特征根法求数列的通项公式

特征根法求数列的通项公式

数列中最重要的一类问题，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的问题中，对数列通项公式的求解，往往是大家解决问题的瓶颈。而通过递推公式求解数列通项公式的方法更尤为重要，其中可以涉及到的类型有累加法、累乘法、迭代法、构造法、取对数法、取倒数法、双数列法等大家广为孰知的方法，这里向大家推荐一种不常用但很好用的方法——特征根法，特征根法适用范围更广泛，解题过程更标准化，在竞赛、保送以及自主招生考试题中经常运用，希望能对大家能有所帮助。 例. 设已知数列满足 }{n a d ca a b a n n +==+11,, 其中 ,1,0≠≠c c 求：这个数列的通项公式。 对于上题采用数学归纳法或构造法可以求解，然而归纳法太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错；构造法需要以等差数列为依据，形式也比较复杂。这里推荐更易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式做出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根，快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述。

一阶线性递推式

定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当0x 10a x =时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.

n a 101;,n n a a x a a b x =≠=+当时0n }{n b c 01111,x a b c b b n n ?==?证明：因为由特征方程得,1,0≠c .10c

d x ?=作换元,0x a b n n ?=则 .)(110011n n n n n n cb x a c c

cd ca c d d ca x a b =?=??=??+=?=?? 当时，，数列是以为公比的等比数列，故

10a x ≠01≠b }{n b c ;11?=n n c b b 当时，，为0数列，故10a x =01=b }{n b .N ,1∈=n a a n （证毕）

.

例1．已知数列满足：}{n a ,4,N ,23

1

11=∈??=+a n a a n n 求 .n a 解：作方程.2

3,2310?=??=x x x 则 当时，41=a .2

1123,1101=+=≠a b x a 数列是以}{n b 3

1?为公比的等比数列.于是 .N ,)31(2112323,)31(211)3

1(1111∈?+?=+?=?=?=???n b a b b n n n n n n

二阶线性递推式

定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{，方程，叫做数列{的特征方程。

}n a 02=??q px x }n a 若是特征方程的两个根，当21,x x 21x x ≠时，数列{}n a 的通项为，其中A ，B 由

1211??+=n n n Bx Ax a βα==21,a a 决定（即把和2121,,,x x a a 2,1=n ，代入，得到关于A 、B 的方程组）；

当时，数列{的通项为，其中A ，B 由1211??+=n n n Bx Ax a 21x x =}n a 11)(?+=n n x B A a βα=

=21,a a 决定（即把和，代入，得到关于A 、B 的方程组）。

2

121,,,x x a a 2,1=n 11)(?+=n n x Bn A a 例2：已知数列{满足}n a ),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+?==++，

求：数列{的通项公式。

}n a 解法一（待定系数——迭加法）

由，得

025312=+?++n n n a a a )(3

2112n n n n a a a a ?=?+++， 且。

a b a a ?=?12则数列{}是以为首项，n n a a ?+1a b ?3

2为公比的等比数列，于是 11)3

2)((?+?=?n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1???=代入，得 a b a a ?=?12，

)3

2()(23??=?a b a a ， 234)3

2()(??=?a b a a ， ???

213

2)((???=?n n n a b a a 。 把以上各式相加，得

]32()32(321)[(21?+???+++?=?n n a b a a )(3

21)32(11

a b n ???=?。 a b b a a a b a n n n 23)3

2)((3)]()32(33[11?+?=+??=∴??。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+?++， b a a a ==21,的特征方程是：。

02532=+?x x 3

2,121==x x Q , ∴1211??+=n n n Bx Ax a 13

2(??+=n B A 。 又由，于是

b a a a ==21,????=?=???

???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323??+?=n n b a a b a

分式递推式

定理 3 (分式递推问题)：如果数列满足下列条件：已知的值且对于n ，都有}{n a 1a N ∈h ra q pa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph ?≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h

rx q px x ++=. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ，则,N ,1∈+=

n b a n n λ其中 11(1),n r b n a p r λλ

=+?∈??n N ，特别地，当存在0,n N ∈使00=n b 时，无穷数列不存在. }{n a （2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则11

2??=n n n c c a λλ，其中

,N ∈n ).(,N ,(211212111λλλλλ≠∈????=?a n r

p r p a a c n n 其中 证明：先证明定理的第（1）部分.

作交换N ,∈?=n a d n n λ 则λλ?++=?=++h

ra q pa a d n n n n 11

h

ra h q r p a n n +?+?=λλ)( h d r h q r p d n n ++?+?+=

)())((λλλλ λ

λλλr h rd q p h r r p d n n ?+??+??=])([)(2 ① ∵λ是特征方程的根，∴λ.0)(2=??+?++=

q p h r h r q p λλλλ 将该式代入①式得.N ,)(1∈?+?=

+n r h rd r p d d n n n λλ ② 将r p x =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,r p ≠于是.0≠?r p λ ③

当，即01=d λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ

当即01≠d λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：

.1)(1

1r

p r d r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ?+??+=??+=+ ④ 由λ是方程h

rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r h p ?=λ ∴,122=++=???+=?+h p p h r r

h p p r r h p h r p r h λλ 将此式代入④式得

.N ,11

1∈?+=+n r p r d d n n λ 令.N ,1∈=n d b n

n 则.N ,1∈?+=+n r p r b b n n λ故数列是以}{n b r p r λ?为公差的等差数列. ∴.N ,)1(1∈??

?+=n r p r n b b n λ 其中.11111λ

?==a d b

当时，0,N ≠∈n b n .N ,1∈+=+=n b d a n

n n λλ 当存在使,N 0∈n 00=n b 时，λλ+=

+=0

001n n n b d a 无意义.故此时，无穷数列是不存在的. }{n a 再证明定理的第（2）部分如下： ∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令1a .12a ≠λ于是可作变换.N ,2

1∈??=n a a c n n n λλ 故21111λλ??=

+++n n n a a c ，将h ra q pa a n n n ++=+1代入再整理得 N ,)()(22111∈?+??+?=+n h

q r p a h q r p a c n n n λλλλ ⑤ 由第（1）部分的证明过程知r p x =不是特征方程的根，故.,21r p r p ≠≠λλ 故.0,021≠?≠?r p r p λλ所以由⑤式可得：

N ,2211211∈??+??+

???=+n r p h q a r p h q a r p r p c n n n λλλλλλ ⑥ ∵特征方程h rx q px x ++=

有两个相异根1λ、2λ?方程有两个相异根0)(2=??+q p h x rx 1λ、2λ，而方程xr

p xh q x ??=?与方程又是同解方程. 0)(2=???q p h x rx ∴222111,λλλλλλ?=???=??r

p h q r p h q 将上两式代入⑥式得 N ,2121211∈??=?????=?n c r

p r p a a r p r p c n n n n λλλλλλ 当即,01=c 11λ≠a 时，数列是等比数列，公比为

}{n c r p r p 21λλ??.此时对于都有 N ∈n .))(()(12121111211??????=??=n n n r

p r p a a r p r p c c λλλλλλ

当即01=c 11λ=a 时，上式也成立. 由2

1λλ??=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n 所以.N ,11

2∈??=n c c a n n n λλ(证毕)

注:当时,qr ph =h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,h

ra q pa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.

例3、已知数列满足性质：对于}{n a ,324,N 1++=

∈?n n n a a a n 且,31=a 求的通项公式. }{n a 解: 依定理做特征方程,3

24++=x x x 变形得其根为,04222=?+x x .2,121?==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有

.N ,2

21211(2313)(11212111∈?????+?=?????=??n r p r p a a c n n n λλλλ ∴.N ,5

1(521∈?=?n c n n ∴.N ,1)5

1(521)51(52211112∈??????=??=??n c c a n n n n

n λλ 即.N ,)

5(24)5(∈?+??=n a n n n 例4．已知数列满足：对于都有}{n a ,N ∈n .325131+?=

+n n n a a a （1）若求

,51=a ;n a （2）若求

,31=a ;n a （3）若求

,61=a ;n a （4）当取哪些值时，无穷数列不存在？

1a }{n a 解：特征方程.3

2513+?=x x x 变形得 ,025102=+?x x

特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答.

(1) ∵ ∴=∴=.,511λa a 对于都有,N ∈n ;5==λn a

(2)∵ .,311λ≠∴=a a ∴λλr p r n a b n ??+?=

)1(11 5

1131)1(531????+?=n ,8

121?+?=n 令，得.故数列从第5项开始都不存在，

0=n b 5=n }{n a 当≤4，时，n N ∈n 5

1751??=+=n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,8

11)1(11N n n r p r n a b n ∈?+=??+?=λλ 令则∴对于,0=n b .7n n ??=.0b N,n ≠∈n ∴.N ,743558

1111∈++=+?+=+=n n n n b a n n λ (4) 显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当31?=a 51=a }{n a 51=≠λa 时，则有

.N ,8151)1(111∈?+?=??+?=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,1

1351∈??=n n n a 且≥2. n ∴当1

1351??=

n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列从第n 项开始便不存在. }{n a 于是知：当在集合或1a 3{?,:1135N n n n ∈??且≥2}上取值时，无穷数列都不存在. n }{n a 综上，我们不难发现在解决数列通项公式问题的过程中，特征根法具有的优越性是显而易见的，适用范围更加广泛，同时方法易于掌握，希望对大家今后的解题能有所帮助。