ，则AD AP u u u v u u u v

?=（ ）

A ．3

2 B ．1

C ．3

D ．3

12．已知函数

，若

，则实数m 的取值范围是

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知平面向量a r ，b r ，e r 满足1

e =r ，1a e ?=r r ，1b e ?=r r ，4a b -=r r ，则a b ?r r 的最小值为_____.

14．已知正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在平面BCD 上的射影，则异面直线BM 与

OA 所成角的余弦值为_______．

15．若

1sin()43πθ-=，(0,)

2π

θ∈，则cos 2θ=______. 16．若一个底面边长为3

2，6的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分） “中国大能手”是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚.某公司准备派出选手代表公司参加“中国大能手”职业技能挑战赛.经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好.已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间t （单位：秒）及挑战失败（用“×”表示）的情况如下表1： 序号

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

t 甲 × 96 93 × 92 × 90 86 × × 83 80 78 77 75

t 乙

× 95 × 93 × 92 × 88 83 × 82 80 80 74 73

据上表中的数据，应用统计软件得下表2： 均值（单位：秒）方差 方差 线性回归方程

甲

85

50.2

?=-1.5999.28t x +甲

乙 84 54

?=-1.73100.25t

x +乙 （1）根据上述回归方程，预测甲、乙分别在下一次完成该项关键技能挑战所用的时间；若该公司只有一个参赛名额，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由. 18．（12分）已知()f x 2x 2x 1=++-的最小值为t ．

()1求t 的值；

()2若实数,a b 满足222a 2b t +=，求2211

a 1

b 2+++的最小值．

19．（12分）在中，已知，且为锐角.求

；若

，

且

的面积为

，求

的周长.

20．（12分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n 的样本，得到一周参加社区服务的时间统计数据如下表： 服务时间超过1小时 服务时间不超过1小时 男 20 8 女

12

m

（1）求,m n ；将表格补充完整，并判断能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？ 服务时间超过1小时 服务时间不超过1小时 合计 男 20 8 女 12 m 合计

（3）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.

附：2

2

()()()()()

n ad bc k a b c d a c b d -=

++++ ()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0k

2.706

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

21．（12分）ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC △的面积为S ，若

2223b c a =+-．求角A 若2a =，23b =C ．

22．（10分）已知椭圆的焦点1(4,0)

F -，

2(4,0)

F ，过点2

F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，

并且

1210

F B F B +=，椭圆上不同的两点

11(,)A x y ，

22(,)

C x y 满足条件：

2F A

，

2F B

，

2F C

成等差

数列.求椭圆的方程；求弦AC 中点的横坐标.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．B 2．B 3．A 4．C 5．C 6．C 7．C 8．D 9．B 10．B 11．D 12．D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．3-

14

．3

15

．9

16．92π

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（1）甲用时73.84秒，乙用时72.57秒； （2）选手乙，见解析. 【解析】 【分析】

（1）把x 16=时分别代入?y 甲和 ?y 乙中，即可求出；（2）由x x >甲乙，乙选手用时更短，由于22

S S <甲乙，

说明甲、乙用时都在逐步减少，乙的方差大，说明乙进步更大，

1y

?y ?.<乙甲从的计算结果进一步说明，选手乙代表公司更合适 【详解】

（1）当x 16=时，y

=-1.591699.234?87.8?+=甲（秒）

y

=-1.7316100.25 2.5?77乙?+=（秒） （2）甲、乙两位选手完成关键技能挑战成功的次数都为10次，失败次数都为5次，所以，只需要比较他们完成关键技能挑战成功的情况即可，根据所给信息，结合（1）中预测结果，综合分析，选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适，理由如下：

因为在相同次数的挑战练习中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，x x >甲乙,乙选手用时更短；

由于22

S S <甲乙，虽然甲选手的发挥更稳定，但稳定在较大的平均数上，随着训练次数增加，甲、乙用时

都在逐步减少，乙的方差大，说明乙进步更大；

从（1）的计算结果?y

y ?<乙甲进一步说明，选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适. 【点睛】

本题考查了线性回归方程的运用，也考查了平均数与方差的意义，属于基础题. 18．（1）2；（2）1 【解析】 【分析】

（1）分类讨论将函数f （x ）化为分段函数，进而求出t 的值；

（2）根据t 的值求得a 2+b 2的值，进而得到a 2+1+b 2+2的值再根据基本不等式求最小值． 【详解】

（1）f （x ）=|2x+2|+|x-1|=311311311x x x x x x +≥??

+-??--≤-?

，，

，

＜＜，，． 故当x=-1时，函数f （x ）有最小值2，所以t=2． （2）由（1）可知2a 2+2b 2=2，故a 2+1+b 2+2=4，

所以222222111

11212124

a b a b a b +++??+=+? ?++++?? =22222121214

b a a b ++++++≥

当且仅当a 2+1=b 2+2=2，即a 2=1，b 2=0时等号成立，故22

11

12

a b +++的最小值为1． 【点睛】

本题考查分段函数的性质以及基本不等式在求最值中的应用，属于中档题． 19．（1）；（2）

.

【解析】 【分析】

（1）利用二倍角公式化简已知等式，可求角B 的大小. （2）利用已知及余弦定理求得及b,可求

的周长.

【详解】 （1）∵， ∴或. 在中，∵

，∴

.

（2）设的内角

的对边分别为

，

∵，∴

，

∴. 又∵的面积为，∴，

∴

.

当为锐角，∴，

由余弦定理得

，∴

，

∴

的周长为

. 当为钝角时，，

由余弦定理得 ，∴

，

∴

的周长为

.

【点睛】

本题结合三角形面积公式考查学生对二倍角公式及余弦定理的熟练运用能力，考查了学生的计算能力，属于中档题．

20．（Ⅰ）8m =，48n =（Ⅱ）没有95%把握（Ⅲ）4人 【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据分层抽样比例列方程求出n 的值，再计算m 的值；（Ⅱ）根据题意完善2×2列联表，计算K 2，对照临界值表得出结论；（Ⅲ）计算参加社区服务时间超过1小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可． 【详解】

（Ⅰ）由已知，该校有女生400人，故12400

208560

m +=+，得8m =， 从而20812848n =+++=.

（Ⅱ）作出列联表如下：

超过1小时的人数

不超过1小时的人数

合计

()

2

2481609624

0.6857 3.84128203216

35

K -=

=

≈

小时与性别有关. （Ⅲ）根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率322

483

P ==，故估计这6名学生一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人. 【点睛】

本题考查列联表与独立性检验的应用问题，也考查了用频率估计概率的应用问题，是基础题． 21．

(1) 6

A π

=

;

(2) 2

C π

=

或

6

π 【解析】 【分析】

（1）利用三角形面积公式和余弦公式，得A ，即tan A =，

再根据三角形内角的取值范围，求得角A 的值；

（2）根据正弦定理求得角B 的值，再根据三角形的内角和，求得角C 的值. 【详解】

(1) Q ABC ?

中，222

1sin 22

b c a bc A bc A

+-===

∴ 222

cos 2b c a A A bc +

-==∴

tan A = 0A π<<∴ 6A π= (2) Q 2a =，b =6

A π

=

∴由sin sin a b A B =得1

sin 2sin 22

b A B a === Q 506B π<< 且B>A ∴ 3B π=或23

π ∴ 2C π=或6

π

【点睛】

本题考查了三角形面积公式和余弦定理，正弦定理的应用，三角形面积公式中既含有角，又含有边，可与正弦定理和余弦定理联系起来，为解三角形提供条件；已知三边关系，可转化为接近余弦定理的形式，运用余弦定理理解三角形，注意整体代入思想的应用.

22．（1）22

1259

x y +=；

（2）4

【解析】 【分析】

（1）利用椭圆的焦点坐标得到c ，利用椭圆的定义得到a ，利用22b a c =-求得b ，由此求得椭圆的方程.（2）利用2F A ，2F B ，2F C 成等差数列列出方程，将2,,,F A B C 的坐标代入，可求得12x x +的值，由此求得AC 中点的横坐标. 【详解】

（1）由题意可知12210a F B F B =+=. 所以5a =，又4c =，所以223b a c =-=，

所以椭圆方程为：22

1259

x y +=.

（2）由点()4,B B y 在椭圆上，得295

B F B y ==. 由2F A ，2F B ，2F

C 成等差数列，得

()

()

2

2

22

112294425

x y x y -++

-+=?①

点()11,A x y 在椭圆22111259

x y +=上，得()

2

21192525y x =- 所以()()

2

22211111948162525x y x x x -+=-++- 2

1455x ??=- ??

? ()112545x =-② 同理可得

()

()2

22221

42545x y x -+=

-③ 将②③代入①式，得：()()121118

254254555

x x -+-=

所以128x x += 设AC 中点坐标为()00,x y ，则横坐标：12

042

x x x +==. 【点睛】

本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，还考查了等差中项的性质.属于中档

题. 高考模拟数学试卷

第Ⅰ卷

一、选择题

1．已知集合{}

(3)(1)0M x x x =-+≤，{}

(22N x x =-≤≤，则M N =I （ ）

A ．[]1

2-， B ．[]2,1-- C ．[]1,1- D ．[]1,2 2．设复数1Z i =--（i 为虚数单位），Z 的共轭复数为Z ，则Z Z =g （ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．10

3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，410+28a a =，则9S =（ ） A ．45 B ．90 C ．120 D ．75

4．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：

x

2 4 5 6 8 y

30

40

50

m

60

根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y 6.517.5x ∧

=+，

则表中m 的值为（ ） A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 5．下列命题中，真命题为（ ） A ．0x R ?∈，00x e ≤ B ．x R ?∈， 22x x ≥

C ．已知a,b 为实数，则a+b=0的充要条件是

1a

b

=- D ．已知a,b 为实数，则1a >，1b >是1ab >的充分不必要条件 6． 某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A ．(95)π+

B ．(925)π+

C ．(105)π+

D ．(105)π+

7．设变量x,y 满足不等式组3123x y x y x y +≥??

-≥-??-≤?

，则目标函数z=2x+3y 的最小值是（ ）

A ．5

B ．7

C ．8

D ．23

8．如图中的程序框图的算法思路,,a b i 的值分别为6，8，0时，则输出的i =（ ）