古典概型知识点与习题

古典概型

1.理解古典概型及其概率计算公式.

2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

知识聚焦不简单罗列

古典概型

（1）基本事件的特点：①任何两个基本事件是的.②任何事件（除不可能事件）都可以表示成的和.

（2）古典概型的特点：

①试验中所有可能出现的基本事件只有个，即.

②每个基本事件出现的可能性，即.

（3）概率公式：P（A）＝.

正本清源不单纯记忆

■链接教材

1.[教材改编]从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，基本事件共有个.

2.[教材改编]抛掷质地均匀的一枚骰子一次，出现正面朝上的点数大于2且小于5的概率为.

■易错问题

3.等可能事件：等可能性.

从两男两女四人中任意抽取两个人，出现的结果：①两男；②两女；③一男一女，其中概率相等的事件为.

4.古典概型：关键在于基本事件的计数.

从1，3，5，7中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值大于3的概率是.

■通性通法

5.古典概型：基本事件的个数；古典概型概率公式.

[2015·昆明模拟]投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1，2，3，4，5，6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为.

6.小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2，4，6，8按一定顺序构成，小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，随机地输入由2，4，6，8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是.

探究点一基本事件及事件的构成

1做抛掷两颗骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出：

（1）试验的基本事件；

（2）事件“出现点数之和大于8”包含的基本事件；

（3）事件“出现点数相等”包含的基本事件；

（4）事件“出现点数之和大于10”包含的基本事件.

[总结反思]求一个试验包含的所有基本事件时，需要将该试验的所有可能情况一一列出，不重不漏，也可采用列表法或树状图法找出基本事件.

式题将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，观察向上一面的正反.

（1）试用列举法写出该试验所包含的基本事件；

（2）事件A ：“恰有两次正面向上”包含几个基本事件；

（3）事件B ：“三次都正面向上”包含几个基本事件.

探究点二 古典概型的概率问题

2（1）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）

A .310

B .15

C .110

D .120

（2）]已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为（ ）

A .0.4

B .0.6

C.0.8

D.1

[总结反思]古典概型中基本事件的探求方法：（1）列举法，适合基本事件个数较少且易一一列举的情况，列举时一定要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误.（2）树状图法，适合列举较为复杂的基本事件.（3）列表法等.

式题

某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

参加书法社团未参加书法社团

参加演讲社团85

未参加演讲社团230

（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率.

（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.

探究点三 古典概型概率的交汇问题

考向1 古典概型与平面向量相结合

3已知向量a ＝（x ，－1），b ＝（3，y ），其中x 随机选自集合{－1，1，3}，y 随机选自集合{1，3，9}，则（1）a ∥b 的概率为 ；（2）a ⊥b 的概率为 .

[总结反思]古典概型与平面向量交汇问题的处理方法：

（1）根据平面向量的知识，进行坐标运算，得出事件满足的约束条件；

（2）根据约束条件列举出所有符合的结果；

（3）利用古典概型的概率计算公式求解.

式题已知k ∈Z ，AB →＝（k ，1），AC →＝（2，4），若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的

概率是 .

考向2 古典概型与直线、圆相结合

4从集合A ＝{－1，1，2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2，1，2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限的概率为（ ）

A .13

B .29

C .59

D .49

[总结反思]古典概型与直线、圆交汇问题的处理方法：

（1）根据平面几何中直线与圆的知识，构建事件满足的约束条件；

（2）根据约束条件列举出所有符合的结果；

（3）利用古典概型的概率计算公式求解.

式题[2015·洛阳统考]将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆（x －2）2＋y 2＝2有公共点的概率为 .

考向3 古典概型与函数相结合

5]已知函数f （x ）＝13x 3－（a －1）x 2＋b 2x ，其中a ∈{1，2，3，4}，b ∈{1，2，3}，

则函数f （x ）在R 上是增函数的概率为 .

[总结反思]古典概型与函数交汇问题的处理方法：

（1）根据函数的相关性质，确定系数应满足的条件；

（2）根据系数满足的条件进行分类考虑，列举出所有符合条件的基本事件；

（3）利用古典概型的概率计算公式求解.

式题设a ∈{2，4}，b ∈{0，1，3}，函数f （x ）＝12ax 2＋bx ＋1，则f （x ）是偶函数的

概率为 .

学科能力自主阅读型

误区警示 17.基本事件判断不准致误

【典例】[2015·茂名二模改编]某市为增强市民的环境保护意识，征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组，第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图9-51-1所示.

图9-51-1

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组中各抽取志愿者分别为 .

（2）在（1）的条件下，该市决定从第3，4组抽取的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则第4组至少有1名志愿者被抽中的概率为 .

答案 （1）3人，2人，1人 （2）710

解析 （1）由频率分布直方图可知，第3组的人数为0.06×5×100＝30，第4组的人数为0.04×5×100＝20，第5的人数为0.02×5×100＝10，所以用分层抽样的方法在60名志愿者

中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为第3组：6×3060

＝3，第4组：6×2060＝2，第5组：

6×1060＝1.所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人.

（2）记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1，B 2，则在5名志愿者中抽取的2名志愿者有①（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，A 3）， （A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，B 2），共10种情况，其中第4组的2名志愿者至少有1名被抽中的有②（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），

（A 3，B 2），（B 1，B 2），共7种情况，所以第4组至少有1名志愿者被抽中的概率为710.

本题用列举法求古典概型中随机事件所包含的基本事件的个数，因为涉及志愿者分组与志愿者的编号，所以在列举基本事件时，①②容易出现分组与编号混乱导致基本事件遗漏、重复等错误.解决此类问题，一定要按照某个既定的顺序逐个写

出基本事件，以防遗漏与重复.

【跟踪练习】（1）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）

A .110

B .18

C .16

D .15

（2）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P （m ，n ）落在直线x ＋y ＝4下方的概率为（ ）

A .16

B .14

C .112

D .19