一个带约束条件的二元函数最值的求法(四)

一个带约束条件的二元函数最值的求法

江苏省东海县白塔高级中学 陈大连

邮编 222345 电话

近年来高考与各地的模拟考试中悄然出现一种平时练习中不太常见的数学问题——求带约束条件的二元函数最大值或最小值，这种问题因条件与目标函数的不同其解法也往往不同.本文将给出一道典型小题的多种解法并对解法加以说明，以帮助读者能够迅速解决这种问题并增强解题的灵活性.

问题（2015届江苏省宿迁市高三一模第 9题）已知实数,x y 满足221x xy y -+=，则

x y +的最大值为 .

解法1 令x y t +=，则y t x =-，将其代入条件得，22()()1x x t x t x --+-=，整理，得223310x tx t -+-=.令22(3)43(1)0t t ?=--?-≥，解得22t -≤≤.当2

2

2,1

x y x xy y +=??

-+=?即

1x y ==时右边的等号成立，所以t =x y +的最大值为2.

注 此解法对目标函数整体换元，然后将条件化为关于某个变元的一元二次方程，依据其判别式的非负性得到目标函数的最值，其中“可将条件化为关于某个变元的一元二次方程”是此解法得以成功的关键所在.需要提醒的是在得到22t -≤≤时要注意检查等号成立的条件.

解法2 由221x xy y -+=配方，得2()31x y xy +-=，再由基本不等式，得

22()1313(

)2x y x y xy ++=+≤+，即22

()13()2

x y x y ++≤+，解得2()4x y +≤，即22x y -≤+≤，从而2x y +≤.当1x y ==时等号成立，所以x y +的最大值为2.

注 由于约束条件为二元二次方程，我们可以考虑对其配方，但配方的途径有很多，上解法注意结合目标函数配方，并运用基本不等式，构造出一个关于目标函数式x y +的不等式，通过解不等式求出函数的最值，这种构造不等式求最值或范围是常见的思路. 解法3 由221x xy y -+=配方，得22

3()124

y x y -+=.

令cos sin 2y x y αα-==，

则

32y α=

，3

()cos 22

y x y αα-++

，即cos x y αα+=+ 2sin()26πα=+≤.易见当3

π

α=时等号成立，所以所求的最大值为2.

注 由于221x xy y -+=的左边是一个非负式子，可以配方成两个式子的平方和，为三角换元创造条件.

解法4 由解法3知等式条件可配方为22

3()124

y

x y -+

=.

令2y x s y t -==，则条件化为221s t +=

，目标函数x y s +=+.

由线性规划知识，当动直线s P +=与圆

221s t +=相切时P

1=，解得2P =±，其

中2是最大值，即x y +的最大值为2.

注 此解法通过换元将问题化为线性规划问题，借助约束条件与目标函数的几何意义求解，直观明了.

解法5 当0x =时21,1,1y y x y ==±+=±.

当0x ≠时，Q 2

2

1x xy y -+=，∴222

2

2222

()2()x y x xy y x y x xy y x xy y

++++==-+-+ 2

22222212()12(1)3311111()

y y

t t t t t t x x y y t t t t t t x x +?

+++-++====+-+-+-+-+，其中y t x =.易求2311t t t +-+的最大值为4（只需考虑0t >情形），即2()4x y +≤，从而2x y +≤.

综合，得所求的最大值为2.

注 上解法运用齐次化方法，将目标函数化为一元分式函数，之所以能这样做，是因为约束条件左边是齐次式（二次），而目标函数也是齐次式（一次），根据次数关系再将目标函数平方为2()x y +求其最大值.一般地，如果约束条件与目标函数均为齐次式，可考虑这种方法.

解法6 令,,x y s x y t +=??-=?则,

2,

2s t x s t y +?

=???-?=??

代入221x xy y -+=，得 22

()()12222

s t s t s t s t ++---?+=，化简，得223144s t +

=，它表示椭圆，显然s 的取值范围是[2,2]-，而s 就是x y +，所以x y +的最大值为2.

注 由于条件中含有xy 项，且2x 项与2y 项的系数相等，若我们作线性代换,

,

x y s x y t +=??

-=?则可以化去变元的混合乘积项，使等式条件只含有变元的平方项，这样我们就能看清等式条件所表示的图形特征，以便于从几何角度求解.

解法7 令x y p +=，,22p p x t y t =

+=-，则22()()()()12222

p p p p

t t t t +-+-+-=，化简，得2

2314p t +=，所以2

14

p

≤，从而24p ≤，22p -≤≤，可见x y +的最大值为2.

注 上解法用的是平均代换，通常当条件为两变元的和等于一常数，会考虑这种方法. 以上各解法能紧扣问题特点，都比较简捷，而下面的解法虽对此题不够简捷，却值得注意.

解法8 当,x y 中有一个为0时，由对称性，不妨0x =，则1y =±，此时1x y +=±. 当,x y 同号时，因求的是x y +的最大值，只须考虑0,0x y >>情形.此时令x y ρ+=，

22cos ,sin x y ραρα==，其中0ρ>.代入条件，得 24222cos cos sin ραραα-

24sin 1ρα+=，从而2ρ=

4

2

2422

22211

cos cos sin sin (cos sin )3cos sin αααααααα

=-++- 21143

31sin 214

4

α=

≤

=--.

当,x y 异号时，由对称性，不妨0,0x y ><，此时令x y ρ+=，21

cos x ρα

=?

， 2

tan y ρα=-，0ρ>，代入条件，得2

2

224421tan tan 1cos cos αρρρααα

++=，从而2ρ= 2442

11tan tan cos cos αααα

++424

cos 1sin sin α

αα

=++1<. 综合三种情况，得2ρ≤，即2x y +≤，其中等号可取到，所以x y +的最大值为2.

注 若目标函数为22x y +，则易想到三角换元cos ,sin x y ραρα==，但若目标函数为x y +且,0x y >，也可考虑三角换元22cos ,sin x y ραρα==.若目标函数为22x y -，可考虑三角换元1

,tan cos x y ρ

ραα

==，但若目标函数为(,0)x y x y ->，则也可考虑令22

1

,sin cos x y ρ

ραα

==. 解法9 由2

2

1x xy y -+=

得y =

，所以32x y x +=±

).

由柯西不等式的二元形式ax by +≤

)≤

2=.

当1

())2

±=1x =时等号成立，所以x y +的最大值为2.

注 上解法用的是消元法，此解法看似平淡无奇，但使用的范围也较广，只要能依据等式条件将一个变元用另一个变元的代数式表示，都可考虑这一方法.另，使用柯西不等式的

这一步也可改为运用向量求解：令1)),2a b =±=r r ，据a b a b ?≤?r r r r ，同

)±

解法10 设λ为待定的正常数，则2222()()x xy y x y x y x y y λλλ-+-+=-++-= 2

2

2

222222()333()()()(2)242424244

y y y y x y y x y y x y y λλλλλλλ

λλ++++-+--=-+--=-+--

22

22233()()2444

y x y λλλλλ+=-+---≥-.

当,2y y x λλ=???+=??即x y λ==时等号成立，此时221λλλλ-?+=，解得1λ=，从而有

222()11x xy y x y -+-+≥-=-，即1()1x y -+≥-，即2x y +≤，且等号能成立，所以x y

+的最大值为2.

注 此解法先引入待定的系数λ，然后依次对,x y 进行配方，当得到两个式子的平方和后便根据其非负性将构建的式子放缩，最后利用等号成立的条件及函数的约束条件确定待定系数的值，其中配方的方法我们称之为主元配方法或拉格朗日配方法.这种解法是处理带等式（二元二次整式）约束条件的二元整式函数最值问题的较一般的方法.如果我们在解此类题问题时一时没有找到简单的方法，不妨试用这一方法.

以上10种解法思路各不相同，是解决带等式约束条件二元函数最值问题的常用方法，希抓住问题特点灵活运用.本题还有其它解法，读者可继续探究.

为帮助读者进一步熟悉此类问题的解法，下面备几道练习题供参考使用： 1．已知正实数,x y 满足223xy x y ++=，求x y +的最小值.

2．已知实数,x y 满足223xy x y ++=，求224x y +的最小值. 3．已知实数,x y 满足22231x xy y --=，求22x y +的最小值.

4．已知实数,x y 满足2

214

x

y -=，则232x xy -的最小值是 ．

5．若实数,x y 满足22224444x xy y x y -++=，则2x y +的最大值为 . 6．已知正实数,x y 满足24

310x y x y

+

++=，则xy 的取值范围为 . 7．已知2(2)522=(+)(1-),0x y y y x,y >-，则2+x y 的最大值为 . 8．已知实数,x y 满足331x y -=，0,0x y >>，求22()()x y x y -+的取值范围.

练习答案：

1. 32 ；

2. 2；3

；

4.6+

5.

；6. 8[1,]3

；

7. 2；

8．4

(1,)3

.

练习解答（仅提供一种）： 1． 由223xy x y ++=得3221x y x -=

+，所以32124

2121

x x x y x x x x ---++=+=+++

4121x x =-+

+143

(21)2212

x x =++-

+3322≥=，且等号能成立.所以x y +

的最小值是3

2

. 2.

由基本不等式得22

(2)2,22

x y x y x y +?≤+≤，所以322xy x y =++

22(2)2

x y +≤+，解得22(2)2x y +≥，即2242x y +≥，当2x y =且

223xy x y ++=即1

,12

x y ==等号成立，所以224x y +的最小值为2.

3． 令cos ,sin x r y r αα==，则222x y r +=，条件化为

22222cos 2cos sin 3sin 1r r r αααα--=，由此得2221

cos 2cos sin 3sin r αααα

=

--

=11

1cos21cos22cos2sin 21sin 2322ααααα=+-----

?

=≥

，其中等号能显然成立. 4．令1,tan 2cos x y αα==，则2cos x α=，2222344tan 124sin 32cos cos cos cos x xy αααααα

?-=-=-

22124sin 4(3sin )44881sin (9sin )8(3sin )6(3sin )3sin 3sin αααααααα--=====---+-+-+---

4

86[(3sin )]3sin αα--+

-6≥==+8

3sin 3sin αα

-=

-

即sin 3α=-时等号成立.

5．配方，得2

2

2

(2)4848x y x y xy ++-+=，2

2

(2)4(1)8x y xy ++-=，所以

2(2)8x y +≤

，所以2x y +≤1xy =且20x y +≥、22224444

x xy y x y -++=

即x y =

=

2x y +

的最大值为6．令xy t =，则t y x =

，代入条件，得24310t x x x x t

++?+=，整理，得24(1)10(23)0x x t t +-++=.其判别式41004(1)(23)0t t -++≥，解得813

t ≤≤.

当1x y ==时1t =；当42,3x y ==时8

3

t =.故xy 的取值范围为8[1,]3.

7．对条件配方，得22(2)4(1)9x y y -++=.令2,2(1)x y s y t -=+=，则有

1,2122

t t

y =

x s -=+-，22+x y s t =+-，问题化为在229

2=()s t t >+条件下求2p=s t +-的最大值.由线性规划知识知，在坐标系s o t --中当动直线2p=s t +-与圆弧2292=()s t t >+

切于点时p

最大，最大值为2. 8．3

3

1x y -=Q ，222

2

2

3322

()()()()()()()()x y x y x y x y x y x y x y x y x xy y -+-+∴-+==--++ 22222x xy y x xy y ++=++221xy x xy y =+++21()1x

y

x x y y =+++2

1

11111t t t t t =+=+++++，其中x t y =.由条件知3

3

1x y =+，3333

11()1(1,)x y y y y +==+∈+∞，从而(1,)t ∈+∞， 1(2,)t t

+∈+∞，14

1(1,)131t t

+

∈++，即22()()x y x y -+的取值范围是4(1,)3.