《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案(可编辑修改word版)

o

b 得 分

试卷一：

一、单项选择题（3 分×5=15 分）

1、1、下列各式正确的是（

）

∞ ∞

∞ ∞

（A ） lim A n = ? ? A k ; （B ） lim A n = ? ? A k ; n →∞

n =1 k =n n →∞

n =1 k =n

∞ ∞

∞ ∞

（C ） lim A n = ? ? A k ; （D ） lim A n = ? ? A k ;

n →∞

n =1 k =n

n →∞

n =1 k =n

2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（

）

（A ） P = c (B) mP = 0 (C) P '

= P

(D) P = P

3、下列说法不正确的是（ ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{ f n (x )} 是 E 上的a .e . 有限的可测函数列,则下面不成立的是(

)

（A ）若 f n (x ) ? f (x ) , 则 f n (x ) → f (x )

(B) sup { f n (x )} 是可测函数

n

（C ） i nf { f n (x )} 是可测函数;（D ）若 f n (x ) ? n

f (x ) ,则 f (x ) 可测

5、设 f(x)是[a , b ] 上有界变差函数，则下面不成立的是（

）

(A) f (x ) 在[a , b ] 上有界

(B) f (x ) 在[a , b ] 上几乎处处存在导数

（C ） f '

(x ) 在[a , b ] 上 L 可积 (D)

?

a

f '(x )dx = f (b ) - f (a )

二. 填空题(3 分×5=15 分)

1、(C s A ? C s B ) ? ( A - ( A - B )) =

2、设 E 是[0,1]上有理点全体，则 E '

=

, E =

, E = .

3 、 设 E 是

R n 中 点 集 ， 如 果 对 任 一 点 集

T 都 有

得 分

，则称E 是L 可测的

4、f (x) 可测的条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.

（填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设 f (x) 为[a, b]上的有限函数，如果对于[a, b]的一切分划，使

f (x) 为

, 则称

[a, b]上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反

得分

例说明.(5 分×4=20 分)

1、设E ?R1，若E是稠密集，则CE 是无处稠密集。

2、若mE = 0 ，则 E 一定是可数集.

3、若| f (x) | 是可测函数，则f (x) 必是可测函数。

4．设f (x) 在可测集E 上可积分，若?x ∈E, f (x) > 0 ，则?E f (x) > 0

四、解答题（8 分×2=16 分）.

得分

?x2 , x为无理数

1、（8分）设f (x) =?

，则f (x) 在[0,1]上是否R -可积，是否L -

?1, x为有理数

可积，若可积，求出积分值。

2、（8分）求lim ?∞ln(x +n)e-x cos xdx

n 0 n

五、证明题（6 分×4+10=34 分）.

得分

1、（6 分）证明[0,1]上的全体无理数作成的集其势为c .

2、（6 分）设 f (x) 是(-∞, +∞)上的实值连续函数，则对于任意常数a, E = {x | f (x) ≥a}是闭集。

3、（6 分）在[a, b]上的任一有界变差函数f (x) 都可以表示为两个增函数之差。

4、（6 分）设mE < ∞, f (x ) 在 E 上可积， e n = E (| f |≥ n ) ，则lim n ? me n = 0 .

n

5、（10分）设 f (x ) 是 E 上a .e . 有限的函数，若对任意> 0 ，存在闭子集 F ? E ， 使 f (x ) 在 F 上连续，且m (E - F ) < ，证明： f (x ) 是 E 上的可测函数。(鲁津 定理的逆定理)

??-x , x ∈[a , b ] - E ; 试卷一 答案：

试卷一 （参考答案及评分标准）

一、1. C

2 D 3. B

4. A

5. D

二、1． ?

2、[0,1]； ? ； [0,1]

3、m *T = m *(T ? E ) + m *(T ? CE )

4 ? n ? 、充要 5、?∑| f (x i ) - f (x i -1 ) |? 成一有界数集。

? i =1 ?

三、1．错误 ............................................................................... 2 分

例如：设 E 是[0,1]上有理点全体，则 E 和CE 都在[0,1]中稠密 ………………………..5 分

2．错误 ....................................................................................... 2 分

例如：设 E 是Cantor 集，则mE = 0 ，但 E = c ， 故其为不可数集 ……………………….5 分3．错误 ....................................................................................... 2 分

例如：设 E 是[a , b ] 上的不可测集， f (x ) = ??x , x ∈ E ;

?

则 | f (x ) | 是 [a , b ] 上 的 可 测 函 数 ， 但 f (x ) 不 是 [a , b ] 上 的 可 测 函 数 ................................................................................................. 5 分

4．错误 ....................................................................................... 2 分

mE = 0时，对E 上任意的实函数 f (x )都有 ?

f (x )dx = 0 …5 分

E

四、1． f (x ) 在[0,1]上不是 R - 可积的，因为 f (x ) 仅在 x = 1 处连续，即不连续点为正测度集 ............................................................. 3 分

因为 f (x ) 是有界可测函数， f (x ) 在[0,1]上是 L - 可积的…6 分

1 2 1 因为 f (x ) 与 x 2 a .e . 相等，进一步， ? f (x )dx = ?

x dx = …8 分 [0,1] 0 3

n n

n 2．解：设 f n (x ) =

ln(x + n ) e -x

cos x ，则易知当n → ∞ 时， f n

n (x ) → 0

? ln t ?'

1- ln t

…………………………..2 分

又因 t ? = t 2 < 0 ，( t ≥ 3 )，所以当n ≥ 3, x ≥ 0 时，

? ? ln(x + n ) = n + x ln(x + n ) ≤ n + x ln 3 ≤ ln 3 (1+ x ) ....................... 4 分 n n x + n n 3 3

从而使得| f n

(x ) |≤ ln 3 (1+ x )e -x .............................................. 6 分 3

但是不等式右边的函数，在[0, +∞) 上是 L 可积的，故有

∞ ∞

lim ?0 f n (x )dx = ?0 lim f n (x )dx = 0 ................................................... 8 分

n

n

五、1．设 E = [0,1], A = E ? Q , B = E \ (E ? Q ).

B 是无限集，∴?可数子集M ? B …………………………2 分

A 是可数集，∴ A ? M M . ……………………………….3 分

B = M ? (B \ M ), E = A ? B = A ? M ? (B \ M ), .................. 5 分

且( A ? M ) ? (B \ M ) =, M ? (B \ M ) =,

∴ E B ,∴ B = c ........................................................................ 6 分 2. ?x ∈ E ',则存在E 中的互异点列{x }, 使lim x = x ............ 2 分 n →∞

x n ∈ E ,∴ f (x n ) ≥ a ................................................................. 3 分 f (x )在x 点连续，∴ f (x ) = lim f (x ) ≥ a

n →∞

∴ x ∈ E ........................................................................................ 5 分 ∴ E 是闭集 .................................................................................. 6 分

3.

对= 1 ， ??0 ，使对任意互不相交的有限个(a i , b i ) ? (a , b )

n

n

当∑(b i - a i ) < 时，有∑ f (b )i - f (a i ) < 1 ....................... 2 分

i=1 i=1

n

= ( ) n n

∞

将 [a , b ] m 等 分 ， 使

∑ x i - x

i -1

i =1

< ， 对 ?T : x i -1 = z 0 < z 1 < < z k = x i ， 有

∑ i =1

f (z i

) - f (z

i -1

) < 1， 所 以

f (x ) 在 [x i -1 , x i ] 上 是 有 界 变 差 函

数 ................................................ 5 分

x i

所 以 V ( f ) ≤ 1, 从 而 x i -1

b

V ( f ) ≤ m ， 因 此 ， a

f (x ) 是 [a , b ] 上 的 有 界 变 差 函

数 ......................................................................................... 6 分 4、 f (x ) 在 E 上可积? lim mE (| f |≥ n ) = mE (| f |= +∞) = 0 ……2 分

n →∞

据 积 分 的 绝 对 连 续 性 ， ?> 0, ?> 0, ?e ? E , me < ， 有 ?e

| f (x ) | dx <

………………………………………………….4 分 对 上 述

> 0, ?k , ?n > k , mE (| f |≥ n ) < ， 从 而

n ? me n ≤ ?e | f (x ) | dx < ， 即

lim n ? me n = 0 ............................ 6 分

n

5．

?n ∈ N , 存

在

闭

集

F ? E , m ( E - F ) < 1

, f (x ) 在 F 连

n n

2n

n

续 ............................................................................................... 2 分

∞ ∞ 令 F = F n ， 则 k =1 n =k

∞

?x ∈ F ? ?k , x ∈ ? F n , ?n ≥ k , x ∈ F n ? n k f (x ) 在 F 连

续 ....................................................................................... 4 分 ∞ ∞

又对任意k , m E - F ≤ m [E - ( ? F )] = m [ ? (E - F )] n =k

n =k

≤ ∑ m (E - F ) <

1 ......................................................................

6 分

n =k

n

2k

故m (E - F ) = 0, f (x ) 在 F ? E 连续 ......................................... 8 分

又m (E - F ) = 0, 所以 f (x ) 是 E - F 上的可测函数，从而是 E 上的可测函数 ..................................................................................... 10 分

k n

试卷二：

《实变函数》试卷二

专业

班级 姓名

学号

1、本试卷共 6 页。

注 意 事 项

2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

一.单项选择题（3 分×5=15 分）

1. 设M , N 是两集合，则 M - (M - N ) =（ ）

(A) M (B) N (C) M ? N (D) ?

2. 下列说法不正确的是( )

(A) P 0 的任一领域内都有 E 中无穷多个点，则 P 0 是 E 的聚点

(B) P 0 的任一领域内至少有一个 E 中异于 P 0 的点，则 P 0 是 E 的聚点

(C) 存在 E 中点列{P n } ，使 P n → P 0 ，则 P 0 是 E 的聚点 (D) 内点必是聚点

得 分

= 1 1 3. 下列断言( )是正确的。

（A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( )是错误的。 （A ）零测集是可测集； （B ）可数个零测集的并是零测集； （C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集； 5. 若 f (x )是可测函数，则下列断言（

）是正确的

(A) f (x ) 在[a , b ] L - 可积?| f (x ) | 在[a , b ] L - 可积； (B) f (x )在[a , b ] R -可积?| f (x ) | 在[a , b ] R -可积 (C) f (x )在[a , b ] L -可积?| f (x ) | 在[a , b ] R -可积;

(D) (D) f (x )在(a , +∞)

R - 广义可积? f (x )在(a,+∞) L -可积

二. 填空题(3 分×5=15 分)

1、设 A [ , 2

- ], n = 1, 2, ，则lim A = 。

n

n n n n →∞

2、设 P 为 Cantor 集，则 o

P =

， mP = ， P =

。

3 ? ∞ ? ∞ 、设{S i } 是一列可测集，则m ? S i ? ∑ m S i

4、鲁津定理：

? i =1 ? i =1

5、设 F (x ) 为[a , b ] 上的有限函数，如果

则称 F (x ) 为[a , b ] 上的绝对连续函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不

得 分

得 分

成立,则说明原因或举出反例.(5 分×4=20 分)

1、由于[0,1]-(0,1)={0,1}，故不存在使(0,1)和[0，1]之间1-1 对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

3、a.e. 收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是有界变差函数。

四.解答题(8 分×2=16 分)

?x , x 为无理数

1、设 f (x ) = ? ?1, x 为有理数 若可积，求出积分值。

，则 f (x ) 在[0,1]上是否 R - 可积，是否 L - 可积，

2、求极限

1

nx

lim

sin 3 nxdx . n →∞ ? 0

1+ n

2 x

2

五.证明题(6 分×3+ 8? 2 =34 分)

1.(6 分) 1、设 f(x)是 (-∞,+∞) 上的实值连续函数， 则对任意常数 c ，

得 分

得 分

E = {x | f (x) >c} 是一开集.

2.(6 分) 设>0,?开集G?E,使m*(G -E) <，则E 是可测集。

3. （6 分）在[a, b]上的任一有界变差函数f (x) 都可以表示为两个增函数之差。

4.（8 分）设函数列f

(x) (n = 1, 2, ) 在有界集E 上“基本上”一致收敛于f (x) ，

n

证明：f

(x)a.e. 收敛于f (x) 。

n

b

5.（8 分）设 f (x ) 在 E = [a , b ]上可积，则对任何> 0 ，必存在 E 上的连续函

数(x ) ，使?a | f (x ) -(x ) | dx < .

试卷二（参考答案及评分标准）

一、1，C 2, C 3, B 4, C 5, A

二、1， (0, 2) 2，c ；0 ；

? 3， ≤

4，设 f (x ) 是 E 上a .e . 有限的可测函数，则对任意> 0 ，存在闭子集 E ? E ，使得 f (x ) 在 E 上是连续函数，且m (E \ E ) < 。

5， 对 任 意 > 0, ?> 0 ， 使 对

[a , b ] 中 互 不 相 交 的 任 意 有 限 个 开 区 间

n

n (a i , b i ), i = 1, 2, , n , 只要∑(b i - a i ) < ，就有∑| F (b i ) - F (a i ) |<

i =1

i =1

? ? 三、1．错误 ............................................................................... 2 分

?(0) = r 1 ?(1) = r 记(0,1) 中有理数全体 R = {r , r , } ? 2

1 2

?(r ) = r , n = 1, 2

? n

n +2 ??(x ) = x , x 为[0，1]中无理数 显然是[0，1]到（0，1）上的1-1映射。 ............................................ 5 分

2. 正确 ........................................................................................... 2 分

∞

∞

∞

设E 为零测度集， 0 ≤ m *

( E ) ≤ ∑ m *

E = 0 ，所以， m *

( E ) = 0

i

i i =1

i =1

i

i =1

∞

因此， E i 是零测度集。 ........................................................... 5 分 i =1

3. 错误 ........................................................................................... 2 分

?1, x ∈(0, n ]

例如：取 E = (0, +∞), 作函数列： f n (x ) = ?0, x ∈(n , +∞) n = 1, 2,

显然 f n (x ) → 1, 当 x ∈ E 。但当0 <

< 1时， E [| f n -1|≥

] = (n , +∞)

且m (n , +∞) = +∞ 这说明 f n (x ) 不测度收敛到 1. ....................... 5 分4．错误 ....................................................................................... 2 分

?

x cos , 0 < x ≤ 1,

例如： f (x ) = ? 2x 显然是[0,1]的连续函数。 ??0, x = 0.

如果对[0,1]取分划T : 0 < 1 < 1 < < 1 < 1

< 1，则容易证明

2n 2n -1 3 2

2n | f (x i ) - f (x i -1 ) |= ∑ 1 1 ，从而得到V ( f ) = ∞ ........................... 5 分 i =1

i =1 i 0

四、1． f (x ) 在[0,1]上不是 R - 可积的，因为 f (x ) 仅在 x = 1 处连续， 即不连续点为正测度集 ........................................................... 3 分 因 为 f (x ) 是 有 界 可 测 函 数 ， 所 以

f (x ) 在 [0,1] 上 是 L - 可 积

∑ n

x

的 .................................................................................................. 6 分 因为 f (x ) 与 x a .e . 相等, 进一步， ? f (x )dx = ? xdx = 1 ……8 分 1

[0,1]

2

2 设

f n (x ) =

nx

1+ n 2 x 2

sin 3 nxdx ， 则 易 知 当 n → ∞ 时 ， f n (x ) → 0

…………………………………………………………2 分

又| f n (x ) |≤ nx

1+ n 2 x 2 ………………………………………………4 分

但是不等式右边的函数，在[0, +∞) 上是 L 可积的 ................... 6 分

∞ ∞

故有lim ?0 f n (x )dx = ?0 lim f n (x )dx = 0 ....................................... 8 分

n

n

五、1． ?x ∈ E , f (x ) > c .............................................................. 1 分

f (x ) 在 x 点连续，∴对= f (x ) - c > 0, ?U (x ,), 当 y ∈U (x ,) 时，

有 f ( y ) - f (x ) < ............................................................................................................................. 3 分

∴- f (x ) + c < f ( y ) - f (x ) < f (x ) - c ∴ f ( y ) > c ，∴ y ∈ E ……5 分

因此U (x ,) ? E ，从而 E 为开集 .................................................. 6 分 2． 对 任 何 正 整 数 n ， 由 条 件 存 在 开 集 G n ? E , 使 m *(G - E ) < 1

n

……………………………………………………1 分

∞

令G = G n ，则G 是可测集 ................................................... 3 分

n =1

又因 m *

(G - E ) ≤ m *

(G - E ) < 1

对一切正整数 n 成立， 因而 m *(G - E ) = 0 ， 即 n

M = G - E 是 一 零 测 度 集 ， 所 以 也 可测 .................................................................................................... 5 分

由 E = G - (G - E ) 知， E 可测。 ................................................... 6 分

3、易知 g (x ) =V ( f ) 是[a , b ] 上的增函数 ................................... 2 分

a

令h (x ) = g (x ) - f (x ) , 则对于a ≤ x 1 < x 2 ≤ b 有

n

n

n k

k 1 h (x 2 ) - h (x 1 ) = g (x 2 ) - g (x 1 ) -[ f (x 2 ) - f (x 1 )]

x 2

= V ( f ) -[ f (x 2 ) - f (x 1 )] ≥| f (x 2 ) - f (x 1 ) | -[ f (x 2 ) - f (x 1 )] ≥ 0

x 1

所以h (x ) 是[a , b ] 上的增函数 ...................................................... 4 分

因 此 f (x ) = g (x ) - h (x ) ， 其 中

g (x ) 与 h (x ) 均 为 [a , b ] 上 的 有 限 增 函

数 ...................................................................................................... 6 分

4、因为 f (x ) 在 E 上“基本上”一致收敛于 f (x ) ，所以对于任意的k ∈ Z + ，存在可 测 集 E k ? E ， f n (x ) 在 E k 上 一 致 收 敛 于

f (x ) ， 且 m (E \ E k ) < 1

k

…………………………………………………3 分

∞

令 E *

= E ，则 f (x ) 在 E * 上处处收敛到 f (x ) .................. 5 分 n k =1

∞

*

m (E \ E ) = m (E \ E k ) ≤ m (E \E k ) < ，k=1,2

k =1

所以m (E \ E *) = 0 ........................................................................ 8 分

5、 证 明 ： 设 e n = E [| f |> n ], 由 于 f (x ) 在 E 上 a .e . 有 限 ， 故 me n → 0,(n → ∞) ………………………………………………..2 分

由 积 分 的 绝 对 连 续 性 ， 对 任 何 ………………………………………4 分

?> 0, ?N ， 使 N ? m e N ≤ ?e | f (x ) | dx <

4

令 B = E \ e ，在 B 上利用鲁津定理，存在闭集 F ? B 和在 R 1 上的连续函数(x )

N

N

N

N

N

使（1） m (B \ F ) <

; （2） x ∈ F 时， f (x ) =(x ) ，且sup |(x ) |= sup | f (x ) |≤ N

N

N

4N N

x ∈R 1

x ∈F N ……………………6 分

所以

N

b

?B 4 4 2

?

a

| f (x ) -(x ) | dx ≤ ?e | f (x ) -

(x ) | dx + N

N

| f (x ) -

(x ) | dx

≤ ?e | f (x ) | dx + ?e | (x ) | dx + ?B \ F | f (x ) -(x ) | dx

N

N

N N

≤ 4 + N ? me N + 2N ? 4N ≤ + + = ……………………...8 分