高三数学函数新人教版

函数

一、一周知识概述

函数是高中数学的重要内容，函数的概念及性质是函数的基础．通过对函数及反函数的概念与性质的学习，要注意培养学生良好的数学意识和思维品质．解决函数的有关问题，贯穿了数学的换元法、待定系数法，判别式法、平移变换、对称等换等基本方法，体现了函数与方程思想，等价转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等思想方法的运用．灵活运用这些方法来解决数学问题，是学生数学能力的体现．

高中函数概念是建立在集合论的基础之上的.用集合的观点来定义函数更能体现函数的本质.通过对函数概念及函数表示法的学习，培养学生分析问题，解决问题的能力，初步的数学建模能力，数形结合的能力和化归的思想及转化的能力.

二、重点知识归纳及讲解

1、函数的概念

（1）函数是特殊的映射，即集合A、B均为非空数集的映射.

（2）构成函数的三要素；对应关系f、定义域A、值域{f(x)|x∈A}，其中值域{f(x)|x∈A} B.

（3）确定函数的条件.

当对应关系f和定义域A已确定，则函数已确定，换言之，当两个函数为同一函数时，它们的对应关系和定义域一定相同.

（4）函数的定义域，一般是使函数解析式有意义的x值的集合，在具体问题中则应考虑x的实际意义，如时间t，距离d均应为非负数等.

2、映射的概念

（1）映射是特殊的对应，即是“一对一”的对应和“多对一”的对应，而“一对多”的对应不是映射.

（2）给定一个映射f：A→B，则A中的每一个元素都有唯一的象，B的某些元素可以没有原象，如果有原象，也可以不唯一的.

3、函数的表示法

解析法、列表法、图象法.

我们所研究的函数大多都是用解析法表示的函数，其特点是函数关系清楚.但要明确解析法并不是表示函数的唯一方法，还可以用列表法，图象法来表示，且并不是任何函数都可以用解析法表示，对定义域是有限数集的函数，列表法就显示了它的优点.

4、反函数的概念及性质

（1）只有自变量x与其对应的函数值y是一一对应的函数才存在反函数，反函数的对应法则是原函数对应法则f的逆对应，反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．

（2）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，即点（a，b）在y=f(x)的图象上，则点（b，a）必在y=f－1(x)图象上.

（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．

（4）定义域与值域

一般地，函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量x的集合，反函数的定义域是原函数的值域.

函数的值域随对应法则和定义域而确定，应了解一次函数，二次函数和反比例函数的值域以及求函数值域的几种基本方法．反函数的值域是原函数的定义域．

5、函数的值域

函数的值域是函数的“三要素”之一，在一个给定的函数中，函数的值域随对应法则和定义域而确定．

几个基本初等函数的值域：

一次函数y=kx＋b（k≠0）的值域：{y|y∈R}；

二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的值域：

当a>0时，；

当a<0时，；

反比例函数（k≠0）的值域：（－∞，0）∪（0，＋∞）．

6、函数的单调性

函数的单调性是判断函数是否具有单调性的基本方法．

互为反函数的两个函数具有相同的单调性．

复合函数的单调性，当内、外两个函数的单调性相同时为增函数，相异时为减函数．

三、难点知识剖析

1、求函数定义域

求由几个代数式的和构成的函数解析式的函数的定义域，应先求出各个代数式有意义的自变量x的集合，再求出这些集合的交集.即设函数f(x)=f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)的定义域为A，fi(x)(i=1,2,…,n)的定义域为Ai，则A=A1∩A2∩…∩A n，求解常常是通过解不等式组来解决.

求函数的定义域的主要依据：

（1）由函数解析式求定义域，此时求定义域的主要根据是：

①分式的分母不得为零；

②偶次方根的被开方数不小于零；

③对数函数的真数必须大于零；

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z），余切函数y=cotx （x∈R，x≠kπ，k∈Z）等.

（2）已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]指的是x∈[a，b].

（3）实际问题或几何问题给出的函数的定义域．

这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义.

2、求函数解析式

在某些问题中，给出了自变量x与函数y的函数关系，要求函数解析式，一般要根据题设条件分析函数y与自变量x之间的数量关系.应注意有时自变量在不同的范围取值时，x与y之间的数量关系不一样，这时需要多个解析式来表示这个函数（即分段函数）.

3、二次函数在闭区间上的值域（最值）

通过讨论二次函数图象的对称轴与所给闭区间的关系来确定函数在所给区间上是否具有单调性，进而确定函数的最大值和最小值．

4、求值域的基本方法

（1）直接法

有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域，如函数的值域为{y|0

（2）反函数法

用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如（a≠0）的函数值可用此法.

（3）换元法

运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（a、b、c、d均为常数，且ac≠0）的函数常用此法求值域.

（4）配方法

二次函数或转化为形如F(x)=a[f2(x)＋bf(x)＋c]类的函数的值域问题，均可用配方法，而后面的函数要注意f(x)的范围.

（5）不等式法

利用基本不等式：a＋b≥2，用此法求函数值域时，要注意条件“一正二定三相等”.

（6）判别式法

把函数转化成关于x的二次方程F（x、y）=0，通过方程有实根，判别式≥0，从而

求得原函数的值域，形如（a1，a2不同时为0）的函数的值域常用此法求得.

（7）利用函数的单调性

确定函数在定义域（或某个定义域的子集上）的单调性求出函数的值域的方法为单调性法，考虑用单调性求值域常见的有y=ax＋b＋（a、b、c、d均为常数，且

ad≠0），看a与d是否同号.若同号用单调性求值域，若异号用换元法求值域；还有的在利用重要不等式求值域失败（等号不满足）的情况下，可采用单调性求值域，但须熟悉下述结论；

函数（x>0，k>0），x∈（0，]，函数递减，x∈[，＋∞），函数递增. （8）数形结合法

数形结合法利用函数所表示的几何意义借助于几何方法或图象来求函数的值域.

5、奇偶性

（1）利用定义判断奇偶性的步骤：

①判断定义域是否关于原点对称；

②判断f(－x)与f(x)的关系；

③下结论.

（2）判断奇偶性的方法：

①定义法；

②图象法.

6、单调性

（1）利用定义判断单调性的步骤：

①给值x1、x2（x1、x2必须给在所研究的区间内）；

②作差f(x1)－f(x2)，并变形；

③判断差f(x1)－f(x2)的符号；

④下结论（必须指明单调区间）.

（2）判断函数单调性的方法

①定义法；

②图象法；

③复合函数法；

④导数法.

四、例题点评

例1、已知二次函数f(x)满足条件：f(0)=1，f(x＋1)－f(x)=2x.

（1）求f(x)；

（2）求f(x)在区间[－1，1]上的最大值和最小值.

例2、求下列函数的值域.

例3、设f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且对任意a、b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，都有成立，判断函数f(x)在[－1，1]上的单调性.

例4、已知，函数

⑴当时，求使成立的的集合；

⑵求函数在区间上的最小值

试题答案

四、例1：分析：二次函数f(x)的结构形式为f(x)=ax2＋bx＋c（a≠0），求f(x)即是求a、

b、c，故考虑待定系数法.

解答：（1）设f(x)=ax2＋bx＋c（a≠0），由f(0)=1，得c=1.

而f(x＋1)－f(x)=[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)=2ax＋a＋b.

由已知f(x＋1)－f(x)=2x，得2ax＋a＋b=2x.

所以，解得a=2，b=－1

故f(x)=x2－x＋1.

（2）因为f(x)=x2－x＋1=，对称轴x=，∈[－1，1]，

结合f(x)在[－1，1]上的图像可知，当x=时f(x)最小值为.

当x=－1时，f(x)的最大值为3.

点评：（1）当所求函数的解析式结构形式已知时，常用待定系数法，求函数解析式.

（2）二次函数解析式的常见结构形式有：一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0），顶点式y=a(x－h)2＋k（a≠0），点（h、k）为抛物线的顶点，两根式y=a(x－x1)(x－x2)（a≠0），x1、x2是ax2＋bx＋c=0的两根

例2：分析：上述各题在求解之前，先应观察其结构特点，选择最优的方法，然后再解.

解：（1）采用配方法

≥-

∴函数y=2x2＋x的值域是[－，＋∞）．

（2），

其中等号在x=－3∈[－5，－1]时成立，因此0≤－x2－6x－5≤4.

∴原函数的值域y∈[0，2].

（3）方法1：反函数法

∵的反函数为，其定义域为{x|x≠2}.

∴原函数的值域是{y|y≠2，y∈R}.

方法2：分离变量法

（4）采用换元法

设≥0，则x=1－t2，于是y=－2t2＋4t＋2=－2(t－1)2＋4（t≥0）故可知y∈（－∞，4].

（5）利用三角代换法

因为|x|≤1，所以设x=cosθ，θ∈[0，π]，

则

∵θ∈[0,π]，∴，

于是，即得知－≤y≤1.

点评：1、对于二次函数型的一类问题常用配方法求值域.

2、换元法是解决无理函数的值域的重要方法

例3：分析：因为条件中并没有给出函数的解析式，所以在单调性的判断方法中，只能选择定义法.

解答：设x1、x2∈[－1，1]，且x1

即f(x1)

点评：本题解答变形具有技巧性，是难点，要突破难点，则变形前要有明确的目标——

凑出的形式，利用条件>0

例4：分析：可借助导数的公式及运算法则，来研究函数的极值与最值或值域，讨论单调性是关键。

解答：（Ⅰ）由题意，

当时，由，解得或；

当时，由，解得

综上，所求解集为

(Ⅱ)设此最小值为

①当时，在区间[1，2]上，，

因为，，

则是区间[1，2]上的增函数，所以

②当时，在区间[1，2]上，，由知

③当时，在区间[1，2]上，

若，在区间（1，2）上，，则是区间[1，2]上的增函数，所以

若，则

当时，，则是区间[1，]上的增函数，

当时，，则是区间[，2]上的减函数，

因此当时，或

当时，，故，

当时，，故

总上所述，所求函数的最小值

点评：用导数研究函数的单调性、极值或最值是简便、实用的一种方法，用其它方法能研究的均可用导数法求解，但注意二次以上的函数更常用此法，而导数法未必是最佳方法。