复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案
习题 七
1.证明：如果f (t )满足傅里叶变换的条件，当f (t )为奇函数时，则有
?+∞
?=0
d sin )()(ωωωt b t f
其中()?+∞
?=0
tdt sin π2)(ωωt f b 当
f (t )
为
偶
函
数
时
，
则
有
?+∞?=0
cos )()(ωωtd w a t f
其中?
+∞
?=0
2
tdt c f(t))(ωωπ
os a
证明：
因为ωωωd G t f t i ?+∞
∞
-=e )(π21)(其中)(ωG 为f (t )的傅里叶变换
()()()(cos sin )i t
G f t e
dt f t t i t dt ωωωω+∞
+∞
--∞-∞
==?-?
?
()cos ()sin f t tdt i f t tdt ωω+∞
+∞
-∞
-∞
=?-??
?
当f (t )为奇函数时，t cos f(t)ω?为奇函数，从而
?
+∞
∞
-=?0tdt cos f(t)ω
t sin f(t)ω?为偶函数，从而
?
?+∞
∞
-+∞
?=?0
.sin f(t)2tdt sin f(t)tdt ωω
故.sin f(t)2)(0
tdt i
G ωω?-=?
+∞
有
)()(ωωG G -=-为奇数。
ωωωωπ
ωωπ
ωd t i t G d e G t f t i )sin (cos )(21)(21)(+?=
?=
?
?
+∞
∞
-+∞
∞
-
=0
1()sin d ()sin d 2ππi G i t G t ωωωωωω+∞
+∞
-∞?=???
所以，当f(t)为奇函数时，有
00
2()b()sin d .b()=
()sin dt.πf t t f t t ωωωωω+∞
+∞
=????其中同理，当f(t)为偶函数时，有
()()cos d f t a t ωωω+∞
=??.其中
02()()cos π
a f t tdt ωω+∞
=
?? 2.在上一题中，设()f t =21,
0,
1
t t t ?
≥??.计算()a ω的
值.
解:
12001
11
2200
12
01
20
11
200222()()cos d cos d 0cos d πππ221cos d d(sin )ππ122sin sin 2d 0ππ2sin 4(cos )π2sin 4cos cos π2sin 4co a f t t t t t t t t t t t t t t t t t t
t d t t t tdt ωωωωωωωωωωωωωωπωωωωωπωωπω+∞+∞
=
?=?+?=?=?=??-?=
?+???
=+?-???
?=+????????23s 4sin ωωπωπω
-
3.计算函数sin ,6π
()0,6πt t f t t ?≤?=?
≥??的傅里叶变换. 解:
[]6π
6π
6π
6π
6π0
2()()d sin d sin (cos sin )d 2sin sin d sin 6ππ(1)
i t i t F f f t e t t e t
t t i t t
i t t t i ωωωωωωω
ω+∞
---∞
--=?=?=?-=-?=-?
?
?
?
4.求下列函数的傅里叶变换 (1)()t
f t e -=
解： []||(||)0(1)(1)2
F f ()()d d d 2
d d 1i t t i t t i t t i t i f t
e t e e t e t
e t e t ωωωωωωω+∞+∞+∞
----+-∞
-∞
-∞
+∞--+-∞
==?==+=
+?
????
(2)
2
()t f t t e
-=?
解：因为
2
2
222
/4
F[].()(2)2.t t t t e e
e e t t e ω-
----==?-=-?而
所以根据傅里叶变换的微分性质可
得
2
2
4()F()t
G t e e ωω--=?=
(3)2
sin π()1t
f t t =- 解：
2
2
22
02200sin π()F()()d 1sin π(cos sin )d 11
[cos(π)cos(π)]sin πsin 2d 2d 11cos(π+)cos(π-)d d ()11sin ,||π20,|i t
t G f e t t t
t i t t t t t t t i t i t t t t t i t i t t t i
ωωωωωωωωωωωωω+∞
--∞
+∞-∞
+∞+∞
-∞+∞+∞==?-=?---+--?=-=---=----≤=??
????利用留数定理当当|π.
????≥?
(4)4
1
()1f t t
=+ 解:
4
444
401cos sin ()d d d 111cos cos 2d d 11i t
t t G e t t i t t t t t t t t t t ωωωωωω+∞
+∞+∞--∞-∞-∞+∞+∞-∞==-+++==++?
????令4
1
R(z)=1z
+，则R(z)在上半平面有两个一级极点
22
(1),(1)22
i i +-+. 22
R()d 2π[R(),
(1)]2π[R(),(1)]i t i z i z t e t i Res z e i i Res z e i ωωω+∞
-∞
?=??++??-+?
故
.
||/244
cos ||||d Re[d ](cos sin )112222
i t t e t t e t t ωωωωω+∞
+∞--∞
-∞==+++?
?
(5) 4
()1t
f t t =+ 解:
44
44
()d 1sin cos d d 11sin d 1i t t
G e t t t t t t t i t t t t t i t
t ωωωωω+∞
--∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞=?+?=?-++?=-+???? 同(4).利用留数在积分中的应用,令4
R()=1z
z z
+ 则
4
4||/
2
sin d ()Im(d )
11sin
2
2
i t
t t
t e i t i t t t i
e ωωωω
+∞
+∞-∞
-∞-??-=-++=-???
?.
5.设函数F (t )是解析函数，而且在带形区域
Im()t δ<内有界.定义函数()L G ω为
/2
/2
()()e d .L i t L L G F t t ωω--=
?
证明当L →∞时，有
1p.v.()e d ()2πi t
L G F t ωωω∞
-∞
→? 对所有的实数t 成立.
(书上有推理过程) 6.求符号函数 1,0
sgn 1,0
||t t t t t -
>?的傅里叶变换. 解: 因
为
1
F(())π().u t i δωω
=
+?把函数
sgn()t 与u(t)作比较.
不难看出 sgn()()().t u t u t =-- 故：
[]11
F[sgn()]F(())F(())π()[π()]π()22π()()t u t u t i i i i δωδωωδωδωωω
=--=+?-+?--=
+--=
7.已知函数()f t 的傅里叶变换
()00F()=π()(),ωδωωδωω++-求()f t
解:
[]000-100
000001()F (F())=
π()()d 2πF(cos )=cos d d 2
π[()()]
()cos i t
i t i t i t i t
f t e t t e t
e e e t
f t t
ωωωωωωδωωδωωωωωδωωδωωω+∞-∞
+∞
--∞
-+∞
--∞=?++-?+=?=++-=???而所以
8.设函数f (t )的傅里叶变换()F ω，a 为一常数. 证明
1[()]().f at F a a ωω??=
???
1F[()]()()d ()d()i t i t
f at f at e t f at e at a
ωωω+∞
+∞---∞
-∞=?=
??
?解:
当a >0时,令u=at .则
11F[()]()()d u i a f at f u e u F a a a ωωω-+∞-∞??
=?= ???
?
当a <0时,令u=at ,则1F[()]()F()f at a a
ω
ω=-. 故原命题成立.
9.设()[]();F F f ωω=证明
()()[]()F f t ωω=--F .
证明：
()[]()()()()()[]
()[]()()[]()()e d e d e
d e d e d .i t i u i i u u i t F f t f u
f t u t f u f u
u u f t F t ωωωωωωω+∞
+∞
--∞-∞
+∞
+∞
--?-?--∞-∞
+∞-?--∞
=?=-?--=?=?=?=-?????
10.设()[]()F F f ωω=，证明：
()[]()()()0001
cos 2F f t F F t ωωωωωω?=
-++???
?以及
()[]()()()0001
sin .2
F f t F F t ωωωωωω?=
--+???? 证明：
()[]()()()()()0000000e +e cos 21e e 22212i t i t i t i t F f t F t f t F F f f t t F F ωωωωωωωωω--??
?=???
????????=+??????????????
=-++???
?
同理：
()[]()()(){}()()0000000e e sin 21
e e 212i t i t i t i t F
f t F f t t i F F f f t t i F F i ωωωωωωωωω--??
-?=???
??
=-??????????=--+???? 11.设
()()π0,0sin ,0t 200e ,t t t f g t t t -?
?==??≥???
，其他
计算()*f g t . 解：()())*(d f y g y t f g t y +∞
-∞
-=
?
当t y o -≥时，若0,t <则()0,f y =故
()*f g t =0.
若0,0,2
t y t π
<≤
<≤则
()()()0
()d sin d *t
t y f y g y e y t f g t y t y -=?--=??
若,0..2
2
2
t t y t y t π
π
π
>
≤-≤
?-
≤≤
则()()2
sin d *t
y t e y t f g y t π--
?-=
?
故()()()
20,
01,0sin cos e *221e .1e 22
t t t t t t f g t t ππ
π--+?
12.设()u t 为单位阶跃函数，求下列函数的傅里叶变换.
()()()0e sin 1at f t u t t ω-=?
()()()()()()()00000
000
00
2002
e sin e e sin e e e e e 211e d d d d e 2d 2at i t at i t i t i t at
i t
a i t a i t t
t
G F t u f t t t i i i t t a i ωωωωωωωωωωωωωωωω+∞
-∞
+∞
+∞
+∞+--------+--++?????∞???=====-=?????-??++?????解：
习题八
1.求下列函数的拉普拉斯变换.
(1)()sin cos f t t t =?，
(2)4()e
t
f t -=，
(3)2
()sin f t t
= (4)2
()f t t =， (5)()sinh f t bt
= 解: (1)
1
()sin cos sin 22
f t t t t =?=
221121
(())(sin 2)2244L f t L t s s =
=?=++
(2)
411
(())(e )24t L f t L s -==+
(3)
21cos 2()sin 2t
f t t -==
22
1cos21111122
(())()(1)(cos2)222224(4)t L f t L L t s s s s -==-=?-?=++
(4)
23
2
()L t s = (5)
22
e e 111111(())()(e )(e )22222bt bt bt bt b
L f t L L L s b s b s b ---==-=?-?=-+-
2.求下列函数的拉普拉斯变换.
（1）2,01()1,12
0,2t f t t t ≤
=≤
(2)cos ,0π
()0,πt t f t t ≤
解: (1)
1220011
(())()e 2e e (2e e )
st st st s s L f t f t dt dt dt s +∞
-----=?=?+=--???
(2)
ππ
π2
011e (())()e cos e (1e )1s st
st
s
L f t f t dt t dt s s -+∞
---+=?=?=+++?
?
3.设函数()cos ()sin ()f t t t t u t δ=?-?,其中函数
()u t 为阶跃函数, 求()f t 的拉普拉斯变换.
解:
2
02
22(())()e cos ()e sin ()e cos ()e sin e 11cos e 1111
st st st st st st
t L f t f t dt t t dt t u t dt
t t dt t dt
s t s s s δδ+∞+∞+∞
---+∞+∞
---∞
-==?=??-??=??-?=?-=-=+++?????
4.求图8.5所表示的周期函数的拉普拉斯变换
解：
2()e 1(())1e (1e )T
st T T as as f t dt as a
L f t s s ---?+=
=
---?
5. 求下列函数的拉普拉斯变换.
(1)()sin 2t
f t lt l
=
?
(2)2()e sin 5t
f t t -=?
(3)()1e t
f t t =-? (4)4()e cos 4t
f t t
-=?
(5()(24)f t u t =- (6()5sin 23cos 2f t t t =-
(7) 12
()e t
f t t δ=? (8) 2
()32f t t t =++
解:(1)
22222222
1
()sin [()sin ]
221
()(())(sin )[()sin ]
22112()22()()t
f t lt t lt l l
t F s L f t L lt L t lt l l
l ls s l s l l s l s l =
?=-
-?==?=--?-'=-=-?=+++
(2)225
()(())(e sin 5)(2)25t F s L f t L t s -==?=
++
21
(3)()(())(1e )(1)(e )(e )
1111()1(1)t t t F s L f t L t L L t L t s
s s s s ==-?=-?=+-?'=+=--- (4)
42
4
()(())(e
cos 4)(4)16
t
s F s L f t L t s -+==?=++ (5)
1,2
(24)0,t u t >?-=??其他
22
()(())((24))=(24)e 1
=e =e st st
s
F s L f t L u t u t dt
dt s
∞
-∞
--==--???
(6)
222
()(())(5sin 23cos2)5(sin 2)3(cos2)210353444
F s L f t L t t L t L t s s s s s ==-=--=?-?=+++
(7)
12
33
22
13
(1)()
22()(())(e )()()t F s L f t L t s s δδδΓ+Γ==?==-- (8)
2221
()(())(32)()3()2(1)(232)
F s L f t L t t L t L t L s s s ==++=++=++
6.记[]()()L f s F s =，对常数0s ，若
00Re()s s δ->，证明00[e ]()()s t L f s F s s ?=-
证明:
00000
()()00
[e ]()e ()e ()e
()e ()
s t s t st s s t
s s t L f s f t dt
f t dt f t dt F s s ∞
-∞
∞
---?=??=?=?=-???7 记[]()()L f s F s =，证明:()()[(t)()]()n n
F s L f t s =-?
证明：当n=1时,
0()()e st F s f t dt +∞
-=??
0()[()e ][()e ]
()e (())
st st st F s f t dt f t dt t f t dt L t f t s
+∞
--+∞
+∞-''
=???==-??=-????
?
所以，当n=1时, ()
()[(t)()]()n n
F s L f t s =-?显然
成立。
假设，当n=k-1时, 有
(1)1()[(t)()]()k k F s L f t s --=-?
现证当n=k 时
1(1)
()0
1
00()()e ()
()[()()e ]()()e [(t)()]()k st k k k st k st k d t f t dt
dF
s F s ds ds
t f t dt t f t dt s L f t s +∞
-----∞+∞--??=
=
?-??==-???=-????
8. 记[]()()L f s F s =，如果a 为常数,证明:
1[()]()()s L f at s F a a
=
证明：设[]()()L f s F s =，由定义
000[()]()e .(,,)1()e ()e 1()st s s u u a a u du
L f at f at dt at u t dt a a du f u f u du a a s F a a +∞
---+∞+∞
=?====?=?=?
??令
9. 记[]()()L f s F s =，证明:
()[]()s f t L F s ds t ∞=?,即0()e ()st s f t dt F s ds t
+∞∞
-?=??
证明：
00()[()e ]()[e ]1()()()[e ]e []st st s
s
s
st st
s F s ds f t dt ds f t ds dt
f t f t f t dt dt L t t t ∞
+∞+∞∞
--+∞+∞-∞-=?=?=?-=?=?
?????
10.计算下列函数的卷积
(1)11* (2)t t *
(3)e t t * (4)sin sin at at
*
(5)()()t f t δτ-* (6sin sin at at *
解：(1)
1111t
d t τ*=
?=?
(2) 3
1()6
t
t t t d t τττ*=?-=? (3)
00
e e e e e e e [e ]e e 1
t
t
t
t
t t
t
t
t t t t d d d d t τ
τ
τ
τττττττττ-----*=?=??=-??=--=--????
(4)
001
sin sin sin sin ()[cos cos(2)]2
1sin cos222
t
t
at at a a t d at a at d t
at at a τττττ
*=?-=---=-?? (5)
{
00,(),00
()()()()()()()
()()()()t t
t
t f t t
t
t f t t f t d t f t d t f d f d τ
ττδτδτττδτττδτττδτττ<-≤<-*=-?-=--?--=-?=?=????
(6)
00
001sin cos sin cos()[sin sin(2)]2sin in(2)221
sin cos(2)241sin [cos cos()]sin 242t
t
t
t t t t d t t d t t t s t d t t t t t t t t t τττττ
τττ*=?-=+-=+-=--=---=???
11.设函数f, g, h 均满足当t<0时恒为零，证明
()()f g t g f t *=*以及
()()()()f g h t f h t g h t +*=*+*
证明：
()()()()0
=0
()()d ()d ()d ()d ()
t
t u
t
t t
f g t f g f t u g u
t u f t u g u g f g f t u t τττττττ-*=????→--?-=-?=?=*-????令()()()()()()000()d ()()d ()d ()()
t
t
t
h t h f g f g t f h t g h t f h t g f t τ
τττττττ
ττ*=?++-=?-?+?-=*+*???
12.利用卷积定理证明
()
[()]t
F s L f t dt s =
?
证明：设
()()t g t f t dt
=?，则
()(),(0)0
g t f t g '==且
[()][()](0)[()]
L g t sL g t g sL g t '=-=，则
[()]
[()]L g t L g t s
'=，所以 0
()
[()]t F s L f t dt ds =
?
13. 求下列函数的拉普拉斯逆变换.
(1)()(1)(2)
s
F s s s =
-- (2)22
2
8
()(4)s F s s +=+
(3)1
()(1)(2)F s s s s =
++ (4)22
()(4)s F s s =
+
(5)1
()ln
1s F s s -=+
(622
21
()(1)s s F s s s +-=
-
解：(1)21
()(1)(2)21s F s s s s s =
=-
----
11122111
(
)2()()2e e 2121t t L L L s s s s ----=-=-----
(2)
2211222228321431()()()sin2cos2(4)442(4)42
s s F s L L t t t
s s s --+-==-=-+++
(31111
()(1)(2)212(2)F s s s s s s s ==--
++++
故1211(())e e 22t t L F s ---=-+
(4)
222222
1412
()()(4)4(4)42s s F s s s s -'=
=-?=-?+++
因为
1222
(
)sin 22L t s -=+
所以
1122
1(())()sin 24(4)4s t
L F s L t s --=-?=+
(5)
0111()()ln
()()111s g t F s du L s u u t ∞+==-=--+-?
其中
111()(
)e e 11
t t g t L s s --=-=-+- 所以
e e e e
()(
)()t t t t
F s L L t t
----=-= 1
e e e e ()(())2t t t t sht
f t L F s t t t
-----==-==?
(6)22221122()(1)1(1)s s F s s s s s s +-=
=-+----
所以
1
1
112
122
(())()()()
1(1)12e 2e 2e 2e 1
t t t t L F s L L L s s s t t ----=-+---=-++=+-
14.利用卷积定理证明
122
[
]sin ()2s t
L at s a a -=?+
证明：
11
22222221[
]()
()s s a L L s a s a s a a --=??+++
又因为
2222
(cos ),(sin )s a
L at L at s a s a =
=
++ 所以，根据卷积定理
1
22220011()cos sin 111
cos sin()[sin sin(2)]2sin 2t t s a L at at s a s a a a a at a d at a at d a a t
at a τττττ-??=*++=??-=--=???
15.利用卷积定理证明
2
10t y L dy --=
证明：
111
]
1L L s --=-
2
10t y L dy --=
因为
11
121,()e 1t L L s ---==-
所以，根据卷积定理有
22111
t t 1
()22200
t 2000e y e y e e t t y t
y u
t y t u t y L t dy dy
du dy ---------*=???
16. 求下列函数的拉普拉斯逆变换.
(1)22
1
()(4)F s s =
+
(2)421()54
F s s s =++
(3)222
()(45)s F s s s +=
++
(4)22233
()(1)(3)s s F s s s ++=
++
解:(1)
222222
2
22
22
2
112(4)14
()(4)16(4)8(4)12141648(4)s s F s s s s s s s +-==?-?+++-=
?-?++
故
21
11222
121411
(())()()sin 2cos 21648(4)168
s L F s L L t t t s s ----=-=-?++ (2)：
42222221111
()()
543141112()3122
F s s s s s s s =
=-++++=-++ 1112221112
(())()()
316211
sin sin 2)36
L F s L L s s t t ---=-++=- (3)
22222
2211
()()(45)[(2)1]2(2)1s s F s s s s s ++'=
==-++++++
故121(())e sin 2
t
L F s t t --=
?? (4)
2
223233()(1)(3)13(3)(3)113,,,3
442
s s A B C D F s s s s s s s A B C D ++==+++
++++++?==-== 故
23
113
3
442()13(3)(3)F s s s s s -
=+++
++++
且
23
1111
(
),()23(3)3(3)s s s s '''=-=?
++++
所以
13323113
(())e e e 3e 442t t t t
L F s t t -----=-+?-?
17.求下列微分方程的解
(1)23e ,(0)0,(0)1t
y y y y y -''''+-===
(2)4sin 5cos 2,(0)1,(0)2y y t t y y ''''-=+=-=-
(3)
222e cos 2,(0)(0)0t y y y t y y ''''-+=?==
(4) 2e ,(0)(0)(0)0t
y y y y y '''''''+====
(5)
(4)20,(0)(0)(0)0,(0)1y y y y y y y ''''''''++===== 解: (1)设
2
2
[()](),[(()]()(0)(),[(()]()(0)(0)()1
L y t Y s L y t sY s y sY s L y t s Y s sy y s Y s '==-='''=--=-
方程两边取拉氏变换,得
21()12()3()1
s Y s s Y s Y s s ?-+?-=
+ 212
(23)()111s s s Y s s s ++-=+=
++ 222
()(1)(23)(1)(1)(3)
s s Y s s s s s s s ++==++-+-+
1231,1,3s s s =-==-为Y(s)的三个一级极点,
则
3
1
1
3()[()]Re [()e ;]
(2)e (2)e Re [;1]Re [;1]
(1)(1)(3)(1)(1)(3)(2)e Re [;3]
(1)(1)(3)131e e e 488
st k k st st
st
t t t
y t L Y s s Y s s s s s s s s s s s s s s s s s -=--==?+?+?=-++-++-++?+-+-+=-+-∑ (2) 方程两边同时取拉氏变换,得
2222
1()2()4512
s
s Y s s Y s s s ?++-=?
+?++ 22222222222222222
222
1(1)()45(2)12452
()(1)(1)(1)(2)(1)
111122()()111211212s
s Y s s s s s s Y s s s s s s s s s s s s s s s s s -=?
+?-++++=+-
-+-+-=-+?----+-+--=--++
(3)方程两边取拉氏变换,得
221
()2()2()2(1)1
s s Y s s Y s Y s s -?-?+=?
-+
22222
2(1)(22)()(1)1
2(1)1
()[][(1)1](1)1s s s Y s s s Y s s s --+=
-+-'==--+-+ 因为由拉氏变换的微分性质知，若L[f(t)]=F(s),
则
[()()]()
L t f t F s '-?=
即
11[()]()()()[()]
L F s t f t t L F s --'=-?=-?
因为12
1
[]e sin (1)1
t L t s -=?-+ 所以
11
222
12
2(1)1{}[()][(1)1](1)1
1()[]e sin (1)1t
s L L s s t L t t s ----'=--+-+=--=??-+
故有()e sin t
y t t t =??
1()[()]2sin cos 2y t L Y s t t
-==--
(4)方程两边取拉氏变换,设L[y(t)]=Y(s),得
323221()(0)(0)(0)()(0)2
1
()()2
111()2(1)(2)(1)
s Y s s y s y y s Y s y s s Y s s Y s s Y s s s s s s s ''?-?-?-+?-=-?+?=-=
?=
-+-+
故
12323113
()[()]e e t e 3t e 442
t t t t y t L Y s -----==-+?-?
(5)设L[y(t)]=Y(s),则
22323(4)
4
3
2
4
[(()]()(0)(),[(()]()(0)(0)()[(()]()(0)(0)(0)()1[(()]()(0)(0)(0)(0)()L y t sY s y sY s L y t s Y s sy y s Y s L y t s Y s s y sy y s Y s L y t s Y s s y s y sy y s Y s s
'=-='''=?--=''''''=?-?--=-''''''=?-?-?--=?-
方程两边取拉氏变换,,得
42422222
2()2()()0(21)()1211
()()(1)2(1)21s Y s s s Y s Y s s s Y s s
s s Y s s s s ?-+?+=++?='==?=-?+++ 故
11222111()[
][()]sin (1)212
s y t L L t t s s --'==-?=?++ 18.求下列微分方程组的解
(1) e (0)(0)1322e
t
t
x x y x y y x y '?+-=?==?'+-=???
(2) 2()
(0)(0)(0)(0)00x y g t x x y y x y y ''-=?''====?'''-+=?
解:(1) 设
[(()](),[(()]()
[(()]()(0)()1[(()]()(0)()1,L x t X s L y t Y s L x t s X s x s X s L y t s Y s y s Y s =='=?-=?-'=?-=?- 微分方程组两式的两边同时取拉氏变换,得
1()1()()12()13()2()1s X s X s Y s s s Y s X s Y s s ?
?-+-=??-???-+-=?-?
得
()(1)()...(1)1213()(2)()1...(2)11s Y s s X s s s X s s Y s s s ?
=+-??-?+?--?=+=?--?
(2)代入(1)，得
22
13()(2)[(1)()]11
1(2)1(1)()1111
()()e (3)
1t s s X s s s X s s s s s s s s s s X s s s s X s x t s ++-?+-
=
--+--+-+=+=
---==-故于是有
(3)代入(1)，得
11
()(1)()e 111
t s Y s s y t s s s =+?
-=?=--- (2)设
22[(()](),[(()](),[(()]()[(()](),[(()]()[(()](),[(()](),
L x t X s L y t Y s L g t G s L x t s X s L y t s Y s L x t s X s L y t s Y s ===''=?=?''''=?=?
方程两边取拉氏变换,得
()
22
()2()() (1)
()()()0...2s X s s Y s G s s X s s Y s Y s ?-?=???-?+=?
(1)(2),s ?-得
2()()...(3)1s
Y s G s s =-
?+
()10
()[()]()*cos cos t y t L Y s g t t g d t ττ
τ-∴==-=--?
(3)代入(1)：
()222
22222()2[()]()1
21()(1)()()
1111
2()()()11s
s X s s G s G s s s s s X s G s G s s s s s X s G s G s s s s s ?-?-?=+-?=-=?++-??==?- ?+??+即：
所以
10
()[()](12cos )()(12cos )()t
x t L X s t g t g t d τττ
-∴==-*=-?-?
故
()(12cos )()()()cos()t
t
x t g t d y t g t d τττ
τττ
=-?-=-?-??
19.求下列方程的解
(1)0
()()e 23
t
x t x t d t ωωω+-?=-?
(2)0
()()()t
y t t y d t
ωωω-
-?=?
解：(1)设L[x(t)]=X(s), 方程两边取拉氏变换,得
22
23323
2123()()1123()[1]1(23)(1)352352()()35X s X s s s s s
X s s s
s s s s X s s s s s s x t t t +?
=---+=----+-===-+-
?=-+-
(2)设L[y(t)]=Y(s), 方程两边取拉氏变换,得
2
222
1121()(())11()()1
()1
1
()(())(
)1
Y s L t y t s Y s Y s s s Y s s y t L Y s L sht s ---*=-
?==-?===-
欧阳光中数学分析答案
欧阳光中数学分析答案 【篇一：数学分析目录】 合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限 2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数 3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］ 9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的
复旦版数学分析答案全解ex14-4
习 题 14.4 微分形式的外微分 1. 计算下列微分形式的外微分： （1）1-形式； dy x xydx 22+=ω（2）1-形式xdy ydx sin cos ?=ω； （3）2-形式dz xydx dy zdx ∧?∧=6ω。 解（1）0222=∧+∧+∧=dy xdx dx xdy dx ydx d ω。 （2）dy dx x y dy xdx dx ydy d ∧?=∧?∧?=)cos (sin cos sin ω。 （3）=∧∧?∧∧=dz dx xdy dy dx dz d 6ωdz dy dx x ∧∧+)6(。 2．设ω=+++a x dx a x dx a x dx n n n 111222()()()"是n R 上的1-形式，求d ω。 解 d ω0)(1=∧′=∑=n i i i i i dx dx x a 3．设ω=∧+∧+∧a x x dx dx a x x dx dx a x x dx dx 12323213313121(,)(,)(,)2是3R 上的 2-形式，求d ω。 解 设 323211),(dx dx x x a ∧=ω，由于 0,0323322=∧∧=∧∧dx dx dx dx dx dx ， 则有 =1ωd 03233 132221=∧∧??+∧∧??dx dx dx x a dx dx dx x a 。 类似地，设 133122),(dx dx x x a ∧=ω，212133),(dx dx x x a ∧=ω，则 032==ωωd d ， 从而 0321=++=ωωωωd d d d 。 4. 在3R 上在一个开区域?=××(,)(,)(,)a b c d e f 上定义了具有连续导数 的函数，，，试求形如 )(1z a )(2x a )(3y a dz x b dy z b dx y b )()()(321++=ω 的1-形式ω，使得 dy dx y a dx dz x a dz dy z a d ∧+∧+∧=)()()(321ω 。 解 由题意，可得 )()(),()(),()(2312 31x a x b z a z b y a y b ?=′?=′?=′， 所以 dx dy y a ))((3∫?=ωdy dz z a ))((1∫?dz dx x a ))((2∫?。 5. 设（∑=∧=n j i j i ij dx dx a 1,ωji ij a a ?=，n j i ,,2,1,"=）是n R 上的2-形式，证 明
复旦大学第三版数学分析答案
一﹑细心填一填，你一定能行（每空2分，共20分） 1．当 = 时，分式的值为零. 2．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为． 3．请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数． 4．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差 的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验 田是(填“甲”或“乙”)． 5．如图，□ABCD中，AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的角平分线，请添加一个条件使四边形AECF为菱形． 6．计算． 7．若点（）、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是． 8．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD=2 ，AE为梯形的高，且BE=1， ?则AD=______． 9．如图，中，，，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（平方单位）．10．如图，矩形ABCD的对角线BD过O点，BC∥x轴， 且A（2，-1），则经过C点的反比例函数的解析式为． 二﹑精心选一选，你一定很棒（每题3分，共30分） 11．下列运算中，正确的是 A． B． C． D． 12．下列说法中，不正确的是 A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法 B．众数在一组数据中若存在，可以不唯一 C．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度 D．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差 13．能判定四边形是平行四边形的条件是 A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组邻角相等 C．一组对边平行，一组邻角相等 D．一组对边平行，一组对角相等 14．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是 A．1 B．2 C．3 D．4
数学分析习题集1复旦大学
习 题 1.1 ⒈ 证明由n 个元素组成的集合T a a a n ={}12，，， 有2个子集。 n ⒉ 证明： (1) 任意无限集必包含一个可列子集； (2) 设与A B 都是可列集，证明也是可列集。 A B ∪⒊ 指出下列表述中的错误： (1) {}； 0=? (2)； a ?{,,}a b c (3) {,； }a b ∈{,,}a b c (4) {,。 ,{,}}a b a b ={,}a b ⒋ 用集合符号表示下列数集： (1) 满足x x ?+≤32 0的实数全体； (2) 平面上第一象限的点的全体； (3) 大于0并且小于1的有理数全体； (4) 方程的实数解全体。 0cot sin =x x ⒌ 证明下列集合等式： (1) A B D A B A D ∩∪∩∪∩()()()=； (2) ()。 A B A B C C ∪∩=C ⒍ 举例说明集合运算不满足消去律： (1) ≠> A B A C ∪∪=B C = ； (2) ≠> A B A C ∩∩=B C =。 其中符号“ ≠> ”表示左边的命题不能推出右边的命题。 ⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) B A x ∩∈ ? A x ∈ 并且 B x ∈； (2) B A x ∪∈ ? A x ∈ 或者 B x ∈。 习 题 1.2 1. 设},,{γβα=S ,，问有多少种可能的映射?其中哪些是双射? T a b c ={,,}f ：S T →2. (1) 建立区间[,与[,之间的一一对应； ]a b ]01
(2) 建立区间(,与之间的一一对应。 )01(,?∞+∞)3. 将下列函数和构成复合函数，并指出定义域与值域： f g (1) , y f u ==()log a u u g x ==()x 2 3?; (2) , y f u ==()arcsin u u g x ==()x 3； (3) y f u ==()u 21?,u g x ==()sec x ； (4) y f u ==()u ,u g x ==()x x ?+1 1。 4. 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的： (1) y x =+arcsin 112; (2) 32 1 log (1)3a y x =?。 5. 求下列函数的自然定义域与值域： (1) （）； x y a sin log =1>a (2) y x =cos ； (3) y x =??432x ； (4) y x x =+241 。 6. 问下列函数和是否等同？ f g (1) f x ()=2log ()a x ，g x ()=2log a x ； (2) f x ()=22sec tan x x ?, g x ()=1； (3) f x ()=sin cos 22x x +,g x ()=1。 7. (1) 设,求； f x x x x ()+=?+?3235321f x () (2) 设131 31+?=???????x x x x f ,求。 f x ()8. 设f x ()=+1 1x ,求，,的函数表达式。 f f f f f f f f f 9. 证明：定义于(,上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。 )?∞+∞10. 写出折线ABCD 所表示的函数关系y f x =()的分段表示，其中A =(,)03， B =?(,)11，C =(,)32，。 D =(,)40
复旦《数学分析》答案第四章1、2节
第四章 微分 习 题 4.1 微分和导数 ⒈ 半径为 1cm 的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm 的铜，试用求微 分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9g/3cm 。） 解 球体积3 3 4r V π=，每只球镀铜所需要铜的质量为 12 .142 ≈?≈?=r r V m ρπρg 。 ⒉ 用定义证明，函数y x = 2 3 在它的整个定义域中，除了x =0 这一 点之外都是可微的。 证 当0x =时，32 x y ?=?是x ?的低阶无穷小，所以y x = 2 3 在0x =不可 微。当0x ≠时， (), y x x o x ?=== =+? 所以y x = 2 3 在0x ≠是可微的。
习 题 4.2 导数的意义和性质 1． 设'f x ()0存在，求下列各式的值： ⑴ lim ()() ???x f x x f x x →--0 00； ⑵ lim ()() x x f x f x x x →--0 00 ； ⑶ lim ()() h f x h f x h h →+--0 00。 解 (1))(') () ())((lim ) ()(lim 0000 000 x f x x f x x f x x f x x f x x -=?--?-+-=?-?-→?→?。 ⑵ )(') ())((lim ) ()(lim 00 0000 000 x f x x x f x x x f x x x f x f x x x x =---+=--→-→。 ⑶ h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→ ) ('2) ()(lim ) ()(lim 0000 000 x f h x f h x f h x f h x f h h =----+=→→。 2． ⑴ 用定义求抛物线y x x =+-2312的导函数； ⑵ 求该抛物线上过点(,)--12处的切线方程； ⑶ 求该抛物线上过点(,)-21处的法线方程； ⑷ 问该抛物线上是否有(,)a b ，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？ 解 (1)因为 x x x x x x x x x x y ?++=?-+--?++?+= ??234) 132(1)(3)(22 2 ，所以 34lim )('0 +=??=→?x x y x f x 。 (2)由于1)1('-=-f ，切线方程为1[(1)](2)3y x x =-?--+-=--。 (3)由于 5)2('-=-f ，法线方程为17[(2)]15 5 x y x +=- --+= -。 (4) 抛物线顶点与焦点的连线平行于y 轴，即斜率为无穷大，由(1)可