高数答案(下)习题册答案 第六版 (下册) 同济大学数学系 编

第八章 多元函数的微分法及其应用

§ 1 多元函数概念

一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=.

二、求下列函数的定义域：

1、2

221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2

2≠+x y y x 2、x

y

z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x

三、求下列极限：

1、222)0,0(),(sin lim y x y

x y x +→ （0） 2、

x y x x y

3)2,(),()1(lim

+∞→ (6e )

四、证明极限 2

42)0,0(),(lim y x y

x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2

x y =趋于（0，0）时，极限为2

1

, 二者不相等，所以极限不存在

五、证明函数??

???

=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时，

)0,0(01

sin lim 2

2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。

六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数

1、设z=x y

xe xy + ,验证 z x y +=??+??y

z

y

x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y

+=++=??+??y

z

y x z x

42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：

2、求空间曲线???

??=+=Γ2

1:2

2y y x z 在点（

1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y

x

y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)

4、设y

z x u =, 求

x u ?? ，y u ?? ，z

u ??

解：1

-=??y z x y z x u ，

x x y

z y u y z

ln 2-=?? x x y z u y z

ln 1=?? 5、设2

2

2

z y x u ++=，证明 : u z

u y u x u 2

222222=??+??+??

6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由

?????≠+≠++=0,

00,1sin ),(222

22

2y x y x y

x x y x f )0,0(0),(lim 0

0f y x f y x ==→→ 连续； 2

01

sin lim )0,0(x f x x →= 不存在， 000

0lim )0,0(0=--=→y f y y

7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x

b x a f b x a f x )

,(),(lim

--+→

（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题

（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________

(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___

(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在

2、求下列函数的全微分：

1）x y

e z = )1

(2dy x dx x

y e dz x y +-=

2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=

3）z

y

x u = 解：xdz x z

y

xdy x z dx x z y du z y

z y z y ln ln 121-+=-

3、设)2cos(y x y z -=， 求)4

,0(π

dz

解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4

,

0(|π

dz =

dy dx 2

4

π

π

-

4、设2

2),,(y

x z

z y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--

5、讨论函数??

??

?=≠++=)

0,0(),(,0)0,0(),(,1sin

)(),(2

2

2

2y x y x y

x y x y x f 在（0，0）点处

的连续性 、偏导数、 可微性

解：)0,0(01

sin )(lim 2

222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。

0)

0,0(),0(lim )0,0(,0)0,0()0,(lim

)0,0()0,0(),()0,0(),(=?-?==?-?=

→→y f y f f x f x f f y x y y x x

0)()(0

),(2

2→?+?-??y x y x f ，所以可微。

§4 多元复合函数的求导法则

1、 设t

v e v t u u z ===,sin ,，求dt

dz

解：dt

dz =1cos .(sin )lnsin (sin )t t

e t e t t t e t t e -?+??

2、 设,)

(32y

x y x z -+=，求y

z x z ????, 23123(23)()3()ln(),x y x y z

x y x y x y x y y

---?=-+-++? 3、 设)(2x

y f x z n

=，f 可微，证明nz y z y x z x =??+??2 4、 设)2,(2

2

xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求22x z ??，y x z

???2， 2

2y

z ?? 解：1222z

xf yf x

?''=+? ,

1222z yf xf y ?''=-+? ,21112221222((2)2)22((2)2)z x f y f x f y f y f x x y

?'''''''''=-+++-+?? =2

21111222244()4f xyf x

y f xyf '''''''-+-+

222

111122222484z f x f xyf y f x

?'''''''=+++?,2

22111122222484z f y f xyf x f y ?'''''''=-+-+?

5、 设)(),(y x g x y xy f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数、g 具有二阶连续导数，求y

x z

???2

解：1221

z y f y f g x x y

?'''=-+? ， 2111122122222231111()()z y x f y f x f f f x f g g x y x x x x y y

?'''''''''''''=++--+--??

6、 设),,(z y x F u =，),(y x f z =，)(x y ?=，求dx

du

解：dx

du ))(()(321x f f F x F F y x ??''+'

'+''+'=。 7、设),(v u z z =，且变换?

??+=-=ay x v y x u 2 可把方程+??226x z y x z ???222y z

??-=0 化为 02=???v u z ， 其中z 具有二阶连续偏导数，求常数a 的值 )3(=a

证明：v z

u z x z ??+??=??

v z a u z y z ??+??-=??2 2222222v

u v u z u z x z ??+???+??=?? 22

22222244v u a v u z a u z

y z ??+???-??=?? 222222)2(2v

u a v u z a u z y x z ??+???-+??-=??? 得：0)6()

510(2222=??-++???+v

u a a v u z a a=3 8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,a f =)1,1(/1,b f =)1,1(/2 又，{})],(,[,)(x x f x f x f x =? 求 ).1(?和)1(/? (1) ,

(a+ab+ab 2+b 3)

§ 5 隐函数的求导公式

1、 设y x y y +=ln ，求dx

dy

解：令(,)ln F x y y y x y =--，11,ln ,ln x y dy F F y dx y

=-=∴= 2、 设),(y x z z =由方程)(2

22y

z yf z y x =++确定，其中f 可微，证明

xz y

z

xy x z z y x 22)(222=??+??--

3、 设),(y x z z =由方程z

y e z x +=所确定，其中f 可微，求y

x z ???2

,1,)1(z z y z z x z x z +-=??+=?? y

x z

???23)1(z x z +-=

4、 设???+==++2

22221y

x z z y x ，求dx dy ，dx dz

( dy x dx y =-，0dz dx =) 5、 设),(y x z z =由方程0),,(=+xz z y xy F 所确定，F 可微，求

y

z x z ????, 解：令(,,)F x y z =(,,)F xy y z xz + ，则13122323,y x z z

F F F y zF F x F z

z x F y F F xF F xF ''''++??=-=-=-=-??''''++ 6、设),(y x f z =由方程0=-++++y x z e y x z 所确定，求dz (dy dx dz --=) 7、设z=z(x,y)由方程 y z yz x xy =-+3)cos(3所确定，求

x z ??, y

z

?? , )sin(3)

cos(3ln .32yz xy z yz y x z xy ++=?? , )

sin(31

)sin(3ln 3.2yz xy z yz xz x y z xy +--=??

§ 6 微分法在几何中的应用

1、 求螺旋线t z t y t x 3,sin 2,cos 2=== 在对应于4

π

=

t

处的切线及法平面方程

解：切线方程为

343

z π

-

== 法平面方程0)4

3(3)2(2)2(2=-

+-+--π

z y x 2、 求曲线?

??+==++2

2222250

y x z z y x 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 解：切线方程为 0

5

3443-=

--=-z y x ，法平面方程：034=-y x 3、 求曲面9322

22=++z y x 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为0)2(2)1(3)1(2=-++--z y x

及法线方程2

2

3121-=

-+=-z y x 4、 设),(v u f 可微，证明由方程0),(=--bz ay bz ax f 所确定的曲面在任一点处的切平面与一定

向量平行

证明：令),(),,(bz ay bz ax f z y x F --=，则

),,(,,,21212121'-'-''=∴'-'-='='=bf bf a f a f bf bf F a f F a f F z y x

0),,(=?∴a b b ，所以在（000,,z y x ）处的切平面与定向量（a b b ,,）平行。 5、 证明曲面3

23

23

23

2a

z

y x

=++0

(>a ）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方

和为2

a

证明：令=),,(z y x F 3

23

23

23

2a z y x -++，则,3

2,32,3231

31

31

-

--===z F y F x F z y x

在任一点()000,,z y x 处的切平面方程为0)()()(03

1003

1003

10=-+-+--

-

-z z z y y y x x x

在在三个坐标轴上的截距分别为,,,3

23

103

23103

23

1

0a z a y a x 在三个坐标轴上的截距的平方和为2a

证明曲面)(x

y

xf z

=上任意一点)0(),,,(0000≠x z y x M 处的切平面都通过原点

7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有),,(),,(z y x F t tz ty tx F k = k 为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 ：),,(),,(z y x F t tz ty tx F k = 两边对t 求导，并令t=1 ),,(z y x kF zF yF xF z y x =++

设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：

))(,,(0000x x z y x F x -+))(,,(0000y y z y x F y -+))(,,(0000z z z y x F z -=0 此平面过原点（0，0，0）

§ 7 方向导数与梯度

1、 设函数

22),(y xy x y x f +-=， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。

2）在点（1，3）处沿着方向l 的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向 解：梯度为 5)3,1(j gradf +-=

θθsin 5cos )

3,1(+-=??l

f , 方向导数达到最大值的方向为)5,1(-=，方向导数达

到

最小值的方向为)5,1(-=-。

2、 求函数222zx yz xy u ++=在（1，2，-1）处沿方向角为0

001509060===γβα的方

向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。

解：：方向导数 为

2

3

31)

1,2,1(+

=??-l

u ，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 j gradu 352)1,2,1(-+=-，此时最大值为 38)1,2,1(=

??-l

u

3、 求函数32z xy u

=在（1，1，-1）处沿曲线32,,t z t y t x ===在（1，1，1）处的切线正方

向（对应于t 增大的方向）的方向导数。 解：：

223323,2,z xy z

u xyz y u z y x u =??=??=??，)3,2,1(=，∴该函数在点（1，1，-1）处的方