2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷(四)数学(解析版)
2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷(四)数学(解析版)
第Ⅰ卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合A ={x |(x +1)(x -2)≤0},B ={x |x <2},则A ∩B =( ) A .[0,2] B .[0,1] C .(0,2] D .[-1,0]
2.若复数z =1+i
1+a i
(i 表示虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为( )
A .1
B .0
C .-1
2 D .-1
3.设{a n }为公差不为0的等差数列,p ,q ,k ,l 为正整数,则“p +q >k +l ”是“a p +a q >αk +a l ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
4.已知a =2
13
,b =log 2 13,c =log 12
1
3
,则( )
A .a >b >c
B .a >c >b
C .c >a >b
D .c >b >a
5.据《孙子算经》中记载,中国古代诸侯的等级从低到高分为:男、子、伯、侯、公,共五级.现有每个级别的诸侯各一人,共五人,要把80个橘子分完且每人都要分到橘子,级别每高一级就多分m 个(m 为正整数),若按这种方法分橘子,“公”恰好分得30个橘子的概率是( )
A.18
B.17
C.16
D.15
6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其
中一个黄金△ABC 中,BC
AC =5-12
.根据这些信息,可得sin 234°=( )
A.1-254 B .-3+5
8
C .-5+14
D .-4+5
8
7.已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,直线l 为双曲线C 的一条渐近
线,F 1关于直线l 的对称点F ′1在以F 2为圆心,以半焦距c 为半径的圆上,则双曲线C 的离心率为( )
A. 2
B. 3 C .2 D .3
8.已知△ABC 为等边三角形,动点P 在以BC 为直径的圆上,若AP →=λAB →+μAC →
,则λ+2μ的最大值为( )
A.12 B .1+3
3 C.52 D .2+32
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.已知a >b ≥2,则( )
A .b 2<3b -a
B .a 3+b 3>a 2b +ab 2
C .ab >a +b D.12+2ab >1a +1
b
10.如图,已知矩形ABCD 中,AB =2AD ,E 为边AB 的中点,将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ,若M 为线段A 1C 的中点,则△ADE 在翻折过程中,下列说法正确的是( )
A .线段BM 的长是定值
B .存在某个位置,使DE ⊥A 1
C C .点M 的运动轨迹是一个圆
D .存在某个位置,使MB ⊥平面A 1DE
11.数学中的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线C :(x 2+y 2)3=16x 2y 2恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是( )
A .曲线C 经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)
B .曲线
C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2 C .曲线C 围成区域的面积大于4π
D .方程(x 2+y 2)3=16x 2y 2(xy >0)表示的曲线C 在第一象限和第三象限
12.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0)满足f (x 0)=f (x 0+1)=-1
2
,且f (x )在(x 0,x 0+1)上有最小值,无最
大值.则( )
A .f ?
???x 0+1
2=-1 B .若x 0=0,则f (x )=sin ?
???2πx -π6 C .f (x )的最小正周期为3
D .f (x )在(0,2 019)上的零点个数最少为1 346个
第Ⅱ卷
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.为做好社区新冠疫情防控工作,需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作,其中甲小区至少分配两名志愿者,其它三个小区至少分配一名志愿者,则不同的分配方案共有________种.(用数字作答)
14.已知函数f (x )=x +2cos x +λ,在区间???
?0,π
2上任取三个数x 1,x 2,x 3,均存在以f (x 1),f (x 2),f (x 3)为边长的三角形,则λ的取值范围是________.
15.设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F (1,0),准线为l ,过焦点的直线交抛物线于A ,B 两点,分别过A ,B 作l 的垂线,垂足为C ,D ,若|AF |=4|BF |,则p =________,三角形CDF 的面积为________.
16.在三棱锥P - ABC 中,底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形,且AB =2,P A =PC =5,
PB 与底面ABC 所成的角的正弦值为1
3
,则三棱锥P - ABC 的外接球的体积为________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)如图,在△ABC 中,C =π4,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ,且tan ∠CBD =1
2
.
(1)求sin A ;
(2)若CA →·CB →=28,求AB 的长.
18.(12分)在①a2n+1-a2n=3(a n>0),②a2n-a n a n-1-3a n-1-9=0,③S n=n2-2n+2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.
已知:数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,________.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)对大于1的自然数n,是否存在大于2的自然数m,使得a1,a n,a m成等比数列.若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.
19.(12分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC=2BC,E为AB的中点,沿DE将△ADE折起,使得点A到点P位置,且PE⊥EB,M为PB的中点,N是BC上的动点(与点B,C 不重合).
(1)证明:平面EMN⊥平面PBC;
(2)是否存在点N,使得二面角B -EN -M的余弦值为
6
6,若存在,确定N点位置;若不存在,说明理
由.
20.(12分)沙漠蝗虫灾害年年有,今年灾害特别大.为防范罕见暴发的蝗群迁飞入境,我国决定建立起多道防线,从源头上控制沙漠蝗群.经研究,每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
平均温度x i ℃
21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数y i 个
7
11 21 24 66
115
325
∑i =1
7
x i =192,∑i =1
7
y i =569,∑i =1
7
x i y i =18 542,∑i =1
7
x 2i
=5 414,∑i =1
7
z i =25.2848,∑i =1
7
x i z i =
733.7079.? ??
???其中z i =ln y i ,z =17∑i =17z i (1)根据散点图判断,y =a +bx 与y =c e dx (其中e =2.718…自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵
数y 关于平均温度x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)并由判断结果及表中数据,求出y 关于x 的回归方程.(计算结果精确到小数点后第三位)
(2)根据以往统计,该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p (0
①记该地今后5年中,恰好需要3次人工防治的概率为f (p ),求f (p )的最大值,并求出相应的概率p . ②当f (p )取最大值时,记该地今后5年中,需要人工防治的次数为X ,求X 的数学期望和方差.
附:线性回归方程系数公式b ^
=
∑i =1
n
(x i -x )·
(y i -y )∑i =1
n (x i -x )2
,a ^=y -b ^x .
21.(12分)已知圆O :x 2+y 2=4,定点A (1,0),P 为平面内一动点,以线段AP 为直径的圆内切于圆O ,设动点P 的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程;
(2)过点Q (2,3)的直线l 与C 交于E ,F 两点,已知点D (2,0),直线x =x 0分别与直线DE ,DF 交于S ,T 两点.线段ST 的中点M 是否在定直线上,若存在,求出该直线方程;若不是,说明理由.
22.(12分)已知函数f(x)=e x-ax-cos x,其中a∈R.
(1)求证:当a≤-1时,f(x)无极值点;
(2)若函数g(x)=f(x)+ln(x+1),是否存在a,使得g(x)在x=0处取得极小值?并说明理由.
四
1.答案:A
解析:求得A=[-1,2],B=[0,4),所以A∩B=[0,2],故选A.
2.答案:D
解析:设z=b i,b∈R且b≠0,
则1+i
1+a i
=b i,得到1+i=-ab+b i,
∴1=-ab,且1=b,解得a=-1,故选D.
3.答案:D
解析:设等差数列的公差为d ,
a p +a q >a k +a l ?a 1+(p -1)d +a 1+(q -1)d >a 1+(k -1)d +a 1+(l -1)d ?d [(p +q )-(k +l )]>0 ?????? d >0p +q >k +l 或?
????
d <0p +q
因此p +q >k +l 是a p +a q >a k +a l 的既不充分也不必要条件, 故选D. 4.答案:C
解析:a =1-3
2=1
3
12??
???∈(0,1);b =log 2 13<0;c =121log 3
=log 23>1,∴c >a >b ,故选C. 5.答案:B
解析:设首项为a 1,因为和为80,
所以5a 1+12×5×4×m =80,故m =8-1
2
a 1.
因为m ,a 1∈N *,
所以????? a 1=2,m =7,或????? a 1=4,m =6,或????? a 1=6,m =5,或????? a 1=8,m =4,或????? a 1=10,m =3,或????? a 1=12,m =2,或?
????
a 1=14,m =1. 因此“公”恰好分得30个橘子的概率是1
7
.
故选B. 6.答案:C
解析:由题可知∠ACB =72°,
且cos 72°=12BC AC =5-1
4
,
cos 144°=2cos 2 72°-1=-5+1
4
,
则sin 234°=sin(144°+90°)=cos 144°=-5+1
4
.
故选C. 7.答案:C
解析:方法一:直线l 为双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线,则不妨设直线l 为y =b
a
x ,
∵F 1,F 2是双曲线C 的左、右焦点, ∴F 1(-c,0),F 2(c,0),
∵F 1关于直线l 的对称点为F ′1,则F ′1为(x ,y ),
∴y x +c
=-a b ,y +02=b a ·x -c 2,
解得x =b 2-a 2c ,y =-2ab
c ,
∴F ′1????b 2-a 2c
,-2ab c ,
∵F ′1在以F 2为圆心,以半焦距c 为半径的圆上, ∴????b 2-a 2c -c 2+????-2ab c
-02=c 2, 整理可得4a 2=c 2,即2a =c ,
∴e =c
a
=2,故选C.
方法二:由题意知|F ′1O |=|OF 1|=|OF 2|=|F ′1F 2|,
所以三角形F ′1F 1F 2是直角三角形,且∠F ′1F 1F 2=30°,
又由焦点到渐近线的距离为b ,得|F ′1F 1|=2b , 所以2b =3c ,所以e =2. 故选C. 8.答案:C
解析:设△ABC 的边长为2,不妨设线段BC 的中点O 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ,则点A (0,3)、B (-1,0)、C (1,0),
以线段BC 为直径的圆的方程为x 2+y 2=1, 设点P (cos θ,sin θ),
则=(-1,-3),=(1,-3),=(cos θ,sin θ-3), 由于=λ+μ,
则-λ+μ=cos θ,-3λ-3μ=sin θ-3,
解得λ=12-36sin θ-1
2cos θ,
μ=12-36sin θ+1
2
cos θ, 所以λ+2μ=????12-36sin θ-12cos θ+2???
?12-36sin θ+1
2cos θ
=32-32sin θ+1
2
cos θ =3
2
-sin ????θ-π6, 因此,λ+2μ的最大值为5
2
.
故选C.
9.答案:BC
解析:对于A ,因为a >b ≥2,
所以b 2-(3b -a )=(a -b )+b (b -2)>0, 故A 错误;
对于B ,可通过作差证明,B 正确;
对于C ,ab -(a +b )=ab -2a +ab -2b
2
=a (b -2)+b (a -2)2
>0,故C 正确;
对于D ,若12+2ab >1a +1
b
成立,
当a =10,b =2时,左边=右边=3
5
,
故D 错误. 所以,选BC. 10.答案:AC
解析:对A ,取CD 中点F ,
连接MF ,BF ,则MF ∥DA 1,BF ∥DE ,
由∠A 1DE =∠MFB ,MF =1
2
A 1D 为定值,F
B =DE 为定值,
由余弦定理可得
MB 2=MF 2+FB 2-2MF ·FB cos ∠MFB , 所以FB 为定值,A 正确;
若B 正确,即DE ⊥A 1C ,由∠AED =∠BEC =45°,
可得DE ⊥CE ,则DE ⊥平面A 1EC ,
所以DE ⊥A 1E ,而这与DA 1⊥A 1E 矛盾,故B 错误;
因为B 是定点,所以M 在以B 为圆心,MB 为半径的圆上,故C 正确; 取CD 中点F ,连接MF ,BF , 则MF ∥DA 1,BF ∥DE ,
由面面平行的判定定理得平面MBF ∥平面A 1DE , 即有MB ∥平面A 1DE ,可得D 错误. 故选AC.
11.答案:BD
解析:(x 2+y 2)3=16x 2y 2
≤16
????x 2+y 222,
解得x 2+y 2≤4(当且仅当x 2=y 2=2时取等号),则B 正确; 将x 2+y 2=4和(x 2+y 2)3=16x 2y 2联立, 解得x 2=y 2=2,
即圆x 2+y 2=4与曲线C 相切于点(2,2),(-2,2),(-2,-2),(2,-2), 则A 和C 都错误;
由xy >0,得D 正确.综上,选BD. 12.答案:AC
解析:(x 0,x 0+1)区间中点为x 0+1
2,
根据正弦曲线的对称性知f ?
???x 0+1
2=-1, 故选项A 正确;
若x 0=0,则f (x 0)=f (x 0+1)=-1
2
,
即sin φ=-12,不妨取φ=-π
6
,
此时f (x )=sin ?
???2πx -π
6,满足条件, 但f ????13=1为(0,1)上的最大值,不满足条件, 故选项B 错误;
不妨令ωx 0+φ=2k π-5π6,ω(x 0+1)+φ=2k π-π
6
,k ∈Z ,
两式相减得ω=2π3,即函数的周期T =2π
ω
=3,
故C 正确;
区间(0,2 019)的长度恰好为673个周期, 当f (0)=0时,即φ=k π(k ∈Z )时,
f (x )在开区间(0,2 019)上零点个数至少为673×2-1=1 345, 故D 错误.故正确的是AC. 13.答案:660
解析:若甲小区2人,乙、丙、丁其中一小区2人,共有C 26C 24A 33种,若甲小区3人,乙、丙、丁每小
区1人,共有C 36A 33种,则不同的分配方案共有C 26C 24A 33+C 36A 3
3=660种.
14.答案:???
?3-5π
6,+∞ 解析:求导得f ′(x )=1-2sin x ,令f ′(x )=0,得x =π
6
,
易得f (x )max =f ????π6=π
6+3+λ,
f (x )min =f ????π2=π
2+λ,
又由题意知f ????π2=π
2+λ>0,
且f ????π2+f ????π2>f ????
π6,
由此解得λ的取值范围为λ>3-
5π
6
. 15.答案:2 5
解析:抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F (1,0), 所以p =2,准线为x =-1,
设过焦点的直线方程为x =my +1, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
联立?????
x =my +1y 2=4x
,得y 2-4my -4=0,
∴y 1y 2=-4 ①
又|AF |=4|BF |,y 1=-4y 2 ②
由①②解得y 1=-4,y 2=1或y 1=4,y 2=-1, 所以|CD |=|y 1-y 2|=5,
所以三角形CDF 的面积为1
2
×2×5=5.
16.答案:9π2或8989π
6
解析:如图,取AC 中点O ′,
因为P A =PC =5,AB =BC , 所以AC ⊥PO ′,AC ⊥O ′B ,
所以AC ⊥平面PO ′B ,所以平面PO ′B ⊥平面ABC , 易知∠O ′BP 即为PB 与底面ABC 所成的角或补角. O ′B =2,O ′P =3,所以在△O ′PB 中, (2)2+PB 2-2·2·PB ·cos ∠O ′BP =(3)2,
因为sin ∠O ′BP =1
3,
当cos ∠O ′BP =22
3
时,求得PB =3,
此时∠PCB =∠P AB =90°.
故PB 为三棱锥P ABC 外接球直径,V =9π
2
;
当cos ∠O ′BP =-223时,求得PB =1
3
,
延长BO ′交外接球于Q ,则BQ 为圆O ′的直径, 则△QBP 的外接圆直径为球的直径, 由PQ 2=BQ 2+BP 2-2·BQ ·BP ·cos ∠QBP
=(22)2+????132-2·22·13????-223=89
9
, 球的直径为2R =PQ
sin ∠QBP =89,
可求得V =8989π
6
.
综上外接球的体积为9π2或8989π
6
.
17.解析:(1)设∠CBD =θ,因为tan θ=1
2
,
又θ∈????0,π2,故sin θ=55,cos θ=255
, 则sin ∠ABC =sin 2θ=2sin θcos θ
=2×55×255=4
5
,
cos ∠ABC =cos 2θ=2cos 2θ-1=2×45-1=3
5
,
故sin A =sin ???
?π-????π4+2θ =sin ????π4+2θ=2
2(sin 2θ+cos 2θ) =22×????45+35=72
10
. (2)由正弦定理BC sin A =AC
sin ∠ABC
,
即BC 7210=AC 4
5,所以BC =728AC ,
又·=
2
2
||||=28, 所以||||=282,所以AC =42,
又由AB sin C =AC sin ∠ABC ,得AB 22
=AC 4
5,所以AB =5.
18.解析:方案一:选条件①.
(1)由a 2n +1-a 2n =3,得{a 2
n }是公差为3的等差数列,
由a 1=1,得a 21=1,则a 2n =3n -2,
又a n >0,所以a n =3n -2.
(2)根据a 1,a n ,a m 成等比数列, 得到a 2n =a 1a m ,即3n -2=3m -2,
则有m =3n 2-4n +2,因为n ∈N *且n ≥2, 所以m =3n 2-4n +2∈N *, 当n =2时,m min =6; 方案二:选条件②. (1)因为a 2n -a n a n -1-3a n -1-9=0 ?(a n +3)(a n -a n -1-3)=0,
因为a 1=1,所以a n -a n -1-3=0, 则{a n }是等差数列,则a n =3n -2. (2)要使得a 1,a n ,a m 成等比数列,
只需要a 2n =a 1a m ,即(3n -2)2
=3m -2, 则有m =3n 2-4n +2,
因为n ∈N *且n ≥2,所以m =3n 2-4n +2∈N *, 当n =2时,m min =6; 方案三:选条件③.
(1)由S n =n 2
-2n +2,得a n =?
????
1 n =12n -3 n ≥2.
(2)要使得a 1,a n ,a m 成等比数列,
只需要a 2n =a 1a m ,即(2n -3)2
=2m -3, 则有m =2n 2-6n +6,
因为n ∈N *且n ≥2,所以m =2n 2-6n +6∈N *, 当n =2时,m min =2.
19.解析:(1)证明:因为PE⊥EB,PE⊥ED,EB∩ED=E,
所以PE⊥平面EBCD,
又PE?平面PEB,所以平面PEB⊥平面EBCD,
而BC?平面EBCD,BC⊥EB,
所以平面PBC⊥平面PEB,
由PE=EB,PM=MB知,EM⊥PB,于是EM⊥平面PBC.
又EM?平面EMN,所以平面EMN⊥平面PBC.
(2)假设存在点N满足题意,取E为原点,
直线EB,ED,EP分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系E xyz,不妨设PE=EB=2,
显然平面BEN的一个法向量为n1=(0,0,1),
设BN=m(0 则=(1,0,1),=(2,m,0). 设平面EMN的一个法向量为n2=(x,y,z), 则由·n2=·n2=0, 即 ?? ? ??(1,0,1)·(x,y,z)=0 (2,m,0)·(x,y,z)=0 ,即 ?? ? ??x+z=0 2x+my=0 , 故可取n2=(m,-2,-m), 所以cos〈n1,n2〉= n1·n2 |n1||n2| = (0,0,1)·(m,-2,-m) 2m2+4 = -m 2m2+4 , 依题意 ? ? ? ? ? ? -m 2m2+4 = 6 6, 解得m=1∈(0,2),此时N为BC的中点. 综上知,存在点N, 使得二面角B EN M的余弦值为 6 6, 此时N为BC的中点. 20.解析:(1)根据散点图可以判断,y=c e dx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型;对y=c e dx两边取自然对数,得ln y=ln c+dx; 令z=ln y,a=ln c,b=d,得z=a+bx; 因为= ∑ i=1 7 (x i-x)(z i-z) ∑ i=1 7 (x i-x)2 == 40.1820 147.7143≈0.272, =z-x=3.612-0.272×27.429≈-3.849; 所以z关于x的回归方程为=0.272x-3.849; 所以y关于x的回归方程为=e0.272x-3.849. (2)①由f(p)=C35·p3·(1-p)2, 得f′(p)=C35·p2(1-p)(3-5p), 因为0 0,得3-5p>0, 解得0 5 ; 所以f (p )在????0,3 5上单调递增, 在???? 35,1上单调递减, 所以f (p )有唯一的极大值为f ????35,也是最大值; 所以当p =3 5 时,f (p )max =f ????35=216625; ②由①知,当f (p )取最大值时, p =3 5 ,所以X ~B ????5,35, 所以X 的数学期望为E (X )=5×3 5 =3, 方差为D (X )=5×35×25=6 5 . 21.解析:(1)设以AP 为直径的圆的圆心为B ,切点为N , 则|OB |=2-|BA |,∴|OB |+|BA |=2. 取A 关于y 轴的对称点A ′,连接A ′P , 故|A ′P |+|AP |=2(|BO |+|BA |)=4>2. 所以点P 的轨迹是以A ′,A 为焦点,长轴长为4的椭圆. 其中,a =2,c =1,曲线C 方程为x 24+y 2 3 =1. (2)设直线l 的方程为x =ty +(2-3t ), 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),M (x 0,y 0), 直线DE 的方程为y =y 1 x 1-2 (x -2), 故y S =y 1 x 1-2(x 0 -2), 同理y T =y 2 x 2-2(x 0 -2); 所以2y 0=y S +y T =y 1x 1-2(x 0-2)+y 2 x 2-2(x 0 -2), 即2y 0x 0-2=y 1x 1-2+y 2x 2-2 =y 1t (y 1-3)+y 2 t (y 2-3) =2y 1y 2-3(y 1+y 2)t [y 1y 2-3(y 1+y 2)+3] ③ 联立??? x =ty +(2-3t )3x 2+4y 2-12=0 , 化简得(3t 2+4)y 2+(12t -63t 2)y +9t 2-123t =0, 所以y 1+y 2=63t 2-12t 3t 2+4,y 1y 2=9t 2-123t 3t 2+4 代入③得, 2y 0 x 0-2=2×? ???? 9t 2-123t 3t 2+4-3×63t 2-12t 3t 2+4t ????? ? 9t 2-123t 3t 2+4-3×63t 2-12t 3t 2+4+3 = -123t 12t =-3?3x 0+2y 0-23=0, 所以点M 都在定直线3x +2y -23=0上. 22.解析:(1)证明:对f (x )求导得f ′(x )=e x +sin x -a , 显然e x >0,sin x ≥-1, 所以e x +sin x -a >0-1-a ≥0,即f ′(x )>0, 所以f (x )在其定义域上是单调递增函数, 故f (x )无极值点; (2)解法一:对g (x )求导得 g ′(x )=e x +1 x +1 -a +sin x (x >-1), 又注意到g ′(0)=2-a , 令g ′(0)=2-a =0,得a =2. 此时g ′(x )=e x +1 x +1 -2+sin x , 令h (x )=g ′(x )=e x +1 x +1-2+sin x , 则h ′(x )=e x -1 (x +1)2 +cos x , 显然,在x ∈????0,π2上,e x >1>1(x +1)2 ,cos x >0, 此时h ′(x )=e x -1 (x +1)2+cos x >0, 故h (x )在??? ?0,π 2上是增函数, 所以h (x )>h (0)=0, 即g ′(x )=e x +1 x +1 -2+sin x >0; 又当x ∈(-1,0)时, 令s (x )=(x +1)2e x ,t (x )=(x +1)2cos x , 则s ′(x )=(x +1)(x +3)e x >0, s (x )是(-1,0)上的增函数, 所以s (-1) 使s (x )>12,即e x >1 2(x +1)2 ; 又0<(x +1)2<1,cos 1 使t (x )>12,即cos x >1 2(x +1)2 , 现设(x 1,0)∩(x 2,0)=(x 0,0), 则在区间(x 0,0)上,e x >12(x +1)2,cos x >1 2(x +1)2同时成立, 即h ′(x )=e x -1 (x +1)2 +cos x >0, 故h (x )在(x 0,0)上是增函数,h (x ) 使得g ′(x )=e x +1 x +1 -2+sin x <0; 因此存在a =2,使得g (x )在x =0处取得极小值. 解法二:x =0是f (x )的极小值点的必要条件是f ′(0)=2-a ,即a =2. 此时,g ′(x )=e x +1 1+x -2+sin x , 显然当x ∈????0,π 2时, g ′(x )=e x +1 1+x -2+sin x ≥1+x +1 1+x -2+sin x >0; 当-1 4 (1+x )????1-x +32x 2=1+x 22(3x +1)>1 ?11+x <1-x +32x 2. 令m (x )=????1+x +x 22e -x ,m ′(x )=-x 22 e -x ≤0, 故m (x )是减函数. 因此,当x <0时,m (x )>m (0)=1, 即e x <1+x +x 22. 令h (x )=sin x -12x ,h ′(x )=cos x -1 2 . 当-1 2 >0, 故h (x )在(-1,0)上单调递增. 因此,当-1 即sin x <1 2x . 故当x ∈??? ?-1 4,0时, g ′(x )=e x +1 1+x -2+sin x ≤????1+x +x 22+????1-x +32x 2-2+x 2 =2x 2+x 2 <0; 因此,a =2时x =0是g (x )的极小值点.