资产组合选择理论——均值方差方法

糖生产的正常年份 股市的牛市 概率 收益率%
2012/9/24
异常年份 糖的生产 危机
股市的熊市
0.5 25
0.3 10
0.2 -25
17
为了降低整个资产组合的风险， 为了降低整个资产组合的风险，可以用剩余的资 产购买国库券， 产购买国库券，稳获5%的收益。 的收益。 为了提高捐赠在经营预算中的作用， 为了提高捐赠在经营预算中的作用，休曼埃克斯 的董事聘请了刚刚毕业的工商管理硕士沙里做咨 询。在调查了糖和糖果业后， 在调查了糖和糖果业后，沙里发现， 沙里发现，在加勒 比海发生糖危机的这些年里， 比海发生糖危机的这些年里，夏威夷的一个大的 糖业公司公司糖凯恩公司SugarKane公司获得 了可观的利润， 了可观的利润，其股票价格也大幅上扬， 其股票价格也大幅上扬，该公司 的股票价格如下:
1
σ 11 L σ 1n w1 2 T σ p = w Vw = ( w1 ,...wn ) M O M M σ w L σ nn n n1
2012/9/24 14
规则7 当一个风险资产与一个无风险资 产相组合时，资产组合的标准差等于风 险资产的标准差乘以该资产组合投资于 这部分资产上的比例。
σ P = wσ 1
2012/9/24
15
Humanex问题
休曼埃克斯是一个非盈利组织，它的大部分 收入来源于捐赠的收益。多年以前，贝斯特 凯迪Best Candy公司的创始人将巨额的贝斯 特凯迪公司股票捐赠给休曼埃克斯，并在捐 赠条款中规定休曼埃克斯永远不能出售这些 股票。现在这些股份占休曼埃克斯得到的捐 赠的50%，休曼埃克斯可以自由决定将资产 组合中的剩余部分投在什么地方。
2012/9/24
7
规则1 在任何情况下，资产的平均或预 期收益就是其收益的概率加权平均值。
E (r ) = ∑ Pr( s )r ( s )
s
2012/9/24
8
规则2 资产收益的方差（variance）是预 期收益的平方差的预期值。
σ 2 = ∑ Pr( s )[r ( s ) − E (r )]2
规则5 由两个资产构成的组合的报酬率 是构成资产组合的每个资产的报酬率的 加权平均值，资产组合的构成比例为权 重。 E ( r p ) = x 1 E ( r1 ) + x 2 E ( r2 )
E (rp ) =
∑
n
i =1
x i E ( ri )
2012/9/24
13
规则6 方差分别为 σ 与 σ 2的两个资产以 2 σ w1与w2的权重构成一个资产组合 p 的方 差为， 2 2 2 2 2 σ p = w1 σ 1 + w2σ 2 + 2 w1w2 cov(r1 , r2 )
2012/9/24
5
第一节 证券收益与风险的度 量均值与方差
资产组合中的数学： 价格与回报率 期望收益率与标准差 协方差与相关系数
2012/9/24
6
资产组合中的数学
价格与回报率
对于单期投资而言，假设你在时间0（今天） 以价格S0购买一种资产，在时间1（明天）卖 出这种资产，得到收益S1。那么，你的投资回 报率为 r=(S1-S0)/S0 。
"for a given level of return to minimize the risk, and for a given level of risk level to maximize the return“
2012/9/24
4
实现方法： 收益——证券组合的期望报酬 风险——证券组合的方差 风险和收益的权衡——求解二次规划
系列1
定理，给定风险厌恶水平，最优风险资产配 置； E (rP ) − rf y= 2 0.01Aσ P
2012/9/24 24
情况2 两个风险资产
由下列两个风险资产构成的所有资产组 合的形状如何？ 举例
证券 A B 预期收益 5% 15% 标准差 20% 40%
2012/9/24
25
组合 A X1 X2
3.投资者的效用函数是二次的 资者的效用函数是二次的。 资者的效用函数是二次的。 （注意： 注意：假设2 假设2和3成立可保证期望效用仅仅 是财富期望和方差的函数） 是财富期望和方差的函数）
2012/9/24
33
4.投资者以期望收益率 4.投资者以期望收益率（ 投资者以期望收益率（亦称收益率均值） 亦称收益率均值） 来衡量未来实际收益率的总体水平， 来衡量未来实际收益率的总体水平，以收 益率的方差（ 益率的方差 （ 或标准差） 或标准差 ） 来衡量收益率的 不确定性（ 不确定性 （ 风险）， 风险 ），因而投资者在决策中 ）， 因而投资者在决策中 只关心投资的期望收益率和方差。 只关心投资的期望收益率和方差。 5.投资者都是不知足的和厌恶风险的 5.投资者都是不知足的和厌恶风险的， 投资者都是不知足的和厌恶风险的，遵循 随机占优原则. 随机占优原则.
s
2012/9/24
9
规则3 协方差是两个随机变量相互关系 的一种统计测度，即它测度两个随机变 量，如证券A和B的收益率之间的互动性。
σ AB = cov( rA , rB ) = E ( rA − E ( rA ))( rB − E ( rB ))
2012/9/24
10
协方差为正值表明证券的回报率倾向于 协方差为正值 向同一方向变动 一个负的协方差 负的协方差则表明证券与另一个证 负的协方差 券相背变动的倾向 一个相对小的或者0 一个相对小的或者0值的协方差则表明两 值的协方差 种证券之间只有很小的互动关系或没有 任何互动关系。
2012/9/24
2
研究不确定性经济问题的三种数学方法： 1.效用函数分析法
缺乏实际的可操作性，因为完全刻画一个人 在所有状态下的效用是几乎不可能的
2.均值——方差分析法
避免讨论具体的效用函数，灵活且操作性强。
3.套利分析法——方法论的里程碑
2012/9/24 3
基本思想
投资组合理论的基本思想：通过分散化的投 资来对冲掉一部分风险。 ——“Don’t put all eggs into one basket”
w1 =
σ
σ 12
− cov( r1 , r2 ) + σ 22 − 2 cov( r1 , r2 )
2 2
性质3：给定风险厌恶水平， 给定风险厌恶水平，最高效用水平对应的投资权 重为
E (r1 ) − E (r2 ) + 0.01A(σ − cov(r1 , r2 )) w1 = 2 2 0.01A(σ 1 + σ 2 − 2 cov(r1 , r2 ))
10 23.33 17.94
0 10 20 26.67 30.00 33.33 18.81 22.36 27.60
30 36.67 33.37
40.00 40.00 40.00
2012/9/24
27
16 14 12 预期收益 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 标准差 40 50 下界 前沿证券 上界
2012/9/24 11
规则4 相关系数。两个随机变量间的协方差等 于这两个随机变量之间的相关系数乘以它们各 自的标准差的积。 证券A与B的相关系数为
ρ
AB
σ AB = σ Aσ B
相关系数总落在-1与+1之间，-1的值表明完全 负相关，+1的值表明完全正相关，多数情况是 介于这两个极端值之间
2012/9/24 12
B
C
D
E
F
G
1.00 0.83 0.67 0.5 0.00 0பைடு நூலகம்17 0.33 0.5
0.33 0.17 0.00 0.67 0.83 1.00
2012/9/24
26
组合
A 5
B 6.7
C 8.3
D 10
E 11.7
F 13.3
G 15
预期收益 标准差 下限ρ=-1 上限ρ=1 ρ=0
20 20 20
第四章 资产组合选择理论： 均值-方差方法
Portfolio selection——— Mean-Variance Methodology
2012/9/24
1
主要内容
均值方差理论的基本假设 证券组合前沿（portfolio frontier） 1. 有风险资产情况下的有效前沿 2. 存在无风险资产情况下的有效前沿
2012/9/24
28
问题 最小方差组合的权重为多少？ 给定风险水平，最大效用值的风险组合 的投资比例各为多少？
2012/9/24
29
性质1:两个资产构成的投资组合在均值-标准差坐标下是 一条双曲线. 性质2:两个风险资产构成的投资组合的最小方差组合权重： 两个风险资产构成的投资组合的最小方差组合权重：
w1 = (E(r1) − rf )σ 2 − (E(r2 ) − rf ) cov( r1, r2 )
2 2 [E(r1) − rf ]σ 2 +[E(r2 ) − rf ]σ12 −[E(r1) − rf + E(r2 ) − rf ]cov( r1, r2 )
31
2012/9/24
第二节 均值-方差模型的假设条件
2012/9/24
34
注1.假设2或假设3之一成立可保证期望效用 仅仅是财富期望和方差的函数 假设个体的初始财富为W0,个体通过投资 ~ . 各种金融资产来最大化他的期末财富 W 设个体的VNM效用函数为u,在期末财富的 期望值这点，对效用函数进行Taylor展开
2 2
2012/9/24 30
情况3 2个风险资产与一个无风险资产 例 已知无风险资产的收益为5%，债券基金的收 益率为8%，标准差为12%，股票基金收益率为 13%，标准差为20%。相关系数为0.3，要求最 小方差组合权重为多少？最大酬报与波动比率Sp 为多少？若风险厌恶水平为4，最大效用时的风 险资产的最优配置比率为多少？资产组合的收益 与方差为多少？