人教A版数学高二选修1-2学案数系的扩充和复数的概念

3．1.1数系的扩充和复数的概念

预习课本P50～51，思考并完成下列问题

(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？

(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？

[新知初探]

1．复数的有关概念

a＋b i|a，b∈R中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i 我们把集合C＝{}

叫做虚数单位．

全体复数所成的集合C叫做复数集．

复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z＝a＋b i，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z 的实部与虚部．

[点睛]复数概念的三点说明

(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.

(2)复数的虚部是实数b而非b i.

(3)复数z＝a＋b i只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．

2．复数相等

a＋b i|a，b∈R中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，我们规定：在复数集C＝{}

a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.

3．复数的分类

对于复数a＋b i，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当

b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：

复数z ?

????

实数(b ＝0)，

虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).

[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( )

(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√

2．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( ) A ．1，3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3 D ．0，(1＋3)i

答案：C

3．复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i(m ∈R)是纯虚数，则有( ) A ．m ＝±1 B ．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．m ≠1

答案：B

复数的概念及分类

[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚

数？(3)纯虚数？

[解] (1)当x 满足?

????

x 2－2x －15＝0，

x ＋3≠0，

即x ＝5时，z 是实数．

(2)当x 满足?

????

x 2－2x －15≠0，

x ＋3≠0，

即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．

(3)当x满足

??

?

??x2－x－6

x＋3

＝0，

x2－2x－15≠0，

x＋3≠0，

即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．

复数分类的关键

(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋b i(a，b∈R)时应先转化形式．

(2)注意分清复数分类中的条件

设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，则①z为实数?b＝0，②z为虚数?b≠0，③z为纯虚数?a ＝0，b≠0.④z＝0?a＝0，且b＝0.

[活学活用]

当m为何值时，复数z＝m2(1＋i)－m(3＋i)－6i，m∈R，是实数？是虚数？是纯虚数？

解：∵z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，

∴(1)当m满足m2－m－6＝0，即m＝－2或m＝3时，z为实数．

(2)当m满足m2－m－6≠0，即m≠－2且m≠3时，z为虚数．

(3)当m满足

??

?

??m2－3m＝0，

m2－m－6≠0，

即m＝0时，z为纯虚数.

复数相

等

[典例] m的值为________，方程的实根x为________．

[解析]设a是原方程的实根，

则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，

即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，

所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，

所以a＝－

1

2且?

?

?

?

－

1

22－

1

2＋3m＝0，

所以m＝

1

12.

[答案]

112 －12

[一题多变]

1．[变条件]若将本例中的方程改为：x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 如何求解？

解：设实根为x 0，代入方程，由复数相等定义，得?

????

x 20＋mx 0＝－1，

2x 0＝－m ，

解得????? x 0＝1，m ＝－2或?

???

?

x 0＝－1，m ＝2，

因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1，当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1. 2．[变条件]若将本例中的方程改为：3x 2－m

2x －1＝(10－x －2x 2)i ，如何求解？

解：设方程实根为x 0，则原方程可变为3x 20－m 2x 0－1＝(10－x 0－2x 2

0)i ，由复数相等定义，得：

?????

3x 20

－m 2x 0－1＝0，10－x 0－2x 20＝0，

解得?

????

x 0＝2，m ＝11或

???

x 0＝－52

，

m ＝－715

，

因此，当m ＝11时，原方程的实根为x ＝2； 当m ＝－

715时，原方程的实根为x ＝－52.

复数相等问题的解题技巧

(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．

(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．

层级一 学业水平达标

1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i

D.2＋2i

解析：选A 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 2．4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4

D ．0或－4

解析：选C 由题意知?

????

4－3a ＝a 2，

－a 2＝4a ，解得a ＝－4.

3．下列命题中：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；④若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：选A ①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错； ②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A.

4．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R)为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ＜0且a ＝－b C ．a ＞0且a ≠b

D ．a ≤0

解析：选D 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0. 5．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( ) A.π

4

B.π4或54

π C ．2k π＋π

4

(k ∈Z)

D ．k π＋π

4

(k ∈Z)

解析：选D 由复数相等定义得?

????

cos θ＝sin θ，

sin θ＝cos θ，

∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π

4

(k ∈Z)，故选D.

6．下列命题中：①若a ∈R ，则a i 为纯虚数；②若a ，b ∈R ，且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③两个虚数不能比较大小；④x ＋y i 的实部、虚部分别为x ，y .其中正确命题的序号是________．

解析：①当a ＝0时，0i ＝0，故①不正确；②虚数不能比较大小，故②不正确；③正确；④x ＋y i 中未标注x ，y ∈R ，故若x ，y 为复数，则x ＋y i 的实部、虚部未必是x ，y .

答案：③

7．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1则实数m 的值为______．

解析：由题意得?

????

m 2－2m ＝0，

m 2－1＞1，解得m ＝2.

答案：2

8．已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.

解析：由复数相等的充要条件有

????? n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4??

????

m ＝2，n ＝±2. 答案：2 ±2

9．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋log 2(3－m )i ，m ∈R ，如果z 是纯虚数，求m 的值．

解：由题意得?????

m 2－3m －3＞0，

3－m ＞0，log 2(m 2

－3m －3)＝0，

log 2

(3－m )≠0，

解得m ＝－1.

10．求适合等式(2x －1)＋i ＝y ＋(y －3)i 的x ，y 的值．其中x ∈R ，y 是纯虚数． 解：设y ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，代入等式得(2x －1)＋i ＝b i ＋(b i －3)i ， 即(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，

∴?

????

2x －1＝－b ，

1＝b －3， 解得?????

x ＝－32，b ＝4.

即x ＝－3

2

，y ＝4i.

层级二 应试能力达标

1．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1

D ．a ≠2

解析：选C 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.

2．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )

A ．4

B ．－1

C ．4或－1

D ．1或6

解析：选B 由题意知?

????

m 2－3m －1＝3，

m 2－5m －6＝0，∴m ＝－1.

3．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R)有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复

数z 等于( )

A ．3＋i

B ．3－i

C ．－3－i

D ．－3＋i

解析：选B 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，

即????? n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.解得?

????

m ＝3，n ＝－1. ∴z ＝3－i ，故应选B.

4．若复数z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R)，z 1＝z 2，则θ等于( ) A ．k π(k ∈Z) B ．2k π＋π

3(k ∈Z)

C ．2k π±π

6

(k ∈Z)

D ．2k π＋π

6

(k ∈Z)

解析：选D 由复数相等的定义可知，???

sin 2θ＝cos θ，

cos θ＝3sin θ.

∴cos θ＝

32，sin θ＝12.∴θ＝π

6

＋2k π，k ∈Z ，故选D. 5．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R.若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________．

解析：∵z 1＞z 2，∴????

?

2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，

－4a ＋1＞2a ，

∴a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}． 答案：{0}

6．若a －2i ＝b i ＋1(a ，b ∈R)，则b ＋a i ＝________.

解析：根据复数相等的充要条件，得?

???

?

a ＝1，

b ＝－2，

∴b ＋a i ＝－2＋i. 答案：－2＋i

7．定义运算＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝，求实数x ，y 的值．

解：由定义运算＝ad －bc ，

得＝3x ＋2y ＋y i ，

故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.

因为x ，y 为实数，所以有?????

x ＋y ＝3x ＋2y ，

x ＋3＝y ，

得?

????

2x ＋y ＝0，

x ＋3＝y ， 得x ＝－1，y ＝2.

8．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足M ∩N ?M ，求实数a ，b 的值．

解：依题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，① 或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.② 由①，得a ＝－3，b ＝±2， 由②，得a ＝±3， b ＝－2.

综上，a ＝－3，b ＝2，或a ＝－3，b ＝－2或a ＝3，b ＝－2.