2010年山东大学线性系统理论博士生研究生入学考试试卷

2010年山东大学博士生研究生入学考试试卷
线性系统理论
一、（16分）已知11101110
()()m m m m n n n n b s b s b s b Y s U s a s a s a s a ----++++=++++ ， 1、 若m<n ，给出该系统的一个状态空间描述，并给出推导过程；
2、 若m=n ，给出该系统的一个状态空间描述，并给出推导过程。

二、(16分)已知连续时间线性定常系统Ax x =∙
，且已知 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41)0(x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--t t e e t 334)(x ；⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=21)0(x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--t t e e t 222)(x ； 1、 给出系统的一个基本解阵；
2、 写成其状态转移矩阵，并求出在[]T
11)0(=x 下的零输入响应； 3、 求系统矩阵A 。

三、（17分）u ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=121201211201x x ，⎣⎦x 011=y 1、写成系统的可控性判别矩阵，并判断系统的可控性；
2、若系统可控，写出系统的可控标准形，并给出转换所用的线性变换。

四、（17分）u ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0010000102360101x x ，x ⎥⎦⎥⎢⎣⎢=32061101y 1、求系统的结构特性指数21,d d 和结构特性向量},{21E E ，并判断该系统能否利用状态反馈实现解耦？
2、求取),(L K 使系统在Lv Kx u +-=的控制下，闭环系统实现积分型解耦，并给出解耦后的状态空间表达式。

五、（17分）已知连续时间线性定常系统Ax x =∙
，0t ≥，0)0(x x =，x C =y 。

对于C C T T -=+PA P A 存在正定对称解阵P 。

1、证明系统的平衡状态x=0是稳定的。

2、对于y 不恒为0，试证明x=0不仅是渐近稳定的，而且满足
0002
Px x d τy(t)T t
=⎰ 六、（17分）已知连续时间线性定常系统Bu +=∙
Ax x ，0t ≥，0)0(x x =，x C =y 。

证明（A,B ）能控t e BB e t t A t t T At c T d ),0(0⎰-=⇔W 为非奇异。