七年级数学下册第九章不等式与不等式组教案人教版

第九章不等式与不等式组

9．1不等式

9．1.1不等式及其解集

感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义．通过解决简单的实际问题，学生自主地寻找不等式的解集，会把不等式的解集正确地表示在数轴上．

重点

不等式的解集的概念．

难点

不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法．

一、创设情境，引入新课 教师出示问题：

一辆匀速行驶的汽车在11: 20距离A 地50千米，要在12：00以前驶过A 地，车速应该满足什么条件？

教师提问：

题目中有等量关系吗？ 学生回答：没有．

教师追问：那是什么关系呢？ 学生讨论发言：

从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A 地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到23小时，即50x ＜23

.

从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A 地，则以这个速度行驶2

3小时的路程要超过

50千米，即2

3

x ＞50.

教师总结：这些是不等关系． 二、讲授新课

1.不等式、一元一次不等式的概念

在学生充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳得出：

用“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．

教师提问：

下列式子中哪些是不等式？

(1)a ＋b ＝b ＋a (2)－3>－5 (3)x ≠1 (4)x ＋3>6 (5)2m

上述不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数，一般地，我们把用“<”或“>”表示的式子叫做不等式；用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．

补充说明：

用“≥”和“≤”表示不等关系的式子也是不等式．

2.不等式的解、不等式的解集

问题1：要使汽车在12：00以前驶过A 地，你认为车速应该为多少呢？

问题2：车速可以是每小时85千米吗？每小时82千米呢？每小时75.1千米呢？每小时74千米昵？

教师总结：我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，我们也可以把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．

问题3：刚才同学们所说的这些数，哪些是不等式2

3x>50的解？

问题4：判断下列数中哪些是不等式2

3

x>50的解：

76，73，79，80，74.9，75.1，90，60. 教师提问：

你还能找出这个不等式的其他解吗？它到底有多少个解？你从中发现了什么规律？

学生讨论后得出：

当x>75时，不等式23x>50成立；当x<75或x ＝75时，不等式2

3x>50不成立．这就

是说，任何一个大于75的数都是不等式2

3x>50的解，这样的解有无数个．因此x>75表示了

能使不等式2

3

x>50成立的x 的取值范围．

这个解集还可以用数轴来表示．(教师示范表示方法) 教师引导：

回到前面的问题，要使汽车在12：00以前驶过A 地，则车速必须大于每小时75千米．

一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．

三、例题讲解

例：在数轴上表示下列不等式的解集：

(1)x>－1；(2)x ≥－1；(3)x<－1；(4)x ≤－1. 【答案】

注意：

1.实心点表示包括这个点，空心点表示不包括这个点．

2.步骤：画数轴，定界点，走方向．

教师强调：

空心圆圈“”表示“>”或“<”；

实心圆点“”表示“≥”或“≤”．

即：若解集中含有等号，则以实心圆点表示；若解集中不含等号，则以空心圆圈表示．

四、巩固练习

1．用不等式表示图中的解集：

2．下列数中哪些是不等式3x>6的解？

－4，3，0，1，2.5，－2.5，3.2，－4.8, 12.

【答案】

1．(1)x<2 (2)x≤2

(3)x≥－7.5 (4)x>－7.5

2. 3，2.5，

3.2，12.

五、课堂小结

1．不等式的概念．

2．不等式的解与不等式的解集．

3．不等式的解集在数轴上的表示．

本节课通过实际情境引入不等关系，让学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，让学生了解了不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它也是刻画现实世界中量与量之间不等关系的有效模型．

9．1.2不等式的性质(1)

1．经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性质．2．初步体会不等式与等式的异同．

重点

不等式的性质和解法．

难点

不等号方向的确定．

一、创设情境，引入新课

教师出示天平，并请学生仔细观察教师的操作过程，回答下列问题： 1.天平被调整到什么状态？

2.给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？

3.不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？

4.如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？

二、讲授新课

1．用“>”或“<”填空．

(1)－1＋2____3＋2，－1－3____3－3； (2) 5＋a____3＋a ，5－a____3－a ；

(3)6×5____2×5，6×(－5)____2×(－5)； (4) (－2)×6____3×6， (－2)×(－6)____3×(－6)； (5)(－4)÷2____(－6)÷2，

(－4)÷(－2)____(－6)÷(－2)． 2.在以上练习中，你发现了什么？

请把你的发现告诉同学们，并与他们交流． 请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？ 3.让学生充分发表“发现”，师生共同归纳得出： 不等式性质1：

不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 即如果a>b ，那么a ±c>b ±c. 不等式性质2：

不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

即如果a>b ，c>0，那么ac>bc(或a c >b

c

)．

不等式性质3：

不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

即如果a>b ，c<0，那么ac

c

)．

注意：性质2的两边乘或除的是一个正数，不等号的方向没有变；而性质3的两边乘或除的是一个负数，不等号的方向改变了．

三、例题讲解

例：利用不等式的性质填“>”或“<”： (1)若a>b ，则2a____2b ； (2)若－2y<10，则y____－5；

(3)若a0，则ac －1____bc －1； (4)若a>b ，c<0，则ac ＋1____bc ＋1.

【答案】

(1)> (2)> (3)< (4)< 四、巩固练习 判断正误： 1．∵a ＜b ，

∴a －b ＜b －b ；( ) 2．∵a ＜b ，

∴a 3＜b

3

；( ) 3．∵a ＜b ，

∴－2a ＜－2b ；( ) 4．∵－2a ＞0， ∴a ＜0.( ) 【答案】

1．√ 2.√ 3.× 4.√ 五、课堂小结

在学生自己总结的基础上，教师应强调两点： 1.等式性质与不等式性质的不同之处．

2.在运用“不等式性质3”时应注意的问题．

本节课设计旨在让学生经历通过实验、猜测、验证，发现不等式性质的探索过程．用类比和实验探究法作为主要方法贯穿整个课堂教学之中，并以多媒体作为辅助教学手段，让学生充分进行了讨论交流，在自主探索和合作学习中掌握了不等式的性质，这样就有效地突破了本节课的难点，为学生今后的学习打下坚实的基础．

9．1.2不等式的性质(2)

1．会根据“不等式性质1”解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集．2．学会运用类比思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳的能力．

重点

一元一次不等式的解法．

难点

不等式性质3在解不等式中的运用．

一、创设情境，引入新课

小希就读的学校上午第一节课上课时间是8点．小希家距学校有2千米，而他的步行速度为每小时10千米．那么，小希上午几点从家里出发才能保证不迟到？

1.若设小希上午x 点从家里出发才能不迟到，则x 应满足怎样的关系式？

2.你会解这个不等式吗？请说说解的过程．你能把这个不等式的解集在数轴上表示出来吗？

二、讲授新课 分组探讨：

对上述三个问题，你是如何考虑的？先独立思考，然后组内交流，并做记录，最后各组派代表发言．

在学生充分讨论的基础上，师生共同归纳得出：

1．x 应满足的关系式是：x ＋1

5

≤8.

2.根据“不等式性质1”，在不等式的两边减去15，得x ＋15－15≤8－15，即x ≤74

5.

3．这个不等式的解集在数轴上表示如下：

我们在表示74

5的点上画实心圆点，意思是取值范围包括这个数．

三、例题讲解

【例1】 利用不等式的性质解下列不等式： (1)x －7＞26； (2)3x ＜2x ＋1； (3)2

3

x ＞50; (4)－4x ＞3. 分析：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x ＞a 或x ＜a(a 为常数)的形式．

解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以 x －7＋7＞26＋7， x ＞33.

(2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x ，不等号的方向不变，所以 3x －2x ＜2x ＋1－2x ， x ＜1.

(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘3

2，不等号的方向不变，所以

32×23x ＞3

2

×50， x ＞75.

(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以－4，不等号的方向改变，所以 －4x －4＜3

－4， x ＜－34

.

【例2】 解不等式12x －1≤2

3

(2x ＋1)．

分析：我们知道，解不等式的依据是不等式的性质，而不等式的性质与等式的性质类似，

因此，解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本相同．

解：去分母，得3x －6≤4(2x ＋1)， 去括号，得3x －6≤8x ＋4， 移项，得3x －8x ≤4＋6， 合并，得－5x ≤10， 系数化为1，得x ≥－2. 教师总结：

1．一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法在一般步骤上有相同之处，可分为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1(不等式的两边都除以未知数的系数)．不同的是第(5)步，系数是正数，保留原不等号；系数是负数，要把不等号方向改变．解一元一次方程，要用同解变形把原方程变成最简单的一元一次方程x ＝c 的形式．解一元一次不等式，也要通过同样变形，把原不等式变成最简单的一元一次不等式x>c 或x

2.(1)在解方程中易犯的错误，在解不等式中也易犯，要特别注意，如要去分母时，各项都要乘以公分母；加括号与去括号时，要遵循有关法则等．(2)注意当不等式的两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号要改变方向．

四、巩固练习

1．解下列不等式，并在数轴上表示解集：

(1)x＋5>－1；

(2)4x<3x－5；

(3)8x－2<7x＋3.

2．用不等式表示下列语句并写出解集：

(1)x与3的和不小于6；

(2)y与1的差不大于0.

【答案】

1．画数轴略．(1)x>－6 (2)x＜－5 (3)x<5

2．(1)x＋3≥6，x≥3；

(2)y－1≤0，y≤1.

五、课堂小结

师生共同归纳本节课所学内容：通过学习，我们学会了简单的一元一次不等式的解法，还明白了生活中的许多实际问题都是可以用不等式的知识去解决的．

本课从发生在学生身边的事情入手，创设问题情境，激发了学生的学习兴趣和求知欲望．以问题为中心，使每一位学生都能积极思考，发散思维．让学生在“做数学”的过程中，亲身体验问题的发生、发现、发展与解决的全过程，采取自主探索、合作交流、深入研讨、步步为营的措施，为学生营造了一个自主学习、主动发展的广阔空间，开辟了探究、研讨、解决问题的广阔天地，使学生快快乐乐地成为了学习的主人．

9．1.2不等式的性质(3)

1．使学生熟练掌握一元一次不等式的解法．2．初步认识一元一次不等式的应用价值．

重点

不等式的运用．

难点

寻找不等关系．

一、创设情境，引入新课 教师出示问题：

某地庆典活动需燃放某种礼花弹，为确保人身安全，要求燃放者在点燃导火索后于燃放前转移到10米以外的地方．已知导火索的燃烧速度为0. 02 m /s ，人离开的速度是4 m /s ，导火索的长x m 应满足怎样的关系式？

教师提问：

你会运用已学知识解这个不等式吗？请你说说解这个不等式的过程． 在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出这个不等式的解法． 教师规范地板书解的过程： 解一元一次不等式的步骤：

1．去分母；2.去括号；3.移项；4.合并同类项；5.系数化为1. 二、例题讲解

【例1】 已知x ＝3－2a 是不等式15(x －3)＜x －3

5的解，求a 的取值范围．

分析：由不等式解的意义，你能知道什么？

解：依题意得

15[(3－2a)－3]＜(3－2a)－35， 15·(－2a)＜12

5－2a ， －2a ＜12－10a ， 8a ＜12， ∴a ＜32

.

【例2】 某长方体形状的容器长5 cm ，宽3 cm ，高10 cm .容器内原有水的高度为3 cm ，

现准备向它继续注水．用V(单位：cm 3

)表示新注入水的体积，写出V 的取值范围．

解：新注入水的体积V 与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即 V ＋3×5×3≤3×5×10， V ≤105.

又由于新注入水的体积V 不能是负数，因此，V 的取值范围是 V ≥0并且V ≤105.

在数轴上表示V 的取值范围如图所示．

三、巩固练习

1．已知方程组?????3x ＋2y ＝m ＋1，

2x ＋y ＝m －1，

当m 为何值时，x ＞y?

2.娃哈哈矿泉水每瓶售价1.2元，现甲、乙两家商场给出优惠政策：甲商场全部9折，

乙商场20瓶以上的部分8折，若你是消费者，选哪家商场购买比较合适？

【答案】 1．m>4.

2．当购买40瓶以上时，去乙商场比较划算；当购买40瓶时，甲、乙两商场都一样；当购买的矿泉水少于40瓶时，去甲商场比较划算．

四、课堂小结

师生围绕以下几个问题进行小结：

1.这节课的主要内容是什么？

2.通过学习，你取得了哪些收获？

3.还有哪些问题需要注意？

通过创设与学生实际生活密切联系的问题情境，并由学生根据自己掌握的知识与经验列出不等式，探究它的解法，激发了学生的学习动力，唤起了他们的求知欲望，促使学生动脑、动手、动口，积极参与了教学的整个过程．在教师的指导下，学生主动地、生动活泼地、富有个性地学习．

9．2一元一次不等式(1)

1．体会一元一次不等式的形成过程．

2．会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集．

重点

在一元一次不等式建立模型的基础上，理解什么是一元一次不等式．教学的过程中，要让学生通过回顾、观察、思考，归纳出一元一次不等式的概念，并与以前学过的一元一次方程等概念加以比较，进一步加深对这些概念的理解．

难点

体会不等式的作用，训练解不等式的技能．

一、复习引入

前面我们已经学习了不等式及其相关概念，下面请同学们完成下面的题目．

1.写出下列各不等式的解集．

(1)x＋3>6；(2)x＋5≥9；

(3)x＋7<15; (4)x－1≤9.

2．化简：

(1)3x≤4________(不等式性质________)；

(2)x－7≥－3________(不等式性质________)．

二、讲授新课

师：观察下列不等式：x －7>26，3x ＜2x －1，2

3x>50，－4x>3.它们有哪些共同特征？

生：它们都只含有一个未知数，并且未知数的次数是1. 师：回答得很好．类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．通过前面的学习，同学们知道不等式x －7>26的解集是多少吗？

生：x>33.

师：是怎么解的呢？

生：这个解集是通过“不等式两边都加7，不等号的方向不变”得到的．这相当于由x －7>26得x>26＋7，这就是说，解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．

师：一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集．

【例】 解下列不等式，并在数轴上表示解集：

(1)2(1＋x)＜3; (2)2＋x 2≥2x －1

3.

解：(1)去括号，得

2＋2x ＜3. 移项，得

2x ＜3－2. 合并同类项，得 2x ＜1. 系数化为1，得 x ＜1

2

.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．

(2)去分母，得

3(2＋x)≥2(2x －1)． 去括号，得

6＋3x ≥4x －2. 移项，得

3x －4x ≥－2－6. 合并同类项，得 －x ≥－8. 系数化为1，得 x ≤8.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．

三、巩固练习

解下列不等式，并在数轴上表示它们的解集． 1．2(1－x)＜x －2. 2．11－3x ≥2(x －2)． 3．x －4≥3(x ＋2)．

【答案】 数轴略 1.x ＞4

3

2.x ≤3

3.x ≤－5.

四、课堂小结

在本节课的教学过程中，让学生通过与一元一次方程的解法进行类比，主动探求一元一次不等式的解法．结合等式与不等式基本性质的差异，找出方程与不等式解法中的不同之处，对于不等式的解有无数多个，学生不易理解，教学中给学生足够的时间进行交流和讨论，帮助学生理解，用数轴表示不等式的解集是数形结合的具体体现．