高等数学 第十二章 无穷级数
高等数学无穷级数知识点总结
高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。
以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。
其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。
2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。
数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。
3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。
如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。
4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。
常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。
5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。
在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。
6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。
无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。
7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。
例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、
无穷级数的广义收敛性等。
以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。
希望能对读者有所帮助。
高等数学第五节 函数幂级数展开
f(x) f(0) f(0)x f(0) x2 f(n)(0) xn
2!
n!
rn(x). ②
rn(x)f((n n 1 )(1 )x!)xn1 (0θ1).
②式称为麦克劳林公式 . 幂级数
f()0 f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n ,
rn(x)(n e( θx 1))!xn1 (0θ1),
且 x ≤ x x , 所以eθx ex , 因而有
rn(x)(n e x 1)!xn1(ne x1)!xn1.
注意到，对任一确定的 x 值， e x 是一个确定
的常数 . 而级数 ⑥ 是绝对收敛的，因此其一
例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
解 由 f(n )(x)ex(n1,2,3, ), 可以
得到
f(0 ) f(0 ) f(0 ) f(n )(0 ) 1 .
因此我们可以得到幂级数
1x1x2 1xn .
⑥
2!
n!
显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) . 至 于 数 ⑥ 是 否 f(x)以 ex为 和 ,收 函 敛 f数 (x 于 )ex, 还要考察函f(x数)ex 的麦克劳林公式中 项, 因为
所以 f(x) 1 1 1x 2x
(1xx2 xn )
1[1x(x)2 (x)n ]
2 22
2
1 2 2 2 2 21x 2 3 2 31x 2 2 n 2 n 1 11x n .
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应
取较小的一个，故 R = 1，因此所得幂级数的收 敛区间为 1 < x < 1 .
例7
幂级数. 解
高等数学-无穷级数ppt
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
高等数学下册第十二章 无穷级数
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
DMU
第一节 常数项级数
定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称为无穷级数， 其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和.
xx0
f
(x)
A
xnk
x0
(xnk
x0 )
(k )
f (xnk ) A
例如 lim n2 ((1 1)2n e2 )
n
n
(1 lim
x0
1
)
2 x
x
x2
e2
2 ln(1 1 )
ex x
lim
x0
x2
e2
e (e 2
2 ln(1 1 )2 xx
1)
lim
x0
x2
DMU
第一节 常数项级数
5)两边夹法则
n1
莱布尼茨定理： 如果交错级数 （-1）n-1un满足条件 ：
n1
（1）un un1(n 1, 2,3, );
（2）lim n
un
0,
则级数收敛，且其和s u1 ,
其余项rn的绝对值 rn un1.
DMU
第三节 一般常数项级数的收敛判别法
用莱布尼茨 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
又如, 级数
所以级数的收敛域仅为
DMU
级数发散 ;
高等数学(复旦大学版)第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。
教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。
级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。
定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。
高数无穷级数知识点总结
高数无穷级数知识点总结一、引言无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学和其他学科的研究中有着广泛的应用。
在高等数学中，无穷级数是一个重要的知识点。
本文将从无穷级数的基本概念、收敛性与发散性、常见的收敛判别法和应用等方面，对高数无穷级数进行总结。
二、无穷级数的基本概念无穷级数是指由一个数列的项求和而得到的数值。
具体地说，对于一个实数数列{an}，其无穷级数可以表示为∑an。
其中，an表示数列的第n项，∑表示对数列的所有项进行求和。
三、收敛性与发散性1. 收敛性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时存在有限极限L，即lim (n→∞) Sn = L时，称该无穷级数收敛，L称为该无穷级数的和。
2. 发散性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时不存在有限极限，即lim (n→∞) Sn不存在或为无穷大时，称该无穷级数发散。
四、常见的收敛判别法1. 正项级数判别法对于无穷级数∑an，若该级数的每一项an都是非负数，并且该级数的部分和Sn有上界，则该级数收敛；若Sn没有上界，则该级数发散。
2. 比值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an+1/an| = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。
3. 根值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an|^1/n = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。
4. 整项判别法对于无穷级数∑an，若存在另一个级数∑bn，使得|an|≤bn，且∑bn 收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
五、应用无穷级数在数学和其他学科中有广泛的应用，下面举几个例子进行说明。
1. 泰勒级数泰勒级数是一种用无穷级数表示函数的方法。
根据泰勒级数，我们可以将一个函数在某个点的邻域内展开为无穷级数的形式，从而可以近似计算函数的值。
2. 统计学中的无穷级数在统计学中，无穷级数经常用于描述随机变量的分布。
第十二章 级数
第十二章 无穷级数§ 1 常数项级数的概念和性质1、 设级数∑∞=053n nn ，则其和为（ ）A21B 53D 352、 若0lim=∞→nn a ，则级数∑∞=1n na （ ）A 收敛且和为C 发散可能收敛也可能发散3 、若级数∑∞=1n nu 收敛于S ，则级数)(11∑∞=++n n n u u （ ）A 收敛于2SB 收敛于2S+1u2S-1u D 发散4、若+∞=∞→n n b lim ，0≠nb ,求 )11(11+∞=-∑n n nb b 的值解： (=nS 11143322111)11......()11()11()11(++-=-+-+-+-n n nb b b b b b b b b b所以11limb S nn =∞→5、若级数∑∞=1n na 收敛，问数列{n a }是否有界解：由于0lim =∞→nn a ，故收敛数列必有界。
6、若aa nn =∞→lim，求级数)(11∑∞=+-n n n a a 的值解：=nS 1113221)......())(()(++-=-+-+-n n n a a a a a a a a故aa a a a a n n n n n -=-=-+∞→∞=+∑11111)(lim )(7、求)(12121-+∞=-∑n n n a a 的值解：=nS +-)(3a a aa a a a a n n n -=-+-+-+12121235)......()(故)(12121-+∞=-∑n n n a a =aa a n n -=-=+∞→1)(lim 128、求 ∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的和 ()41§ 2 常数项级数的审敛法一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性1、判定级数 ∑∞=+-1)13)(23(1n n n 的敛散性 解：由于)13)(23(1+-n n <21n,而∑∞=121n n收敛，故∑∞=+-1)13)(23(1n n n 收敛2、判定敛散性 ∑∞=11n nnn解： n n= 2121).1(1.....1.1.<-=-+<nn n n n n n故nnn 1>n21,而级数∑∞=121n n发散，故∑∞=11n nnn发散3、判定敛散性 ∑∞=+111n na)0(>a ,1>a 收敛; ≤<a 01, 发散4、判定敛散性 ∑∞=-++13221n nnn en en ne(收敛);二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性5、判定级数∑∞=1!.3n nnn n 的敛散性解：ea a nn n 3lim1=+∞→>1,所以∑∞=1!.3n nnnn 发散6、判定级数∑∞=-1354n nnn的敛散性解：154lim1<=+∞→nn n a a ，所以∑∞=-1354n nnn收敛7、 ∑∞=+112tan.n n n π收敛8、 nn n an ∑∞=+1)1(，1>a 收敛三、判别下列级数是否收敛。
《高等数学》第12章无穷级数12_6一致收敛
若函数项级数 un (x) 在区间 I 上满足:
n1
1) un (x) an (n 1, 2,);
2) 正项级数 an 收敛 ,
n1
则函数项级数 un (x) 在区间 I 上一致收敛 .
n1
简介 目录 上页 下页 返回 结束
证: 由条件2), 根据柯西审敛原理, 0, N , 当
1 2
,
因此级数在
[0,
1]
上不
一致收敛 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Sn (x) xn S(x) 0,
1,
0 x 1 x 1
说明: 对任意正数 r < 1,
级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
y
(1,1)
n 1
n2
n4
n 10
n 30
o
S(x) 1 x
事实上, 因为在 [ 0, r ] 上 rn (x) r n , 任给 > 0, 欲使
(0 x )
因此, 任给
> 0, 取自然数
N
1
1
,
则当n > N 时有
rn (x) (0 x )
这说明级数在
[0,
+∞)
上一致收敛于
S(x)
x
1
. 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 证明级数 x (x2 x) (x3 x2 ) (xn xn1)
在 [0,1] 上不一致收敛 .
un (x) 一致收敛于和函数S(x)
n1
部分和序列 Sn (x) 一致收敛于S(x)
余项 rn (x) 一致收敛于 0
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∞
= +∞, 且级数∑ bn发散，则级数 ∑ an发散 发散， 发散.
n =1 n =1
∞
∞
3. 任意项级数审敛法 概念: 概念 设 若 若 为收敛级数， 为收敛级数， 收敛 , 称 发散 , 称 绝对收敛, 绝对收敛 条件收敛. 条件收敛 且 收敛 , 且余项
Leibniz判别法 若 判别法: 判别法 则交错级数
1 = [cos1 + sin1]. 2
也可用间接法解本题.） （参见例6 ，也可用间接法解本题 ） 参见例
∞ ∞ ɶ 化 ∑ an = ∑ an x0 n = s ( x0 ), n =1 n =1 （间接法）求数项级数和： 间接法） ∞ 设法求出和函数s ( x ) = an x n , ∑ n =1
(2n + 2)(2n + 1) 2 2 x =4 x , = lim 2 n →∞ ( n + 1)
1 1 原级数收敛. ∴ x < 时 ，原级数收敛. ∴ R = . 2 2
2）
x ∑ 3n n =0
n →∞
∞
2 n +1
解： lim un +1 ( x ) = lim x n +1
2 n +3
n =1 n =1
∞
∞
an lim = k , n →∞ b n ⑴若 0 < k < +∞,
同时收敛，同时发散； 则级数 ∑ an 与级数∑ bn 同时收敛，同时发散；
n =1 ∞
∞
⑵若k ⑶若 k
收敛， 收敛； = 0, 且级数 ∑ bn收敛，则级数 ∑ an 收敛；
n =1
n =1
n =1 ∞
∞ 2n − 1 x 2 n − 2 1 2 n −1 ∫0 S ( x)dx = ∑ 2n ∫0 x dx = ∑ 2n x n =1 x 2 n =1 1 ∞ x2 n 1 2 = x , = ∑( ) = ⋅ x2 2 − x2 x n =1 2 x 1− x≠0， x 2 / 2 < 1 2 x ∞
第九章 主要内容
一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数展开法
对于函数项级数 求和 展开 当 当 *当 *当 时为数项级数; 时为数项级数; 时为幂级数; 时为幂级数; (在收敛域内进行) 在收敛域内进行)
( an , bn为傅氏系数)时, 为傅立叶级数. 为傅氏系数) 为傅立叶级数.
un ( x )
n →∞
3
x 3n
2 n +1
x 1 2 = lim = x , n →∞ 3 3
2
∴ ∴
x < 3 时
n →∞
∑
∞
x 2 n +1 收敛 . n 3
R = 3.
三、幂级数和函数的求法换法: 分解、 （在收敛区间内） • 映射变换法 在收敛区间内）
x = 1− x
( x < 1),
( x < 1).
直接法) *例9 （直接法)求级数 解: 原式 =
的和 .
1 ∞ ( −1)n [ (2n + 1) + 1 ] ∑ ( 2 n + 1)! 2 n =0
1 ∞ ( −1) n ∞ ( −1)n = ∑ +∑ 2 n =0 ( 2 n )! n =0 ( 2 n + 1)!
基本问题：判别敛散性； 求幂级数收敛域； 基本问题：判别敛散性； 求幂级数收敛域； 求和函数； 函数展开成幂级数. 求和函数； 函数展开成幂级数.
一、数项级数的审敛法 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 lim un = 0
n →∞
不满足
发 散
满足
un +1 =ρ 比值审敛法 lim n →∞ u n
判别下列级数的敛散性: 例1 判别下列级数的敛散性
解答提示: 解答提示 (1) ∵ lim n n = 1 ,
n →∞
因调和级数发散, 因调和级数发散 据极限形式的比较判别法, 据极限形式的比较判别法 原级数发散 .
利用比值判别法, 可知原级数发散. 利用比值判别法 可知原级数发散
n cos2 (3) ∑ n 2 n =1
∞
例如
1 1 ∑ 2n 收敛 (q = 2 < 1); n =0
∞
(−1) n 1 ∑ 3n 收敛 ( q = 3 < 1); n =0
∞
∑1 发散(q = 1)；
n =0
∞
3 n 3 （ ∑ (− 2 ) 发散 q = 2 > 1). n =0
∞
是两个正项级数， 极限形式的比较审敛法 设 ∑ an 与∑ bn 是两个正项级数，且
∑a
n= n =0
∞
n
x
n
逐项求导或求积分
∑a
n =0
∞
∗ n
x
n
难
求和 对和式积分或求导
S ( x)
S ( x)
∗
直接求和: 直接变换, 直接求和 直接变换 求部分和等 数项级数求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 间接求和 转化成幂级数求和 再代值
熟悉常用函数的幂级展开式： 熟悉常用函数的幂级展开式：
n →∞
所以原级数仅条件收敛 所以原级数仅条件收敛 .
(n + 1)! (4) ∑ ( −1) n n +1 n =1
∞ n
因
un +1 = un
n+2 1 1 [ i ] = n + 1 (1 + 1 ) n (1 + 1 ) n n
n→∞
故原级数绝对收敛 .
二、求幂级数收敛域的方法 • 标准形式幂级数 先求收敛半径 R , 再讨论 x = ± R 标准形式幂级数: 处的敛散性 .
1、
x2 xn x e = 1 + x + + ⋯ + + ⋯ (−∞ < x < +∞) 2! n!
x3 x5 x 2 n+1 2、 sin x = x − + − ⋯ + (−1)n +⋯ (−∞, +∞) 3! 5! (2n + 1)!
2n x2 x4 x 2n cos x = 1 − + − ⋯ + (−1)n + ⋯ (−∞ < x < +∞) 3、 2! 4! (2n)!
∞
例如
1 ∑n2 收敛 ( p = 2 >1); n=1 1 ∑n 发散 ( p =1); n=1
∞ ∞
∞
∑
n=1
∞
1
3 n=1 2 n
3 收敛 ( p = >1); 2
∑
1 1 发散 ( p = <1). 2 n
（2）等比级数 ）
1 q < 1 时，收敛于 n 1− q , ∑q n =0 q ≥ 1 时，发散.
∞
1
n +1
收敛, 收敛 故
n +1 (3) ∑ ( −1) ln n n =1
∞ n
因
单调递减, 单调递减 且
判别法知级数收敛 由Leibniz判别法知级数收敛 ; 判别法知级数 但
n +1 ∑ ln n n =1
∞
= lim ∑ ( ln( k + 1) − ln k
n →∞ k =1
n
)
= lim ln( n + 1)
∴
x ′ 2 + x2 S ( x) = ( . 2 ) = 2 2 2− x (2 − x )
时上式也正确, 级数发散, 显然 x = 0 时上式也正确 而在 x = ± 2 级数发散 故和函数为
例8
求
的和函数. (n + 1) x n 的和函数 ∑
n =0
∞
n+2 = 1, R = 1, ρ = lim 解： ∵ n →∞ n + 1 ∞ ∞ 发散， 发散. 当x = 1, ∑ (n + 1) 发散， x = −1， (n + 1)( −1)n 发散. 当 ∑
收敛， 也收敛； 则：⑴若级数 ∑ bn收敛，则级数 ∑ an也收敛； 发散， 也发散. ⑵若级数 ∑ an发散，则级数 ∑ bn也发散
n= n =1 n= n =1 n =1 ∞
∞
∞
n =1 ∞
常用来比较的级数： 常用来比较的级数：
当 p > 1 时收敛， 时收敛， 1 （1）p − 级数 ∑ p ） n =1 n 当 p ≤ 1 时发散 时发散.
x 2 x3 x n+1 n + ⋯ (−1 < x < 1) 4、 ln(1 + x) = x − + − ⋯ + (−1) 2 3 n +1
5、等比级数： 等比级数：
1 = 1 + x + x 2 + ⋯⋯ + x n + ⋯ (−1 < x < 1) 1− x
1 2 4 6 2n = 1 + x + x + x + ⋯ + x + ⋯ (−1 < x < 1) 2 1− x
1 2
x = sin x, 2
1 x ∴ S ( x ) = sin x + cos x, 2 2
解法2： 解法 ： 易求出级数的收敛域为 原式
，
1 x = sin x + cos x , 2 2
例7 求幂级数