高考数学模拟复习试卷试题模拟卷134
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1.理解等比数列的概念．
2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
4.了解等比数列与指数函数的关系． 【重点知识梳理】 1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
数学语言表达式：an
an －1＝q(n≥2，q 为非零常数)，或an ＋1an ＝q(n ∈N*，q 为非零常数)．
2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q ，则其通项公式为an ＝a1qn －1； 通项公式的推广：an ＝amqn －m.
(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，Sn ＝na1；当q≠1时，Sn ＝a1（1－qn ） 1－q ＝a1－anq
1－q .
3．等比数列及前n 项和的性质
(1)如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G2＝ab.
(2)若{an}为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n(k ，l ，m ，n ∈N*)，则ak·al ＝am·an ．
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak ，ak ＋m ，ak ＋2m ，…仍是等比数列，公比为qm ．
(4)当q≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，Sn ，S2n －Sn ，S3n －S2n 仍成等比数列，其公比为qn ． 【高频考点突破】
考点一 等比数列中基本量的求解
【例1】 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前n 项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于() A.152 B.314 C.334 D.17
2
(2)在等比数列{an}中，a4＝2，a7＝16，则an ＝________．
(3)在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an ＝1，则n ＝________．
规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n ，q ，an ，Sn ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
【变式探究】在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n 项和．
考点二 等比数列的性质及应用
【例2】 (1)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝() A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n 项和为Sn ，若S10S5＝31
32，则公比q ＝________．
规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则am·an ＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
【变式探究】 (1)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为() A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±33
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于() A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．42 考点三 等比数列的判定与证明
【例3】已知数列{an}的前n 项和为Sn ，数列{bn}中，b1＝a1，bn ＝an －an －1(n≥2)，且an ＋Sn ＝n. (1)设cn ＝an －1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式．
规律方法 证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明
an
an －1
＝q(n≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a2n ＝an －1·an ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．
【变式探究】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n 项和为Sn ，求证：数列?
?????
Sn ＋54是等比数列． 【真题感悟】
【高考广东，文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中56a =+526c =-b =．
【高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n =. 1．（·重庆卷）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A ．a1，a3，a9成等比数列
B ．a2，a3，a6成等比数列
C ．a 2，a4，a8成等比数列
D ．a3，a6，a9，成等比数列
2．（·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.
3．（·广东卷）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
4．（·全国卷） 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
5．（·湖北卷） 已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．
(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．
6．（·新课标全国卷Ⅱ）已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1＝3an ＋1.
(1)证明?
???
??
an ＋12是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明1a1＋1a2＋…＋1an ＜3
2.
7．（·山东卷） 已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn ＝(－1)n －14n anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.
8.（·陕西卷）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．
9．（·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．
10．（·天津卷）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}， 集合A ＝{x|x ＝x1＋x2q ＋…＋xnqn －1，xi ∈M ，i ＝1，2，…，n}． (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A.
(2)设s ，t ∈A ，s ＝a1＋a2q ＋…＋anqn －1，t ＝b1＋b2q ＋…＋bnqn －1，其中ai ，bi ∈M ，i ＝1，2，…，n.证明：若an 11．（·新课标全国卷Ⅰ）若数列{an}的前n 项和Sn ＝23an ＋13，则{an}的通项公式是an ＝________． 12．（·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为An ，第n 项之后各项an ＋1，an ＋2，…的最小值记为Bn ，dn ＝An －Bn. (1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N*，an ＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值； (2)设d 是非负整数，证明：dn ＝－d(n ＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d 的等差数列； (3)证明：若a1＝2，dn ＝1(n ＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1. 13．（·北京卷）若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q ＝________；前n 项和Sn ＝________． 14．（·江西卷）等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 15．（·江苏卷）在正项等比数列{an}中，a5＝12，a6＋a7＝3. 则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an 的最大正整数n 的值为________． 16．（·湖南卷） 设Sn 为数列{an}的前n 项和，Sn ＝(－1)nan －12n ，n ∈N*，则 (1)a3＝________； (2)S1＋S2＋…＋S100＝________． 17．（·辽宁卷） 已知等比数列{}an 是递增数列，Sn 是{}an 的前n 项和，若a1，a3是方程x2－5x ＋4＝0的两个根，则S6＝________． 18．（·全国卷）已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6. (1)求a ，b ； (2)设过F2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列． 19．（·全国卷）已知数列{an}满足3an ＋1＋an ＝0，a2＝－4 3，则{an}的前10项和等于( ) A ．－6(1－3－10) B.1 9(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10) 20．（·陕西卷）设{an}是公比为q 的等比数列． (1)推导{an}的前n 项和公式； (2)设q≠1，证明数列{an ＋1}不是等比数列． 21．（·四川卷）在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n 项和． 22．（·新课标全国卷Ⅱ） 等比数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 23．（·重庆卷）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn 为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________． 【押题专练】 1．在等比数列{an}中，an ＞0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9＝ () A ．9 B ．6 C ．3 D ．2 2．记等比数列{an}的前n 项积为Ⅱn ，若a4·a5＝2，则Ⅱ8＝ () A ．256 B ．81 C ．16 D ．1 3．在正项等比数列{an}中，an ＋1＜an ，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则a5a7＝ () A.56 B.65 C.23 D.32 4．已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，a4－a1＝78，S3＝39，设bn ＝log3an ，那么数列{bn}的前10项和为 () A ．log371 B.692 C ．50 D ．55 5．已知数列{an}满足log3an ＋1＝log3an ＋1(n ∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log 1 3(a5＋a7＋a9)的值是 () A ．－15 B ．－5 C ．5 D.15 6．数列{an}中，已知对任意n ∈N*，a 1＋a2＋a3＋…＋an ＝3n －1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n 等于 () A ．(3n －1)2 B.1 2(9n －1) C ．9n －1 D.1 4(3n －1) 7．已知等比数列{an}的公比为q ，记bn ＝am(n －1)＋1＋am(n －1)＋2＋…＋am(n －1)＋m ，cn ＝am(n －1)＋1·am(n －1)＋2·…·am(n －1)＋m(m ，n ∈N*)，则以下结论一定正确的是 () A ．数列{bn}为等差数列，公差为qm B ．数列{bn}为等比数列，公比为q2m C ．数列{cn}为等比数列，公比为qm2 D ．数列{cn}为等比数列，公比为qmm 8．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则a2－a1 b2的值是________． 9．设数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a1·a2n －1＝4n ，则数列{an}的通项公式是______． 10．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________． 11．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn －an}为等比数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n 项和． 12．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an ，an ＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn ，Tn)在直线y ＝－1 2x ＋1上，其中Tn 是数列{bn}的前n 项和． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn}是等比数列． 13．等比数列{cn}满足cn ＋1＋cn ＝10·4n －1(n ∈N*)，数列{an}的前n 项和为Sn ，且an ＝log2cn. (1)求an ，Sn ； (2)数列{bn}满足bn ＝14Sn －1，Tn 为数列{bn}的前n 项和，是否存在正整数m ，k(1＜m ＜k)，使得T1， Tm ，Tk 成等比数列？若存在，求出所有m ，k 的值；若不存在，请说明理由．高考模拟复习试卷试题模拟卷 高考模拟复习试卷试题模拟卷 【高频考点解读】 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性； 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点 等)，理解正切函数在区间??? ?－π2，π2内的单调性． 【热点题型】 题型一 三角函数的定义域、值域 【例1】 (1)函数y ＝1 tan x －1 的定义域为____________． (2)函数y ＝2sin ??? ?πx 6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－3 解析 (1)要使函数有意义，必须有???? ?tan x －1≠0，x ≠π2＋kπ，k ∈Z ， 即? ??x ≠π 4＋kπ，k ∈Z ，x ≠π 2＋kπ，k ∈Z. 故函数的定义域为{x|x≠π4＋kπ且x≠π 2＋kπ，k ∈Z}． (2)∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π 6， ∴sin ????π6x －π3∈???? ??－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴ymax ＋ymin ＝2－ 3. 答案 (1){x|x≠π4＋kπ且x≠π 2＋kπ，k ∈Z} (2)A 【提分秘籍】 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： ①形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝asin2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sinx±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值 )． 【举一反三】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin xcos x 的值域为________． 解析 (1)法一 要使函数有意义，必须使sinx －cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示． 在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π 4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为 ???? ??x ??2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z . 法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)． ∴定义域为 ???? ??x ??2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z . 法三 sin x －cos x ＝2sin ??? ?x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知 2kπ≤x －π 4≤π＋2kπ，k ∈Z ， 解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π 4，k ∈Z. 所以定义域为???? ??x ??2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z . (2)设t ＝sin x －cos x ，则t2＝sin2x ＋cos2x － 2sin xcos x ，sin xcos x ＝1－t2 2，且－2≤t≤ 2. ∴y ＝－t22＋t ＋12＝－1 2(t －1)2＋1. 当t ＝1时，ymax ＝1；当t ＝－2时，ymin ＝－1 2－ 2. ∴函数的值域为??? ?－12－2，1. 答案 (1)? ??? ?? x ? ?2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z (2)??? ?－12－2，1 题型二三角函数的奇偶性、周期性、对称性 【例2】 (1)已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π 4是函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)的图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4 (2)函数y ＝2cos2? ?? ?x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2的偶函数 【提分秘籍】 (1)求f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π 2＋kπ(k ∈Z)，求x ；求f(x)的对称中心的 横坐标，只需令ωx ＋φ＝kπ(k ∈Z)即可． (2)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos( ωx ＋φ)的形式，则最小正周期为T ＝2π |ω|；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx ＋b 的形式． 【举一反三】 (1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点??? ?4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π 2 (2)(·杭州模拟)若函数f(x)＝sin x ＋φ 3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3 题型三 三角函数的单调性 【例3】 (1)已知f(x)＝2sin ? ?? ?x ＋π4，x ∈[0，π]，则f(x)的单调递增区间为________． (2)已知ω＞0，函数f(x)＝sin ????ωx ＋π4在??? ?π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.????12，54 B.????12，34 C.??? ?0，12 D ．(0，2] 解析 (1)由－π2＋2kπ≤x ＋π4≤π 2＋2kπ，k ∈Z ， 得－3π4＋2kπ≤x≤π 4＋2kπ，k ∈Z.又x ∈[0，π]， 所以f(x)的单调递增区间为? ?? ?0，π4. (2)由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π 4， 由题意知????π2ω＋π 4，πω＋π4???? ?π2，3π2， ∴???π2ω＋π4≥π 2，πω＋π4≤3π 2， ∴12≤ω≤5 4，故选A. 答案 (1)? ?? ?0，π4 (2)A 【提分秘籍】 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝Asin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝Asin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷． 【举一反三】 (1)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间? ?? ?0，π3上单调递增，在区间? ?? ?π3，π2上单调递减，则ω等于( ) A.23 B.3 2 C ．2 D ．3 (2)函数f(x)＝sin ??? ?－2x ＋π3的单调减区间为______． (2)由已知函数为y ＝－sin ??? ?2x －π3，欲求函数的单调减区间， 只需求y ＝sin ????2x －π3的单调增区间． 由2kπ－π2≤2x －π3≤2kπ＋π 2，k ∈Z ， 得kπ－π12≤x≤kπ＋5π 12，k ∈Z. 故所给函数的单调减区间为????kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z)． 答案 (1)B (2)????kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z) 【高考风向标】 【高考浙江，文11】函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，最小值是． 【答案】32 , 2 π- 【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222 x f x x x x x x x -=++= ++=-+ 23sin(2)242x π= -+，所以22 T π π==；min 32()22f x =-. 【高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(6 π x ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________. 【答案】8 【解析】由图像得，当sin()16 x π +Φ=-时min 2y =，求得5k =， 当sin()16 x π +Φ=时，max 3158y =?+=，故答案为8. 【高考湖南，文15】已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为3ω =_____. 【答案】2 π ω= 【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为 1221115424 2k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），，, 距离最短的两个交点一定在同一个周期 内，() 2 22 2 1523 22442 πππωω∴= -+--∴=（）（），. 【高考天津，文14】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为． 【答案】 π 【高考福建，文21】已知函数()2103cos 10cos 222 x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移 6 π 个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式； （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析． 【解析】（I ）因为()2103cos 10cos 222 x x x f x =+ 535cos 5x x =++ 10sin 56x π? ?=++ ?? ?． 所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移 6 π 个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象． 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-． 【高考重庆，文18】已知函数f(x)= 1 2 32cos x . (Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值， (Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ?? ? ??? 时，求g(x)的值域. 【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为 ，最小值为 2+3 ，（Ⅱ）1323,]. 【解析】 (1) 21 1 3 () sin 23cos sin 2(1cos 2)2 2f x x x x x 1 3 33sin 2cos 2sin(2) 23 2 x x x , 因此()f x 的最小正周期为，最小值为 2+3 2 . (2)由条件可知：3g()sin() 3 2 x x . 当[,]2 x 时，有2 [,]3 63 x ， 从而sin()3x 的值域为1 [,1]2， 那么3 sin() 32 x 的值域为1323[,]22. 故g()x 在区间[,]2 上的值域是132 3, ]. (·安徽卷) 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2.求cos A 与a 的值． 【解析】 由三角形面积公式，得 12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin2A ＋cos2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin2A ＝± 1－89＝±1 3. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝32＋12－2×1×3×1 3＝8， 所以a ＝2 2. ②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝32＋12－2×1×3×??? ?－13＝12，所以a ＝ 2 3. (·福建卷) 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π 2个单位，得到函数y ＝f(x)的图像，则下列说法正确的是( ) A ．y ＝f(x)是奇函数 B ．y ＝f(x)的周期为π C ．y ＝f(x)的图像关于直线x ＝π 2对称 D ．y ＝f(x)的图像关于点????－π2，0对称 【答案】D 【解析】将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f(x)＝sin ??? ?x ＋π2的图像，即f(x) ＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f(x)是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝ kπ(k ∈Z)对称，关于点??? ?π2＋kπ，0(k ∈Z)对称，故选D. 图1-2 (·江苏卷) 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π 3的交点，则φ的值是________． 【答案】π6 (·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ????2x ＋π6，④y ＝tan ??? ?2x －π4中，最 小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④ D ．①③ 【答案】A 【解析】函数y ＝cos|2x|＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x|的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ????2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ????2x －π4的最小正周 期为π 2，④不正确． (·江苏卷) 函数y ＝3sin ????2x ＋π4的最小正周期为________． 【答案】π 【解析】周期为T ＝2π 2＝π. (·辽宁卷) 设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈0，π 2. (1)若|a|＝|b|，求x 的值； (2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值． (·山东卷) 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( ) 图1－3 【答案】D 【解析】∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x )＝－f(x)，∴y ＝xcos x ＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B ，当x ＝π 2，y ＝1>0，x ＝π，y ＝－π<0，故选D. (·新课标全国卷Ⅰ] 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________． 【答案】－2 55 【解析】f(x)＝sin x －2cos x ＝ 5? ???? 15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25 ， 则f(x)＝5sin(x －α)．当θ－α＝2kπ＋π 2， 即θ＝2kπ＋π 2＋α(上述k 为整数)时， f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 5 5. 【高考押题】 1．函数f(x)＝tan ??? ?2x －π3的单调递增区间是( ) A.????kπ2－π12，kπ2＋5π12(k ∈Z) B.??? ?kπ2－π12，kπ2＋5π12(k ∈Z) C.????kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z) D.??? ?kπ＋π6，kπ＋2π3(k ∈Z) 2．在函数①y ＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ????2x ＋π6，④y ＝tan ??? ?2x －π4中，最小正周期为π的 所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④ D ．①③ 解析 ①y ＝cos|2x|＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x|的最小正周期为π； ③y ＝cos ??? ?2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ????2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A. 答案 A 3．已知函数f(x)＝cos23x －1 2，则f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ( ) A.2π3 B.π3 C.π6 D.π12 解析 因为f(x)＝1＋cos 6x 2－12＝12cos 6x ，所以最小正周期T ＝2π6＝π3，相邻两条对称轴之间的距离为T 2＝π 6，故选C. 答案 C 4．已知函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)????θ∈????－π2，π2是偶函数，则θ的值为 ( ) A ．0 B.π 6 C.π4 D.π3 解析 据已知可得f(x)＝2sin ??? ?x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝ kπ＋π2(k ∈Z)，又由于θ∈??? ?－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 B 5．关于函数y ＝tan ??? ?2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数 B ．在区间 ????0，π3上单调递减 C.????π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π 6．函数y ＝cos ??? ?π4－2x 的单调减区间为________． 解析 由y ＝cos ????π4－2x ＝cos ????2x －π4得2kπ≤2x －π4≤2kπ＋π(k ∈Z)， 故kπ＋π8≤x≤kπ＋5π 8(k ∈Z)． 所以函数的单调减区间为??? ?kπ＋π8，kπ＋5π8(k ∈Z)． 答案 ??? ?kπ＋π8，kπ＋5π8(k ∈Z) 7．函数y ＝lg(sin x)＋ cos x －1 2的定义域为________． 解析 要使函数有意义必须有???? ?sin x ＞0，cos x －1 2≥0， 即?????sin x ＞0，cos x ≥12，解得???? ?2kπ＜x ＜π＋2kπ（k ∈Z ），－π3＋2kπ≤x≤π 3＋2kπ（k ∈Z ）， ∴2kπ＜x≤π 3＋2kπ(k ∈Z)， ∴函数的定义域为? ??? ?? x|2kπ＜x ≤π3＋2kπ，（k ∈Z ）. 答案 ??? ?2kπ，π3＋2kπ(k ∈Z) 8．函数y ＝sin2x ＋sin x －1的值域为________． 解析y ＝sin2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，t ∈[－1，1]， 则有y ＝t2＋t －1＝??? ?t ＋122 －5 4， 画出函数图象如图所示， 从图象可以看出，当t ＝－1 2及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t2＋t －1， 可得y ∈????－54，1. 答案 ??? ?－54，1 9．已知函数f(x)＝6cos4x ＋5sin2x －4cos 2x ，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域． 解 由cos 2x≠0得2x≠kπ＋π 2，k ∈Z ， 解得x≠kπ2＋π 4，k ∈Z ， 所以f(x)的定义域为? ??? ?? x|x ∈R ，且x ≠kπ2＋π4，k ∈Z . 因为f(x)的定义域关于原点对称， 且f(－x)＝6cos4（－x ）＋5sin2（－x ）－4 cos （－2x ） ＝ 6cos4x ＋5sin2x －4 cos 2x ＝f(x)． 所以f(x)是偶函数， 当x≠kπ2＋π 4，k ∈Z 时， f(x)＝6cos4x ＋5sin2x －4cos 2x ＝6cos4x ＋5－5cos2x －42cos2x －1 ＝ （2cos2x －1）（3cos2x －1） 2cos2x －1 ＝3cos2x －1. 所以f(x)的值域为???? ?? y|－1≤y ＜12，或12＜y≤2.