调和级数发散的证明

PINGDINGSHAN UNIVERSITY

毕业论文(设计)

题目 :调和级数发散的几种证明方法

院（系）:数学与信息科学学院

专业年级:数学与应用数学（专升本 2009级）姓名:贾线茹

学号:093030118

指导教师: 毛凤梅副教授

2011 年 4月 12日

PINGDINGSHAN UNIVERSITY

Thesis(design)

Subject:Several Harmonic Series Divergence Proof

College:Mathematics and Information Science

Major and Grade:

Mathematics and Applied Mathematics, Upgraded

2009

Name：Jia Xian Ru

No:093030118

Advisor:Associate Professor Mao Feng Mei

April 12, 2011

原创性声明

本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文，是在指导老师的指导下独立进行研究所取得的成果．毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、证法、观点等，均已明确注明出．除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果．对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明．

本声明的法律责任由本人承担．

论文作者签名：日期：

关于毕业论文使用授权的声明

本人在指导老师指导下所完成的论文及相关的资料，知识产权归属平顶山学院．本人完全了解平顶山学院有关保存、使用毕业论文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权平顶山学院可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本毕业论文．如果发表相关成果，一定征得指导教师同意，且第一署名单位为平顶山学院．本人离校后使用毕业论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为平顶山学院．

论文作者签名：日期：

指导老师签名：日期：

调和级数发散的几种证明方法

摘要

本文给出了调和级数发散性的18种证明方法，分为三大部分内容分别来证明．其证明方法参见了各种资料,进行了整理．有的采用与原证不同的叙述,比原证更具体明了,有的是用有关定理或命题导出来的．此篇论文的写作目的是通过对调和级数发散的证明，更好地掌握正项级数敛散的证明方法，以及更深一步了解级数与数列之间的关系．

关键词：调和级数发散性部分和收敛积分

Several Harmonic Series Divergence Proof

Abstract

In this paper, Divergent Harmonic Series 18 kinds of Proof Methods, the contents were divided into three parts to prove. The Proof Methods see the variety of information were consolidated. Some of the original card with a different account than the original Permit more specific and clear. Some proves are guided by the relevant theorems or propositions out.The purposes of this paper is to reconcile the series diverges by the proof and better understand the convergence of series of positive proof, as well as a deeper understanding of series and series of relationships.

Key words:harmonic series, divergent, partial sum, convergence, integral

前言 (1)

第一章运用正项级数的定理、定义证明 (2)

1. 1 部分和发散，则级数发散 (2)

1.1.1 利用欧拉常数证明 (2)

1.1.2 级数的部分和可任意大 (4)

1.1.3 级数的部分和的子列发散 (4)

1.1.4 广义积分法 (5)

1.2 级数n 项余和的敛散性 (6)

1.3 柯西收敛准则 (7)

1.4 比较判别法 (7)

1.5 比较判别法的推论 (8)

第二章运用正项级数的命题证明 (9)

2.1 级数1

n n a

∞=∑与212n n n a ∞=∑具有相同的敛散性 (9)

2.2 级数1n n a

∞=∑的 n na 的极限存在性 (10)

2.3 级数()10n n n a a ∞=>∑与1n n n a S ∞

=∑的关系 ................................................................................... -11- 第三章运用额外定理、定义证明 .. (12)

3.1 数列与级数的关系 (12)

3.1.1 数列的子列与级数11n n ∞

=∑的关系 ............................................................................-12- 3.1.2 级数11n n ∞

=∑的子级数发散 ..........................................................................................-13- 3.2 高斯判别法.. (14)

3.3 拉阿伯判别法 (14)

3.4 厄耳克夫判别法 (15)

3.5 运用拉格朗日定理 (15)

3.6 积分判别法.............................................................................................................................-16- 参考文献 ................................................................................................................................................. -18- 致谢 (19)

- 1 -

数项级数敛散性判别法。(总结)

华北水利水电学院数项级数敛散性判别法。（总结）课程名称：高等数学（下）专业班级：成员组成联系方式： 2012年5月18日

摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。

关于数项级数敛散性的判定(可编辑修改word版)

n 3 5 n 2 3 5 3 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1 数项级数收敛的定义 ∞ ∞ 数项级数 ∑u n 收敛 ? 数项级数∑u n 的部分和数列{S n }收敛于 S . n =1 n =1 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{S } 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前 n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2 数项级数的性质 ∞ ∞ ∞ （ 1）若级数 ∑u n 与 ∑v n 都收敛，则对任意常数 c,d, 级数 ∑(cu n + dv n ) 亦收敛，且 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∑(cu n + dv n ) = c ∑u n + d ∑v n ;相反的，若级数∑(cu n + dv n ) 收敛，则不能够推出级数∑u n 与 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∑v n 都收敛. n =1 ∞ ∞ ∞ 注：特殊的，对于级数 ∑u n 与 ∑v n ，当两个级数都收敛时， ∑(u n ± v n ) 必收敛；当其中一个 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ 收敛，另一个发散时， ∑(u n ± v n ) 一定发散；当两个都发散时， ∑(u n ± v n ) 可能收敛也可能发散. n =1 n =1 ∞ 1 1 ∞ 1 1 例 1 判定级数∑( n n =1 + n ) 与级数∑( + n ) 的敛散性. n =1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 1 解：因为级数 ∑ n n =1 与级数 ∑ n n =1 收敛，故级数 ∑( n n =1 ∞

任意项级数敛散性判断练习及答案

任意项级数敛散性判断下列级数是否收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛 1、 () ∑ ∞ =--1 1 11n n n 2、 ()∑∞=--1131n n n n 3、 () ∑∞=+121sin n n na 4、 ()()011>-∑∞=a na n n n 5、 ∑∞=??? ?? +2ln 1sin n n n π 6、 Λ+-+-+- 332210 3 211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11 2 212 12121n n n n n 8、 ()() [] ()01111 >-+-∑∞=-p n n p n n

答解：1、() ∑ ∞ =--1 1 11n n n 取绝对值 ()∑ ∑∞=∞ =-=-1 11 1 1n n n n n >∞ （ 2 1 =p 的p 级数）而原级数是交错级数且： 01lim 1 111==<+=∞ →+n u n n u n n n 由莱布尼兹定理，原级数收敛。所以是条件收敛。 2、()∑∞ =--113 1n n n n 13111lim 313 31lim lim 11<=??? ??+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n

绝对值级数 ()∞<-∑∞ =-113 1n n n n 所以原级数绝对收敛 3、() ∑∞ =+12 1sin n n na ()() 22111sin +≤+n n na () ∑∞ =+1211n n 是p=2 的p 级数。收敛！所以由比较判别法，原级数绝对收敛 4、() ()011>-∑ ∞ =a na n n n ()111lim lim 11<=+=+∞ →+∞→a a n na u u n n n n n a>1 时原级数绝对收敛 0

关于数项级数敛散性的判定

关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质（1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛.

级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。关键词：级数；收敛；判别；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。

级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。关键词：级数；收敛；判别；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数 )(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性

定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。二正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则（i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛；（ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n +

一个无穷级数敛散性的证明

一个无穷级数的敛散性证明我们在复变中曾见过这样一个无穷级数 231............23n n n Z Z Z Z Z n n ∞ ==+++∑ 其中Z 为复数。它的收敛域为 |Z|<1 那在|Z|=1上上述无穷级数的收敛情况又是如何呢？当Z=1时上述无穷级数为调和级数，因此是不收敛的。那当Z 取其它值时是否也是不收敛呢。答案是否定的，令Z=-1 则上述无穷级数为交错级数，由数学分析的知识知道它是收敛的。事实上，除了Z=1外，单位圆周上其它点都可使上述无穷级数收敛。为了方便计算，令Z=cos θ+isin θ 其中θ为实数为了方便讨论，下面我们限制0≤θ<2π 当θ取0时，则Z=1,上述无穷级数为调和级数，是不收敛的。当θ取π时，则Z=-1,上述无穷级数为交错级数，是收敛的。下面我们分两个阶段去证明。第一阶段,当θ/π取有理数时,即θ=πp /q 其中p 为奇数、q 为整数且p 、q 互素。由欧拉公式 (cos sin )cos sin n i n i n θθθθ +=+ 则当n 取kq 时其中k 为整数则Z t =-Z t+q =Z t+2q =-Z t+3q =...(-1)k Z t+kq 其中t 小于q 即t=1、2、3...q

则级数 21............2t t q t q t nq n n Z Z Z Z T t t q t q t nq +++∞ ==++++++∑ 可化为 1......(1)......23t t t t t n n n Z Z Z Z Z T t t q t q t q t nq ∞ ==-+-+-++++∑ 即 111111(......(1) (234) n n n T Z t t q t q t q t nq ∞ ==-+-+-++++∑ 上述无穷级数为交错级数，故其是收敛的。记F t 为上述无穷级数的和则对任意的ε>0,存在正整数N t ，使得n>N t 时，都有 2|......|2t t q t q t nq t Z Z Z Z F t t q t q t nq ε++++++-<+++ 则讨论（1）的部分和 23......23n n Z Z Z S Z n =+++ 其中n=(k+1)q+h h

任意项级数敛散性判断练习及答案

任意项级数敛散性判断下列级数是否收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛 1、 () ∑∞ =--1 1 11n n n 2、 ()∑∞ =--1131n n n n 3、 () ∑∞=+121sin n n na 4、 ()()011>-∑∞=a na n n n 5、 ∑∞=??? ?? +2ln 1sin n n n π 6、 +-+-+- 332210 3 211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11 2 212 12121n n n n n 8、 ()() [] ()01111 >-+-∑∞=-p n n p n n }

答解：1、() ∑ ∞ =--1 1 11n n n 取绝对值 ()∑ ∑∞=∞ =-=-1 11 1 1n n n n n >∞ （ 2 1 =p 的p 级数）而原级数是交错级数且： 01lim 1 111==<+=∞ →+n u n n u n n n ~ 由莱布尼兹定理，原级数收敛。所以是条件收敛。 2、()∑∞ =--113 1n n n n 13111lim 313 31lim lim 11<=??? ??+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n

绝对值级数 ()∞<-∑∞ =-113 1n n n n 所以原级数绝对收敛 3、() ∑∞ =+12 1sin n n na # ()() 2 211 1sin +≤+n n na () ∑∞ =+1211n n 是p=2 的p 级数。收敛！所以由比较判别法，原级数绝对收敛 4、() ()011>-∑ ∞ =a na n n n ()111lim lim 11<=+=+∞ →+∞→a a n na u u n n n n n a>1 时原级数绝对收敛

(完整版)关于数项级数敛散性的判定

关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质（1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1 )(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛.

正项级数敛散性判别

正项级数敛散性的判别刘兵军无穷级数是高等数学的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。正项级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。一．常数项级数的概念所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式 +++++n u u u u 321 叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞ =1 n n u ，即 +++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211， (1) 其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。级数(1)的前n 项的和构成的数列 n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n (2) 称为级数(1)的部分和数列。根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。定义如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞ →n n s lim s ，则称级数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。级数收敛的必要条件如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。二．正项级数敛散性的判别由正数和零构成的级数称为正项级数。比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。比较审敛法如果正项级数∑∞=1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则∑∞ =1n n u 收敛；如果正项级数∑∞=1n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞ =1n n u 发散；比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞=1n n v 是解题的关键。几何级数∑∞=-11n n aq 和p-级数∑∞ =11n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞=1n n v 。

级数敛散性判别方法的归纳

＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。二正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则（i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛；（ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n + 易知：∑∞ =22ln 1n n n 收敛（积分判别法），又∑∞=22n n a 收敛，所以)ln 1 212 2 2 n n a n n +∑∞ =（收敛。由比较判别法知∑ ∞ =2ln n n n n a 收敛（n a >0）. 例 2 . 证明：级数)0(sin )1(1 ≠?-∑∞ =x n x n 都是条件收敛的。证：不妨设x>0,则?x N >0，当n>x N 时，0< n x <2π,此时0sin >n x ,且{n x sin }

调和级数发散的证明

数项级数敛散性判别法。(总结)

关于数项级数敛散性的判定(可编辑修改word版)

任意项级数敛散性判断练习及 答案

关于数项级数敛散性的判定

级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳

一个无穷级数敛散性的证明

任意项级数敛散性判断练习及 答案

(完整版)关于数项级数敛散性的判定

正项级数敛散性判别

级数敛散性判别方法的归纳

任意项级数敛散性判断练习及答案

任意项级数敛散性判断练习及答案