小学数学《定义新运算》练习题(含答案)

小学数学《定义新运算》练习题（含答案）

（一） 直接运算型

【例1】

（★★★奥数网题库）两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为a

b.例如，13

5=3.根据

这样定义的运算，计算： （1）(269)

4等于多少？

（2）108（2008

19）

分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (26

9)

4=8

4=0 （2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……2，所以 108（2008

19）=108

13=4

[前铺]定义运算“⊙”如下：2

a b

a b +⊕=

． （1） 计算2007⊕2009，2006⊕2008 （2） 计算1⊕5⊕9，1⊕（5⊕9），

分析：（教师先告诉学生2

a b

+表示（a+b ）÷2） （1）2007⊕2009＝20072009

2

+＝2008；

2006⊕2008＝20062008

2

+＝2007

（2）1⊕5⊕9＝152+⊕9＝3⊕9＝

39

2

+＝6 1⊕（5⊕9）＝1⊕59

2

+＝1⊕7＝172+＝4；

【例2】 （★★★奥数网题库）定义运算※为a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）， （1） 求5※7，7※5； （2） 求12※（3※4），（12※3）※4；

（3） 这个运算“※”有交换律、结合律吗？

分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.

（2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.

对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.

（3）由于a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）；b ※a ＝b ×a －（b ＋a ）＝a ×b －（a ＋b ）（普通加法、乘法交换律）， 所以有a ※b ＝b ※a ，因此“※”有交换律.由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律.

[巩固]定义新的运算a b a b a b ⊕=?++，求： （1）62⊕，26⊕

（2）(12)3⊕⊕，1(23)⊕⊕

（3）这个运算有交换律吗？

分析：（1）62⊕=6×2+6+2=20；26⊕=2×6+2+6=20

（2）(12)3⊕⊕=（1×2+1+2）⊕3=5⊕3=5×3+5+3=23； 1(23)⊕⊕=1⊕（2×3+2+3）=1⊕11=1×11+1+11=23

（3）由于a b a b a b ⊕=?++=×b a b a ++（普通加法、乘法交换律），所以a b b a ⊕=⊕，即满足交换律.

[拓展]如果a 、b 、c 是三个整数，则他们满足加法交换律和结合律，即a ＋b ＝b ＋a ，（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）．现在规定一种运算“*”，它对于整数a 、b 、c 、d 满足：（a ，b ）*（c ，d ）＝（a ×c ＋b ×d ，a ×c －b ×d ）．例如：（4，3）*（7，5）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13）．请你举例说明：“*”运算是否满足交换律和结合律．

分析：（7，5）*（4，3）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13），所以“*”运算满足加法交换律， （2，1）*（3，2）*（3，4）＝（2×3＋1×2，2×3－1×2）*（3，4）＝（8，4）*（3，4）＝（3×8＋4×4，3×8－4×4）＝（40，8） ；（2，1）*[（3，2）*（3，4）]＝（2，1）*[3×3＋2×4，3×3－2×4]＝（2，1）*[17，1]＝（2×17＋1×1，2×17－1×1）＝（35，33）．所以，（2，1）*（3，2）*（3，4）≠ （2，1）*[（3，2）*（3，4）]，因此 “*”不满足结合律． 【例3】 （★★★奥数网题库）我们规定：

a c

b d ＝ad+b

c ，求2516 40

21

的值． 分析：2516 40

21

＝25×21+40×16＝525+640＝1165

[巩固]我们规定：

a c

b d ＝ad －b

c ，例如：23 1

4

＝2×4－1×3＝8－3＝5． 求

45

610

的值．

分析：

45

610

＝4×10－5×6＝40－30＝10

【例4】 （★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].

分析：因为(70☆3)△5=3△5=5，5☆(3△7)=5☆7=5，所以[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)]=5×5=25

[巩固] 定义两种运算“⊕”“?”，对于任意两个整数a 、b ，a ⊕b=a+b-1，a ?b=a ×b-1，计算：

4[]?⊕⊕⊕（68）（35）

分析：⊕68=6+8-1=13，⊕35=3+5-1=7，137⊕=13+7-1=19，4?19=4×19-1=75

4[]?⊕⊕⊕（68）（35）=75

【例5】 （★★★★奥数网题库）定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍

数，则a*b ＝a b

3

+，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝a b-13+，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b

＝

a b-2

3

+. 求：（2005*2006）*（2007*2008）

分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891

[巩固]定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝a b

2

+，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝

a b 1

2

+-． 求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)； (2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．

分析: （教师先告诉学生

2

a b

+表示（a+b ）÷2） （1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝199920001

19992

+-=，2001＋2002＝4003

是奇数，所以2001☆2002＝

200120021

20012

+-=，1999＋2001＝4000是偶数，

所以1999☆2001＝

19992001

20002

+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （3） 因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝20002002

20012

+=，

1998＋2001＝3999是奇数，

所以1 998☆2001＝

199820011

19992

+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以

1999☆2 004＝199920041

20012

+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001

【例6】 （★★★★奥数网题库）对自然数m ，n （n ≥m ），规定m

n P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）；

[(1)(1)][(1)1]m m m

n m n

n n n m m m C

P P =÷=?-?

?-+÷?-??．求：

1

2

3

4

5

6

666666,,,,,C C C C C C

分析：1

6

C

=（1

6

P

）÷（1

1

P

）=6÷1=6；2

6

C

=(6×5)÷（2×1）=15；36

C

=（6×5×4）÷（3×2×1）

=20；4

6

C

=（6×5×4×3）÷（4×3×2×1）=15；5

6

C

=（6×5×4×3×2）÷（5×4×3×2×1）=6；66

C

=

（6

6

P

）÷（66

P

）=1

[前铺]对自然数m ，n （n ≥m ），规定m

n P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）．例如：2

4P ＝4×3＝12．3

4P ＝4×3×2＝24．求：（1）3

4

5

555P P P ，，；（2）3

4

5

6

6666P P P P ，，，．

分析：（1）3

5P ＝5×4×3＝60，4

5P ＝5×4×3×2＝120，5

5P ＝5×4×3×2×1＝120

（2）3

6P ＝6×5×4＝120，4

6P ＝6×5×4×3＝360，5

6P ＝6×5×4×3×2＝720，6

6P ＝6×5×4×3×2×1＝720．

[总结]这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.

（二） 反求未知数

【例7】 （★★★★奥数网题库）定义新运算“※”如下：对任意自然数a ，b ，a ※b=5×a-3×b ，

能否找到一个自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）？如果存在，求出自然数n ；如果不存在，说明理由.

分析：5※6※n=（5×5-3×6）※n=7※n=5×7-3×n ；5※（6※n ）=5※（5×6-3×n ）=5※（30-3×n ）=5×5-3×（30-3×n ）=9×n-65，因为5※6※n=5※（6※n ），所以有35-3×n=9×n-65，即12×n=100，所以没有满意的自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）

【例8】

（★★★★奥数网题库）对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：x △y=

y

mx y

x 26+?? (其中

m 是一个确定的整数).如果1△2=2，则2△9=?

分析：已知1△2=2，根据定义得 1△2=61212

21224

m m ??==?+?+，于是有2×(m ＋4)=12，解出m=2.所

以

62954

29=

=222911

???+?

[拓展]x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.

分析：我们要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：

①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k=64，k 不是自然数， 所以m=l ，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.

[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.

（三）计算机程序语言

【例9】 （★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）如下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是1999，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是_____．

分析：观察表格可得：运算器输入的A 是被除数，B 是除数，输出的是余数

因为1999÷9＝222……1，所以C ＝1．

[前铺]下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B 值是4时，运算器输出的C 值是_____．

分析：运算器输入的A是被除数，B是除数，输出的是商减去1，2008÷4＝502，502-1=501，所以C＝501．

【例10】（★★★★奥数网题库）有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数.装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3.

(1)输入9，经过A·B·C·D，输出几？

(2)经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？

分析：（1）输入9经过A装置以后结果是9＋5＝14，再经过B装置以后结果是14÷2＝7，经过C装置以后结果成为7－4＝3，最后经过D装置以后，最终输出结果等于3×3＝9．

（2）最后经过装置C后结果是100，那么输入装置C的数字是100＋4＝104，那么输入A的数字是104－5＝99，输入D的数是99÷3＝33，输入B的数是33×2＝66．所以最开始输入的数是66．

[拓展]例题中的装置，输入7，输出的还是7，用尽量少的装置应怎样连接？

分析：C·D·A·B

（四）其他常见类型

【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）王歌暑假去非洲旅游，到了一个古老部落，看到下面几个部落的算式：

8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837．

导游告诉他，部落算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同．请你按古老部落的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ ．

分析: 由部落算式“8×8＝8”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8．由“9×3＝3”知“3”是0．继而可推得“7”是5．于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”．

[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？

分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=11

【例12】（★★★★★奥数网题库）先阅读下面材料，再解答后面各题．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、…N、M这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个整数（见下表）：

'(1263)32

'17(12631)31

'8(12632)3

x

x x x x x x x x x x x x x x ?=≤≤??+?=+≤≤??+?=+≤≤??

是正整数，，被整除是正整数，，被除余是正整数，，被除余 将明文转换成密文，如：

，即R 变为L ； ，即A 变为S ．

按上述方法将明文HAK 译为密文．

分析：这是一道非常有意思的题目．明文HAK 对应16、11、18；

162

17233

++=，即H 变为V ；1118123++=，即A 变为S ；18

63

=，即K 变为Y ，所以将明文HAK 译为VSY ． 1．（例2）规定：A ※B ＝B ×B ＋A ， （1）计算（2※3）※（4※1）， （2）这个运算有交换律吗？

分析：（1）2※3＝3×3＋2＝11，4※1＝1×1＋4＝5，11※5＝5×5＋11＝36，所以最后结果（2※3）※（4※1）＝36．

（2）因为B ※A ＝A ×A ＋B ≠ B ×B ＋A ，所以 这个运算不符合交换律 2．（例6）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1.

（1） 求3！，4！，5！； （2） 证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！ 分析：（1）3！＝3×2×1＝6； 4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；

（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）

＝3×（6！）＋4×（6！） ＝7×（6！） ＝7！

3．（例7）“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3＝2＋3＋4；7⊙2＝7＋8；3⊙5＝3＋4＋5＋6＋7，按此规则，如果n ⊙8＝68，那么n 的值是多少？

分析：观察条件可知⊙前面一个数表示相加的开始一个数，⊙后面一个数表示连续相加的个数，所以

n⊙8＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（n＋7）＝8×n＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝8×n＋28＝68，所以

n＝5．

4．（例8）对整数A、B、C，规定符号等于A×B

＋B×C－C÷A,例如：＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知：＝28，那么A＝_______.

分析：2A＋4A－4÷2＝28，即 6A＝30，所以A＝5

5．（例10）有A、B、C、D四种计算装置，装置A：将输入的数乘以5；装置B：将输入的数加3；装置c：将输入的数除以4；装置D：将输入的数减6.这些装置可以连结，如装置A后面连结装置B，写成A·B，输入4，结果是23；装置B后面连结装置A就写成B·A，输入4，结果是35.装置A·C·D连结，输入8，结果是多少？

分析：输入8经过A装置以后，结果为8×5＝40，经过C装置以后，结果为40÷4＝10，经过D装置以后，结果成为10－6＝4．所以最终结果为4．