高考数学 题型全归纳：等比数列的通项与求和典型例题剖析(含答案)

等比数列的通项与求和

一、知识导学

1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．

2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．

3.等比数列的前n 项和公式：??

?

??≠-?-=--=?=)

1(11)1()1(111

q q q

a a q q a q a n S n n n

二、疑难知识导析

1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0.

2.对于公比q ，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.

3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.

4.在已知等比数列的a 1和q 的前提下，利用通项公式a n =a 1q n-1

,可求出等比数列中的任一项.

5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用a n =a m q n-m

可求等比数列中任意一项. 6.等比数列｛a n ｝的通项公式a n =a 1q n-1

可改写为n

n q q

a a ?=

1.当q>0，且q1时，y=q x 是一个指数函数，而x

q q

a y ?=

1是一个不为0 的常数与指数函数的积，因此等比数列｛a n ｝的图象是函数x

q q

a y ?=

1的图象上的一群孤立的点. 7．在解决等比数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。 三、经典例题导讲

[例1] 已知数列{}n a 的前n 项之和S n =aq n

（q q a ,1,0≠≠为非零常数），则{}n a 为（ ）。

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列，也不是等比数列

D.既是等差数列，又是等比数列

错解：)1(111-=-=-=+++q aq aq aq S S a n n n n n n

)1(11-=-=∴--q aq S S a n n n n

q a a n

n =∴

+1

（常数） {}n a 为等比数列，即B 。

错因：忽略了1--=∴n n n S S a 中隐含条件n ＞1. 正解：当n ＝1时，a 1=S 1＝aq;

当n>1时，)1(11-=-=∴--q aq S S a n n n n

q a a n

n =∴

+1

（常数） 但q q a a ≠-=11

2

{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列，选C 。

[例2] 已知等比数列{}n a 的前n 项和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于. 错解：S 30= S 10·q 2

. q 2

＝7，q ＝7±， S 40= S 30·q =770±.

错因：是将等比数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等比数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等比数列.

正解：由题意：???

?

???=--=--701)1(101)

1(30

1101q q a q q a 得?????-==-=-)

(3210110101舍去或q q q a ， S 40=

20011401

=--）（q q

a . [例3] 求和：a+a 2

+a 3

+…+a n

.

错解： a+a 2

+a 3

+…+a n

＝a

a n

--11.

错因：是（1）数列｛a n

｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n 项和公式（2）用等比数列前n 项和公式应讨论q 是否等于1. 正解：当a ＝0时，a+a 2

+a 3

+…+a n

＝0;

当a ＝1时，a+a 2

+a 3

+…+a n

＝n;

当a1时， a+a 2

+a 3

+…+a n

＝a

a n

--11.

[例4]设d c b a ,,,均为非零实数，()

()022

2

2

2

2

=+++-+c b d c a b d b a ，

求证：c b a ,,成等比数列且公比为d 。 证明：

证法一：关于d 的二次方程()

()022

2

2

2

2

=+++-+c b d c a b d b a 有实根，

∴()()

0)(4422222

2≥++-+=?c b b a c a b ，∴(

)

02

2

≥--ac

b

则必有：02=-ac b ，即ac b =2，∴非零实数c b a ,,成等比数列 设公比为，则aq b =，2

aq c =代入

(

)

(

)

024

2222

2

2

22=+++-+q a q a d aq a aq d q a a ∵(

)

012

2

≠+a q ，即022

2=+-q qd d ，即0≠=q d 。 证法二：∵()

()022

2

2

2

2

=+++-+c b d c a b d b a

∴(

)()

02222

22

22=+-++-c bcd d

b b

abd d a

∴()()02

2

=-+-c bd b ad ，∴b ad =，且c bd = ∵d c b a ,,,非零，∴

d b

c

a b ==。 [例5]在等比数列{}n b 中，34=b ，求该数列前7项之积。 解：()()()45362717654321b b b b b b b b b b b b b b =

∵5362712

4b b b b b b b ===，∴前七项之积()

2187333

73

2

==?

[例6]求数列}21

{n

n ?

前n 项和 解：n n n S 2

1

813412211?++?+?+?= ①

12

1

21)1(16138124112

1

+?+?-++?+?+?

=n n n n n S ② 两式相减：1122

11)

211(2

1212181412121++---=?-++++=n n n n n n n S n n n n n n

n S 2

212)2211(211--=--=∴-+

[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg 的容器中倒出1kg 盐水，然后加入1kg 水，以后每次都倒出1kg 盐水，然后再加入1kg 水，

问：(1)第5次倒出的的1kg 盐水中含盐多kg ？

(2)经6次倒出后，一共倒出多少kg 盐？此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质

量分数为多少？

解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{a n }，则：

a 1= 0.2 （kg ）, a 2=

21×0.2（kg ）, a 3= (2

1)2

×0.2（kg ） 由此可见：a n = (21)n -1×0.2（kg ）, a 5= (21)5-1×0.2= (2

1)4

×0.2=0.0125（kg ）。

(2)由(1)得{a n }是等比数列 a 1=0.2 , q=2

1

)

(003125.0200625.0)

(00625.039375.04.0)(39375.02

11)211(2.01)1(66

16kg kg kg q

q a S =÷=-=--

=--=∴ 答：第5次倒出的的1kg 盐水中含盐0.0125kg ；6次倒出后，一共倒出0.39375kg

盐，此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。

四、典型习题导练

1.求下列各等比数列的通项公式：

1) a 1=-2, a 3=-8 2) a 1=5, 且2a n+1=-3a n 3) a 1=5, 且

1

1+=

+n n

a a n n 2.在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，求18a .

3.已知无穷数列 ,10

,10,10,105

1525150-n ，

求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的

10

1

， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4.设数列{}n a 为 1

3

2

4,3,2,1-n nx

x x x ()0≠x 求此数列前项的和。

5.已知数列{a n }中，a 1=-2且a n+1=S n ，求a n ,S n

6.是否存在数列{a n }，其前项和S n 组成的数列{S n }也是等比数列，且公比相同？

7.在等比数列{}n a 中，400,60,364231>=+=n S a a a a ，求的范围。