第3讲 电磁场的边界条件
(完整版)电磁场的边界条件
电磁场的边界条件姓名：学号：专业：班级：提交日期：桑薇薇0990*******通信工程电工 1401 2016.5.28成绩：电磁场的边界条件1.引言2.边界条件分类3.边界条件的作用4.结束语5.参考文献1. 引言在两种不同媒质的分界面上，场矢量E,D,B,H 各自满足的关系，称为电磁场的边界条件。
在实际的电磁场问题中， 总会遇到两种不同媒质的分界面 （例如： 空气与玻璃的分界面、导体与空气的分界面等） ，边界条件在处理电磁场问题中占据十分重要的地位。
2. 边界条件分类1、电场法向分量的边界条件如图 3.9 所示的两种媒质的分界面， 第一种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为1，1和1，第二种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为2，2和 2 。
在这两种媒质分界面上取一个小的柱形闭合面，图 3.9 电场法向分量的边界条件如图 3.9 所示，其高h 为无限小量，上下底面与分界面平行，并分别在分界面两侧， 且底面积 S 非常小，可以认为在 S 上的电位vv v移矢量 D和面电荷密度S是均匀的。
n 1 n 2分别为上下底面的外法线单位矢量， ， 在柱形闭合面上应用电场的高斯定律? v vv v S v vSSD gdS n 1 gD 1 n 2 gD 2 SS故v v v vn 1gD 1 n 2 gD 2S(3.48a)vv vvv若规定 n 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，则 n 1 n ，n2n，式 (3.48a) 可写为v vvng(D 1D 2 )S(3.48b)或D1nD2nS(3.48c)式 (3.48 ) 称为电场法向分量的边界条件。
vvv 因为 DE ，所以式 (3.48) 可以用 E 的法向分量表示v v v v1n 1gE 12 n 2 gE 2S(3.49a)或1E 1n2 E 2nS(3.49b)若两种媒质均为理想介质时， 除非特意放置， 一般在分界面上不存在自由面电荷，即S，所以电场法向分量的边界条件变为D1nD2n(3.50a)或1E1n 2E2 n(3.50b)若媒质Ⅰ为理想介质，媒质Ⅱ为理想导体时， 导体内部电场为零，即E2，D2，在导体表面存在自由面电荷密度，则式(3.48) 变为v vn 1 gD 1 D 1nS(3.51a)或1E1ns(3.51b)2 、电场切向分量的边界条件在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路 abcd ，如图 3.10 所示，该回路短边 h 为无限小量，其两个长边为l ，且平行于分界面，并分别在分界面两侧。
《电磁场》课件—第三章 静电场2(导体和介质中的静电场理论-边界条件).ppt
f
D1 ⋅ (− ∆S n) + D 2 ⋅ (∆S n) = σ f ∆S
公式的正负与D 的取向有关？
D2n − D1n = σ f （公式的正负与 nˆ 的取向有关）
B) 切向边界条件
E2t − E1t = 0
证：围绕分界面上p点作一个小的扁
E1
β ∆L 3 tˆ
的矩形
4
p 2 “小”：∆L线上的E能用点 p的 E代替
3.3 物质中的静电场
3.3.1. 导体中的静电场 1) 导体中的电子运动
金属导体中有大量的自由电子，时刻都在做不规则的微观运 动 ——热运动，当自由电子受到电场力时，还要在热运动的基 础上叠加一种有规则的宏观运动——定向运动，形成电流。
正极性的晶核相当于不动
2) 静电平衡状态——自由电子不作宏观运动
ε1 ε2
如果介质2是真空, 或空气则 σ p= P ⋅ nˆ P1
dS
• 极化电荷体密度
ρ p = −∇ ⋅ P
和高斯定理比较 : ρ = ε0∇ ⋅ E
ε1 ε2
P2 nˆ
均匀极化， ∇ ⋅ P = 0 ， 则极化体电荷为零。
4) 电位移矢量
为什么要引入 新物理量？
=D ε0 E + P
定义式
∫ ∫ ∫ ( ) ∫ qp
=
V' ρ pdV
=
V ρ pdV
=−
P⋅ d S
S
= − ∇ ⋅ P dV V
• 整块介质的极化总电荷:qp=0
复习
div P =
lim
∫S
P⋅ d S
∆V →0 ∆V
• 分界面上极化电荷面密度：作高斯面，可证
电磁场的边界条件
1)理想介质是指电导率为无穷大的导体，2)电场强度和磁感应强度均为零。
3)表面上，一般存在自由电荷和自由电流。
设区域2为理想导体，区域1为介质，有 ,,均为零，得nD 2tE 2n B 2t H 2注意：理想介质和理想导体只是理论上存在。
在实际应用中，某些媒质的电导率极小或极大，则可视作理想介质或理想导体进行处理。
电磁场的边界条件可总结归纳如下：1)在两种媒质分界面上，如果存在面电流，使 H 切向分量不连续，其不连续量由式 确定若分界面上不存在面电流，则 H 的切向分量是连续的。
2)在两种媒质的分界面上，E 的切向分量是连续的。
3)在两种媒质的分界面上，B 的法向分量是连续的。
4)在两种媒质的分界面上，如果存在面电荷，使 D 的法向分量不连续，其不连续量由 确定。
若分界面上不存在面电荷，则D 的法向分量是连续的。
n B ⋅= 1Sn H J ⨯= t SH J =0n B =⇒1Sn D σ⋅=0t E =⇒⇒10n E ⨯=⇒n SD σ= 12()Sn H H J ⨯-=12()n D D σ⋅-=：积分形式：积分形式微分形式：微分形式：电磁场的基本方程和边界条件12()0n B B ⋅-=B ∇⋅= 积分形式：微分形式：积分形式：12()0n B B ⋅-=D ρ∇⋅= 0SB d S ⋅=⎰A SD d S q⋅=⎰A 微分形式：基本方程10n B ⋅= 12()n D D σ⋅-=12()0n D D ⋅-=10n D ⋅= 边界条件积分形式。
电磁场的边界条件
§8
利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件
E1 (0, t ) E2 (0, t )
得到
A 80 V/m
（2）由 E1 1 H1 ，有 t
H1 1 1 E1x E1 ey t 1 1 z 1 ey [300sin(15 108 t 5 z ) 100sin(15 108 t 5 z )] 0
x
E0 π π π [ex cos( z ) cos(t k x x) ez k x sin( z )sin(t k x x)] 0 d d d
§8
将上式对时间 t 积分，得 z H (x, z,t ) H (x, z,t ) dt t y en πE0 π ex cos( z ) sin(t k x x) O 0 d d
H 2 ( z, t ) ey
（3）z = 0 时
H1 (0, t ) ey ey
4 30
2 [2 107 cos(15 108 t ) 107 cos(15 108 t )] 0 3 4 30 107 cos(15 108 t ) A/m
1
H 2 (0, t ) ey
§8
§08
电磁场的边界条件
§8
2.7 电磁场的边界条件 • 什么是电磁场的边界条件?
媒质1
en
• 实际电磁场问题都是在一定的物理空 为什么要研究边界条件?
间内发生的，该空间中可能是由多种不同 物理：由于在分界面两侧介质的特性参 媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分 • 如何讨论边界条件 ? 数发生突变，场在界面两侧也发 数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其 界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不 生突变。麦克斯韦方程组的微分 解是不确定的，边界条件起定解的 麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒 同媒质分界面上电磁场的基本属性。 形式在分界面两侧失去意义，必 作用。 质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁 须采用边界条件。 场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。
电磁场的源与边界条件
根据安培环路定理可得恒定磁场的磁感应强度 B 的旋度为
当有磁介质存在时，上式变为
B 0J B 0 (J JM )
式中 J 为传导电流密度， J M 为磁化电流密度。
（3）磁感应强度 B 的边界条件 将积分形式的麦克斯韦第三方程应用于如图 4 所示的圆
柱，易得
en (B1 B2 ) 0 上式表明磁感强度的法向分量是连续的。
球的极限当带电体的尺寸相对于观察点至带电体的距离可以忽略时，就可以认为电荷分布于
带电体中心上，即将带电体抽象为一个几何点。点电荷的电荷密度分布可以用数学上的 (r )
来描述。
二、 电流及电流分布
电荷做定向运动形成电流，通常以电流强度来描述其大小。在电磁理论研究中，常用到 体电流模型，面电流模型和线电流模型。 1、 体电流
移矢量的切向分量是不连续的（两种介质的 通常不等）。
3、磁感应强度 B 的散度、旋度和边界条件
（1）磁感应强度 B 的散度 根据磁通连续性原理的微分形式可知恒定磁场为无散场，故 B0
磁通连续性原理表明自然界无孤立的磁荷存在。上式即为麦克斯韦第二方程的微分形式。 （2）磁感应强度 B 的旋度
即
故有
(P1 P2 ) enS SPS
en (P1 P2 ) SP 上式表明极化强度的法向分量是不连续的。一般情况下，其切向分量也不连续。
7、磁化强度 M 的散度、旋度和边界条件
7/9
电磁场与电磁波
第二章 电磁场的基本规律
学习报告
（1）磁化强度 M 的散度
对于各向同性和线性磁介质， M m H ，由于 H 的散度为零，故
自然界中存在两种电荷：正电荷和负电荷。带电体上所带的电荷是以离散的方式分布的， 任何带电体的电荷量都是基元电荷的整数倍，但在研究宏观电磁现象时，人们关注的是大量 微观带电粒子的整体效应，因此可以认为电荷是以一定形式连续分布的，并用电荷密度来描 述电荷的分布。 1、 电荷体密度
理论整理-电磁场的源与边界条件
D E
（3） 电位移矢量 D 的边界条件 利用积分形式的麦克斯韦第四方程可得
B t
en ( D1 D2 ) S
上式表明分界面上存在自由电荷面分布时，电位移矢量的法向分量是不连续的。 对于各向同性的介质，由于 D E ，且由于电场强度 E 的切向分量是连续的，故电位 移矢量的切向分量是不连续的（两种介质的 通常不等） 。
当存在时变的位移电流时，上式变为
H J
上式即为麦克斯韦第一方程的微分形式，表明磁 场的旋度源是传导电流和时变的位移电流。 （3）磁场强度 H 的边界条件 将麦克斯韦第一方程的积分形式应用到如图 5 所示的环路，可得磁场强度的边界条件为
D t
en ( H1 H 2 ) J S
dq d dV dt dt V 此方程即为电流连续性方程的积分形式。假定闭合面 S 所限定的体积 V 不随时间变化，上
S
J dS
式变为
S V
S
J dS
dq dV V t dt
应用散度定理， J dS JdV ，上式变为
5/9
学习资料
J S en lim
l 0
i di en l dl
面电流可以看作是体电流在某一方向线度趋近于 0 的 结果。 3、 线电流 分布与横截面积可以忽略的细线上的电荷沿细线定向流动所形成的电流称为线电流， 线 电流没有线电流密度矢量。长度元 dl 中流过电流 I ，则将 Idl 成为电流元。
6/9
学习资料
2017-9-25 周报 （姬应科）
电磁场与电磁波学习报告
为 p qd ， d 由负电荷指向正电荷。以 dS 为底， d 为斜高构成一个体积元 V dS d ，如 图 6 所示。只有电偶极子中心在 V 内的正电荷才穿出面元 dS 。设电介质中单位体积的分 子数为 N ，则穿出面元 dS 的正电荷为
电磁场与电磁波第三章媒质的电磁性质和边界条件
D E B H
4.关于本构矩阵
D B
0
0 E
H
非均匀媒质：C是空间坐标的函数 不稳定媒质：C是时间坐标的函数 时间色散媒质：C是时间导数的函数 空间色散媒质：C是空间坐标导数的函数 非线性媒质： C是场强的函数
四、媒质中的麦克斯韦方程组
2. 极化强度
为了描述介质极化的状态， 引入极化强度 矢量.定义单位体积内的电偶极矩为极化强度 矢量(Polarization Intensity Vector), 即
P lim p
V 0 V
C / m2
式中 p 为体积元 V内电偶极矩的矢量和，
p 的方向从负极化电荷指向正极化电荷。
B
l E dl S t dS
因为
E dl
l
E1tl E2tl
S
B t
dSB tl Nhomakorabeah
0
故：E1t E2t 或 nˆ (E1 E2 ) 0
at
结论：在分界面上 电场强度的切向分 量总是连续的。
若媒质Ⅱ为理想导体时：
E1t 0 理想导体表面没有切向电场。
d eE
式中：
称为电子的迁移率，
e
其单位为 (m。2/V s)
故电流密度为： JC Need 可得： JC NeeeE
如图，单位时间内通过 dS的电量为：
dq Nee ddS 式中：Ne为自由电子密度。
导体材料的物态方程
JC NeeeE
若设： e Nee
令： r 1 m
B 0r H H
磁介质的物态方程
其中 r称为相对磁导率。
电磁场第3章
第3章 平面电磁波
平均坡印廷矢量Sav
对于时谐电磁场，计算一周期的平均功率流密度矢量更 有意义，平均能流密度Sav定义：
1 T 1 * Sav Sdt Re[S ] Re E H T 0 2
其中，时谐场的复数能流密度： S 1 E H * 2 下面来求坡印廷矢量的平均值Sav。时谐电磁场用复数表示为 1 j t E Re Ee Ee jt E * e jt 2
1 T 1 * Sav Sdt Re[S ] Re E H T 0 2
第3章 平面电磁波
下面从麦克斯韦方程出发，导出时变场中电磁能量的
守恒关系——坡印廷定理。
用H点乘式(2-1-16b)，用E点乘式(2-1-16a)，将所得的 两式相减，可得
H E H ( E ) E ( H ) H E E E t t
第3章 平面电磁波
上节复习
电磁场的边界条件 ：
E1t=E2t H1t-H2t=JS （JS≠0表示边界上有传导电流分布， JS=0 表示边界上无传导电流） D1n-D2n=ρS （ρS ≠0表示边界上有自由电荷分布，
ρS =0 表示边界上无）
B1n=B2n
第3章 平面电磁波
电磁场的复数表示形式 ：
S
D dS E 2π l l l
l E e 2π
第3章 平面电磁波
内外导体间电压为
U Ed
a
b
b
a
l l b d ln 2π 2π a
故
E e
U b ln a
第3章 平面电磁波
由安培环路定律得
第3讲：准静电场和准静磁场及其边界条件
6.641 电磁场、电磁力和电磁运动Markus Zahn 教授第3讲：准静电场和准静磁场及其边界条件I. 准静电场的条件A. 大小评价系数 [ 特征长度L ，特征时间τ ]图3.3.1 包含一个典型长度的模型系统，（a）电动势源驱动一对半径和间距均为L量级的理想导体球的EQS系统。
Hermann A. Haus 和 James R. Melcher赠送，经过允许。
E LE E L ρρρεεε∇⋅=⇒=⇒=2E H E EL L H H t Lεερετττ∂∇×=⇒=⇒==∂232E H H L E E t LL µµρµρµτττ∂∇×=−⇒==⇒=∂误差误差()32222;E L L L C E L C µρµρετρττ====误差 11E LEC τ<<⇒<<误差B. 由准静电场近似引入的误差估计图3.3.2 由分布在外边缘的电动势源驱动的无电阻平行板电极。
Hermann A. Haus 和 James R. Melcher 赠送，经过允许。
0Z Z VE i E i d== 000su E Z d E Z εσε−=⎧=⎨+=⎩202022su su r r d d b b K b b K dtdt dt dEσσππε+=⇒=−=−()20022c SdE dE r H ds E da H r r H t dt φφεππε∂⋅=⋅⇒=⇒=∂∫∫ dt ε da tHds E Sc⋅∂∂−=⋅∫∫µ图3.3.3 表示包含下方平板的体积和平板末梢处的径向面电流密度的图3.3.2平行板。
Hermann A. Haus 和 James R. Melcher赠送，经过允许。
图3.3.4 表示用于计算修正电场的表面和周线的图3.3.2所示子系统的截面。
Hermann A. Haus 和 James R. Melcher赠送，经过允许。
电磁场的边界条件
也可以表示为标量形式：
可见， 的切向分量在不同的媒质分界面上不连续， H 与分界面上的传导电流面密度有关。
②、E 的边界条件
en
(E1 E2 ) 0 E E 1t 2t
结论： E 切向连续。
③ D 的边界条件
1
dv
n
D2
D1 h 0
D dS
s
2
电磁场的边界条件
1 什么是边界条件？
2 为什么要研究边界条件？ 3 如何讨论边界条件？
在两种不同媒质的分界面上，场矢量E, D, B, H
各自满足的关系，称为电磁场的边界条件。
在实际的电磁场问题中，总会遇到两种不
同媒质的分界面（例如：空气与玻璃的分界面、 导体与空气的分界面等），边界条件在处理电 磁场问题中占据着十分重要的地位。
或
B 1n B 2n D 1n D 2n
2.理想导体与介质的分界面，电导率 ， 假设I为介质，II为理想导体。 此时
E 2 0 , B 2 0, D 2 0, H 2 0
en en en en
H1 Js E1 0 B1 0 D 1 ρ s
dS )
由于
D t
有限，故 lim S
h 0
D t
dS 0
而 lim
h 0
J dS
s
h 0
lim
(J S )
h 0
lim
( J e p l h ) J s e p l
en ( H 1
H2) Js
H 1t H 2t J s
数
, ,
电磁场边界条件
解：（1）磁场强度
r
Q
r E
0
H t
ex
E y z
ez
Ey x
0
H t
可求得
r
H t
E0
0
r [ex
d
cos(
d
z)
cos(t
kx)
r ez
k
sin(
d
z)sin(t kx)]
r H
r ex
0d
E0
cos(
d
z) sin(t
r kx) ez
k
0
E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
2）两导体表面的面电流密度
D2 )
0
s
相应的标量形式为
H1t H2t B1n B2n
E1t E2t D1n D2n
2.7.2 两种特殊情况的边界条件
1、理想导体表面上的边界条件
理想导体是指σ→∞，所以在理想导体内部不存在电场
。此外，理想导体内部也不存在磁场。理想导体内部不存 在电磁场，即所有场量为零。设 e是n 理想导体的外法向矢
θ1=1.09°，B1 / B2=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强 度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁感应线几乎与铁磁 材料表面垂直。
例1、在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的
电磁波，已知其电场强度为
r E
ery E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
式中k为常数，求：（1）磁场强度；（2）两导体表面的面电流 密度和面电荷密度。
s
en
D |zd
ez
D |zd
电磁场三类边界条件
电磁场三类边界条件电磁场三类边界条件电磁场的边界条件是指在介质边界处，电场和磁场的变化情况。
根据边界条件的不同，可以将其分为三类：第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件。
下面将详细介绍这三类边界条件。
一、第一类边界条件第一类边界条件也称为零法向电场和零切向磁场边界条件。
它是指在介质表面上，法向于表面的电场强度和切向于表面的磁感应强度均为零。
1. 零法向电场在介质表面上，由于介质内部和外部存在不同的电荷分布情况，因此会产生一个法向于表面方向的电场。
而当这个电场穿过介质表面时，就会发生反射和折射现象。
为了描述这种现象，我们需要引入一个重要的物理量——法向于表面方向上的电通量密度。
根据高斯定理可知，在任意一个闭合曲面内部，通过该曲面的总电通量等于该曲面所包围空间内部所有自由电荷之代数和。
因此，在介质表面附近，我们可以将其看作一个微小的闭合曲面。
则在该曲面上的电通量密度可以表示为：$$\vec{D_1}\cdot\vec{n}=\rho_s$$其中，$\vec{D_1}$表示介质1内部的电位移矢量，$\vec{n}$表示介质表面法向矢量，$\rho_s$表示表面自由电荷密度。
当我们将这个式子应用于介质表面时，可以得到：$$D_{1n}=\rho_s$$其中，$D_{1n}$表示介质1内部法向于表面方向上的电场强度。
由于介质表面上不存在自由电荷，因此$\rho_s=0$。
因此，在第一类边界条件下，法向于介质表面方向上的电场强度为零。
2. 零切向磁场在介质表面上，由于介质内部和外部存在不同的磁场分布情况，因此会产生一个切向于表面方向的磁感应强度。
而当这个磁场穿过介质表面时，就会发生反射和折射现象。
为了描述这种现象，我们需要引入一个重要的物理量——切向于表面方向上的磁通量密度。
根据安培环路定理可知，在任意一个闭合回路上，通过该回路的总磁通量等于该回路所包围空间内部所有电流之代数和。
因此，在介质表面附近，我们可以将其看作一个微小的闭合回路。
2.9 电磁场的边界条件
2.9 电磁场的边界条件自强●弘毅●求是●拓新实际电磁场问题都是在一定的空间和时间范围内发 生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状 态。
即使是无界空间中的电磁场问题，该无界空间也可 能是由多种不同介质组成的，不同介质的交界面和 无穷远界面上电磁场构成了边界条件。
边界条件： 即电磁场在不同介质的边界面上服从的条件，也可 以理解为界面两侧相邻点在无限趋近时所要满足的 约束条件。
边界条件是完整的表示需要导出界面两 侧相邻点电磁场矢量所满足的约束关系。
由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界 面两侧也发生突变。
所以Maxwell方程组的微分形式 在分界面两侧失去意义（因为微分方程要求场量连续 可微）。
而积分方程则不要求电磁场量连续，从积分 形式的麦克斯韦方程组出发，导出电磁场的边界条件把积分Maxwell方程组应用到图所表示的两媒质交界 面的扁平圆盘。
根据Gauss定理，让h→0，场在扁平 圆盘壁上的通量为零，得到： n ˆ ˆ D ds D ( n ) S D ( n S ) D 1 2 S 2 ( D2 n D1n )S s Sˆ s (D2 D1 ) n ˆ 0 (B 2 B1 ) nhr2D1 r1在介质分界面两侧，选取如图所示的积环路，应用安培环路积 分公式： D H dl H l H ( l ) ( H H ) t l ( J ) ds 1 2 1 2 l S t t N n ( H 2 H1 ) t ( H 2 H1 ) ( N n ) ˆ J N ˆ ˆ (H H ) N n2 1 sˆ ( H 2 H1 ) J s nˆ ( E 2 E1 ) 0 nD 0 E P, B 0 H Mn ( P 2 P1 ) f n (M 2 M 1 ) J mˆ s (D 2 D1 ) nn ( H 2 H1 ) J s n (B 2 B1 ) 0 ( J f J m )n ( E2 E1 ) ( f p ) / 0①任何分界面上E的切向分量是连续的 ②在分界面上有面电荷(在理想导体表面上)时，D的法向分量不 连续，其差等于面电荷密度；否则，D的法向分量是连续的 ③在分界面上若存在面电流(仅在理想导体表面上存在)，H的切 向分量 不连续 ，其差等于面电流密度；否则，H的切向分量是 连续的 ④任何分界面上B的法向分量是连续的理想介质理想介质是指 0，即无欧姆损耗的简单媒质。
第一章第三节电磁场的媒质边界条件
两种媒质界面处电场强度的切向分量相等 （无条件连续）
4 电通密度的关系
S n D 2 D1 0
• 两种媒质的界面处，电通量密度的法向分量有条件 连续。当媒质界面上没有自由电荷分布时，电通量密 度的法向分量有条件连续。 • 电场强度法向分量总是不连续的，除非两种介质的 介电常数相等。
1 , 1 , 1 0
2 , 2 , 2
小结
• 边界条件
n n n n E 2 E1 0 D 2 D1 S , 0 ,n :1 2 H 2 H1 Jl,0 B 2 B1 0
一、电磁场的边界条件
1.1 电场的边界条件 1.2 磁场的边界条件 1.3 理想导体与介质分界面上的边界条件
1.1 电场强度的边界条件
1 电场的通量和环量
B t
E dl D d S
L
S
dS
S
dV
V
2 积分环路和通量曲面的选择
• 边界条件工程应用 利用边界条件能控制电磁场的分布和 电磁波的传播，从而实现电磁波的导行， 尤且是导体表面边界条件的应用。
二、电像法
以理想导体为边界的区域中，空间电磁场 可以看成是源电荷、电流激发场与导体表面 感应电荷，电流激发场（散射场）的叠加。 在一定条件下，散射场可以等效为位于导体 区域内等效像电荷、电流激发的场，等效像 电荷、电流的分布决定于导体的边界条件。 这种通过寻找像电荷电流求解空间区域电磁 场分布的方法称为镜像法。
§1.3 电磁场的媒质边界条件
• 边界条件问题的由来； • 什么是边界条件； • 边界条件如何求得； • 具体边界条件形式； • 边界条件工程应用。 一、电磁场的边界条件 二、电像法
电磁场的边界条件
H 2 x 1 E2 y = t 2 z
,
H1' x 1 E1' y = t 1' z
对绝大多数物质， 对绝大多数物质， 1 ≈ 2
所以得到方程： 所以得到方程：
E1 y z + E1' y z = E2 y z
z =0
⑥
代入边界条件，可得： 代入边界条件，可得：
k1 cos θ1 A1s k1' cos θ1' A1' s = k2 cos θ 2 A2 s
+ω1' A1' s e
②
z =0
= ω2 A2 s e
比较① 我们发现两边同时成立的条件为： 比较① 、②，我们发现两边同时成立的条件为：
ω1 = ω1' = ω2
将
ω1 = ω1' = ω2
代入① 化简，可得： 代入①，化简，可得：
A1s e
i ( k1 sin θ1 x )
+ A1' s e
∴ E1t = E2t 同理可得 H1t =H 2t
针对麦克斯韦 方程组积分形 式的第三个与 第四个方程， 第四个方程， 建立如左图模 型，积分可得
B ds ∵ ∫∫ × E ds = ∫ E dl = ∫∫ v l s t =∫
AB + BC + CD + DA
E dl = E1t AB + ( E1n BE + E2 n EC )
电磁场的边界条件
麦克斯韦方程组的积分形式
B = 0
D = ρ
D × H = J + t
B × E = t
针对麦克斯韦 方程组积分形 式的第一个与 第二个方程， 第二个方程， 建立如左图模 型，积分可得
第3讲 电磁场的边界条件
en E1 0 en D1 S
第三讲 电磁场的边界条件
三、几种常见边界条件
2、恒定电场的边界条件
场矢量的边界条件
en
媒质1 媒质2
S
J dS 0 E dl 0
1
E1
C
en ( J1 J 2 ) 0 en ( E1 E2 ) 0
第三讲 电磁场的边界条件
第三讲
电磁场的边界条件
第三讲 电磁场的边界条件
三个问题
问题一：什么是电磁场的边界条件?
问题二：为什么要研究边界条件 ?
问题三：如何讨论边界条件 ?
第三讲 电磁场的边界条件 什么是电磁场的边界条件?
电介质
q
E=0 E≠0
q
介质球
ε ε0
导体球
导体球表面： E=？
D(r ) er
第三讲 电磁场的边界条件 为什么要研究边界条件 ?
物理：由于在分界面两侧介质的特性参
数发生突变，场在界面两侧也发 生突变。麦克斯韦方程组的微分
媒质1 媒质2
en
形式在分界面上失去意义，必
须采用边界条件。
数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其 解是不确定的，边界条件起定解的 作用。
第三讲 电磁场的边界条件 如何研究边界条件 ?
1
E1
1
E2
2
2
• 两种电介质分界面
en ( E1 E2 ) 0 en (D1 D2 ) 0
• 场矢量的折射关系
• 导体与电介质分界面
tan 1 E1t / E1n 1 / D1n 1 tan 2 E2t / E2n 2 / D2n 2
电磁场三类边界条件
电磁场三类边界条件介绍在电磁学中，边界条件是解决电磁场问题时的重要问题之一。
电磁场三类边界条件指的是麦克斯韦方程组在不同介质之间的边界上的满足条件。
这些条件在电磁场问题的求解中起到了关键的作用。
在本文中，我们将详细探讨电磁场三类边界条件的定义和应用。
一、第一类边界条件第一类边界条件也称为电磁场的法向边界条件。
其主要定义了电场和磁场在边界上的法向分量之间的关系。
具体表达如下：1.在介质边界上，电场的法向分量E n1和E n2满足：E n1=E n2；2.在介质边界上，磁场的法向分量H n1和H n2满足：H n1=H n2。
第一类边界条件体现了介质边界上的电场和磁场的连续性。
二、第二类边界条件第二类边界条件也称为电磁场的切向边界条件。
其主要定义了电场和磁场在边界上的切向分量之间的关系。
具体表达如下：1.在介质边界上，电场的切向分量E t1和E t2满足：E t1ϵ1=E t2ϵ2；2.在介质边界上，磁场的切向分量H t1和H t2满足：H t1μ1=H t2μ2。
其中，ϵ1和ϵ2分别为两个介质的介电常数，μ1和μ2分别为两个介质的磁导率。
第二类边界条件体现了介质边界上的电场和磁场的连续性和切向分量之间的比例关系。
三、第三类边界条件第三类边界条件也称为电磁场的混合边界条件。
其主要定义了电场和磁场在边界上的法向分量和切向分量之间的关系。
具体表达如下：1.在介质边界上，电场的法向分量E n1和E n2满足：E n1=E n2；2.在介质边界上，磁场的法向分量H n1和H n2满足：H n1=H n2；3.在介质边界上，电场的切向分量E t1和E t2满足：E t1ϵ1=E t2ϵ2；4.在介质边界上，磁场的切向分量H t1和H t2满足：H t1μ1=H t2μ2。
第三类边界条件综合了第一类和第二类边界条件，体现了介质边界上的电场和磁场的连续性以及法向分量和切向分量之间的比例关系。
四、应用举例电磁场三类边界条件在电磁学中的应用非常广泛，下面我们以几个实际问题为例，说明其应用方法：例一：平行板电容器考虑一对平行金属板构成的电容器，两板之间填充了介电常数为ϵ的均匀介质。
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tan1 H1t / H1n 1 / B1n 1 tan2 H2t / H2n 2 / B2n 2
第三讲 电磁场的边界条件
【例1】 电介质透镜可以用来使电场平直化。如 图所示电介质透镜左侧表面为圆柱面，右侧表面 为平面。若区域1中点P(r,45°,z）处电场为
E1 e 5 e 3 为了使区域3中的电场 E3 与x轴平行，则透镜电介
• 场矢量的折射关系
tan1 E1t / E1n 1 / D1n 1 tan2 E2t / E2n 2 / D2n 2
en E1 0
en D1 S
第三讲 电磁场的边界条件
三、几种常见边界条件
2、恒定电场的边界条件
场矢量的边界条件
S J dS 0 C E dl 0
第三讲 电磁场的边界条件
三、几种常见边界条件
1、静电场的边界条件
• 一般形式
en (E1 E2 ) 0
en (D1 D2 ) S
• 两种电介质分界面
媒质1
en 1
E1
1
媒质2 E2
2
2
en (E1 E2 ) 0
• 导体与电介质分界面
en (D1 D2 ) 0
质相对介电常数应为多少？
【解】由边界条件，若 E3 平行于x轴，则E2也必平行于x轴。 在左侧圆柱面分界面上，由电场边界条件：
E1t E2t E1 E2 E2 3
D1n D2n 1E1 2 E2 E2
要使合成波E2 平行于x轴，则必有
5
r2
第三讲 电磁场的边界条件
三、几种常见边界条件
3、恒定磁场的边界条件
一般形式
en (H1 H2 ) JS en (B1 B2 ) 0
两种磁介质分界面
媒质1
en 1
H1
1
媒质2
H2 2
2
en (H1 H2 ) 0
en (B1 B2 ) 0
场矢量的折射关系
同理得 en (E1 E2 ) 0 或 E1t E2t
第三讲 电磁场的边界条件
一、边界条件的一般表达式
3、麦克斯韦方程组与边界条件的对比
H J D t
E B t
B 0
D
en (H1 H2 ) J S en (E1 E2 ) 0
E1(0,t) ex[60 cos(15108t) 20 cos(15108t)]
ex80 cos(15108t) V/m
E2 (0,t) ex A cos(15108t) V/m
A 80 V/m
由边界条件
E1(0, t) E2 (0, t)
第三讲 电磁场的边界条件
5z)
2 3
107
cos(15 108 t
5z)]
A/m
同样，由
E2
2
H 2 t
，得
H 2 ( z, t)
ey
4
30
107
cos(15 108 t
5z)
A/m
第三讲 电磁场的边界条件
（3）z = 0 时
H1 (0, t )
ey
1
0
[2 107
cos(15 108 t )
【例 3】如图所示，1区的媒质参数为 1 50、1 0、1 0,
2场区强的度媒为质E参2 数e为x 2y2ey 50、z e2z
0、 2
(3 z) V/m
0。若已知自由空间的电
试问关于1区中的 E1和D1能求得出吗？
2区
O
x
【解】根据边界 条件，只能求得边界面
第三讲 电磁场的边界条件
一、边界条件的一般表达式
2、边界条件的推证
• 电磁场量的切向边界条件
媒质1
en Δl
H1
en (H1 H2 ) JS
N
Δh
推证出发点： H dl (J D ) dS
C
S
t
媒质2
H2
在介质分界面两侧，选取如图所示
的小环路，令Δh →0，则
er
q 4πr 2
(0
r
)
E(r)
er er
q (0 r a)
4π r2
q
4π 0 r 2
(a
r
)
实际电磁场问题都是在一定的 物理空间内发生的，该空间中可能 是由多种不同媒质组成的。边界条 件就是不同媒质的分界面上的电磁 场矢量满足的关系，是在不同媒质 分界面上电磁场的基本属性。
第三讲 电磁场的边界条件 为什么要研究边界条件 ?
物理：由于在分界面两侧介质的特性参 数发生突变，场在界面两侧也发 生突变。麦克斯韦方程组的微分 形式在分界面上失去意义，必 须采用边界条件。
en
媒质1
媒质2
数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其 解是不确定的，边界条件起定解的 作用。
第三讲 电磁场的边界条件
媒质2中的电场强度为
E2
(
z,
t
)
ex
A
cos(15
108
t
50
z
)
V/m
（1）试确定 常数A的值;（2）求磁场强度 H1(z, t) 和 H 2 (z, t) ；
（3）验证 H1(z, t) 和 H 2 (z, t) 满足边界条件。
【解】（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0 处，有
ΔS
en
D1
S P Δh
D2
令Δh →0，由 D S S
即 en (D1 D2 ) S 或 D1n D2n S
同理 ，由 B dS 0 S
en (B1 B2 ) 0 或 B1n B2n
en (B1 B2 ) 0
en (D1 D2 ) S
第三讲 电磁场的边界条件
二、两种特殊媒质的边界条件
1、两种理想介质分界面上的边界条件
两种理想介质分界面上，无电荷和电流分布，即JS =0、ρS =0，故
n (H1 H2 ) 0 H1t H2t H的切向分量连续
D dS
S
ρdV
V
en
媒质1
H1、B1、E1、D1
媒质2
H2、B2、E2、D2
分界面上的传导面电流密度
en (H1 H2 ) JS en (E1 E2 ) 0 en (B1 B2 ) 0
en (D1 D2 ) S
分界面上的自由电荷面密度
由
C H dl
S (J
D ) dS t
(H1 H2 ) l JS Nl
(H1 H2 ) l (H1 H2 ) (N en )l [en (H1 H2 )] Nl en (H1 H2 ) JS 或 H1t H2t JS
E1x 2 y, E1y 5x
D1x 1E1x 10 0 y, D1y 1E1y 25 0 x
第三讲 电磁场的边界条件
又由 en (D1 D2 ) 0，有
ez [ex D1x ey D1y ez D1z (ex D2x ey D2 y ez D2z ]z0 0
（2）由
E1
1
H1 t
，有
H1 t
1
1
E1
ey
1
1
E1x z
ey
1
0
[300 sin(15108t
5z) 100 sin(15 108t
5z)]
将上式对时间 t 积分，得
H1 ( z, t )
ey
1 0
[2 107
cos(15 108 t
则得
D1z z0 D2z z0 0 (3 z) z0 30
E1z
z0
D1z
1
z0
3 0 5 0
3 5
最后得到
E1(x, y,0) ex 2 y
D1
(
x,
y,0)
ex10
ey5x
0 y ey
ez
3 5
25
0
x
ez
en (J1 J2 ) 0 en (E1 E2 ) 0
媒质1
en 1
E1
1
媒质2 E2
2
2
导电媒质分界面上的电荷面密度
S en (D1
场矢量的折射关系
D2 )
en
( 1 1
J1
2 2
J2)
( 1 1
2 2
)Jn
tan 1 E1t / E1n 1 / J1n 1 tan 2 E2t / E2n 2 / J 2n 2
问题：什和么S情？况下分界面上有JS
第三讲 电磁场的边界条件
一、边界条件的一般表达式
2、边界条件的推证
• 电磁场量的法向边界条件
en (D1 D2 ) S
推证出发点： D dS ρdV
S
V
在两种媒质的交界面上任取一点P，