2018-2019学年江苏省扬州中学高一下学期期中考试数学
2018-2019学年江苏省扬州中学高一下学期期中考试 数学
一、选择题(每小题5分,合计50分)
1.若直线过点(3,-3)和点(0,-4),则该直线的方程为( ★ ) A .y =
33x -4 B. y =33x +4 C . y =3x -6 D. y =3
3x +2 2. 不等式
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x
x -<+的解集为( ★ ) A. {}12>- } 12<<-x x C. {} 21>- 21<<-x x 3.如果A (3, 1)、B (-2, k )、C (8, 11)在同一直线上,那么k 的值是( ★ ) A. -6 B. -7 C. -8 D. -9 4.下列四个命题中错误的是( ★ ) A .若直线a ,b 互相平行,则直线a ,b 确定一个平面 ( B .若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线 C .若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线 D .两条异面直线不可能垂直于同一个平面 5. 在△ABC 中,a =12,b =13,C =60°,此三角形的解的情况是( ★ ) A .无解 B .一解 C . 二解 D .不能确定 6.设m ,n 是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题: ① ? ??? ?α∥βα∥γ?β∥γ;② ? ??? ?α⊥β m ∥α?m ⊥β;③ ? ??? ?m ⊥αm ∥β?α⊥β;④ ? ??? ?m ∥n n ?α?m ∥α.其中正 确的命题是( ★ ) A .①④ B .②③ C .①③ D .②④ 7. 在△ABC 中,若B b A a cos cos =,则△ABC 的形状是( ★ ) @ A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形 8.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是AD 的中点,则异面直线C 1E 与BC 所成的角 的 余弦值是( ★ ) A. 13 C. 10 5 9.已知b>a >0且a +b=1,则有 ( ★ ) A . a ab b a b >>>+>2122 2 B . a ab b a b >>>+>22 1 22 C . ab a b b a 22 1 22 >>> >+ D . a 2+b 2>b >a >12>2a b 10.三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面,且BC AB ⊥,21===AA BC AB ,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ★ ) A .π48 B .π32 C .π12 D .π8 二、填空题(每小题5分,合计30分). % 11.不等式2680x x -+->的解集为___▲____. 12.若圆锥的母线长是5,高是 4,则该圆锥的体积是__▲____. 13.过点)1,2(-P ,在x 轴上和y 轴上的截距分别是b a ,且满足b a 3=的直线方程为 ___▲____. 14. 若钝角三角形ABC 三边长分别是,1,2()a a a a N ++∈,则三角形ABC 的周长为__▲___. 15.已知直线l :320mx y m -++=()m R ∈,则l 恒过定点___▲____. 16. 在ABC ?中,若sin 2cos cos C A B =,则22 sin sin A B +的最小值为_ ▲ _. 三、解答题(10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分) 17.(5分+5分)在直三棱柱111C B A ABC -中, AB BC ⊥, D 为棱1CC 上任一点. (1)求证:直线11A B ∥平面ABD ; (2)求证:平面ABD ⊥平面11BCC B . ( 18. (4分+8分)在锐角ABC △中,已知22 sin A = . (1) 求cos()B C +的值; (2) 若2a =,2ABC S =△,求b 的值. 19. (6分+6分)如图所示,已知AB 为圆O 的直径,点D 为线段AB 上一点,且AD=DB ,点C 为圆O 上一点,且BC=AC .点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ,PD=DB . (1)求证:PA ⊥CD ; (2)求二面角C ﹣PB ﹣A 的余弦值. 20.(4分+8分)直线l 过点)1,2(-P 且斜率为k k (>)1,将直线l 绕P 点按逆时针方向旋转45°得直线m ,若直线l 和m 分别与y 轴交于Q ,R 两点.(1)用k 表示直线m 的斜率;(2)当k 为何值时,PQR ?的面积最小并求出面积最小时直线l 的方程. — 21.(4分+8分)如图,公园里有一湖泊,其边界由两条线段AB ,AC 和以BC 为直径的半圆弧BC ⌒组成,其中AC 为2百米,AC ⊥BC ,∠A 为π 3.若在半圆弧BC ⌒,线段AC ,线段AB 上各建一个观赏亭D ,E ,F ,再修两条栈道DE ,DF ,使DE ∥AB ,DF ∥AC .记∠CBD =θ(π3≤ θ<π2 ). (1)试用θ表示BD 的长; (2)试确定点E 的位置,使两条栈道长度之和最大. 22. (6分+6分)已知函数21 ()21 x x f x -=+, (1)若存在0,2πθ??∈???? ,使得不等式22 (sin sin )(2sin )f f k θθθ-<-有解,求实数k 的 取值范围; (2)若函数()g x 满足[]()()222x x f x g x -?+=-,若对任意x ∈R 且0x ≠,不等式 (2)()10g x m g x ?-≥恒成立,求实数m 的最大值. 高一数学期中试卷答案 一选择题: (第21题图) A C D C B C D A B C \ 二、填空题: 11. {} 24x x << 12. π12 13. 013=++y x 或02=+y x ; 14. 9 15. (2,3)- 16. 32 2 - 三、解答题: 17. (1)证明:由直三棱柱111C B A ABC -,得11 //A B AB ………………………………2分 11ABD,AB ABD,A B ??而面面 11//ABD, A B 所以平面………………………5分 (2)因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以1AB BB ⊥,又AB BC ⊥, 而1BB ?面11BCC B ,BC ?面11BCC B ,且1BB BC B =, 所以AB ⊥面11BCC B ……………8分 又AB ABD ?面,所以平面ABD ⊥平面11BCC B …………………………………10分 】 18. 解:(1)因为锐角△ABC 中,22sin 3 A =,所以1cos 3 A = 又A +B +C =π , 所以1 cos()cos 3 B C A +=-=-. ……….4分 (2)1122sin 22ABC S bc A bc ?==?,12222bc ∴?=,即3 c b =, ……….6分 将2a =,1cos 3A =,3 c b = 代入余弦定理:222a b c 2bccosA =+-得: 42690b b -+=, ……….11分 即b =3. ………..12分 19. 解析:(1)连接OC ,由AD=BD 知,点D 为AO 的中点, 又∵AB 为圆的直径,∴AC ⊥BC , ~ ∵ AC=BC ,∴∠CAB=60°, ∴△ACO 为等边三角形,∴CD ⊥AO . ……….2分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ?平面ABC , ∴PD ⊥CD ,PD ∩AO=D , ∴CD ⊥平面PAB ,PA ?平面PAB , ∴PA ⊥CD . ……….6分 (2)过点D 作DE ⊥PB ,垂足为E ,连接CE , 由(1)知CD ⊥平面PAB ,又PB ?平面PAB , ∴CD ⊥PB ,又DE ∩CD=D , … ∴PB ⊥平面CDE ,又CE ?平面CDE , ∴CE ⊥PB , ∴∠DEC 为二面角C ﹣PB ﹣A 的平面角.……….9分 设AB=4,则由(1)可知CD=,PD=BD=3, ∴PB=3 ,则DE= = , ∴在Rt △CDE 中,tan ∠DEC==, ∴cos ∠DEC=15,即二面角C ﹣PB ﹣A 的余弦值为15.……….12分 / 20. 解:(1)设直线l 的倾斜角为α,则直线m 的倾斜角为?+45α, k k k m -+= -+= +?=11tan 1tan 1)45tan(ααα ………4分