圆盘、球体转动惯量的推导

如果是过圆盘中心并且垂直于圆盘的轴，那么取距离轴为R,宽度为dr的圆环作为微元，并设圆盘的质量面密度为卩，则圆环的质量dm =2朮dr，带入积分式可

得『2用R^dr =—皿5 °，再禾1」用Pu R2 =m，可得J =丄口才o

、 2 2

如果是过圆盘中心并且在圆盘面内的，可以根据垂直轴定理得到结果，当然也可以直接计算。如图所示，取圆盘上一小块儿作为微元，在极坐标下，dm =4rdrd 0 ,

所以这一小块儿的转动惯量

dJ = dm 9(r cos 9) 2，积分得到

j= — mR20 （r 从0 到R，0 从0

到2n）

对于不同的形状，分析方法都是先想办法写出

dm,关键在于分割的方法。至于计算，一般不

是问题，对于不同的题目取合适的坐标系

就行了。

时/ 1 r 、誇 1 十 = ^cf ^rjnkDfJ Ig =^?nfla

2x 如图2^凰面的质量为m ，圆面面积为叔J 则有面?度肯m/jr/J ：，图中微面积为db =葺］T (r +血尸-

(2rdr + (dr)^3 rdrdff * (如'是高阶无穷小，忽略不计，鼠慮境为伽=(構加册”口 = *TT S On 加?2 )r 肝(iff 0微廳覚的转动半径为￡ = rsina ?对尸和<谜行二S 积分可得转动惯宣为』=Jj //dm = jj(r￡iT!￡r)2(niF7r 胪)f (if 曲=号yjjf r^CjJTiflf)"drdflf = (sina^da

/丁］『K 『2 /丁 j 2 r r 1

= ；J I 2(幻Hcruder = — I (1 — cos2a)dcc 2jr/?』Jg J,Q I 2jr J Q 4

同样的.图我就不画了，对于薄球壳.它的转动惯量也是对球面上的微质量进行两个正交的肃度方向的翩分可E ；U 耳到，面密度为叫伽尺2 .面积黴元根揭球坐标可以求得为翻=呼站曲1阳￥> *谢质量为4咖= Cffi/4irfl^)cic7 = (m/4ji ］jinSdSd^ ,而微质量的转动华径为￡< = R 助 3

故而有转动惜量

7 = jj ￡?曲1 = 0(ftFin ff)^(m /4rr)sin3d ffd^ =冷% ”(S2n3)^d3dip = ；： J 匕讯0户曲 J 网

-一呼-J (sf 询引mse = 一罟-J U 一(咖疗1改口話二一罟-(m#-扣0站)*常

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对于圆球.根据球坐标，体积微衣卩=F%riE 汩刖耳W ，体积密度为m/(4jrR”3)= Hm/47te ，则匮S 澈元为dm =(3ni/4jr/f^)iiF =(3m /^nR. sin8drd3d

I = Jg L^dm = 0J (rj!n(Sm/47rJ?)r ^sinffdrdSdtp =籟器 JjfJ r*@Ti 砂打垃8曲

I TVI 申 R f -S-ir -J ■ fR f IT 1^ 2jr

=歸1沁1伽日丹u 吩彌I 妒”聞%曲

伽h 伽册论-警(心冷伽少)IA 討m

1、如图1.圆环J 贯量期JT -单位角度对应的匮量为?n/2iT .那么图示的燼愿罠如三(m/2n)dci ?遨j 原S 的转动半径为丄=/?￡醴0,根据对称性.我们只需要对。在0到耐2±进行积分就可M 了-腔上匕有转动■睛量

n M n

7 = 4『￡叼耐=斗用 I (jlJi'dni/亦］dtt =

— I 2stn^ada = P (1 — cos2d}(ia J D J O #■丿0 TT 」D

(e)均匀薄球壳绕直径的转动惯量如

图4-2師示，设球壳的半径为R, HR ?将球壳划分为许多高度为d 潮圆环, 而S i

=J R 2-/,于是

fR 1 = 2 H c Rr -dz J 卡 =f 2兀 o R 〔R — z 巧 dz 』-R _航 4

=-mR ， 3

(f)均勻球持绕直径的转动惯量 _

如图4 —2审斤示，设球体的半径为氐总质量为m*则密度为戸=3 mR 4 R3.将球体划分为许多厚度为d 爲圆盘.则盘的休积为” r 丄9 Z 质量为 TI P r^idz,垂直距离〕=J R ? -； , 丁?是

E *-24昧萍转动愤量

2心 2 J-R

—a + __ 严 1 l(x)dx

X i -y i 1 总质量为帕则面密度为C =m / 4 则环的面积为211 r 丄d Z /曲i n / 创

=0 JT O R d, Z 垂 =輕 p R§ = 15

n p f 丄 ^dz

n p (K? -/ ) ^dz 沐2