概率论与数理统计试题与答案
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)
概率统计模拟题一
一、填空题（本题满分18分，每题3分）
1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。
2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9
5
)1(=
≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21Λ为来自总体)10(2
χ的样本，则统计量∑==n
1
i i
X
Y 服从
分布。
6、设正态总体),(2
σμN ，2
σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度
=L 。
（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、
若A 与自身独立，则（ ）
(A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0< (A) 4,3,2,1,0,15 )(==x x x p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(== x x p ； (D) 5,4,3,2,1,25 1 )(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（ ） (A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=- (C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D 4、设随机变量),(~2 σμN X ，则随着σ的增大，概率() σμ<-X P （ ）。 (A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定 5、设),,,(21n X X X Λ是来自总体),(~2 σμN X 的一个样本，X 与2 S 分别为样本均值与样 本方差，则下列结果错误．． 的是（ ）。 （A ）μ=X E ； （B ）2 σ=X D ；（C ）())1(~122 2 --n S n χσ ； （D ）() )(~22 1 2 n X n i i χσμ∑=-。 三、（本题满分12分） 试卷中有一道选择题，共有４个答案可供选择，其中只有１个答案是正确的。任一考生若会解这道题，则一定能选出正确答案；如果不会解这道题，则不妨任选１个答案。设考生会解这道题的概率为０.８，求：（１）考生选出正确答案的概率？ （２）已知某考生所选答案是正确的，他确实会解这道题的概率？ 四、（本题满分12分）设随机变量X 的分布函数为?? ???>≤≤<=1 1100 )(2 x x Ax x x F ，试求常数A 及X 的概率密度函数)(x f 。 五、（本题满分10分）设随机变量X 的概率密度为x e x f -=2 1)(，)(+∞<<-∞x ，试求数学期望)(X E 和方差)(X D 。 六、（本题满分13分）设总体X 的密度函数为??? ??<≥=-0 01)(22 x x xe x f x σσ ，其中0>σ 试求σ的矩估计量和极大似然估计量。 七、（本题满分12分）某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24 设测定值总体服从正态分布,但参数均未知，问在01.0=α下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。（已知6041.4)4(995.0=t ） 八、（本题满分8分）设)X ,,X ,(X 1021Λ为来自总体)3.0,0(2 N 的一个样本，求 ? ?????>∑=101244.1i i X P 。 （987.15)10(2 9.0=χ） 概率试统计模拟一解答 一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、0.6； 2、 2719； 3、34； 4、21； 5、)10(2 n χ；6、 )1(22 1--n t n S α 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、Ｄ； 2、Ｃ； 3、Ｂ； 4、Ｃ； 5、Ｂ 三、（本题满分12分）解：设Ｂ－考生会解这道题，Ａ－考生解出正确答案 （１）由题意知：8.0)(=B P ，2.08.01)(=-=B P ，1)(=B A P ，25.04 1 )(== B A P ， 所以85.0)()()()()(=+=B A P B P B A P B P A P , （２）941.0) ()()()(≈= A P B A P B P A B P 四、（本题满分12分）解：A A f F =?==+2 1)1()01(，而0 11)1lim()1()01(+→===+x f F ， 1=A 对)(x F 求导，得?? ?≤≤=其它0 1 02)(x x x f 五、（本题满分10分）解：0)(=X E ；2=DX 六、（本题满分13分）矩估计：X dx e x EX x === - ∞ +? σσσ σ ) ,1 220 2 , 极大似然估计：似然函数()n x n i x x x e x L n i i Λ2121 2 1,∑?? ? ??==- σσσ, ()∑-∑+-===n i i n i i i x x n x L 12 12ln ln ,ln σ σσ ()02,ln 12 2=∑+-=??=n i i i x n x L σ σσσ， ∑==n i i x n 1221σ) 七、（本题满分12分）解：欲检验假设 0100:,25.3:μμμμ≠==H H 因2 σ未知，故采用t 检验，取检验统计量n S X t 0 μ-= ，今5=n ，252.3=x ，013.0=S ， 01.0=α，=--)1(2/1n t α6041.4)4(995.0=t ，拒绝域为 ≥-= n s X t 0 μ=--)1(2/1n t α6041.4，因t 的观察值 6041.4344.05 /013.025.3252.3<=-= t ，未落入拒绝域，故在01.0=α下接受原假设。 八、（本题满分8分）因)3.0,0(~2 N X i ，故)10(~3.02 2 10 1χ∑=?? ? ??i i X {} 1.016)10(3.0/44.13.0/44.121012221012=>=? ?? ???>=??????>∑∑==χP X P X P i i i i 概率统计模拟题二 本试卷中可能用到的分位数： 8595.1)8(95.0=t ，8331.1)9(95.0=t ，306.2)8(975.0=t ，2662.2)9(975.0=t 。 一、填空题（本题满分15分，每小题3分） 1、设事件B A ,互不相容，且,)(,)(q B P p A P ==则=)(B A P . 2、设随机变量X 的分布函数为：??? ? ?? ? ≥<≤<≤--<=2 1 216.0113.01 0)(x x x x x F 则随机变量X 的分布列为 。 3、设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)2,1(N 和)1,0(N ，则 (1)P X Y +≤= 。 4、若随机变量X 服从[1,]b -上的均匀分布，且有切比雪夫不等式2 (1),3 P X ε-<≥ 则 b = ,ε= 。 5、设总体X 服从正态分布)1,(μN ，),,,(21n X X X Λ为来自该总体的一个样本，则 ∑=-n i i X 1 2)(μ服从 分布 二、选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、设()0,P AB =则有（ ）。 (A)A B 和互不相容 (B)A B 和相互独立；(C)()0P A =或()0P B =；(D) ()()P A B P A -=。 2、设离散型随机变量X 的分布律为：()(1,2),k P X k b k λ===L 且0b >，则λ为（ ）。 (A) 11b +； (B) 1 1 b -； (C) 1b +； (D) 大于零的任意实数。 3、设随机变量X 和Y 相互独立，方差分别为6和3，则)2(Y X D -=（ ）。 (A) 9；(B) 15； (C) 21；(D) 27。 4、对于给定的正数α，10<<α， 设αu ，)(2n αχ，)(n t α，),(21n n F α分别是)1,0(N ，)(2 n χ，)(n t ，),(21n n F 分布的下α分位数，则下面结论中不正确．．． 的是（ ） （A ）αα--=1u u ； （B ）)()(2 2 1n n ααχχ-=-；（C ）)()(1n t n t αα--=； （D ）) ,(1),(122 11n n F n n F αα= - 5、设),,,(21n X X X Λ(3≥n )为来自总体X 的一简单随机样本，则下列估计量中不是．．总体期望μ的无偏估计量有（ ）。 (A)X ； (B)n X X X +++Λ21； (C))46(1.021X X +?； (D)321X X X -+。 三、（本题满分12分） 假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求： （1）该时期这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。 四、（本题满分12分） 设随机变量X 的分布密度函数为1()1x f x ? 0, x 试求： （1）常数A ； （2）X 落在11 (,)22 -的概率； （3）X 的分布函数)(x F 。 五、（本题满分12分） 设随机变量X 与Y 相互独立，下表给出了二维随机变量),(Y X 的联合分布律及关于X 和 Y 边缘分布律中的某些数值,试将其余数值求出。 P { 六、（本题满分10分）设一工厂生产某种设备，其寿命X (以年计)的概率密度函数为： ()??? ??? ?<≥=-0 00 414x x e x f x 工厂规定，出售的设备若在售出一年之损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 七、（本题满分12分） 设),,,(21n X X X Λ为来自总体X 的一个样本，X 服从指数分布，其密度函数为 ?? ?<≥=-0, 00 ,);(x x e x f x λλλ，其中0>λ为未知参数，试求λ的矩估计量和极大似然估计量。 八、（本题满分12分） 设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率判断犯罪青少年的年龄是否为18岁。 模拟二参考答案及评分标准 [基本要求：①卷面整洁，写出解题过程，否则可视情况酌情减分； ②答案仅供参考，对于其它解法，应讨论并统一评分标准。] 一、填空题（本题满分15分，每小题3分） 1、q p --1； 2、??? ? ??-4.03.03.0211；3、21)0(=Φ；4、2,3==εb ；5、)(2 n χ 注：第4小题每对一空给2分。 二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、D ；2、A ；3、D ；4、B ；5、B 三、（本题满分12分）解：设A={甲河流泛滥}，B={乙河流泛滥}……………………………1分 (1) 由题意，该地区遭受水灾可表示为B A Y ，于是所求概率为： )()()()(AB P B P A P B A P -+=Y ……………………………2分 )/()()()(A B P A P B P A P ?-+=……………………………2分 27.03.01.02.01.0=?-+=…………………………………2分 (2))()()/(B P AB P B A P = …1分 ) () /()(B P A B P A P ?=………2分 15.02 .03 .01.0=?= ………………………………………………2分 四、（本题满分12分）解：(1)由规性 dx x f ? +∞ ∞ -=)(1………………1分 dx x A ? --= 1 1 2 1……1分 πA x A =-=1 1arcsin …1分 1=∴A ………………………………………………………1分 (2)dx x X P ?--=<<-2121211 1}2121{π ……………………………………2分 31arcsin 1 2 121 =- = x π ……………………………………2分 (3)00)(1==- ∞-x dx x F x ， 时 ……………………………………………1分 )2 (arcsin 1 11 1 )(111 2 π π π+ = -=≤≤-?-x dx x x F x x ，时………………1分 111 1 )(11 1 2 =-=>? -dx x x F x π， 时………………………………………1分 ?? ???>≤≤-+-<=∴ 1 111) 2(arcsin 11 )(x x x x x F X π π 的分布函数为………………1分 五、（本题满分12分） 解： 241 81616181=-=?=+ a a …………………………………………………1分 43 411141=-=?=+e e ……………………………………………………1分 121 81241414181=-- =?=++b b a …………………………………………2分 2 1 4814181=?=??=f f ……………………………………………………2分 83 812181=-=?=+c f c …………………………………………………2分 3 1 412141=?=??=g g b ……………………………………………………2分 4 1 12131=-=?=+d g d b …………………………………………………2分 六、（本题满分10分） 解：设一台机器的净赢利为Y ，X 表示一台机器的寿命，……………………1分 ?? ? ?? ≤≤<-=->=00102003001001100X X X Y ……………………………………………………3分 {}41 14 411P -∞ -=?e dx e X x ＋＝＞……………………………………………………2分 {}41104 14 110---==≤ ()64.331200100414 1=??? ? ??--=-- e e E η………………………………………………2分 七、（本题满分12分） 解：(1)由题意可知 λ λ1 );()(= =? +∞ ∞ -dx x f X E …………………………………2分 令 11A m =，即X =λ 1 ，…………………………………………………………2分 可得X 1= λ，故λ的矩估计量为 X 1?=λ ………………………………………2分 （2）Θ总体X 的密度函数为???<≥=-0, 00 ,);(x x e x f x λλλ……………………1分 ∴ 似然函数 ?? ???≥=∏=-其它 ，00 ,,)(211 n n i x x x x e L i Λλλλ，……………………………2分 当),2,1(0n i x i Λ=≥时，取对数得 ∑=-=n i i x n L 1 ln )(ln λ λλ，…………………1分 令 01)(ln 1=-=∑=n i i x n d L d λλλ，得x 1 =λ………………………………………1分 ∴ λ的极大似然估计量为 X 1?=λ ………………………………………………1分 八、（本题满分12分） 解：由题意，要检验假设 18:;18:10≠=μμH H ……………………………2分 因为方差未知，所以选取统计量 n S X T 0 μ-= …………………………………2分 又 306.2)8(,5.12,21,9,18975.00=====t s x n μ……………………2分 得统计量T 的观测值为 55.23 5.1218 21≈-= t ……………………………………2分 )8(975.0t t >Θ，即落入拒绝域，……………………………………………2分 ∴ 能以95%的概率推断该市犯罪的平均年龄不是18岁。……………………2分 2009-2010 学年第 一 学期末考试试题3（A 卷）概率论与数理统计 本试卷中可能用到的分位数： 0.975(8) 2.3060t =，2622.2)9(975.0=t ,0.975 1.96u =，0.9 1.282u = 一、填空题（本题满分15分，每空3分） 1、设111 (),(|),(|)432 P A P B A P A B = ==，则)(B P = 。 2、设随机变量X ~)1,0(N ，)(x Φ为其分布函数，则)()(x x -Φ+Φ=__________。 3、设随机变量X ~)5(E (指数分布)，其概率密度函数为50 5,()0 0,x x e f x x ->?=?≤?,用切比雪 夫不等式估计{} 2P X EX -≥≤ 。 4、设总体X 在(1,1)μμ-+上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为 。 5、设随机变量X 的概率密度函数为 1,[0,1]32, [3,6]()90,. x x f x ?∈???∈=? ???? 若若其他 若k 使得{}2/3P X k ≥=，则k 的取值围是__________。 二、单项选择题（本题满分15分，每题3分） 1、A 、B 、C 三个事件不都．．发生的正确表示法是（ ）。 （A ）ABC （B ） ABC （C ）A B C ?? （D ）A B C ?? 2、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ ）。 （A ）+∞<<∞+=x x x F －,11)(2 1 （B ）200()0 1x F x x x x ≤??=?>?+? （C ）-3()e ,-x F x x =∞<<+∞ （D ）431 ()arctan ,-42F x x x π =+∞<<+∞ 3、设1)(=X E ，()2D X =，则=+2 )2(X E （ ）。 （A ）11 （B ）9 （C ）10 （D ）1 4、设0121,,,X X X Λ是来自总体） ，90(~N X 的一部分样本，则210 22 1X 3X X Λ+服从（ ）。 （A ）)1,0(N （B ）)3(t （C ）)9(t （D ）)9,1(F 5、设总体X ～),(2 σμN ，其中2 σ已知，)(x Φ为)1,0(N 的分布函数，现进行n 次独立 实验得到样本均值为x ，对应于置信水平1-α的μ的置信区间为x x εε-+（，），则ε由（ ） 确定。 （A ）1/2αΦ=-?? （B ）1/2αΦ=-?? （C ）1αΦ=-?? （D ）ασ?Φ= ?? 三、（本题满分12分）某地区有甲、乙两家同类企业，假设一年甲向银行申请贷款的概率为0.3，乙申请贷款的概率为0.2，当甲申请贷款时，乙没有申请贷款的概率为0.1； 求：（1）在一年甲和乙都申请贷款的概率？ （2）若在一年乙没有申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率？ 四、（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度函数为(1)01 ()0 kx x x f x -< 常数0>k ， 试求：（1）k ；（2）? ?????<<- 2121 X P ；（3）分布函数()F x . 五、（本题满分12分）设随机变量X 与Y 相互独立，其分布律分别为 求：（1）()Y X ,的联合分布律； （2）Y X Z = 的分布律； （3）?? ? ??Y X E . 六、（本题满分 12 分）设 () Y X ,的联合概率密度为 ()其他 1 0,100)1(,<<< ? ?-=y x y x A y x f , （1） 求系数A ; （2） 求X 的边缘概率密度()x f x ，Y 的边缘密度()y f y ； （3） 判断X 与Y 是否互相独立； （4） 求{}1P X Y +≤. 七、（本题满分12分） 正常人的脉搏平均72次/每分钟，现在测得10例酏剂中毒患者的脉搏，算得平均次数为67.4次，样本方差为2 5.929。已知人的脉搏次数服从正态分布，试问：中毒患者与正常人脉搏有无显著差异?（0.05α=） 八、（本题满分10分）1．已知事件A 与B 相互独立，求证A B 与也相互独立. 2. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1,,n X X L 是X 的简单随机样本，已知样本方差2 S 是总体方差的无偏估计，试证： () 22 1 S X +是λ的无偏估计. 2009-2010 学年第 一 学期期末考试试题答案及评分标准3（A 卷）概率论与数理统计 一、填空题（本题满分15分，每小题3分） 1、 61； 2、1；3、100 1 ；4、X ；5、[]31， 二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、 D ；2、B ；3、A ；4、C ；5、A 三、（本题满分12分） 解：A ={甲向银行申请贷款 } B ={乙向银行申请贷款} （1）()()(()(1()))P A P B A P P AB A P B A ==- L L L L 3 分 0.3(10.1)0.27=?-= L L L L 3分 （2） ()(|) (|)() P A P B A P A B P B = 3分 380 = 3分 四、（本题满分12分）解 （1） 由? ??+∞ ∞ -=-=-== 1 1 26/)()1()(1k dx x x k dx x kx dx x f . 得 6k =. L L L L 3分 （2）?=-=??????<<-21 021)1(6212 1 dx x x X P L L L L 3分 （3）()? ∞ -= x dt t f x F )( L L L L 2分, 当0≤x 时 =)(x F 0 1分 当10< )(x F 320 23)1(6x x dx x x x -=-? L L L L 1分 当1≥x 时 =)(x F 1 L L L L 1 分 23 0,0()32,011,1x F x x x x x ≤??=-<≤??>? … 1分 五、（本题满分12分） （1）（X ，Y ）的联合分布为： （2） X Z = 的分布律为： 4分 （3）? ? ? ??Y X E =1522 L L L L 4分 六、（本题满分12分） 解：（1）由于 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dydx y x f L L L L 2分 所以：21210011[][]122A x x y - =,11 122 A ??=, A =4 1分 （2）当10< 21 00 1()4(1)4(1)[ ]2(1)2 x f x x ydy x y x =-=-=-? 所以： ?? ?<<-=其他0 1 0)1(2)(x x x f X L L L L 2分 当10< 21 00 1()4(1)4[]22 y f y x ydx y x x y =-=- =? 所以：?? ?<<=其他0 1 02)(y y x f Y L L L L 2分 （3）Q 所有的,(,)x y ∈-∞+∞，对于(),()()x y f x y f x f y =都成立 ∴X 与Y 互相独立 L L L L 2分 （4） {}1 1 14(1)x P X Y x dx ydy -++≤=-? ? L L L L 2分 1210014(1)[]2x x y dx -+=-?1 3 14(1)2x dx =-? 223341012112[]2334x x x x x x =- -++-11242 =?= 1分 七、（本题满分12分） 解：由题意得，),(~2 σμN X H 0：720==μμ H 1：720=≠μμ L L L L 2分 )1(~/0 -μ-= n t n S X T L L L L 3分 0H 的拒绝域为{()}1/29W t t α-=> L L L L 3分 其中 929.5,4.67,10===S X n 代入 2622.2)9(453.210 /929.5724.67975.0=>=-= t t L L L L 2分 所以，拒绝H 0 ，认为有显著差异。 L L L L 2分 八、（本题满分10分） 1 、 Q A 与B 相互独立 ()()()P AB P A P B ∴=） L L L L 1分 从而() ()P AB P A B =U 1()P A B =-U 1[()()()]P A P B P AB =-+- L L L L 2分 () p AB ()()()()1P A P B P A P B =-g -+ ()()()]P A P B P A =-[1-()()() 1P A P B =- 因此：A 与B 相互独立 L L L L 2分 2、X 服从参数为λ的泊松分布，则λλ==)(,)(X D X E n X D X E λ λ= =)(,)( L L L L 2分 λ=)(2 S E ，2 2)(λλ+=i X E ，故() λ=?? ? ? ??+221S X E ， L L L L 2分 因 此 () 22 1 S X +是 λ 的无偏估计. L L L L 1分 期末考试试题4 试卷中可能用到的分位数：0.975(25) 2.0595t =，0.975(24) 2.0639t =，0.975 1.960u =， 645.195.0=u 一、单项选择题（每题3分，共15分） 1、设()0.3P A =，()0.51P A B ?=，当A 与B 相互独立时，()P B =（ ）. A. 0.21 B. 0.3 C. 0.81 D. 0.7 2、下列函数中可作为随机变量分布函数的是（ ）. A. 11,01,()0,x F x ≤≤?=??其它 B. 21, 0,(),01,1, 1.x F x x x x - =≤ C. 30,0,(),01,1, 1.x F x x x x D. 40,0,(),01,2, 1.x F x x x x =≤ 3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则()E X =（ ）. A. 14 B. 1 2 C. 2 D. 4 4、设随机变量X 与Y 相互独立，且~(0,9)X N ，~(0,1)Y N . 令2Z X Y =-，则()D Z =（ ）. A. 5 B. 7 C. 11 D. 13 5、设12,,,n X X X L 是来自正态总体2 (0,)X N σ:的一个样本，则统计量2 2 1 1 n i i X σ =∑服从 （ ）分布. A. (0,1)N B. 2 (1)χ C. 2 ()n χ D. ()t n 二、填空题（每题3分，共15分） 1、若()0P A >，()0P B >，则当A 与B 互不相容时，A 与B .（填“独立”或“不独立”） 2、设随机变量2 ~(1,3)X N ，则{24}P X -≤≤= .（附：(1)0.8413Φ=） 3、设随机变量(,)X Y 的分布律为： 则a b += . 4、设X 的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计{|()|5}P X E X -≥≤ . 5、某单位职工的医疗费服从2 (,)N μσ，现抽查了25天，测得样本均值170x = 元，样本方差2 2 30S =，则职工每天医疗费均值μ的置信水平为0.95的置信区间 为 .（保留到小数点后一位） 三、计算题（每小题10分，共60分） 1、设某工厂有,,A B C 三个车间，生产同一种螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%和40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，现从该厂产品中抽取一件，求：(1) 取到次品的概率；(2) 若取到的是次品，则它是A 车间生产的概率. 2、设连续型随机变量X 的分布函数为2e ,0,()0,0x A x F x x -?->=?≤? . 试求：(1) A 的值；(2) {11}P X -<<；(3) 概率密度函数()f x . 3、设二维随机变量(,)X Y 的分布律为： （1）求X 与Y 的边缘分布律； （2）求()E X ； （3）求Z X Y =+的分布律. 4、设相互独立随机变量X 与Y 的概率密度函数分别为： 2,01,()0,x x f x < ?其它 2,01, ()0, y y f y < {0,1}24 P X Y << <<. 5、设总体X 的概率密度函数为：1,01, ()0 ,x x f x θθ-?≤≤=??其它 其中，0>θ为未知参数. 12,,,n X X X L 为来自总体X 的一个简单随机样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计. 6、已知某摩托车厂生产某种型号摩托车的寿命X （单位：万公里）服从2 (10,0.1)N ，在采用新材料后，估计其寿命方差没有改变. 现从一批新摩托车中随机抽取5辆，测得其平均寿命为10.1万公里，试在检验水平0.05α=下，检验这批摩托车的平均寿命μ是否仍为10万公里？ 四、证明题（10分）设12,X X 是来自总体(,1)N μ(μ未知)的一个样本，试证明下面三个估 计量都是μ的无偏估计，并确定哪一个最有效 1122133X X μ∧ =+，2121344X X μ∧=+，31211 22X X μ∧=+. X 学年第 一 学期末考试试题5 概率论与数理统计 本试卷中可能用到的分位数： 3406.1)15(90.0=t ，3368.1)16(90.0=t ，7531.1)15(95.0=t ，7459.1)16(95.0=t 8413.0)1(=Φ ， 6915.0)5.0(=Φ ，5.0)0(=Φ 一、填空题 (每小题3分，本题共15分) 1、设,A B 为两个相互独立的事件, 且)()(,9 1 )(B A P B A P B A P == ， 则=)(A P 。 2、设随机变量X 的分布函数为00()sin 0212 x F x x x x ππ?? ? =≤≤?? ? >??，则{||}6P X π<= 。 3、若随机变量),2(~p B X ，),3(~p B Y ，若9 5 }1{= ≥X P ，则=≥}1{Y P 。 4、设,,,n X X X ???12是n 个相互独立且同分布的随机变量，()i E X μ=， ()(,,,),i D X i n ==???812对于∑==n i i X n X 1 1，根据切比雪夫不等式有 {4}P X μ-<≥ 。 5、设（12,X X ）为来自正态总体2 ~(,)X N μσ的样本，若122CX X +为μ的一个无偏估 计, 则C = 。 二、单项选择题(每小题3分，本题共15分) 1、对于任意两个事件A 和B , 有()P A B -等于（ ） （A ）()()P A P B - （B ）()()P A P AB - （C ）()()()P A P B P AB -+ （D ）()()()P A P B P AB +- 2、下列)(x F 中，可以作为某随机变量的分布函数的是（ ）。 (A)?????≥<≤<=11108 .00 5.0)(x x x e x F x (B)???? ? ???? ≥<≤--<=01 02sin 20)(x x x x x F ππ (C)???????≥<≤<≤<=21212.0103.000)(x x x x x F (D)???? ???≥<≤<≤<=61 654.0501.000 )(x x x x x x F 3、设离散型随机变量X 的分布律为{},(1,2,)k P X k b k λ===???，且b 0,>则λ为（ ） （A ）大于零的任意实数 （B ）1b λ=+ （C ）11b λ=+ （D ）1 1 b λ=- 4、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布, 则随机变量32Z X =-的数学期望为（ ） (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5、设随机变量X 与Y 相互独立，都服从正态分布)3,0(2 N ， ）（921,,,X X X Λ和),,,(921Y Y Y Λ是分别来自总体X 和Y 的样本，则29 22 2 1 921Y Y Y X X X U ΛΛ+++++= 服从（ ） (A) )8(~t U (B) )9,9(~F U (C))9(~t U (D) )8(~2 χU 三、（本题满分12分）某工厂有三部制螺钉的机器A 、B 、C ，它们的产品分别占全部产品的25%、35%、40%，并且它们的废品率分别是5%、4%、2%。今从全部产品中任取一个，试求：（1）抽出的是废品的概率；（2）已知抽出的是废品，问它是由A 制造的概率。 四、（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度函数为|| (),()x f x Ae x -=-∞<<+∞，求: （1）常数A; （2）}10{< ()201,01 ,0x y x y f x y --≤≤≤≤?=? ? 其它，试求：（1）,X Y 的边缘概率密度函数(),()X Y f x f y ；（2）判断,X Y 是否相互独立,是否相关。 六、（本题满分10分）设随机变量X 服从正态分布)2,3(2 N ，试求: (1) }52{≤ 七、（本题满分12分）设总体),10(~p B X , 其中10< 八、（本题满分12分） (1)从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：cm ）的均值 125.2=x ，标准差01713.02==s s 。假设钉子的长度),(~2σμN X ，求总体均值μ的 置信水平为90.0的置信区间。 (2)设),(~211σμN X ，),(~2 22σμN Y ，X 与Y 相互独立，而）（m X X X ,,,21Λ和 ),,,(21n Y Y Y Λ分别是来自总体X 和Y 的样本，若),(~b a N Y X -，求b a ,。 X 学年第一学期期末考试试题5答案及评分标准 概率论与数理统 计 一、填空题（本题满分15分，每小题3分） 1、 32；2、12； 3、2719；4、1 12n -；5、-1 二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分） 2、 B ；2、A ；3、C ；4、D ；5、C 三、（本题满分12分） 解：设A 1={抽出的产品由A 制造}，A 2={抽出的产品由B 制造}， A 3={抽出的产品由C 制造}, B={抽出的产品是废品} ········· 1分 由全概率公式：)()()(3 1 i i i A B P A P B P ∑== 4分 %%%%%=?+?+?255354402％ ().= 69 003452000 6分 由贝叶斯公式：) () ()(11B P B A P B A P = 9分 )()()(11B P A B P A P ?= %%?=255692000 ().=25 036269 12分 四、（本题满分12分）解：（1） 由于 ||()1x f x dx Ae dx +∞ +∞ --∞ -∞ ==? ? 2分 即 0 21x A e dx +∞ -=? 故 1 2 A = 3分 （2）1 01{01}2x P x e dx -<<=? 5分 = 110.3162 e --≈ ··········· 6分 （3）|| 1()2x x F x e dx --∞= ? 当0x <时，11()22x x x F x e dx e -∞==? ·················· 9分 当0x ≥时，00111()1222 x x x x F x e dx e dx e ---∞=+=-?? ········· 12分 五、（本题满分12分） 解：（1）1 03(2)01()(,)2 0X x y dy x x f x f x y dy +∞ -∞ ?--=-≤≤? = =??? ?? 其它 ······ 2分 1 03(2)01 ()(,)2 0Y x y dx y y f y f x y dx +∞ -∞ ?--=-≤≤?==??? ?? 其它 ········· 4分 （2）因为()()(,)X Y f x f y f x y ≠，所以X ，Y 不独立。 ············ 5分 1035 ()()()212X E X xf x dx x x dx +∞ -∞==-=? ? ················ 7分 1035 ()()()212Y E Y yf y dy y y dy +∞-∞==-=?? ················· 9分 11001 ()(,)(2)6 E XY xyf x y dxdy dx xy x y dy +∞+∞-∞-∞==--=???? ······· 11分 因为2 15(,)()()()()0612 Cov X Y E XY E X E Y =-=-≠，所以X 与Y 相关。 ·· 12分 六、（本题满分10分）解： (1) )2,3(~2 N X ∴ }52{≤ （2）由}{}{c X P c X P ≤=> 有}{c X P ≤=0.5=)2 3 ( -Φc ····················· 5分 302 3 =?=-∴ c c 7分 （3）(321)D X Y -+ =94DX DY + =52 10分 七、（本题满分12分） 解：（1）??10,1010 X EX p X p p ==?= ················ 5分 (2)i i i n x x 10x 10i 1 L(p)C p (1p)-== -∏ ······················ 7分 ln L(p)＝1 1 1 ln ln (10)ln(1)i n n n x n i i i i i c x p n x p ===++--∑∑∏ ·········· 9分 全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布， 第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑ * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1 概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量 probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数: 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、 若A 与自身独立，则（ ） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0< 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000 一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析： 题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下： 由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的 《概率论与数理统计》作业集及答案全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案
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第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19