等腰梯形的性质与判定
等腰梯形的性质及证明
等腰梯形的性质及证明等腰梯形是一种特殊的梯形，其两边腰长相等。
在这篇文章中，我们将讨论等腰梯形的性质以及如何证明这些性质。
首先，我们来看一下等腰梯形的定义。
1.基角：等腰梯形的两个底边之间的角被称为基角。
2.腰角：等腰梯形的两个腰边与底边之间的角被称为腰角。
3.顶角：等腰梯形的两个腰边之间的角被称为顶角。
现在，我们来讨论等腰梯形的性质：性质1：等腰梯形的两个底边平行。
证明：我们可以利用反证法来证明这个性质。
假设等腰梯形的两个底边不平行，那么根据平行线的性质，腰边与底边之间的对应角也不相等。
这与等腰梯形的定义相矛盾，因此我们可以得出结论：等腰梯形的两个底边平行。
性质2：等腰梯形的两个腰边相等。
证明：我们可以利用切线与弦的性质来证明这个性质。
首先，我们将等腰梯形的两个腰边延长，并在延长线上取两个点，使得两个延长线与底边相交。
然后，连接这两个点与等腰梯形的垂线相交的点，得到两个三角形。
根据三角形的性质，我们知道，当两个角是等腰三角形的顶角时，这两个三角形是等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出结论：等腰梯形的两个腰边相等。
性质3：等腰梯形的基角相等。
证明：我们可以利用同位角的性质来证明这个性质。
首先，我们将等腰梯形的两个底边延长，并在延长线上取两个点，使得两个延长线与腰边相交。
然后，连接这两个点与等腰梯形的垂线相交的点，得到两个三角形。
根据三角形的性质，我们知道，当两个角是等腰三角形的腰角时，这两个三角形是等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出结论：等腰梯形的基角相等。
性质4：等腰梯形的对角线互相垂直。
证明：我们可以利用直角三角形的性质来证明这个性质。
首先，我们可以通过等腰梯形的两个腰边延长线的交点连接两个顶角，形成一个直角三角形。
根据直角三角形的性质，直角三角形的两条边互相垂直。
因此，我们可以得出结论：等腰梯形的对角线互相垂直。
性质5：等腰梯形的对边相等。
证明：我们可以利用同位角的性质来证明这个性质。
【数学课件】等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
延长梯形的两交于一点，得到两个三 角形。如果是等腰梯形，则得到分别以梯 形两底为底的等腰三角形。
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
《等腰梯形的性质与判定》课件-苏科
06 总结与展望
课件内容总结
1 2
等腰梯形的基本性质
等腰梯形两腰相等，同一底上的两个角相等，对 角线相等且互相平分。
等腰梯形的判定方法
通过两腰相等或同一底上的两个角相等来判定等 腰梯形。
3
等腰梯形在实际生活中的应用
如桥梁、建筑等领域中广泛应用的等腰梯形结构。
学习成果检验
学生能够熟练掌握等腰梯形的基本性质和判定方法，能够灵活运用所学知识解决 实际问题。
05 解题方法与技巧
选择题解题方法与技巧
仔细审题
明确题目要求，注意关键词和 限定条件。
利用性质
根据等腰梯形的性质，如等腰梯形 同一底上的两个角相等、对角线相 等且互相平分等，进行选项筛选。
排除法
对于不确定的选项，可以利用 已知条件和性质进行排除。
验证法
对于某些需要验证的选项，可 以画出图形，标出已知量，进
日常生活
在日常生活中，等腰梯形 的形状也经常出现，如一 些家具、装饰品等的设计。
在其他学科中的应用
物理学
在物理学中，等腰梯形的形状和 性质可以用来解决一些与力学、
光学等相关的问题。
数学建模
在数学建模中，等腰梯形可以被用 来描述一些实际问题的数学模型， 如流量、浓度等问题。
计算机图形学
在计算机图形学中，等腰梯形是一 种基本的图形元素，可以用来构建 更复杂的图形和图像。
平分。
在等腰梯形中，可以作一个与上、 下底平行的中位线，该中位线将 等腰梯形分为两个面积相等的部
分。
03 等腰梯形的判定
判定一：基于边长的判定
两边相等的梯形是等腰梯形
即在一个梯形中，如果它的上底和下底平行，且两侧边相等，则该梯形为等腰 梯形。
等腰梯形的性质与判定
等腰梯形的性质与判定等腰梯形是指具有两条平行边且两组对边相等的四边形。
在几何学中，等腰梯形是一种特殊的多边形，具有一些独特的性质和判定方法。
本文将探讨等腰梯形的性质以及如何判定一个四边形是否为等腰梯形。
一、等腰梯形的性质1.等腰梯形的两底角相等：等腰梯形的两底角（非对顶角）相等。
证明如下：连接等腰梯形的两个非平行边，可以得到两个全等的三角形，根据三角形的性质可知，两个三角形的对应角相等，因此两底角相等。
2.等腰梯形的对顶角互补：等腰梯形的两对顶角互补（角的和为180度）。
证明如下：连接等腰梯形的两个对角，可以得到两个对顶的全等三角形，根据全等三角形的性质可知，两个对顶角互补。
3.等腰梯形的对边平行：等腰梯形的两条对边平行。
证明如下：连接等腰梯形的两个对顶点和两个底边的中点，可以得到一对全等的三角形和一对等腰三角形。
根据全等三角形的性质可知，两个底边的中点连线平行于顶点连线，即证得两对边平行。
二、判定一个四边形是否为等腰梯形1.判定条件一：两底边相等且两腰边相等。
如果一个四边形的两条底边相等且两条腰边相等，那么这个四边形就是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的定义，即两组对边相等。
2.判定条件二：两底角相等。
如果一个四边形的两个底角相等，那么这个四边形可能是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的性质之一，即两底角相等。
但需要注意的是，仅满足该条件并不能确定一个四边形为等腰梯形，因为它可能是其他类型的四边形，如矩形或平行四边形。
3.判定条件三：对角线平分一个角。
如果一个四边形的对角线能够平分其中一个角，那么这个四边形就是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的性质之一，即对角线平分一个角。
总结起来，判定一个四边形为等腰梯形的充分条件是：两底边相等且两腰边相等，或者两底角相等，或者对角线能够平分一个角。
但需要注意的是，这些条件并不一定都是必要条件，因为其他类型的四边形也可能满足这些条件。
结论等腰梯形是具有两条平行边且两组对边相等的四边形。
八年级数学等腰梯形的判定1
性质一：等腰梯形同一底上的两个角相等。 性质二：等腰梯形的对角线相等。 逆命题： 同一底上的两个角相等的梯形
是等腰梯形。
逆命题：对角线相等的梯形是等腰梯形。
逆命题： 同一底上的两个角相等的梯形 是等腰梯形。 A D
已知: 在梯形ABCD 中， AD//BC,
∠ B= ∠ C.
B (3) C
（2 ）
3、已知: 在梯形ABCD 中，AD//BC, E为BC中点，EF 垂直 A B， EG垂直CD，EF=EG。 求证： 梯形ABCD为等腰梯形？ A F B E D G C
逆命题：对角线相等的梯形为等腰梯形。
已知: 在梯形ABCD 中， AD//BC,AC=BD
求证： 梯形ABCD为等腰梯形。 A D
∠ACB= ∠DBC.
求证: 梯形ABCD是等腰梯形
A O B C D
请把你的收获告诉大家,
让我们一起分享!
判定一:同一底上的两角相等的梯形为
等腰梯形。
判定二:对角线相等的梯形为等腰梯形.
A B
D C
A B
A B
D
C D C B
A
D
C A B D B
A
D C
C
请各位老师提出宝贵意见
三寸人间 / 三寸人间
求证 : 梯形ABCD为等 腰梯形. (1) (2)
已知:
在梯形ABCD 中，AD//BC, ∠ B= ∠ C.
求证 :
梯形ABCD为等腰梯形.Fra bibliotekA DB
E
C
已知:
在梯形ABCD 中，AD//BC, ∠ B= ∠ C.
求证 :
梯形ABCD为等腰梯形.
A
等腰梯形的性质与判定
直角梯形
A
DBC来自（1）定义法：两条腰相等的梯形是等腰梯形。 （2）定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 （3）定理：对角线相等的梯形是等腰梯形。
A A D B B
图1
D
C
图2
C
一组对边平行而
四边形
等腰梯形
梯形
另一组对边不平行
直角梯形
二、等腰梯形的性质 (1)两底平行,两腰相等 AD∥BC, AB=CD (2)同底上两角相等 ∠A= ∠D, ∠B= ∠C (3)对角线相等 AC=BD B A D
C
(4)是轴对称图形
证明：等腰梯形同一底上两个角相等
C
等腰梯形的判定方法
1、定义法：两条腰相等的梯形是等腰梯形。
2、定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 3、定理：对角线相等的梯形是等腰梯形。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形
已知：如图， 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C。 求证：梯形ABCD是等腰梯形。 证明：如图，过点D作DE//AB，交BC于点E，则 ∠1=∠B. ∵AD//BC, DE//AB. ∴四边形ABED是平行四边形. ∴AB=DE(平行四边形对边相等). ∵ ∠B =∠C ∴∠1=∠C ∴DE=DC（等角对等边） ∴ AB=DC（等量代换） ∴梯形ABCD是等腰梯形
D
B
E
F
C
辅助线：作高
E
证明3：延长BA，CD相交点E. ∵ ∠B =∠C ∴ BE=CE(等角对等边) ∴ ∠1 =∠B, ∠2 =∠C (两直线平行，同位角相等) ∴ ∠1 =∠2 （等量代换） ∴ AE=DE(等角对等边) ∴ BE -AE=DE-CE 即AB=DC ∴梯形ABCD是等腰梯形
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是指具有两边边长相等的梯形。
在等腰梯形的性质定理和判定定理中，我们会探讨一些关于其边长，角度，和对角线的性质。
下面，我将解释等腰梯形的性质定理和判定定理，并给出它们的证明。
性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。
证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。
假设∠A和∠B是两个底角。
首先，我们可以根据等腰梯形的性质，得到AB=CD。
接着，我们可以通过等边三角形来证明∠BAD≌∠CBA。
因为AB=CD，所以三角形ABC和三角形DCA是等边三角形。
因此，∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC。
我们可以通过相邻角的和等于180度的原理，得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=180度和∠CBA+∠CDA+∠DAC=180度。
由于∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC，所以∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠BAD+∠CDA+∠DAC。
因此，根据相等的角度和等于相等的角度之和，我们得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC。
将等腰梯形的性质AB=CD和∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC代入其中，我们可以得到∠BAD=∠CBA。
因此，等腰梯形的两个底角是相等的。
性质定理2：等腰梯形的两个对角线相等。
证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。
我们需要证明AC=BD。
我们已经知道∠BAD=∠CBA。
因此，∠BAD和∠CBA是等腰梯形的两个底角，根据性质定理1，我们可以知道∠A=∠D和∠B=∠C。
我们可以通过相同边上的相等角来证明∠BAD≌∠BCD和∠ABD≌∠ACD。
因为∠A=∠D和∠B=∠C，所以AB//CD。
根据平行线的性质，我们得到∠ABD≌∠CDA和∠ACD≌∠BDA。
因此，根据等腰三角形的定义，我们可以知道三角形ABD和三角形CAD是等腰三角形。
因此，AD=BD和AC=CD。
等腰梯形的性质和判定
∴⊿ABC≌⊿DCB
∴AB=CD
∴梯形ABCD是等腰梯形
A
O B E
D
F
C
说说你是怎 样思考，并口 述证明过程？
同学们： 这节课你有什么收获呢？ 1、定义 两腰相等的梯形叫做等腰梯形 2、定理 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
3、性质
定理：等腰梯形同一底上的两个角相等 定理：等腰梯形的对角线相等
4．梯形的一组对角是80°和100°，则 另外两个角是 100°和80° ．
5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=8， BC=15，∠B=60°， 则AD= 7 ． A D
B
C
求证：对角线相等的梯形是等腰梯形
且AC=BD
已知：如图，AD∥BC，对角线ACBD交于点O，
求证：梯形ABCD是等腰梯形
D
∵梯形ABCD是等腰梯形
定理：等腰梯形同一底上的两个角相等
定理：等腰梯形的对角线相等
等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴
定理：等腰梯形同一底上的两个角相等 A 1 E B
C
D
定理：等腰梯形的对角线相等
A O B C D
试一试：
1、判断 (1)等腰梯形的两个底角相等 (2)对角线相等的四边形是等腰梯形 (3)等腰梯形只有一条对称轴 A (4)等腰梯形的对角线相等
证明：作BA、CD的延长线交点E ∵ AD∥BC， ∴ ∠ 1= ∠B，∠2= ∠C ∴ ∠ 1= ∠2 ∴ EA=ED ∵∠B=∠C ∴EB=EC即 AB=DC ∴梯形ABCD是等腰梯形
E A 1 2 D
B
C
A
腰
外 ， 你等 还腰 知梯 道形 它除 什了 么定 特义 性可 ？知 的 性 质
等腰梯形的性质
等腰梯形的性质等腰梯形是一种特殊的梯形，它具有一些独特的性质和特征。
在本文中，我们将探讨等腰梯形的定义、性质以及如何求解相关问题。
一、等腰梯形的定义等腰梯形是指两边边长相等的梯形，即上底和下底的长度相等。
它的特点是两条底边平行，而两条斜边相等。
二、等腰梯形的性质1. 对角线相等：等腰梯形的两条对角线相等。
这是因为对角线是连接两组平行边的线段，而等腰梯形的两条底边平行，所以对角线具有相等的长度。
2. 底角相等：等腰梯形的两条底边上的角相等。
底角是指顶点处的内角，由平行线的性质可知，对共线上两点之间的夹角，顶点处的内角相等。
3. 上底角和下底角互补：等腰梯形的上底和下底之间的内角互补，即它们的和为180度。
这是因为等腰梯形的两条底边平行，对共线上两点之间的夹角，角和为180度。
4. 两条斜边相等：等腰梯形的两条斜边长度相等。
这是由于等腰梯形的两条底边相等，两条斜边分别与底边平行，并且与底边相等。
三、等腰梯形的面积计算等腰梯形的面积可以通过下底、上底和高来计算。
设下底长为a，上底长为b，高为h，则等腰梯形的面积S可用以下公式表示：S = (a + b) * h / 2四、等腰梯形的应用等腰梯形在数学和几何学中有广泛的应用。
它常被用于解决与梯形相关的问题，比如求面积、计算边长等。
同时，在建筑设计、土木工程和制图等领域中也会涉及到等腰梯形的使用。
举例来说，如果我们知道一个等腰梯形的上底长度为6cm，下底长度为10cm，高为8cm，我们可以根据等腰梯形的面积公式计算出它的面积：S = (6 + 10) * 8 / 2 = 80平方厘米。
同样地，如果我们已知一个等腰梯形的上底长为12cm，下底长为16cm，面积为96平方厘米，我们可以通过等腰梯形的面积公式反推出它的高：96 = (12 + 16) * h / 2，解得h = 8cm。
综上所述，等腰梯形是一种具有特殊性质和特征的几何图形。
它的对角线相等，底角相等，上底角和下底角互补，两条斜边相等。
等腰梯形的性质与计算
等腰梯形的性质与计算等腰梯形是一种几何形状，其具有特殊的性质和计算方法。
本文将探讨等腰梯形的性质，并介绍如何计算等腰梯形的周长和面积。
一、等腰梯形的定义等腰梯形是指具有两个对边长度相等的梯形。
梯形是一种四边形，其中有两条边是平行的，分别被称为上底和下底，而其他两条边则被称为腰。
当两条腰的长度相等时，该梯形就是等腰梯形。
二、等腰梯形的性质1. 对边性质：等腰梯形的上底和下底长度相等，即AB = CD，其中AB为上底，CD为下底。
2. 对角线性质：等腰梯形的对角线分别是平行边的线段延长线的交点，即AC和BD是等腰梯形的对角线。
由此可知，AC和BD相等。
3. 底角性质：等腰梯形的底角（顶角的补角）相等，即∠BAD = ∠CDA。
4. 腰角性质：等腰梯形的腰角（顶角的补角）相等，即∠ABC = ∠CDB。
5. 高性质：等腰梯形的两腰所在直线的距离等于底边长度的一半，即EF = AC/2。
三、等腰梯形的计算方法1. 周长计算：等腰梯形的周长可以通过将上底、下底和两腰的长度相加得到。
设等腰梯形的上底为a，下底为b，腰的长度为c，则周长L可以计算为L = a + b + 2c。
2. 面积计算：等腰梯形的面积可以通过将上底、下底和高的乘积除以2得到。
设等腰梯形的上底为a，下底为b，高为h，则面积S可以计算为S = (a +b) * h / 2。
四、例题分析为了更好地理解等腰梯形的性质与计算，我们来解决一个例题。
例题：如图所示，ABCD为一个等腰梯形，已知上底AB = 8cm，下底CD = 12cm，腰AC = BD = 10cm，求等腰梯形的周长和面积。
解答：根据已知条件，我们可以计算周长和面积。
周长L = AB + CD + 2AC = 8 + 12 + 2 * 10 = 40cm。
面积S = (AB + CD) * AC / 2 = (8 + 12) * 10 / 2 = 100cm²。
因此，该等腰梯形的周长为40cm，面积为100cm²。
等腰梯形知识点总结
等腰梯形知识点总结一、定义等腰梯形是一个四边形，它具有两组对边相等的性质。
具体地说，等腰梯形的两条底边和两条斜边都是相等的。
这意味着等腰梯形的上底和下底、左斜边和右斜边是相等的。
二、性质1. 对边性质：等腰梯形的两组对边是相等的，即上底等于下底，左斜边等于右斜边。
2. 对角性质：等腰梯形的对角线交点平分底边。
3. 对角线性质：等腰梯形的对角线长度相等。
三、面积等腰梯形的面积可以通过以下公式来计算：\[ S = \frac{(a + b) \times h} {2} \]其中，a和b分别表示上底和下底的长度，h表示等腰梯形的高。
四、周长等腰梯形的周长可以通过以下公式来计算：\[ C = a + b + 2l \]其中，a和b分别表示上底和下底的长度，l表示等腰梯形的斜边的长度。
五、性质证明1. 等腰梯形的对角线性质证明：等腰梯形的两对角线相等。
我们可以证明这一性质，从而利用等腰三角形的性质来得证。
证明：连接等腰梯形上底和下底的中点，可以得到两个等腰三角形。
因为等腰三角形的性质是两个底角相等，所以等腰梯形的两对角线相等。
2. 等腰梯形的面积计算证明：等腰梯形的面积可以通过将其视为一个矩形和两个直角三角形的和来进行计算。
具体来说，我们可以将等腰梯形的上底和下底之和视为矩形的长度，高为等腰梯形的高；而等腰梯形的底边与高构成两个直角三角形，通过计算这两个直角三角形的面积并加上矩形的面积，就可以得到等腰梯形的面积。
六、应用等腰梯形在现实生活中有许多应用。
例如，等腰梯形的性质常常用于建筑和工程设计中，用来计算各种结构的面积和周长。
此外，等腰梯形的性质还可以在数学题中用来解决各种几何问题。
七、总结等腰梯形是一个重要的几何概念，具有多种性质和应用。
通过本文的介绍，我们可以了解到等腰梯形的定义、性质、面积和周长的计算方法，以及它在现实生活中的应用。
掌握了这些知识，我们可以更好地理解和运用等腰梯形的概念，在解决各种数学问题和实际应用中发挥作用。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是一种特殊的梯形，其两边斜线段长度相等，并且两个底边之间平行。
在等腰梯形中有一些重要的性质定理以及判定定理。
1.等腰梯形的性质定理：性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。
证明：设等腰梯形ABCD中的底边AB和CD的长度分别为a和b，而斜边AD和BC的长度分别为c和d。
由于等腰梯形定义为两边斜线段长度相等，即c=d，而两个底边之间平行，所以∠CAD=∠BCD，又∠ADC=∠BDC=180°-∠CAD-∠BCD，所以∠ADC=∠BDC，即等腰梯形ABCD 的两个底角是相等的。
性质定理2：等腰梯形的对角线互相垂直且平分对角线之间的角。
证明：设等腰梯形ABCD中的对角线AC和BD相交于点E。
由于等腰梯形的两边斜线段长度相等，所以AE=CE，而AE=BE，故BE=CE。
又由于两个底边之间平行，所以∠ADC=∠BDC，所以∠AEB=180°-∠ADC-∠BDC=180°-∠ADC-(180°-∠AED-∠CED)=∠AED+∠CED。
根据等腰梯形的两个底角相等性质定理，可得∠AED=∠CED，所以∠AEB=2∠AED，即等腰梯形ABCD的对角线互相垂直且平分对角线之间的角。
2.等腰梯形的判定定理：判定定理1：如果一个梯形的两个底角相等，则它是一个等腰梯形。
证明：设梯形ABCD的两个底角∠A和∠D相等。
由于两个底角相等，所以∠CAD=∠BDC。
又由于∠ADC=∠BDC，所以∠ADC=∠CAD。
根据等腰梯形的性质定理1可得等腰梯形ABCD的两个底角相等，即如果一个梯形的两个底角相等，则它是一个等腰梯形。
判定定理2：如果一个梯形的对角线互相垂直且平分对角线之间的角，则它是一个等腰梯形。
证明：设梯形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，且互相垂直且平分对角线之间的角。
由于对角线互相垂直，所以∠AEB=90°。
又因为对角线平分对角线之间的角，所以∠AEB=∠BED。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
目录
• 等腰梯形的性质定理 • 等腰梯形的判定定理 • 等腰梯形的证明方法
01
等腰梯形的性质定理
定义与特性
定义
等腰梯形是一个两腰相等的梯形。
特性
等腰梯形在同一底上的两个角相等，对角线相等且平分。
面积与周长的计算
面积计算
等腰梯形的面积可以通过上底、下底和高来计算，公式为$S = frac{(a + b)h}{2}$，其中$a$和$b$是上底和下底的长度，$h$ 是高。
判定实例
三角形中位线定理的证明
在三角形中，取两边中点连线，证明该线段平行于第三边且等于第三边的一半，可以利用等腰梯形的 性质定理进行证明。
平行四边形与等腰梯形的转换
将一个平行四边形的一组对角连接，得到一个等腰梯形，可以通过等腰梯形的性质定理证明该结论。
03
等腰梯形的证明方法
证明步骤
01
第一步
根据等腰梯形的定义，确定两腰相 等。
第三步
根据等腰梯形的性质，证明对角线 相等。
03
02
第二步
根据等腰梯形的性质，证明两底角 相等。
第四步
根据等腰梯形的性质，证明高相等。
04
证明实例
实例一
已知等腰梯形ABCD中，AB=CD， AD=BC，求证∠B=∠C。
实例二
已知等腰梯形ABCD中，AB=CD， AD=BC，求证BD=AC。
实例三
已知等腰梯形ABCD中，AB=CD， AD=BC，求证BE=CF。
周长计算
等腰梯形的周长可以通过上底、下底、两腰的长度来计算，公 式为$P = a + b + 2c$，其中$a$和$b$是上底和下底的长度， $c$是两腰的长度。
1.4等腰梯形的性质和判定
B
C
B
E
C B E
F C
性质定理2、等腰梯形的两条对角线相等。 证明定理2： 已知：梯形ABCD中，AD∥BC. 求证：AC=BD.
A D
思路1：转化方向——全等三角形．
B
思路2：转化方向——平行四边形．
C
A
DБайду номын сангаас
A
D
B
C
B
C
例题1：
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD 延长 线上一点，DE＝BC． （1）求证：∠E＝∠DBC； （2）判断△ACE的形状
解决梯形问题常用的方法：
（1）平移腰：构造平行四边形 （2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中． （3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形 中 （4）“延长两腰”：构造具有公共角的两个等腰三角 形． （5）取一腰的中点：构造全等三角形，将上底下移
学有所获
转化
新问题
老问题
等腰梯形
转化
三角形或特 殊四边形
1.4 等腰梯形的性质和判定
1．等腰梯形概念： 有两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2．等腰梯形的判定： (1)定义(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰 梯形。 3．等腰梯形的性质： 等腰梯形同一底上的两个角相等。 等腰梯形的两条对角线相等。
证明：在同一底上的两个角相等的梯形是等 腰梯形
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， ∠B=∠C．
（2008年江苏省连云港市）如图，在直角梯形纸片 中， ， ， ，将纸片沿过点D的直线折 叠，使点A落在CD边上的E点处，折痕为DF．连接EF并展开纸 片． （1）求证：四边形ADEF是正方形； （2）取线段AF的中点G，连接EG，如果 ，试说明 四边形GBCE是等腰梯形．
等腰梯形的三种判定方法
等腰梯形的三种判定方法一、等腰梯形的定义等腰梯形是一种特殊的梯形，具有两条斜边相等的特点。
它是由两个平行的底边和连接这两个底边的两个非平行边组成的四边形。
等腰梯形有很多特性和性质，能够被准确地判定。
二、判定等腰梯形的基本条件要判定一个四边形是否为等腰梯形，需要满足以下基本条件：1.两条底边平行：等腰梯形的两条底边必须平行，否则无法构成等腰梯形。
2.两条斜边长度相等：等腰梯形的两条斜边必须长度相等，才能称为等腰梯形。
三、三种判定等腰梯形的方法方法一：根据角度判定1.判断底边是否平行：通过测量底边所在直线与其他边的夹角是否相等，如果相等，则可以确认底边平行。
2.测量斜边长度：通过测量斜边的长度，并进行比较，如果两条斜边的长度相等，则可以确定为等腰梯形。
方法二：根据边长判定1.测量底边长度：通过测量两条底边的长度，并进行比较，如果两条底边的长度相等，则可以确认底边平行。
2.测量斜边长度：通过测量斜边的长度，并进行比较，如果两条斜边的长度相等，则可以确定为等腰梯形。
方法三：根据对角线判定1.连接对角线：将等腰梯形的两个非平行边的端点连接起来，形成两个对角线。
2.判断对角线是否相等：通过测量对角线的长度，并进行比较，如果两条对角线的长度相等，则可以确定为等腰梯形。
四、判定过程示例假设有一个四边形，边长分别为a、b、c、d，我们可以使用以上三种方法来判定它是否为等腰梯形：1.方法一：根据角度判定–判断底边是否平行：测量d与a的夹角和b与c的夹角，如果两对夹角相等，则底边平行。
–测量斜边长度：测量a和b的长度，如果两条斜边长度相等，则为等腰梯形。
2.方法二：根据边长判定–测量底边长度：测量a和c的长度，如果底边长度相等，则底边平行。
–测量斜边长度：测量b和d的长度，如果两条斜边长度相等，则为等腰梯形。
3.方法三：根据对角线判定–连接对角线：将a和c的端点连接成一条对角线AC，将b和d的端点连接成另一条对角线BD。
等腰梯形的性质和判定
教 学 目 标 重 难 点 教 法
等腰梯形的性质和判定
日期
1. 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念 2. 能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算，进一步培养 学生的分析能力和计算能力． 3. 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生 体会图形变换的方法和转化的思想 教学重点：等腰梯形的性质和判定． 教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确 运用辅助线）．
程
（2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． （3）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形．
平行四边 形和三角 形问题来 解决．
（4）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点， 并延长与下底延长线交于一点，构成三角形．
小结：（以提问的方式总结） （1）梯形性质和判定定理 （2）解决梯形问题的基本思想和方法．
中，
，
，求
学
分析：要证
，即可得出
过
在证明梯形性质定理时，我们采取的方法是过点 交 于 实质上是相当于把采取 平行移动到
作
以用什么样的方法 作辅助线来解决梯 形问题， 多找几名学 生回答， 然后教师总 结， 可借助多媒体演 示见图） ．
，从而把梯形问题转化成三角形来解， 的位置， 这种方法
叫做平行移动（也可移对角线），这是解决梯形问题常用的方法 之—（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中．一、等腰梯形的判定定理 例 1 ----------------------二、等腰梯形的性质定理 性质 1——————— 例 2-------------------------性质 2———————— 三、解决梯形问题常用的方法 方法的说明
教 后 记
等腰梯形的性质及计算公式
等腰梯形的性质及计算公式等腰梯形是一种特殊的四边形，在几何学中具有一些独特的性质和计算公式。
本文将详细介绍等腰梯形的性质，并探讨其计算公式的应用。
一、等腰梯形的性质等腰梯形是指两条底边平行且长度相等的梯形。
具体来说，等腰梯形具有以下性质：1. 两条底边平行且长度相等。
2. 两条斜边长度相等。
3. 两条对角线相等且垂直。
4. 两个底角（底边与斜边之间的角）相等。
5. 两个顶角（斜边之间的角）相等。
二、等腰梯形的计算公式等腰梯形的计算公式主要涉及到面积和周长的计算。
1. 面积公式等腰梯形的面积可以通过以下公式进行计算：面积 = （上底 + 下底）×高 / 2其中，上底和下底分别为上下边的长度，高为底边与对边的垂直距离。
2. 周长公式等腰梯形的周长可以通过以下公式进行计算：周长 = 上底 + 下底 + 斜边1 + 斜边2其中，斜边1和斜边2分别为等腰梯形的两条斜边的长度。
三、等腰梯形的应用示例下面通过一个具体的应用示例来展示等腰梯形的计算公式的使用。
假设有一个等腰梯形，上底长为8cm，下底长为12cm，高为5cm。
我们需要计算该等腰梯形的面积和周长。
首先，根据面积公式，我们可以计算出等腰梯形的面积：面积 = （8 + 12）× 5 / 2 = 50 平方厘米接下来，根据周长公式，我们可以计算出等腰梯形的周长：周长 = 8 + 12 + 斜边1 + 斜边2由于等腰梯形的斜边长度相等，我们可以进一步计算斜边的长度。
根据勾股定理，我们可以得到斜边的长度：斜边= √(高^2 + （下底 - 上底）^2)斜边= √(5^2 + （12 - 8）^2) = √(25 + 16) = √41 ≈ 6.40将斜边的值代入周长公式中，我们可以计算出等腰梯形的周长：周长= 8 + 12 + 6.40 + 6.40 ≈ 32.80 厘米综上所述，该等腰梯形的面积为50平方厘米，周长为32.80厘米。
四、总结等腰梯形是一种常见的几何形状，具有一些独特的性质和计算公式。
等腰梯形的判定PPT
C
Q
B
练一练
1、已知：矩形ABCD中，点E、F在边AD上， AE=FD。 A E 求证：四边形EBCF等腰梯形。
F D
B
C
2、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC， ∠1=∠2。求证：四边形ABCD是等腰梯形。
A D
1 B
2 C
E
1、判断正误：
（1）有两个角相等的梯形一定是等腰梯形. （2）两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形.
∵AB∥CD，AB≠CD ∴ 四边形ABCD是梯形 又∵AD=BC=3 ∴ 四边形ABCD是等腰梯形 梯形的证明
等腰梯形的判定：
2、判定定理： 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B＝∠C ， 求证：四边形ABCD是等腰梯形。 A D 证明：过点D作DE∥AB交BC于点E ∵DE∥AB ∴∠1＝∠B. 1 又∵∠B＝∠C ∴∠1＝∠C B C E ∴ DC＝DE 过点D作DE∥AB 又 ∵ AD∥BC ， DE∥AB ∴四边形ABED为平行四边形. 交BC于点E ∴ AB＝DE 平移一腰是梯形 ∴ AB＝DC 常用的辅助线。 ∴四边形ABCD为等腰梯形.
（3）如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是 等腰梯形. （4） 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定 是等腰梯形. （5）对角互补的梯形一定是等腰梯形.
2.有两个内角是70度的梯形一定是等腰梯 形 .
3、下列说法中，错误的是（
）
A.有一组对边平行，另一组对边相等的梯形 是等腰梯形 B.有一组对角互补的梯形是等腰梯形 C.有一组邻角相等的四边形是等腰梯形 D.同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形
已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AM=MB，DN=NC 1 求证：MN∥BC，且MN= （AD+BC） 2
等腰梯形的性质定理判定定理及证明
推导等腰梯形的判定定理
通过严格的逻辑推导，得出等腰梯形的判定定理， 为解决实际问题和进行数学研究提供有力工具。
证明等腰梯形的性质定理
通过严谨的证明过程，验证等腰梯形性质定 理的正确性，加深对等腰梯形性质的理解和 掌握。
定义与性质
等腰梯形的定义
等腰梯形是一组对边平行且不相等，另一组对边相等的四边形。
回顾与总结
等腰梯形的性质定理
等腰梯形具有一系列独特的性质，包括两腰相等、同一底上的两个角相等、对角线相等以及中位线等于上下底之和的 一半等。这些性质使得等腰梯形在数学和实际应用中具有重要地位。
等腰梯形的判定定理
要判断一个四边形是否为等腰梯形，可以根据其定义和性质进行判定。具体方法包括比较两腰的长度、检查同一底上 的两个角是否相等、验证对角线是否相等以及使用中位线的性质进行判定等。
THANK YOU
感谢聆听
03
等腰梯形的判定定理
基于边长的判定
定理
若梯形的一组对边平行且相等，则此 梯形为等腰梯形。
证明
设梯形ABCD中，AB//CD，且AB=CD。由于 AB和CD平行且相等，根据平行线的性质，我 们知道∠A+∠D=180°。又因为AB=CD，所以 ∠B=∠C。因此，∠A=∠D，从而证明了梯形 ABCD是等腰梯形。
证明
在等腰梯形ABCD中，由于∠BAD和∠CDA是内错角，因此∠BAD=∠CDA。又因为 AB=CD，AD=DA（公共边），所以△ABD≌△DCA（SAS）。从而BD=AC，即两条 对角线相等。
对称性
定理
等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线（所在直线）。
证明
在等腰梯形ABCD中，设E、F分别为AB、CD的中点，连接EF。由于AE=EB，CF=FD，且AD=BC，因此△AEF和 △BEF关于EF对称。同理，△CEF和△DEF也关于EF对称。因此，等腰梯形ABCD关于EF对称。
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A
D
A
D
符号语言：
在梯形ABCD中， ∵AD∥BC
∠B＝ ∠C
B
C
∴梯形ABCD是等腰梯形 （ 两腰相等的梯形是等腰梯形. ）
符号语言：
A
D
在梯形ABCD中， ∵AD∥BC AC＝ BD
B
C
∴梯形ABCD是等腰梯形 . （ 对角线相等的梯形是等腰梯形）
1、等腰梯形的两底之差为8，高为4，则等腰梯 形的锐角为( ) B A．30° B. 45° C．60° D．75°
（3）角：同一底边上的两个内角相等. （4）对角线：等腰梯形的两条对角线相等.
等腰梯形的性质的表示
1.等腰梯形同一底上的两角相等 几何语言： ∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD ∴∠B＝∠C（或∠A＝∠D） 2 .等腰梯形的两条对角线相等。 几何语言： ∵梯形ABCD中， AD∥BC， AB＝CD ∴AC＝BD B C
×)
×)
3、判断下列命题是否正确
①有两个角相等的梯形是等腰梯形；（ × ）
③有一组对边平行的四边形是等腰梯形； （ × ） ④有一组对角互补的梯形是等腰梯形（√ ）
A
C
A
C
A
C
B
（1）
D
B
（2）
D
B
D
（3）
×
B
②有两条边相等的梯形是等腰梯形； （
）
A
C
D
（4）
等腰梯形的性质
A
D
O
（1）对称性：轴对称图形. B 对称轴——两底中点所在直线. （2）边：两底边平行，两腰相等. C
2、等腰梯形的一个内角等于70°，则其他三 110° 110° . 个内角的度数分别为 70°
A D 70 °
B
C
常画的辅助线有以下几种： ⑴作一腰的平行线 ⑵延长两腰相交于一点 E A D A D
B
E ⑶作两条高 A D
C
B C ⑷作一条对角线的平行线 A D C B C
B
E
F
E
跟踪练习
一等腰梯形的腰长为13cm，两底差为10cm，则其 高为（ ） （A）69cm （B）12cm （C）144cm （D）25cm
每个人都带着自己明确的目标投入课堂 具体要求： 1.重点修改自己的错题： （1）从原步骤中找出错点，分析错因，尽 力改正; （2）如不能找到出错点，或无法改正，做 好标记，以备重点讨论。 2.简单梳理本节内容，回顾梯形性质及其 几何语言。
生 活 中 处 处 有 数 学
下列图形中有你熟悉的图形吗？ 它们有什么共同特点？
明确目标：
全力解决自纠过程中未解决的疑难；A、B层同学能够 理解所有的题目，并能提出新问题，总结技巧和方法， A层同学进一步总结。C层同学能准确明确本节课注意 的问题，运用等腰梯形的性质解决简单的（1） 等腰梯形的性质、判定 定理用几何语言如何描述？ （2） 解决梯形问题的基本思 路是什么？ （3） 在梯形中常见的添加辅 助线的方法有哪些？ （4）一题多解，从多角度去 思考问题。
A D A D
B 5cm
E
F
5cm
C
B
E
F
C
一路下来，我们学习了很 多新知识，也有了很多的新想 法。你能谈谈自己的收获吗？ 说一说，让大家一起来分享。
一、等腰梯形的性质: 两条腰 1、等腰梯形 相等 2、等腰梯形 同一底上的两个角相等 相等 两对角线 3、等腰梯形 相等 轴对称 4、等腰梯形是 图形 二、解梯形的基本思路和方法：通过添加适当的辅助线 ，把梯形问题转化为 平行四边形 与 三角形问题来解决。 三、等腰梯形常用辅助线的作法:
A B E D C A B E D F C B E A D C
如图，在等腰梯形ABCD中，AD//CB， AB=6，AD=5，若∠B=600,则求梯形 ABCD的周长.
A
D
600
B C
我探究 我思考 我成长 我快乐
学习目标
•1. 掌握等腰梯形性质和判定方法，并能简 单应用； •2.体会转化的数学思想； •3.感受等腰梯形的对称美.
具体要求： 1.重点讨论 （1） 等腰梯形的性质、判定定理用几何语言如何描述？ （2） 解决梯形问题的基本思路是什么？ （3） 在梯形中常见的添加辅助线的方法有哪些？ 2.先一对一讨论，再组内、组间讨论； 3.未解决的问题做好标记，点评时认真思考，整理好已经解决的问 题；灵活运用本节课的内容。
2.先一对一讨论，再组内、组间讨 论； 3.未解决的问题做好标记，点评时 认真思考，整理好已经解决的问题； 灵活运用本节课的内容。
展示内容 问题1、2 发散思维 探究一 问题3 探究二
展示
5组(前黑板) 7组(前黑板) 9组(后黑板) 11组(后黑板) 13组(后黑板)
判断 1、有一组对边平行的四边形是梯形( 2、等腰梯形的两个底角相等(