第2章 2.1 曲线的参数方程

2.1 曲线的参数方程 2.1.1 抛射体的运动 2.1.2 曲线的参数方程

1.理解曲线参数方程的有关概念.

2.能进展参数方程和普通方程的互化.(重点)

[根底·初探]

1.参数方程的概念

定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数⎩⎨⎧

x ＝f (t )

y ＝g (t )

，a ≤t ≤b .(*)

假如对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，(*)式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过(*)式得到，那么称(*)式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数.

简单地说，假设t 在a ≤t ≤b 内变动时，由(*)式确定的点M (x ，y )描出一条曲线，那么称(*)式为该曲线的参数方程.

2.参数方程与普通方程互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

(2)假如知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧

x ＝f (t )y ＝g (t )就是曲线的参数

方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致.

[考虑·探究]

1.曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？

【提示】 联络x 、y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数θ的几何

意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度.

2.普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？

【提示】 不一定惟一.普通方程化为参数方程，关键在于适中选择参数，假如选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同.

[自主·测评]

1.将参数方程⎩⎨⎧

x ＝2＋sin 2θ

y ＝sin 2

θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2

B.y ＝x ＋2

C.y ＝x －2(2≤x ≤3)

D.y ＝x ＋2(0≤y ≤1)

【解析】 消去sin 2θ，得x ＝2＋y ， 又0≤sin 2θ≤1，∴2≤x ≤3. 【答案】 C

2.把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( )

A.⎩⎨⎧

x ＝t

12

y ＝t

-1

2

B.⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝sin t y ＝1sin t C.⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝cos t y ＝1cos t

D.⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝tan t y ＝1tan t

【答案】 D

3.曲线⎩⎨⎧

x ＝1＋t 2y ＝t －1与x 轴交点的直角坐标是( )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,0)

D.(±2,0)

【解析】 设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2，

∴曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2,0).

【答案】 C

4.曲线⎩⎨⎧

x ＝1－2t y ＝2＋3t

(t 为参数)与直线x ＋y ＝0的交点坐标是( )

【导学号：62790009】

A.(5，－5)

B.(7，－7)

C.(－5,5)

D.(－7,7)

【解析】 将x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 代入x ＋y ＝0得t ＝－3，代入参数方程得x ＝7，y ＝－7.

【答案】 B

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们〞讨论交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 类型一 参数方程的概念

曲线C 的参数方程为 ⎩⎨⎧

x ＝2cos θ

y ＝3sin θ

(θ为参数，0≤θ<2π). 判断点A (2,0)，B (－3，3

2)是否在曲线C 上？ 假设在曲线上，求出点对应的参数的值.

【精彩点拨】 将点的坐标代入参数方程，判断参数是否有解. 【尝试解答】 把点A (2,0)的坐标代入 ⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2cos θy ＝3sin θ

得cos θ＝1且sin θ＝0，

由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，

因此点A (2,0)在曲线C 上，对应参数θ＝0， 同理，把B (－3，3

2)代入参数方程，得

⎩⎨⎧

－3＝2cos θ，3

2＝3sin θ.

∴⎩⎪⎨

⎪⎧

cos θ＝－3

2，sin θ＝12.

又0≤θ<2π，∴θ＝5

6π，

所以点B (－3，32)在曲线C 上，对应θ＝5

6π.

对于曲线C 的参数方程⎩⎨⎧

x ＝f (t )

y ＝g (t )(t 为参数)，假设点M (x 1，y 1)在曲线上，那

么⎩⎨⎧

x 1＝f (t )y 1＝g (t )

对应的参数t 有解，否那么无解，即参数t 不存在. [再练一题]

1.曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝t ＋1

y ＝t 2－4(t 为参数)判断点A (3,0)，B (－2,2)是否在

曲线C 上？假设在曲线上，求出点对应的参数的值.

【解】 将点A (3,0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝t ＋1

y ＝t 2－4，

得⎩⎪⎨⎪⎧

t ＋1＝3

t 2－4＝0

，解之得t ＝2.

所以点A (3,0)在曲线C 上，对应参数t ＝2.

将点B (－2,2)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1y ＝t 2－4，得⎩⎪⎨⎪⎧

t ＋1＝－2t 2－4＝2

，

即⎩⎪⎨⎪⎧

t ＝－3t 2＝6，此方程组无解.

所以点B (－2,2)不在曲线C 上. 类型二 求参数方程

在一次军事演习中，飞机要向假想敌军阵地进展投弹，投弹时，飞机

离地面的间隔 h ＝490 m ，程度飞行的速度v ＝100 m/s.求炸弹投出后，弹道的参数方程.(不计空气阻力，重力加速度g ＝10 m/s 2)

【精彩点拨】 这是物理学中的平抛运动，选择时间t 作参数，可将炸弹的程度方向和竖直方向的运动表示出来，从而建立弹道的参数方程.

【尝试解答】 如图，从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O ，以垂线为y 轴，以O 为原点，建立平面直角坐标系.

设P (x ，y )为炸弹在t s 后的坐标，

那么由题意可知⎩⎨⎧

x ＝v t ，y ＝h －12gt 2

.

因为h ＝490 m ，v ＝100 m/s ，g ＝10 m/s 2，所以，炸弹投出后，弹道的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝100t ，y ＝490－5t

2(0≤t ≤72).

1.本例选择时间t 为参数，很容易将炸弹的程度方向和竖直方向的运动表示出来，给建立弹道的参数方程带来了方便，可见合理地选择参数是建立参数方程的关键.

2.求轨迹的参数方程的一般步骤是

(1)建立适当的坐标系，设动点P (x ，y )为轨迹上任意一点.(2)根据题意选择与动点P 有直接联络的参数t .(3)根据轨迹条件求出x 和y 与参数t 之间的函数关系，从而得到轨迹的参数方程，求轨迹的参数方程时，参数选的不同，得到的参数方

程也不同，但化成普通方程后却是一样的.

[再练一题]

2.设炮弹的发射角为α，发射的初速度为v 0，求弹道曲线的参数方程(不计空气阻力、风向等因素).

【解】 取炮口为原点，程度方向为x 轴，建立坐标系如下图，设炮弹发射后的位置在点M (x ，y )，又设炮弹发射后的时间t 为参数.

由匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得x ＝OQ ＝|OP |cos α＝v 0t cos α.

y ＝QM ＝QP －MP ＝v 0t sin α－1

2gt 2. 即得弹道曲线的参数方程：

⎩⎨⎧

x ＝v 0t cos α，y ＝v 0t sin α－12

gt 2.

类型三 参数方程与普通方程的互化

在方程⎩⎨⎧

x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ，(a ，b 为正常数)中，

(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？

【精彩点拨】 (1)运用加减消元法，消t ；(2)利用平方关系sin 2 θ＋cos 2 θ＝1消参数，化成普通方程，进而断定曲线形状.

【尝试解答】 方程⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝a ＋t cos θ， ①

y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，

(1)①×sin θ－②×cos θ得 x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同时为零， ∴方程表示一条直线.

(2)(ⅰ)当t 为非零常数时，

原方程组为⎩⎨⎧

x －a

t ＝cos θ， ③

y －b

t ＝sin θ. ④

③2＋④2得(x －a )2t 2＋(y －b )2

t 2＝1， 即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆. (ⅱ)当t ＝0时，表示点(a ，b ).

1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法，第(2)问中利用了三角恒等变换消去参数.

2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响.此题启示我们，形式一样的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线.

[再练一题]

3.假设将题目中的条件，改为“以过点A (0,4)的直线的斜率为参数，试求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程〞.

【解】 设M (x ，y )是曲线4x 2＋y 2＝16上异于A (0,4)的任意一点. 那么y －4

x ＝k (x ≠0)， ∴y ＝kx ＋4(k ≠0).

将y ＝kx ＋4代入4x 2＋y 2＝16，得 x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝0y ＝－4或

⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝－

8k

4＋k 2

y ＝

－4k 2＋164＋k 2

(k ≠0，k 为参数).

因此所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝－

8k 4＋k 2

y ＝－4k 2＋16

4＋k

2

(k ≠0)

和⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝0，y ＝－4.

[真题链接赏析]

(教材P34习题2－1T4)

设曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3－2t y ＝－1－4t ，把它化为普通方程，说明它表示什么

曲线.

化以下曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲

线.⎩

⎨⎧

x ＝1－2t

y ＝3－4t (t 是参数).

【命题意图】 此题以化参数方程为普通方程为载体，考察运算求解才能. 【解】 ∵x ＝1－2t ，∴t ＝1－x

2， ①

∴x ≤1，将①代入y ＝3－4t 得2x －y ＋1＝0(x ≤1)，表示一条射线. 我还有这些缺乏：

(1) (2) 我的课下提升方案：

(1) (2)