高考湖北理科数学试题及答案word解析版

２013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷）

数学（理科)

一、选择题:本大题共10小题,每小题５分,共５0分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

(１)【２0１3年湖北,理1，5分】在复平面内，复数2i

1i

z =+（i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（ ）

（A)第一象限 (B ）第二象限 (Ｃ)第三象限 （D ）第四象限 【答案】D

【解析】2i

i(1i)1i 1i

z ==-=++，则1i z =-，其对应点()1,1Z -位于第四象限,故选D.

（２）【20１3年湖北,理2，5分】已知全集为R ,集合1

{()1}2

x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤,则A B =R ( )

（A){0}x x ≤ （B){24}x x ≤≤ （Ｃ）{024}x x x ≤<>或 (Ｄ){024}x x x <≤≥或 【答案】C

【解析】∵2

6802,4x x x x -+>?<>，1102x

x ??

≤?≥ ???

，∴A B =R {024}x x x ≤<>或，故选C.

(3）【2013年湖北,理3,5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”，q

是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） （Ａ)()p ?∨()q ? （B ）p ∨()q ? (C)()p ?∧()q ? (D ）p ∨q

【答案】A

【解析】因为p 是“甲降落在指定范围”,ｑ是“乙降落在指定范围”,则p -是“没有降落在指定范围”,q -是“乙 没有降落在指定范围”,所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ?∨()q ?，故选A.

(4）【2013年湖北,理4，5分】将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到

的图象关于y 轴对称，则ｍ的最小值是（ ) (A)π12 （B ）π6 (C ）π3 （D ）5π6

【答案】B

【解析】因为sin ()y x x x +∈R 可化为()2cos()6

y x x R π=-∈,将它向左平移6π

个单位得

2cos ()2cos 66y x x ππ?

?=+-=???

?，其图像关于y 轴对称,故选B ．

（5）【2013年湖北,理５，5分】已知π

04

θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C :222221sin sin tan y x θθθ-=的

（ ）

?(Ａ）实轴长相等 (B)虚轴长相等 （C)焦距相等 (D)离心率相等 【答案】D

【解析】对于双曲线1C ，有1sin cos 222=+=θθc ,θ

cos 1

==a c e ． 对于双曲线2C ，

有θθθθθ222222tan sec sin )tan 1(sin =?=+=c ,θ

θθcos 1sin tan ===a c e ．

即这两双曲线的离心率相等,故选D ．

（6)【2０1３年湖北，理6，５分】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的

投影为( ）

（A （Ｃ）

(D)【答案】Ａ

【解析】2,1AB =（）,5,5CD =（）,则AB 在CD

方向上的射影为cos AB CD AB CD

θ?=

=

=

=

故选Ａ．

（7)【２013年湖北，理７，５分】一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度25()731v t t t =-+

+

(t 的单位:s ,v 的单位:m ／s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m ）是( )

（A ）125ln5+ (B ）11

825ln 3

+ (C ）425ln5+ (Ｄ）450ln2+

【答案】Ｃ

【解析】令25()731v t t t =-++=0，解得4t =或8

3

t =-（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止,在此期间汽车

继续行驶的距离为4

442000

253()d (73)d 725ln(1)425ln 512v t t t t t t t t ??

=-+==-++=+ ?+????,故选C ． (8)【2０1３年湖北,理８，5分】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单

几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体,则有（ )

(A ）1243V V V V <<< （B)1324V V V V <<< （C ）2134V V V V <<< （Ｄ)2314V V V V <<< 【答案】C

【解析】显然23V V <，所以Ｂ不正确． 又2217

(2121)33

V ππ=++?=，22122V ππ=??=，

3328V ==,224128

(4242)33

V =++?=

,从而2134V V V V <<<,故选C. （9)【2０13年湖北，理9，5分】如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小

的小正方体．经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ，则X 的均值 ()E X =（ )

(Ａ）126125 （B ）65

（C)168125 (Ｄ）75

【答案】B

【解析】１25个同样大小的小正方体的面数共有1２５×6＝750，涂了油漆的面数有25×6=1５0．

每一个小正方体的一个面涂漆的频率为15017505=，则它的涂漆面数为X 的均值()E X =16

655

?=，故选

B. (10）【201３年湖北,理10,５分】已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <,则( ）

（A)1()0f x >，21()2f x >- (B ）1()0f x <，21

()2f x <-

（C)1()0f x >，21()2f x <- (D ）1()0f x <，21

()2

f x >-

【答案】D

【解析】'()ln 12f x x ax =+-，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点,得'()0f x =有两个不等的实数解，即

ln 21x ax =-有两个实数解，从而直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点. 过点()0,1-作ln y x =的

切线,设切点为()00,x y ，则切线的斜率01k x =,切线方程为01

1y x x =-．切点在切线上，则000

10x y x =-=,

又切点在曲线ln y x =上，则00ln 01x x =?=,即切点为()1,0,切线方程为1y x =-. 再由直线21

y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，如图所示，其斜率2a

满足：021a <<，解得1

02

a <<. 则这函数的两个极点12,x x 满足1201x x <<<,所以12()(1)()f x f f x <<，

而1(1)(,0)2f a =-∈-，即12()

()f x a f x <-<，所以121

()0,()2

f x f x <>-，故选D ．

二、填空题:共6小题，考生需作答５小题,每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．

答错位置,书写不清,模棱两可均不得分．

(一）必考题(１１-１4题）

（１1)【2013年湖北，理1１，５分】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现

其用电量都在50至３50度之间，频率分布直方图如图所示(1）直方图中x 的 值为_________;(2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数 为 .

【答案】(1)０．0044 （2）70

【解析】（1)1

[150(0.00600.003620.00240.0012)]0.004450

x =-++?+=．

（2)用电量落在区间[100,250)内的户数为(0.00360.00600.0044)5010070++??=．

(1２)【2013年湖北,理1２，5分】阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果

i = .

【答案】5 【解析】已知初始值10,1a i ==，∵104a =≠，则执行程序，得5,2a i ==；因为54a =≠，

则执行程序,得16,3a i ==;164a =≠,则第三次执行程序，得8,4a i ==；∵84a =≠，则第四次执行程序，得4,5a i ==;∵4a =,执行输出i ，5i =．

（１３)【2０1３年湖北，理13,5分】设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++=

则x y z ++= ．

【解析】由柯西不等式得2222222()()1(23)32x y z x y z ≥＋＋＋＋＋＋当且仅当

123

x y z

==时等号成立,此时2y x =，

3z x =.∵2221x y z ＋＋=,23x y z =++∴x =，y =，z =∴x y z ++= （１4）【2013年湖北，理14,5分】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数１，3,6，

10，，第n 个三角形数为2(1)11

222

n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥,以下列出了部分ｋ边

形数中第n 个数的表达式:三角形数 211

(,3)22

N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数

231

(,5)22

N n n n =-,六边形数 2(,6)2N n n n =-,…………可以推测(,)N n k 的表达式,由此计算

(10,24)N =___＿___＿.

【答案】1０00

【解析】由题中数据可猜想:含2n 项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是1

2

，公

差是12-的等差数列,因此22111124()33222222N n k k k k n k n n n ??

--????=+(-)++(-)-=

+ ???????????，． 故()2210,241110111010101000N n n =-=?-?=.

（一)选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用

2B 铅笔涂黑，如果全选,则按第15题作答结果计分.)

（15）【20１3年湖北，理1５,5分】（选修4－１：几何证明选讲)如图,圆O 上一点C 在直径AB 上

的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若3AB AD =，则CE

EO

的值为_＿____＿．

【答案】８

【解析】根据题设，易知3OC AO DO ==，Rt Rt Rt ODE DCE OCD ???∽∽，∴3

1

OD CD OC OE DE OD ===,

即39CO OD OE ==，在Rt ODE ?中,22222298DE DO OE OE OE OE =-=-=,在Rt CDE ?中,

2

2

2

2

2

2

2

9864CE CD DE DE DE DE OE =-=-==,即22

64CE EO =,∴8CE

EO

=． （16)【2０１３年湖北,理１6,5分】（选修４-4:坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为

cos ,

sin x a y b ??=??

=?

（?为参数,0a b >>）．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点Ｏ为极点，以x 轴 正半轴为极轴）中，直线l 与圆O

的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=(m 为非零常数）与

b ρ=． 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为? .

【解析】椭圆C 的方程可以化为22

221x y a b

+=，圆O 的方程可化为222x y b +=，直线l 的方程可化为x y m +=,因

为直线l 经过椭圆的焦点，且与圆O 相切，则c m =

，b =

，a =

=,所以椭圆的离心

率c e a ===

三、解答题：共6题,共75分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (17）【2013年湖北，理17,1１分】在△ABC 中,角A ,B ，C 对应的边分别是a ，b ,c . 已知cos23cos()1A B C -+=．

错误!未定义书签。 (１)求角A 的大小;

（2）若△ABC

的面积S =5b =,求sin sin B C 的值.

解:(1)由cos23cos()1A B C -+=,得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=,解得1

cos 2

A =或

cos 2A =-(舍因为0πA <<,所以π

3

A =．

（2

）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =.又5b =，知4c =.

由余弦定理故a .

又由正弦定理得222035

sin sin sin sin sin 2147

b c bc B C A A A a a a =?==?=．

（18)【2013年湖北,理18,12分】已知等比数列{}n a 满足:23||10a a -=，123125a a a =.

(1）求数列{}n a 的通项公式； （2)是否存在正整数m ，使得

12

111

1m

a a a +++

≥？若存在，求m 的最小值;若不存在，说明理由． 解：（１）设等比数列{}n a 的公比为q,则由已知可得33

12

11125||10a q a q a q ?=??-=??,解得1533

a q ?=

???=?，或151a q =-??=-?． 故15

33

n n a -=?，或15(1)n n a -=-?-．

(２)若15

33

n n a -=?，则1131()53n n a -=?,故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，

从而131

[1()]

191953[1()]111031013

m m

m n n

a =?-==?-<<-∑.若1(5)(1)n n a -=-?-，则111(1)5n n a -=--,

故1{}n a 是首项为1

5-，公比为1-的等比数列，从而11,21()1502()

m

n n m k k a m k k +=+?-=-∈?=??=∈?∑,N N ,故111m n n a =<∑.

综上,对任何正整数m ，总有1

1

1m

n n

a =<∑

．故不存在正整数m ，使得12111

1m

a a a ++

+

≥成立. （１９）【2013年湖北,理１9，１2分】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，

直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ,PC 的中点．

（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以

证明;

(2）设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足1

2

DQ CP =． 记直线PQ

与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的 大小为β，求证:sin sin sin θαβ=．

解:(1）直线l ∥平面PAC ,证明如下:

连接EF ，因为E ,F 分别是PA ,PC 的中点,所以EF ∥AC ． 又EF ?平面ABC ， 且AC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．而EF ?平面BEF ，且平面BEF 平面 ABC l =,所以EF ∥l . 因为l ?平面PAC ，EF ?平面PAC ,所以直线l ∥平面PAC . （2）解法一:(综合法）

如图，连接BD ,由(１）可知交线l 即为直线BD ,且l ∥AC .因为AB 是O 的直径, 所以AC BC ⊥,于是l BC ⊥．已知PC ⊥平面ABC ，而l ?平面ABC ,所以PC l ⊥． 而PC BC C =,所以l ⊥平面PBC ．连接BE ，BF ,因为BF ?平面PBC ，所以l BF ⊥.

故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=．由12DQ CP =,作DQ ∥CP ，且1

2

DQ CP =.

连接PQ ,DF ,因为F 是CP 的中点,2CP PF =,所以DQ PF =，从而四边形DQPF 是平行四边形， PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ,所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影，

故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角,即CDF θ∠=.又BD ⊥平面PBC ,有BD BF ⊥, 知BDF ∠为锐角,故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=,于是在Rt △DCF ,

Rt △FBD ，Rt △BCF 中,分别可得sin CF DF θ=，sin BF DF α=,sin CF

BF

β=, 从而sin sin sin CF BF CF

BF DF DF

αβθ=?==,即sin sin sin θαβ=．

解法二:（向量法）

如图,由12DQ CP =，作DQ ∥CP ,且1

2

DQ CP =．连接PQ ，EF ，BE ，BF ,BD ,

由（1)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点,向量,,CA CB CP 所在直线分别为 ,,x y z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有

(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ，1

(,0,),(0,0,)2

E a c

F c ．

于是1

(,0,0)2

FE a =,(,,)QP a b c =--，(0,,)BF b c =-,

所以222

||cos ||||FE QP FE QP a b c

α?==?++,从而222

222sin 1cos b c a b c αα+=-=++．

又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，可得222

||sin ||||QP QP a b c

θ?=

=?++m m ，

设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由0

0FE BF ??=???=??n n ,可得1020

ax by cz ?=???-+=?.取(0,,)c b =n ．

于是22|||cos |||||b c β?==?+m n m n ,从而222sin 1cos b c

ββ=-=+.

故222

2

2

2

2

2

2

2

sin sin sin b c a b c

b c

a b c

αβθ+=

?

=

=+++++,即sin sin sin θαβ=.

(20)【2013年湖北，理2０,１2分】假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变

量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过９0０的概率为0p ．

（1）求0p 的值；（参考数据:若X ～2(,)N μσ,有()0.6826P X μσμσ-<≤+=

(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=)；

（２)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次.A 、B

两种车辆的载客量分别为３6人和６0人，从甲地去乙地的营运成本分别为16００元／辆和２４0０

元/辆. 公

司拟组建一个不超过2１辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆． 若每天要以不小于0p 的 概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A 型车、B 型车 各多少辆?

解:（1）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=，(700900)0.9544P X <≤=．

由正态分布的对称性，得

0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11

(700900)0.977222

P X =+<≤=．

(２）设A 型、B 型车辆的数量分别为,

x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +．

依题意, , x y 还需满足：021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥．

由（1）知,0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥. 于是问题等价于求满足约束条件21 73660900, 0, x y y x x y x y x y +≤??≤+?

?+≥??≥∈?，N

,且使目标函数

16002400z x y =+达到最小的,x y ．作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐

标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R .由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时,直线

16002400z x y =+在y 轴上截距

2400

z

最小，即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆、B 型车1２辆． (２1)【2013年湖北，理21，１４分】如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN

且在x 轴上,短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的

四个交点按纵坐标从大到小依次为Ａ,B,Ｃ,D.记m

n

λ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为

1S 和2S ．

（1)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;

（2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=?并说明理由.

解:依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C :22221x y a n +=.其中0a m n >>>， 1.m

n

λ=>

(1）解法一:

如图，若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为0x =，则111

||||||22

S BD OM a BD =?=,

211

||||||22S AB ON a AB =?=，所以12

||||S BD S AB =

． 在C １和Ｃ2的方程中分别令0x =， 可得A y m =，B y n =，D y m =-,于是||||1

||||1

B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===

---. 若12S S λ=，则11

λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得21λ=+． 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则21λ=+． 解法二：

如图,若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+,||||||AB OA OB m n =-=-;

111||||||22S BD OM a BD =

?=，211

||||||22

S AB ON a AB =?=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++=

==--. 若12S S λ=，则11

λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>,可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=,则21λ=+.

(2)解法一:

如图,若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性,不妨设直线l ：

(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则

因为12211d k k ==++,222

11d k k

==++,所以12d d =. 又111||2S BD d =,221

||2

S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==,即||||BD AB λ=．

由对称性可知||||AB CD =,所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+,

于是||1

||1AD BC λλ+=

-．① 将l 的方程分别与C 1，Ｃ2的方程联立，可求得222A x a k m =+，222B x a k n =+． 根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-,于是222222221||2||

||21||A D A B B C k x x x AD m a k n BC x n a k m k x x +-+===++-.② 从而由①和②式可得2222221(1)a k n a k m λλλ++=+-.③令1

(1)

t λλλ+=

-,则由m n >,可得1t ≠,于是由③可解 得2222

22(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以2

0k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当2222

2(1)0(1)

n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ

--<. 由1λ>，可解得1

1t λ<<,即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得12λ>+,

所以当112λ<≤+时，不存在与坐标轴不重合的直线l,使得12S S λ=；

当12λ>+时,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=．

解法二：

如图，若存在与坐标轴不重合的直线l,使得12S S λ=． 根据对称性,不妨设直线l :(0)y kx k =>，

点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ，则12211d k k ==++,222

11d k k

==++， 所以12d d =.又111||2S BD d =,221

||2S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==．

因为221||||

||1||B D A B A B

A B k x x x x BD AB x x k x x λ+-+===-+-，所以11A B x x λλ+=

-． 由点(,)A A A x kx ,(,)B B B x kx 分别在C 1,Ｃ2上，可得222221A A x k x a m +=，222

221B B x k x a n

+=,

两式相减可得22222222

()0A B A B x x k x x a m λ--+=,依题意0A B

x x >>,所以22

A B x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-．因为2

0k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B

x x λ<<．

从而1

11

λλλ+<<-，解得12λ>+,所以当112λ<≤+时,不存在与坐标轴不重合的直线l,

使得12S S λ=；当12λ>+时,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=

(２２）【2013年湖北，理22,１4分】设n 是正整数，r 为正有理数．

（1）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值;

（2）证明:

1

1

11

(1)(1)1

1

r r r r r n

n n n

n r r ++++--+-<<

++；

（3）设x ∈R ，记x ????为不小于．．．

x 的最小整数，例如22=????,π4=????，312??

-=-????

.

令3

125S +，求S ????的值.(参考数据:4

380344.7≈，4381350.5≈，43

124618.3≈,

43

126631.7≈）

解:(1）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =．

当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数；

当0x >时,()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数．故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =.

(2)由(1），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=,1(1)1(1)r x r x ++≥++,且等号当且仅当0x =时成立,

故当1x >-且0x ≠时，1(1)1(1)r x r x ++>++.①在①中，令1x n =（1x >-且0x ≠),111

(1)1r r n n

+++>+．

上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++,即11(1).1

r r r

n n n r +++-<+②

当1n >时,在①中令1x n =-(这时1x >-且0x ≠），类似可得11(1).1

r r r

n n n r ++-->+③

且当1n =时,③也成立．综合②,③得1111(1)(1)11

r r r r r

n n n n n r r ++++--+-<<

++. ④

（3)在④中,令13

r =，n 分别取值81，82，83,…,125，得4444

333

3338180(8281)44-<-（）,

4444

3333338281(8382)44--（）,4444

3333338382(8483)44

-<<-（）， (4444)

333333125124(126125)44-<<-（）.将以上各式相加，并整理得4444

33333312580(12681)44

S -<<-（）. 代入数据计算,可得4433312580210.24-≈（），44

3

3312681210.94-≈（）.由S ????的定义,得211S =????．