高等数学(下册) 二重积分要点总结
二重积分的计算法[精编文档]
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一、利用直角坐标计算二重积分
X-型积分区域 Y-型积分区域
二、利用极坐标计算二重积分
将二重积分化为二次积分 与直系下二次积分互化
一、利用直角坐标计算二重积分
直角坐标系下化二重积分为二次积分
由曲顶柱体体积的计算可知,
当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
f x, y 关于x奇，D关于y轴对称
0,
f
x, y
关于y奇，D关于x轴对称
D
f
x,
y
dxdy
2
f
x,
y
dxdy
f x, y 关于x偶，
D关于y轴对称
D`1
f x, y 关于y偶，
D关于x轴对称
f x, y f (x, y), 称f(x,y)关于x为奇， f x, y f (x, y), 称f(x,y)关于x为偶，
例1. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
0
a rer2 d r
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
例2：求I= y2 3x 6 y 9 dxdy,其中: x2 y2 a2.
例5. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
及直线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
则
D
:
y
1
2
y x
2 y
2
大学高数下 二重积分的计算
1 ( )
D
,
1 ( ) 2 ( ).
2 ( )
o
A
f ( cos , sin )dd
D
d
2 ( )
1 ( )
f ( cos , sin ) d .
二重积分化为二次积分的公式（２）
D
1 33 4 [ x ( x x ) ( x x )]dx . 0 2 140
1 2 2
例3
改变积分
0 dx 0
1
1 x
f ( x , y ) dy 的次序.
解
D : 0 y 1 x, 0 x 1
y 1 x
积分区域如图
改写D : 0 x 1 y, 0 y 1
( xy cos x sin y )dxdy (
D D1
A)
( A) 2 cos x sin ydxdy ; (C ) 4 ( xy cos x sin y )dxdy ;
D1
( B ) 2 xydxdy ;
D1
( D) 0
例 2：I | xy | dxdy , 其中 D : x y 1
分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由
区域 D 的几何形状确定的，因此计算二重积分应 先画出积分区域 D 的图形. 2) 第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二 次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于
上限.
3) 积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，
且区域的划分要尽量地简单.
例 2 求 ( x 2 y )dxdy ，其中 D 是由抛物线
二重积分计算技巧总结
二重积分计算技巧总结二重积分是微积分中的一个重要概念，是对二元函数在特定区域上的面积进行求解，也可以理解为一个函数在一个平面区域上的平均值。
在实际计算中，可以通过一些技巧来简化计算过程，提高计算效率。
本文将总结一些常用的二重积分计算技巧，帮助读者更加灵活地应用二重积分。
1.利用对称性在计算二重积分时，如果被积函数具有对称性，可以通过利用对称性简化计算过程。
常见的对称性有x轴对称、y轴对称、原点对称等。
对称性可以减少计算量，提高计算效率。
2.变量替换变量替换是处理二重积分的常用方法。
通过合适的变量替换，可以将原来的二重积分转化为更简单的形式。
常见的变量替换包括极坐标变换、矩形坐标变换等。
极坐标变换是将矩形坐标转化为极坐标的过程，从而转化为极坐标上的二重积分。
极坐标变换的公式如下：x = r*cosθy = r*sinθ其中，r是极径，θ是极角。
矩形坐标变换则是将原来的矩形区域映射为一个更简单的区域，从而简化计算过程。
常见的矩形坐标变换包括矩形到正方形的变换、矩形到单位圆的变换等。
3.积分次序交换对于一些特定的被积函数，可以通过交换积分次序来简化计算过程。
一般来说，交换积分次序需要满足一些条件，比如被积函数在给定的积分区域上连续可微。
需要注意的是，交换积分次序可能会改变积分的范围，因此在交换积分次序时需要注意积分区域的变化。
4.多次积分的简化二重积分常常需要进行多次积分，这时可以使用多次积分的简化方式来提高计算效率。
常见的多次积分简化方式包括积分区域分割、积分区域的对称性利用、积分范围的变量替换等。
通过适当地选择简化方式，可以大大减少计算量，提高计算效率。
5.划分区域的选择在计算二重积分时，划分区域的选择对于计算结果具有一定的影响。
对于一些特定的区域，可以选择合适的划分方式来简化计算过程。
常见的划分区域的选择方式包括将区域分为两个相互重叠的子区域、将区域分为若干个均匀分布的子区域等。
通过合适的划分方式，可以简化计算过程，提高计算效率。
大学数学微积分第九、十章 多元函数积分学二重积分知识点总结
第九、十章 多元函数积分学§9.1 二重积分一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题 X型区域：设有界闭区域{}12(,),()()D x y a x b x y x φφ=≤≤≤≤其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，(,)f x y 在 D 上连续，则21()()(,)(,)(,)x bDDax f x y d f x y dxdy dx f x y dy φφσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰Y 型区域：设有界闭区域{}12(,),()()D x y c y d y x y φφ=≤≤≤≤其中12(),()y y ϕϕ在[,]c d 上连续，(,)f x y 在D 上连续则21()()(,)(,)(,)y dDDcy f x y d f x y dxdy dy f x y dx ϕϕσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰关于二重积分的计算主要根据X 型区域或Y 型区域I ，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D 如果既不符合X 型区域中关于D 的要求，又不符合Y 型区域中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合X 型区域或Y 型区域中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。
在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。
二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。
模型I 设有界闭区域{}12(,),()()D γθαθβϕθγϕθ=≤≤≤≤其中12(),()ϕθϕθ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。
高等数学-二重积分
高等数学-二重积分二重积分作为高等数学的一部分，是积分学的重要内容之一，也是微积分的一个重要分支。
它可以用来求解平面图形的面积、质心、转动惯量等问题，同时也是理解三重积分和曲线积分的基础。
一、二重积分的定义对于平面直角坐标系中一个有界区域D，若在D内存在一个连续函数f(x,y)，则在D 上的二重积分值记为：∬Df(x,y)dxdy其中，dxdy表示对于(x,y)在D上的每一个点，都有一个微小的面积dxdy。
通常情况下，积分区域D是一个闭合区域，即被有限多条曲线所包围的区域。
1、线性性若f(x,y)和g(x,y)在D上可积，则对于任意实数a和b，有：∬D[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy=a∬Df(x,y)dxdy+b∬Dg(x,y)dxdy2、积分的可加性若D可表示成D1和D2的并集，且D1和D2没有交集，则有：4、积分与面积的关系对于常数函数f(x,y)=1，在D上的二重积分值就是D的面积S。
即有：∬D1dxdy=S1、利用基本公式对于二重积分中的f(x,y)，若其为一元函数，则参照一元函数积分的公式进行计算即可。
若其为二元函数，则按照二元函数积分的公式计算。
2、极坐标法当积分区域D具有极轴对称性或者其中的许多边界方程可以转化为极坐标方程时，可以使用极坐标公式来求解。
即有：∬Df(x,y)dxdy=∫θ1θ2dθ∫r1r2f(r,θ)rdr其中，r为极径，θ为极角。
3、换元法当积分区域D无法采用基本公式或者极坐标法求解时，可以采用换元法来简化计算。
具体而言，可以通过将坐标系进行转化，将D映射为一个较为简单的区域，从而进行二重积分的计算。
1、面积计算二重积分可以用来计算平面图形的面积。
对于平面图形D，可设其边界方程为：g1(x)=a, g2(x)=b, h1(y)=c, h2(y)=d则D的面积可以表示为：S=∬Ddxdy=∫a^b∫c^d1dydx2、质心计算x0=∬Dxdxdy/M, y0=∬Dy dxdy/M其中，M为D的面积，x0和y0分别称为D的一阶矩。
高等数学(第二版)下册课件：二重积分的应用
曲面 S 在点处的法线向量( 指向朝上的那个 )为
n fx x, y, f y x, y,1
它与 z 轴正向所成夹角 的方向余弦为
cos
1
f
2 x
x,
y
f
2 y
x,
y
1
而 dA d cos
所以 dA
f
2 x
x,
y
f
2 y
x,
二重积分的应用
7.3.1 空间曲面的面积 7.3.2 质心 7.3.3 转动惯量
预备知识：微元法的思想和步骤；二重积分计算方法 定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满 足以下条件：
1.所要计算的某个量 U 对于闭区域 D 具有可加性(即:当闭区域
D 分成许多小闭区域 d 时,所求量 U 相应地分成许多部分量U ,
转动惯量和y 轴的转动惯量的元素分别为 dIx y2(x, y)d , dIy x2(x, y)d
整片平面薄片对于x 轴的转动惯量和y 轴的转动惯量分别为
Ix y2(x, y)d , Iy x2(x, y)d
D
D
例 7.3.3 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量 )
对于其直径边的转动惯量.
0
7.3.2 质心
设有一平面薄片，占有 xOy 面上的闭区域 D, 在点 Px, y 处
的面密度为 x, y ，假定 (x, y) 在 D上连续.
现在要求该薄片的质心坐标.
在闭区域D上任取一点 Px, y 及包含点 Px, y 的一直径很小 的闭区域 dσ (其面积也记为dσ ) ,则平面薄片对 x 轴和对 y 轴的
y 1d
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
大一高数知识点笔记下册
大一高数知识点笔记下册1. 二重积分二重积分是高等数学中的重要概念之一。
它是对二元函数在平面上的某个区域上的积分运算。
二重积分常常被用于计算平面图形的面积、质心、惯性矩等问题。
1.1 定义设函数f(x, y)在闭区域D上有界，且D是由直线x=a，x=b，曲线y=c(x)，y=d(x)所围成的，其中c(x)≤d(x)，a≤x≤b。
将闭区域D分成许多有相交或无相交的小区域，如ΔS1，ΔS2，…，ΔSn。
而其中ΔS_k是距离Δx_k点(x_k, y_k)的小区域。
则当这些小区域的数量趋于无穷时，这些小区域的面积之和称为函数f(x, y)在闭区域D上的二重积分，记为∬Df(x, y)dσ，其中dσ表示面积元素。
1.2 计算方法常见的计算二重积分的方法有：直角坐标系下的换元法、极坐标系下的换元法、型如∬Df(x, y)dσ的特殊类型等。
在实际应用中，选择合适的计算方法能够简化计算过程，提高效率。
2. 三重积分三重积分是对三元函数在空间某个区域上的积分运算。
它广泛应用于物理、工程、经济等领域，用于求解体积、质量、质心、惯性矩等问题。
2.1 定义设函数f(x, y, z)在闭区域Ω上有界，Ω是由曲面z=g(x, y)（上侧），z=h(x, y)（下侧），在xy平面的投影区域D上所包围的空间区域。
将闭区域Ω分成许多有相交或无相交的小区域，如ΔV1，ΔV2，…，ΔVn。
而其中ΔV_k是距离Δx_k点(x_k, y_k, z_k)的小区域。
则当这些小区域的数量趋于无穷时，这些小区域的体积之和称为函数f(x, y, z)在闭区域Ω上的三重积分，记为∭Ωf(x, y,z)dv，其中dv表示体积元素。
2.2 计算方法计算三重积分时，常用的计算方法有：直角坐标系下的换元法、柱坐标系下的换元法、球坐标系下的换元法等。
选择合适的计算方法能够简化计算过程，提高效率。
3. 广义积分广义积分是一类特殊的积分，它的被积函数在一定的情况下可能无界或间断。
高等数学(下册) 二重积分要点总结
2
V f ( x, y )dxdy ；
S xy
求平面薄片质量:在薄片区域上对薄片密度进行积分。 求薄片质心：
x
x 乘以密度的积分 y 乘以密度的积分 ;y 对密度的积分 对密度的积分
求薄片转动惯量：
I x y 2 乘以密度在薄片上积分 I y x 2 乘以密度在薄片上积分
比较：求质量对密度积分；求质心密度乘 x 积分（除质量） ，惯量密度乘 x 2 积分。
f ( 标系 系左右边型：
f ( x, y)dxdy
D
x b
x a
dx
y 2 ( x ) y1 ( x )
f ( x, y )dy
典型题：
极坐标系里 里外边型：
f ( x, y) dx dy
D
d
2 ( ) 1 ( )
区域 D 关于 X 轴对称 被积函数关于 Y 变量是 奇函数
f ( x, y)dxdy
D
0
f ( x , y ) f ( x, y )
四、计算二重积分步骤： 画出积分区域（注意必要时划分区域） 根据区域形式和被积函数形式选择合适的区 域描述 确定累次积分并计算（注意：充分利用区域对称性，函数奇偶性） 五、二重积分的类型题目： 交换积分顺序； 直角坐标和极坐标下积分的互相表示； 重积分的具体计算； 求曲面围成的曲顶柱形的体积：曲顶 z f ( x, y ) ，几何体在 xy 平面投影 S xy ，体积
二重积 积分要点 点总结
1、二重积 积分：二重积 积分性质就 就是一般积分 分性质，6 个性质，重 个 重点前三个 。 2、二重积 积分计算：必 必须掌握，必须算准 区域形式及 及描述 直角坐标系 系上下边型 计算公式
[精品文档]二重积分与多重积分及其应用总结
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二重积分与多重积分及其应用总结知识要点。
（1） 二重积分（2） 三重积分（3） 多重积分的应用。
（4） 三重积分的总结。
一、二重积分(1) 直角坐标系下的二重积分。
（重点）直角坐标系下的二重积分，积分区域为二维平面。
⎰⎰=Ddxdy y x f I ),(。
这种形式的积分要让x 、y 取遍所有D 上的点（Ω为积分区域）。
所以要先让x 为常量，取遍y ，然后在上面的基础上再取遍x 。
或者先让y 为常量，取遍x ，然后在上面的基础上再取遍y 。
（点动成线，线动成面。
与这类似。
）针对不同的题目选择不同的方式。
而这其中的关键就是要找对积分区域D 和正确的目标函数表达式),(y x f 。
（2） 极坐标系下的二重积分。
（理解，计算是重点）极坐标系下的二重积分，积分区域同样为二维平面。
⎰⎰=Dd d f I θθ ),(。
这种形式的积分要先取长度 的线，然后变角度，就像是扫地一样。
或者是角度确定，变长度 一样就像是水波的扩散一样。
两种不同的方式一样可以取遍积分区域D 上的所有点。
但是单独拿出来的很少理解即可。
（3）直角坐标系下的二重积分与极坐标系下的二重积分之间的转换（重点）。
积分区域D 为圆或圆的一部分是，直角坐标下的积分有时候很难计算，但是化为极坐标会很简单。
这就需要极坐标与直角坐标的相互转换。
转换公式如下：ϑc o s =x ϑs i n =y ⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f ϑϑϑ )sin ,cos (),(额略长。
不过这是省掉积分上下限的。
如果在圆域内（尤其是那种圆的一部分），在直角坐标下积分的上下限异常麻烦，而且计算量相当之大。
但在极坐标系下将很容易。
3/16.二、三重积分(1) 直角坐标系下的三重积分。
（重点）。
直角坐标系下的三重积分，积分区域为三维立体。
⎰⎰⎰=Ddxdydz z y x f I ),,( 。
计算方式与二重积分无异。
就是先固定两个动一个。
再固定原先固定的一个，动另一个。
高等数学 9-1二重积分的概念与性质
学
内
容
z = f ( x, y )
D
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法．
步骤如下： 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域， 用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲 顶柱体的体积， 曲顶柱体的体积 V = lim
λ →0
∑ f (ξ ,η )∆σ .
i =1 i i i
n
2
z
z = f ( x, y )
D D
性质５ 若在 D 上 f ( x, y ) ≤ g ( x, y ),
4
则有
∫∫ f ( x, y )dσ ≤ ∫∫ g ( x, y)dσ .
D D
特殊地
∫∫ f ( x, y )dσ ≤ ∫∫ f ( x, y) dσ .
D D
性质６ 设 M 、 m 分别是 f ( x, y ) 在闭区域 D 上的最大值和最小值， σ 为 D 的面 积，则
M = lim ∑ ρ (ξ i ,ηi )∆σ i .
λ →0
i =1
n
y
(ξ i , η i )
• ∆σ i
o
x
二、二重积分的概念 定义 设 f ( x, y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭区域 D 任意分成 n 个小闭
区域 ∆σ 1 ， ∆σ 2 , ⋯ ， ∆σ n ，其中 ∆σ i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积， 在每个 ∆σ i 上任取一点 (ξi ,ηi ) ，作乘积
D ( x2 + y2 )
2
+ y2 )
dσ ≤ σ ⋅ e a ,
2
abπ ≤ ∫∫ e
D
dσ ≤ abπe a .
例 2 估计 I =
高等数学重积分知识点笔记小结
引言概述：高等数学是大学数学的一门重要学科，其中重积分是其核心内容之一。
重积分是对多元函数在区域上的积分运算，是数学分析和物理学等领域中的基本工具之一。
本文旨在对高等数学中关于重积分的知识点进行梳理和总结，以加深理解和巩固记忆。
正文内容：一、重积分的基本概念和性质1.重积分的定义与符号表示2.重积分的可加性和线性性质3.重积分的极限与积分次序可换性4.重积分的保号性5.重积分的估值定理二、重积分的计算方法1.二重积分与累次积分2.二重积分的几何应用3.三重积分的计算方法4.三重积分的几何应用5.三重积分的变量替换法三、重积分的应用1.重积分在物理学中的应用2.重积分在几何学中的应用3.重积分在概率统计中的应用4.重积分在电磁学中的应用5.重积分在经济学中的应用四、重积分的性质和定理1.重积分的性质和性质证明2.Fubini定理和Tonelli定理3.Gauss公式和Green定理4.Stokes定理和Divergence定理5.球坐标和柱面坐标下的重积分计算五、重积分的数值计算方法1.面积、体积的数值近似计算2.可求积函数的数值近似计算3.隐函数求面积的数值计算4.数值积分的方法和误差估计5.多重积分的数值计算方法总结：通过对高等数学中关于重积分的知识点进行梳理和总结，可以更好地理解和掌握这一重要的数学工具。
重积分的基本概念和性质、计算方法、应用、定理以及数值计算方法是高等数学学习中重要的内容，它们可以应用于物理学、几何学、概率统计、电磁学和经济学等领域。
通过深入学习和掌握这些知识，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高数学思维和分析问题的能力。
因此，在学习高等数学过程中，对于重积分的学习与应用是非常重要的。
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高等数学之二重积分计算方法总结
在考研中，对于二重积分重点要掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标），二重积分计算公式如下：
二重积分的计算主要在于把二重积分化为累次积分计算，而在化为累次积分计算时，坐标系的选择不仅要看积分域D的形状，而且还要看被积函数的形式。
（1）适合用极坐标计算的二重积分被积函数一般应具有以下形式：
f(y/x),f(x/y),f((x^2+y^2)^(1/2))
之所以适合极坐标是由于它们在极坐标下都可化为r或thetha的一元函数。
（2）适合用极坐标计算的二重积分的积分域一般应具有以下形状：
中心在原点的圆域，圆环域或它们的一部分（如扇形);中心在坐标轴上且边界圆过原点的圆域或者它们的一部分。
有时在计算二重积分时候需要利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，常用的结论有以下两条：
（1）利用积分域的对称性和被积函数的奇偶性：
（2）利用变量的对称性：
题型一：在直角坐标下计算二重积分
例1：
解题思路：先画积分域D，不难看出该积分域关于两个坐标轴都对称，被积函数也有奇偶性，因此，应利用对称性和奇偶性。
解：
题型二：利用极坐标计算二重积分
例2：
解题思路：积分区域D关于y轴左右对称，被积函数（x+1)^2=x^2+2x+1，其中2x是x的奇函数，x^2+1是x的偶函数，先利用奇,偶性化简，然后再用极坐标计算。
解：。
二重积分的积分方法和积分公式
二重积分的积分方法和积分公式二重积分是高等数学中一个重要的概念，主要用于求解平面区域上的积分问题。
在实际应用中，二重积分常常伴随着一些积分方法和积分公式，有助于简化计算过程，提高计算效率。
本文将详细介绍二重积分的积分方法和积分公式。
一、二重积分的基本概念首先，我们需要了解二重积分的基本概念。
对于一个平面区域D，如果对于每一个区域内的点(x,y)，都有一个实数f(x,y)与之对应，那么我们称f(x,y)是D上的一个二元函数。
此时，通过对区域D进行分割，我们可以得到很多个小区域，用矩形来近似表达每个小区域，使得这些小矩形的面积的和趋近于区域D的面积，这个和就可以作为表示f(x,y)在区域D上的对应二重积分。
其数学表达式为：∬Df(x,y)dxdy其中f(x,y)是被积函数，D是被积区域，dxdy表示在x轴和y 轴上的微小增量。
二、二重积分的积分方法1. 变量代换法变量代换法常用于解决被积函数较为复杂的情况。
通过建立一个新的变量，将原式中的变量替换为新的变量，并计算出新的变量的微分值，从而得到新的被积函数和被积区域。
例如，对于二重积分∬Dx^2y dxdy，如果我们令u=xy，v=y，那么在新的变量下，原式可化为∬D(u/v)dvdu。
此时，我们需要通过计算出u和v的微分值，将原被积函数与被积区域进行转化，从而得到简洁的结果。
2. 极坐标法极坐标法常用于解决被积区域的对称性问题。
通过将二维平面上的坐标系转化为极坐标系，可以轻松地描述出各种对称图形的被积区域，并简化计算过程。
例如，对于二重积分∬Dxy dxdy，如果我们将被积区域D转化为极坐标系下的区域，可以得到简化后的被积函数为∫0^πdθ∫0^Rρ^3sinθcosθdρ。
此时，我们只需要进行简单的积分运算，就可以得到最终的结果。
3. 分部积分法分部积分法常用于解决被积函数中的乘积项问题。
通过将乘积项拆分成不同的部分，并对每一部分进行不同的求导和积分操作，可以简化被积函数的形式，并且可以将原式化简为更易于计算的形式。
二重积分的概念与性质知识点与题型解析
二重积分的概念与性质知识点与题型解析1、曲顶柱体曲顶柱体：是以一个有界的平面区域D为底，以区域的边界∂D为准线，垂直于底的直线为母线的柱面为侧面，曲面为顶的柱体。
一般取底面Ｄ所在平面为xOy坐标面，母线指向曲顶一侧的方向为z轴正西构建空间直角坐标系。
2、二重积分的建模思想与模型构建步骤(1) 建模思想：微元法(2) 建模步骤：“大化小, 常代变, 近似和，取极限”(3) 模型转换：公式中△σk表示小区域面积，括号中△σk表示区域。
3、定积分的几何意义与物理意义几何意义：(1) 当f(x,y)=1，则表示积分区域D的面积；(2) 当f(x,y)≥0，则表示以积分区域D，以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面为侧面，顶为z=f(x,y)的曲顶柱体的体积.物理意义：当f(x,y)>0，则表示面密度为ρ=f(x,y)的，占有平面区域D的平面薄片的质量.4、二重积分存在定理定理1：若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上可积。
定理2：若函数f(x,y)在有界闭区域D上除去有限个点或有限条光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D上可积。
5、二重积分的积分性质性质1 (线性运算性质)设函数f(x,y),g(x,y)在有界闭区域D上可积，α,β为实常数，则有【注】在应用中，利用线性运算性质可以拆分积分；利用逆运算，也可以将多个积分合并为一个积分。
即同一区域上的两个不同函数的积分和，可以合并为被积函数的和在该积分区域上的积分。
性质2 (对积分区域的可加性)将有界闭区域D分成除边界外互不重叠的两个闭子区域D1和D2，若函数f(x,y)在区域D上可积，则有性质3 (保序性) (1) 若函数f(x,y)在有界闭区域D上可积且非负，则(2) 若函数f(x,y),g(x,y)在有界闭区域D上可积，且在D上有f(x,y)≤g(x,y)，则特别有绝对值不等式性质4 (估值定理)若函数f(x,y)在有界闭区域D上可积，且存在常数m和M使得在D上成立m≤f(x,y)≤M，则有其中A为区域D的面积．若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续且非负，D1为D的闭子区域，则有性质5(积分中值定理)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则至少存在一点(ξ,η)∈D，使得其中A为区域D的面积．性质6(偶倍奇零)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续.●如果D关于x轴对称，记其x轴上方区域为D1，则有●如果D关于y轴对称，记其y轴右侧区域为D1，则有即积分区域关于x轴对称，被积函数关于y变量有奇偶性；积分区域关于y轴对称，被积函数关于x变量有奇偶性，则积分偶倍奇零。
二重积分主要知识点
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx .
D
c
1( y)
11
矩形区域
D (x, y) | a x b, c y d
f (x, y)d
bd
[ f (x, y)dy]dx
b
dx
d
f (x, y)dy
ac
a
c
D
或
f (x, y)d
db
[ f (x, y)dx]dy
D
D1
D2
D3
13
例题与讲解
例：改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy 的次序
00
解： 积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
00
14
例题与讲解
例：改变积分
1
dx
2 xx2 f ( x, y)dy
2
dx
2 x
f ( x, y)dy
0
0
1
0
的次序
24
例题与讲解
例：计算 ex2 y2dxdy 其中D 是由中心在原点,
D
半径为a的圆周所围成的闭区域。
解：由于积分区域为圆域，被积函数是 f(x2+y2) 形式，故采用极坐标计算
在极坐标系下
D：0 r a，0 2.
ex2 y2dxdy
D
2
d
a e r2 rdr
0
0
(1 e a2 ).
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示．
29
求“曲顶柱体”体积的演示(4)
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示．
高等数学二重积分总结
第九章二重积分【本章逻辑框架】【本章学习目标】⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。
⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。
熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。
⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。
9.1 二重积分的概念与性质【学习方法导引】1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。
从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆的分法要任意，二是在每个小区域i σ∆上的点(,)i i i ξησ∈∆的取法也要任意。
有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。
2．明确二重积分的几何意义。
(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。
特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d Df x y σ⎰⎰表示平面区域D 的面积。
(2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。
山东专升本高数《二重积分》超全知识点(二)2024
山东专升本高数《二重积分》超全知识
点（二）
引言概述：
本文旨在分享山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。
二重积分是高等数学中重要的概念之一，掌握好相关知识点对于学习和理解高数知识具有重要意义。
本文将从五个大点出发，深入阐述二重积分的各个方面，帮助读者更好地理解和应用该知识。
1. 二重积分的定义和基本性质
- 二重积分的定义及其几何意义
- 二重积分的性质：线性性、积分区域可加性、积分次序可交换性等
- 二重积分的计算：换元法、分部积分法等基本计算方法
2. 二重积分的应用
- 平面区域的面积计算
- 平面曲线的弧长计算
- 质心和形心的计算
- 平面曲线的面积计算
- 二重积分在物理问题中的应用：质量、电荷、质心等
3. 二重积分的坐标变换
- 极坐标系下的二重积分
- 变量替换法与雅可比行列式
- 在极坐标下的面积计算及应用
4. 二重积分的应用之曲面体积
- 二重积分求解曲面体积的方法
- 旋转体的体积计算
- 平面区域所围成的曲面体积计算
- 利用二重积分计算空间区域的体积
5. 二重积分在概率统计中的应用
- 联合概率分布函数及其性质
- 边缘概率密度函数及相关计算
- 二维连续随机变量的期望与方差计算
- 多维连续随机变量的矩计算
总结：
通过本文的介绍，我们系统地学习了山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。
这些知识点包括二重积分的定义和基本性质、应用、坐标变换、曲面体积计算以及在概率统计中的应用等。
希望读者通过学习和理解这些知识点，能够更好地应用于实际问题中，并在专升本考试中取得优异的成绩。
高等数学-第九章 二重积分部分
一. 二重积分的计算 二. 三重积分的计算 三. 重积分的运用
一. 二重积分的计算
1. 二重积分的性质
例. 比较下列积分值的大小关系:
I1 xy dxdy I2 xy dxdy
x2y21
11
xy1
y
I3 xy dxdy
11
1
解: I1,I2,I3被积函数相同, 且非负,
D f (x, y)d
Dr2()
Df(cos,sin) d d
r1()
o
注：若积分区域为圆域、扇形域、环形域、或由 极坐标曲线围成的区域，可考虑选择极坐标;
若 被 积 函 数 为 f( x 2 y 2 ) 或 f(y ) 型 可 考 虑 选 择 极 坐 标 x
例. 计算二重积分
R2x2y2d,
0
2 0
h 1 2
d
h
2 4
d
z
202 h12(h42)d
[1 (4h)ln 1(4h)4h]
4
o x
y
4、球坐标代换
设 M (x,y,z) R 3,其柱坐(标 ,,为 z),令OM r,
ZOM , 则(r,,) 就称为点M 的球坐标.
xrsinco s yrsin sin
zrco s
0 r
z { ( x ,y ,z ) |a z b ,( x ,y ) D z }b
f(x,y,z)dv
b
z a
adzD Zf(x,y,z)dxdy
x
Dz
y
适用范围：
积分区域介于两个平行于坐标面的平面之间;
在平行于坐标面的截面上二重积分易算 典型题目： 被积函数只为某一变量的函数;且截面面积易求
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2
二重积 积分要点 点总结
1、二重积 积分：二重积 积分性质就 就是一般积分 分性质，6 个性质，重 个 重点前三个 。 2、二重积 积分计算：必 必须掌握，必须算准 区域形式及 及描述 直角坐标系 系上下边型 计算公式
f ( x, y)dxdy =
D
x b
x a
dx
y 2 ( x ) y1 ( x )
in ) d f ( cos , si
典型题：
极坐标注意 意事项： 一、何时用 用极坐标积分 分：区域边 边界含圆（圆 圆心在原，或 或与坐标轴 轴相切）；被 被积函数含 含 (x2 y2 ) 。 二、极坐标 标积分区域 域表述： 边界表 表示：如直角 角坐标系下 下的区域边界 界函数是 h( x, y ) 0 ，极坐标下 ， 下的区域边界 界函数就是 是 h( cos , sin ) 0 ，进一步 步解出 ( ) 形式。幅角范围:的确定从几 几何方式确 确定。 三、区域包 包含原点时的几种特殊 殊的表示（ 里边 0 ）
0 2
0Hale Waihona Puke 21二重积分要点总结
4、利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算二重积分 区域示意图 区域对称与函数奇偶 区域 D 关于 Y 轴对称， 被积函数关于 X 变量是 奇函数 结论
f ( x, y)dxdy
D
0
f ( x , y ) f ( x, y )
f ( x, y )dy
典型题：
直角坐标系 系左右边型：
f ( x, y)dxdy
D
x b
x a
dx
y 2 ( x ) y1 ( x )
f ( x, y )dy
典型题：
极坐标系里 里外边型：
f ( x, y) dx dy
D
d
2 ( ) 1 ( )
V f ( x, y )dxdy ；
S xy
求平面薄片质量:在薄片区域上对薄片密度进行积分。 求薄片质心：
x
x 乘以密度的积分 y 乘以密度的积分 ;y 对密度的积分 对密度的积分
求薄片转动惯量：
I x y 2 乘以密度在薄片上积分 I y x 2 乘以密度在薄片上积分
比较：求质量对密度积分；求质心密度乘 x 积分（除质量） ，惯量密度乘 x 2 积分。
区域 D 关于 X 轴对称 被积函数关于 Y 变量是 奇函数
f ( x, y)dxdy
D
0
f ( x , y ) f ( x, y )
四、计算二重积分步骤： 画出积分区域（注意必要时划分区域） 根据区域形式和被积函数形式选择合适的区 域描述 确定累次积分并计算（注意：充分利用区域对称性，函数奇偶性） 五、二重积分的类型题目： 交换积分顺序； 直角坐标和极坐标下积分的互相表示； 重积分的具体计算； 求曲面围成的曲顶柱形的体积：曲顶 z f ( x, y ) ，几何体在 xy 平面投影 S xy ，体积