第1章1.2.2第二课时同步训练及解析

人教A高中数学选修2-3同步训练

1．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )

A．60种B．20种

C．10种D．8种

解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C35＝10.

2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有( )

A．25种B．35种

C．820种D．840种

解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C35种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C35种选法；两人都不参加，有C45种选法．所以共有2C35＋C45＝25(种)不同的选派方案．

3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )

实用文档

实用文档

A ．30种

B ．35种

C ．42种

D ．48种

解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B

类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30种选法．

法二：总共有C 37＝35种选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34

＝4(种)，故有30种选法．

4．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．

解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C 24＝6，满足一个数是另一个数两倍

的组合为{1,2}，{2,4}，故P ＝2

6＝13

. 答案：13

一、选择题 1．9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为( )

A ．C 39C 36

B ．A 39A 36

实用文档 C.C 39C 36A 33 D ．A 39A 36A 33

解析：选C.此为平均分组问题，要在分组后除以三组的排列数A 33

. 2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( )

A ．480

B ．240

C ．120

D ．96

解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，

∴分法数为C 25A 44＝240.

3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )

A ．14

B ．24

C ．28

D ．48

解析：选A.6人中选4人的方案有C 46＝15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满

足要求的方案总数有14种．

4．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( )

A ．36个

B ．72个

C．63个D．126个

解析：选D.此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C49＝126(个)．

5．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )

A．12种B．18种

C．36种D．54种

解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C24C22种方法，所以共有C13C24C22＝18种方法．

6．如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，不同的取法种数为( )

A．40 B．48

C．56 D．62

解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：

实用文档

第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C35种取法；

第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2C34种取法；

第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C12种取法．

所以，满足题意的不同取法共有4C35＋2C34＋4C12＝56(种)．

二、填空题

7．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．

解析：分两类，有4件次品的抽法为C44C146(种)；有三件次品的抽法有C34C246(种)，所以共有C44C146＋C34C246＝4186种不同的抽法．

答案：4186

8．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．

解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C45C12C12 C12C12＝80(种)．

实用文档

实用文档

答案：80

9．2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有________种．(用数字作答)

解析：分配方案有C 25C 23C 11A 22

×A 33＝10×3×62＝90(种)． 答案：90

三、解答题

10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？

解：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将

四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有C 14C 13C 22A 22

(种)，然后将这

三组再加上一个空盒进行全排列，即共有C 14C 13C 22A 22

·A 44＝144(种)． 11．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？

解：法一：共分三类：

第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C17种；

第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A27种；

第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C37种，故共有C17＋A27＋C37＝84(种)．

法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个位置放入隔板，将其分为七部分)，有C69＝84种放法．故共有84种不同的选法．

12．如图，

在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6，直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.

(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C1点的有多少个？

(2)以图中的12个点(包括A、B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？

实用文档

解：(1)可分三种情况处理：

①C1、C2、…、C6这六个点任取三点可构成一个三角形；

②C1、C2、…、C6中任取一点，D1、D2、D3、D4中任取两点可构成一个三角形；

③C1、C2、…、C6中任取两点，D1、D2、D3、D4中任取一点可构成一个三角形．

∴C36＋C16C24＋C26C14＝116(个)．

其中含C1点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．

(2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，

∴共有C46＋C36C16＋C26C26＝360(个)．

实用文档