第1讲 坐标系
第1讲 坐标系
一、知识梳理 1．坐标系 (1)伸缩变换
设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：?
????x ′＝λ·
x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，
点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．
(2)极坐标系
在平面内取一个定点O 叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．
2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，
则?????x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，????
?ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）Ｗ. 3．直线的极坐标方程
若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0
－α)．
4．圆的极坐标方程
若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2
＝0.
常用结论
几种简单曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆
ρ＝2r cos θ(－π
2≤θ<π
2) 圆心为(r ，π
2
)，半径为r 的圆
ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线
(1)θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋
α(ρ∈R )，
(2)θ＝α和θ＝π＋α
过点(a ，0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a
(－π2<θ<π
2
) 过点(a ，π
2
)，与极轴平行的直线
ρsin θ＝a
(0<θ<π)
二、教材衍化
1．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )
A ．ρ＝
1cos θ＋sin θ
，0≤θ≤π
2
B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π
4
C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π
2
D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π
4
解析：选A.y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝1
sin θ＋cos θ
，
由0≤x ≤1，得0≤y ≤1，所以θ∈???
?0，π
2.故选A. 2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________．
解析：法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为?
???1，－π
2. 法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos ????θ＋π2，知圆心的极坐标为????1，－π
2. 答案：?
???1，－π
2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )
(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是????2，－π
3.( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏 常见误区
|Ｋ(1)极坐标与直角坐标的互化致误；
(2)求极坐标方程不会结合图形求解致误．
1．在极坐标系中，已知点P ????2，π
6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A ．ρsin θ＝1 B ．ρsin θ＝ 3 C ．ρcos θ＝1
D ．ρcos θ＝ 3
解析：选A.先将极坐标化成直角坐标表示，P ????2，π
6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π
6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.
2．在极坐标系中A ????2，－π3，B ????4，2π
3两点间的距离为________． 解析：
法一(数形结合)：在极坐标系中，A ，B 两点如图所示，|AB |＝|OA |＋|OB |＝6. 法二：因为A ????2，－π3，B ????4，2π
3的直角坐标为A (1，－3)，B (－2，23)． 所以|AB |＝（－2－1）2＋（23＋3）2＝6.
答案：6
平面直角坐标系中的伸缩变换(自主练透)
1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换???x ′＝1
2x ，
y ′＝1
3y
后的图形．
(1)5x ＋2y ＝0； (2)x 2＋y 2＝1.
解：伸缩变换???x ′＝12
x ，
y ′＝13y ，则?
????x ＝2x ′，
y ＝3y ′，
(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线．
(2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2
＝1，为椭圆．
2．求双曲线
C ：x 2－
y 2
64＝1经过φ：?
????x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． 解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，
由?????x ′＝3x ，2y ′＝y ，得?????x ＝x ′3，
y ＝2y ′，
代入曲线C ：x 2
－y 264＝1，得x ′2
9－y ′2
16
＝1，
即曲线C ′的方程为x 29－y 2
16
＝1，
因此曲线C ′的焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 3．将圆x 2＋y 2＝1
变换为椭圆x 29＋y 2
4＝1的一个伸缩变换公式为φ：?
????X ＝ax （a >0），Y ＝by （b >0），求
a ，
b 的值．
解：由?????X ＝ax ，Y ＝by
得???x ＝1
a X ，y ＝1
b Y ，
代入x 2
＋y 2
＝1中得X 2
a 2
＋Y
2b 2
＝1，所以a 2
＝9，b 2
＝4，
因为a >0，b >0，所以a ＝3，b ＝2.
(1)平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：?????x ′＝λx （λ>0），
y ′＝μy （μ>0）
的作用下的变换方程的求法是将
???x ＝x ′
λ，
y ＝y ′μ
代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)为所求． (2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解．
极坐标与直角坐标的互化(师生共研)
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C 2的直角坐标方程；
(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．
【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.
(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．
当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|
k 2
＋1＝2，故k ＝－
4
3
或k ＝0. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－4
3时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2
与C 2有两个公共点．
当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1
＝2，故k ＝0
或k ＝43
.
经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝4
3时，l 2与C 2没有公共点．
综上，所求C 1的方程为y ＝－4
3
|x |＋2.
极坐标方程与直角坐标方程的互化
(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．
1．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ????θ－π4＝2
2(ρ≥0，0≤θ<2π)．
(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ????θ－π4＝2
2， 即ρsin θ－ρcos θ＝1，
故直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，
将两方程联立得?????x 2＋y 2－x －y ＝0，
x －y ＋1＝0，
解得?
????x ＝0，
y ＝1，
即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为???
?1，π
2即为所求． 2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ????θ－π
4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，
所以O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ???
?θ－π
4＝2， 所以ρ2－22ρ????cos θcos π4＋sin θsin π
4＝2. 所以O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ????θ＋π4＝2
2.
求曲线的极坐标方程(师生共研)
(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ????2，π4，C ?
???2，3π
4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，????1，π
2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵
.
(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；
(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标． 【解】 (1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵
所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.
所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ?
???0≤θ≤π
4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ????π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ???
?3π4≤θ≤π.
(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知：
若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；
若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π
3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6
. 综上，P 的极坐标为?
???3，π6或????3，π3或????3，2π3或????3，5π
6.
求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
(2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在
曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P .
(1)当θ0＝π
3
时，求ρ0及l 的极坐标方程；
(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解：(1)因为M (ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π
3＝2 3.
由已知得|OP |＝|OA |cos π
3
＝2.
设Q (ρ，θ)为l 上除P 的任意一点．连接OQ ，
在Rt △OPQ 中，ρcos ????θ－π
3＝|OP |＝2. 经检验，点P ????2，π3在曲线ρcos ????θ－π
3＝2上． 所以，l 的极坐标方程为ρcos ???
?θ－π
3＝2. (2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是????
π4，π2. 所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈????π4，π2.
极坐标方程的应用(师生共研)
(2020·江淮十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
?
????x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)已知A ，B 是曲线C 上任意两点，且∠AOB ＝π
3，求△OAB 面积的最大值．
【解】 (1)消去参数α，得到曲线C 的普通方程为 (x －2)2＋y 2＝4，
故曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(2)在极坐标系中，不妨设A (ρ1，θ0)，B (ρ2，θ0＋π3)，其中ρ1>0，ρ2>0，－π2<θ0<π
2，由(1)
知：ρ1＝4cos θ0，ρ2＝4cos(θ0＋π
3
)．
△OAB 面积S ＝12ρ1ρ2sin π3＝43cos θ0cos(θ0＋π
3
)，
S ＝23cos 2θ0－6sin θ0cos θ0＝3(1＋cos 2θ0)－3sin 2θ0＝23cos ????2θ0＋π
3＋3， 当2θ0＋π3＝0时，即θ0＝－π
6时，cos ????2θ0＋π3有最大值1.此时S max ＝3 3. 故△OAB 面积的最大值为3 3.
极坐标应用中的注意事项
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正半轴重合；
③取相同的长度单位．
(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．
(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0，2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．
1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?
????x ＝1＋cos φ，
y ＝sin φ(其中φ为参数)，曲线
C 2：x 28＋y 2
4
＝1.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；
(2)射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (且点A ，B 均异于原点O )，当0<α<
π
2时，求|OB |2－|OA |2的最小值．
解：(1)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，
同理，可得C 2的极坐标方程为ρ2＝
8
1＋sin 2
θ
. (2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝4cos 2α， 联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝8
1＋sin 2α
，
则|OB |2－|OA |2＝
81＋sin 2α－4cos 2α＝81＋sin 2α－4(1－sin 2α)＝81＋sin 2α
＋4(1＋sin 2α)－8≥2
8
1＋sin 2
α
×4（1＋sin 2α）－8＝82－8(当且仅当sin α＝2－1时取等号)．
所以|OB |2－|OA |2的最小值为82－8.
2．在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2.
(1)求曲线C 2的极坐标方程；
(2)求曲线C 2上的点到直线ρcos ????θ＋π
4＝2距离的最大值． 解：(1)设P (ρ1，θ)，M (ρ2，θ)，
由|OP |·|OM |＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝4
ρ1.
因为M 是C 1上任意一点，所以ρ2sin θ＝2， 即4
ρ1
sin θ＝2，ρ1＝2sin θ. 所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(2)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，即x 2＋y 2－2y ＝0， 化为标准方程为x 2＋(y －1)2＝1，
则曲线C 2的圆心坐标为(0，1)，半径为1， 由直线ρcos ???
?θ＋π
4＝2， 得ρcos θcos π4－ρsin θsin π
4＝2，即x －y ＝2，
圆心(0，1)到直线x －y ＝2的距离为 d ＝|0－1－2|2
＝32
2，
所以曲线C 2上的点到直线ρcos ????θ＋π4＝2距离的最大值为1＋32
2
.
[基础题组练]
1．(2020·山东省安丘市、诸城市联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：?
????x ＝cos t ，
y ＝1＋sin t (t 为
参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2ρcos ???
?θ－π
3＝3 3. (1)求曲线C 1的极坐标方程；
(2)已知点M (2，0)，直线l 的极坐标方程为θ＝π
6，它与曲线C 1的交点为O ，P ，与曲线
C 2的交点为Q ，求△MPQ 的面积．
解：(1)C 1：?????x ＝cos t ，
y ＝1＋sin t ，
其普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，化为极坐标方程为C 1：ρ＝2sin θ.
(2)联立C 1与l 的极坐标方程?????ρ＝2sin θ，
θ＝π6
，解得P 点极坐标为????1，π6， 联立C 2
与l 的极坐标方程???
2ρcos ???
?θ－π
3＝33，θ＝π
6，
解得Q 点极坐标为????3，π
6，所以PQ ＝
2，又点M 到直线l 的距离d ＝2sin π
6
＝1，
故△MPQ 的面积S ＝1
2
PQ ·d ＝1.
2．(2020·江西九江模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?
????x ＝1＋cos α，
y ＝sin α(α
为参数)，曲线C 2：x 23
＋y 2
＝1.
(1)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C 1，C 2的极坐标方程； (2)射线OT ：θ＝π
6
(ρ≥0)与C 1异于极点的交点为A ，与C 2的交点为B ，求|AB |的大小．
解：(1)由?????x ＝1＋cos α
y ＝sin α
得(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，
所以C 1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ； 由x 23＋y 2
＝1得C 2的极坐标方程为ρ2cos 2 θ3
＋ρ2sin 2 θ＝1. (2)联立?????ρ＝2cos θθ＝π6
得|OA |＝ρ1＝2cos π6
＝3， 联立???
??ρ2cos 2 θ
3
＋ρ2sin 2 θ＝1，θ＝π6
得|OB |＝ρ2＝2，
所以|AB |＝3－ 2.
3．平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.
(1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值．
解：(1)直线l 的参数方程为?????x ＝－2＋t cos α，
y ＝－4＋t sin α
(t 为参数)，
ρsin 2θ＝2cos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 得直角坐
标方程为y 2＝2x .
(2)把直线l 的参数方程代入y 2＝2x 得 t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 由一元二次方程根与系数的关系得t 1t 2＝
20
sin 2α
， 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α
＝40，得α＝π
4或α
＝3π
4
. 又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α>0，所以α＝π
4
.
4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：???x ＝2cos φ，
y ＝sin φ
(φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2
－2y ＝0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O )．
(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；
(2)当0<α<π
2
时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围．
解：(1)因为?????x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，所以曲线C 1的普通方程为x 22
＋y 2
＝1.
由?
????x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝2
1＋sin 2θ. 因为x 2＋y 2－2y ＝0，
所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)由(1)得|OA |2＝ρ2＝2
1＋sin 2
α
，|OB |2＝ρ2＝4sin 2α， 所以|OA |2＋|OB |2＝
21＋sin 2α＋4sin 2α＝21＋sin 2α
＋4(1＋sin 2α)－4，
因为0<α<π
2，所以1<1＋sin 2α<2，
所以6<2
1＋sin 2
α＋4(1＋sin 2α)<9， 所以|OA |2＋|OB |2的取值范围为(2，5)．
[综合题组练]
1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是x ＝4.曲线C 的参数方程是
??
?x ＝1＋2cos φ，
y ＝1＋2sin φ
(φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；
(2)若射线θ＝α????ρ≥0，0<α<π4与曲线C 交于点O ，A ，与直线l 交于点B ，求|OA |
|OB |的取值范围．
解：(1)由x ＝ρcos θ，得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝4.
曲线C 的参数方程为?????x ＝1＋2cos φ，
y ＝1＋2sin φ
(φ为参数)，
消去参数φ得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2， 即x 2＋y 2－2x －2y ＝0，
将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ. (2)设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)， 则ρ1＝2cos α＋2sin α，ρ2＝
4
cos α
， 所以|OA ||OB |＝ρ1ρ2＝（2cos α＋2sin α）cos α4
＝sin αcos α＋cos 2α2＝14(sin 2a ＋cos 2α)＋14
＝
24
sin ??
??2α＋π4＋14， 因为0<α<π4，所以π4<2α＋π4<3π4，
所以
2
2
所以12<24sin ?? ??2α＋π4＋14≤1＋24. 故 |OA ||OB |的取值范围是? ????12 ，1＋24. 2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y ＝6，圆C 的参数方程是? ????x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为 参数)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)分别求直线l 与圆C 的极坐标方程； (2)射线OM ：θ＝α????0<α<π 2与圆C 的交点为O ，P 两点，与直线l 交于点M ，射线ON ：θ＝α＋π2与圆C 交于O ，Q 两点，与直线l 交于点N ，求|OP ||OM |·|OQ | |ON | 的最大值． 解：(1)直线l 的方程是y ＝6，可得极坐标方程为ρsin θ＝6，圆C 的参数方程是 ? ?? ??x ＝cos φ， y ＝1＋sin φ(φ为参数)， 可得普通方程为x 2＋(y －1)2＝1， 展开为x 2＋y 2－2y ＝0. 化为极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ. (2)由题意可得，点P ，M 的极坐标为(2sin α，α)，(6sin α ，α)． 所以|OP |＝2sin α，|OM |＝6sin α ，可得|OP ||OM |＝sin 2 α 3. 同理可得|OQ | |ON |＝sin 2????α＋π 23＝cos 2α3 . 所以|OP ||OM |·|OQ ||ON |＝sin 2 2α36≤136 . 当α＝π 4时，取等号． 所以|OP ||OM |·|OQ ||ON |的最大值为136 . 3．在直角坐标系中，已知曲线M 的参数方程为???x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β (β为参数)，在极 坐标系中，直线l 1的方程为α1＝θ，直线l 2的方程为α2＝θ＋π 2 . (1)写出曲线M 的普通方程，并指出它是什么曲线； (2)设l 1与曲线M 交于A ，C 两点，l 2与曲线M 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围． 解：(1)由?????x ＝1＋22cos β， y ＝1＋22sin β (β为参数)，消去参数β，得曲线M 的普通方程为(x －1)2 ＋(y －1)2＝8， 所以曲线M 是以(1，1)为圆心，22为半径的圆． (2)设|OA |＝ρ1，|OC |＝ρ2，因为O ，A ，C 三点共线， 则|AC |＝|ρ1－ρ2|＝ （ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 (*)， 将曲线M 的方程化成极坐标方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)－6＝0， 所以? ????ρ1＋ρ2＝2（sin θ＋cos θ）， ρ1ρ2＝－6，代入(*)式得|AC |＝28＋4sin 2θ. 用θ＋π 2 代替θ，得|BD |＝ 28－4sin 2θ， 又l 1⊥l 2，所以S 四边形ABCD ＝1 2|AC |·|BD |， 所以S 四边形ABCD ＝ 12 （28＋4sin 2θ）（28－4sin 2θ）＝2 49－sin 22θ， 因为sin 22θ∈[0，1]，所以S 四边形ABCD ∈[83，14]． 4．在极坐标系中，已知曲线C 1：ρcos ????θ＋π4＝22，C 2：ρ＝1(0≤θ≤π)，C 3：1ρ2＝cos 2 θ3 ＋sin 2θ.设C 1与C 2交于点M . (1)求点M 的极坐标； (2)若直线l 过点M ，且与曲线C 3交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB | |AB |的最小值． 解：(1)曲线C 1：ρcos ????θ＋π4＝22，可得x －y ＝1， C 2：ρ＝1(0≤θ≤π)，可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，由?????x －y ＝1， x 2＋y 2＝1（y ≥0）， 可得点M 的直角坐标为(1，0)，因此点M 的极坐标为(1，0)． (2)由题意得，曲线C 3的直角坐标方程为x 2 3 ＋y 2＝1.设直线l 的参数方程为 ??? ??x ＝1＋t cos α， y ＝t sin α (t 为参数)，代入曲线C 3的直角坐标方程并整理得(3sin 2α＋cos 2α)t 2＋(2cos α)t －2＝0.设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝－2cos α3sin 2α＋cos 2α，t 1t 2 ＝－2 3sin 2α＋cos 2α， 所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝ 2 3sin 2α＋cos 2α ， |AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝? ????－2cos α3sin 2α＋cos 2α2－4·? ???? －23sin 2α＋cos 2α ＝ 23 1＋sin 2α 3sin 2α＋cos 2α . 所以|MA |·|MB | |AB | ＝ 33 1＋sin 2α . 因为0≤α<π，所以0≤sin 2α≤1. 所以当α＝π2时，sin α＝1，此时|MA |·|MB ||AB |有最小值，最小值为6 6. 第1章绪论 1.1选题的背景和意义 在当今的社会发展和经济发展中，所得到的数据第一要满足较大比例地形图在测图过程中的需要，第二还要满足一般工程在建筑和设计中的需要。在工程施工放样的过程中要求控制网中两点所求的实际的长度和由坐标返算所得的长度的数量值是要相等的，如果是在采用国家坐标系所得到的结果在大多数情况下是不能满足上述要求的，原因是国家坐标系每个投影带都是按6°或者3°的间隔划分的，国家坐标系的参考椭球面是它的高程归化面，可是在实际的测量中，在平时的工程建筑所在的地区一般情况下是不会恰好落在投影带上或者相近位置的，它的位置与参考椭球面也存在着一些距离，这些因素将会导致长度和实际测得的长度不一致。 在《工程测量规范》(GBSOO26-93)中规定：平面控制网的坐标系统，应满足测区内高程归化改正和高斯投影变形改正之代数和(也就是即投影长度变形值)不大于2.5cm/km，也就意味着高程规划改正和高斯投影变形改正之代数和的相对误差要小于或者等于1/40000。当我们的实际测量时，工程所在地区的国家坐标系如果不能符合这一条件时，我们就要建立地方独立坐标系用来减少误差，从而将它们的误差控制在很小的范围内，最后使得到的结果在实际的操作时不需作任何换算。 1.2国内外研究现状 1.2.1国外的研究现状 地心坐标系的采用已经成为世界测绘发展的大趋势。北美、欧洲、澳大利亚等发达国家和地区相继建成了地心坐标系。美国早在1986年就做完了关于北美大地坐标系的NAD83的建立，对北美洲的三个国家等地区的20多万个点进行了测量，并且获得了其地心坐标。1984年建立了WGS-84；1996年作了进一步改进，标以WGS-84(G873)，历元为1997.0；WGS-84(G873)与ITRF2000的符合程度在5cm。EUREF的维持基于欧洲60多个永久观测站的站坐标时间序列，而SIRGAS的维持基于分布南美大陆以及周边两个岛屿上的若干个IGS站的速度场以及板块运动模型(这主要针对没有重复观测的框架点而言)，它的发展方向是基于南美大陆上的GPS永久观测站的速度场。 极坐标系 教学目标： 认识极坐标，能在极坐标中用极坐标刻画点的位置； 体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。 教学重点和难点： 重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。 难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。 教学基本流程： 一、建立问题情景，体会引进新坐标系的必要性。 开场白：大家有没有见过这种图片？！台风的卫星云 图。众所周知台风危害很大，所以我们非常关注台风中心 的位置。 气象台会把它和平面地图组合起来从而得到一张台风 的路径图。根据路径图，及时播报台风中心的位置。从小 到大我们听过很多次台风预报。今天也请大家来当一回主 播，根据这张图你来描述一下台风中心位置。（学生参与描述） 看一下气象台是怎么播报的：“今年第8号台风“凤凰”， 今天下午4时中心位置已经到达温州东南偏南方向大约800 公里附近的洋面上，也就是在北纬22.3度，东经123.8度” （视频最好）。（评价学生的描述） 问：哪些条件刻画了台风中心的位置? 东经123.8度，北纬22.3度。温州东南偏南方向大约800公里的海面上。 经纬度可以准确刻画地球表面任意一点的位置，在这张平面地图上， 相交的两条经纬线，是不是也准确刻画了这张平面地图上的任意一点。如 果把平面地图延伸开来，经纬线是不是也能刻画整个平面上任意一点的位 置？！你得到什么样的启发？ 1637年笛卡尔受天文地理的经度、纬度启发,创建了平面直角坐标系, 用横坐标和纵坐标确定平面中任意一点的位置。 建立问题情景，体会引进极坐标系的必要性 极坐标系与直角坐标系的区别 极坐标系的历史 问题的提升，体会引进极坐标系的必要性 极坐标与直角坐标的互化公式 总结 给出极坐标系的概念 1.2.2极坐标和直角坐标的关系 授课人：高二林林 1．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式； 2．会实现极坐标和直角坐标之间的互化． 3. 掌握极坐标与直角坐标互化的三个前提条件。 1．重点：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式． 2．难点：直角坐标转化为极坐标时极角的确定． 一、课前自主学习 1．教材助读 （1）回顾任意角三角函数的定义． （2）极坐标与直角坐标的互化公式是：①；②．（3）极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件是什么？ 二、探究·合作·展示 ※学习探究 【探究一】 （1）怎么推导出极坐化为直角坐标的公式 例1、将点M 的极坐标)32,2(π 化成直角坐标． 练习 )3,2(π A )6-,2(π B ) 23,4(πC ) 6,-2(πD 【探究二】 （1）怎样推导出直角坐标转化为极坐标的公式 例2、将点M 的直角坐标)3,1(化成极坐标． 练习1、 )3,1(-B )3,1(--C ，)3,1(-D 结论： [)20π，的极角判定方法： 练习2将下列各点的直角坐标转化为极坐标 )1,1(--M )3,1(-N 坐标轴上的点 )0,2(A )0,2(-B )2,0(C )2,0(-D 高考链接 （13广西高考）在极坐标系中，点)3,2(πM 关于极轴所在直线的对称点N 的 直角坐标为（ ） )3,1(A )3,-1(B )3,1(-C )3,-1(-D 更上一层楼 已知极坐标系中的两个点 )3,4(π A 和)32,6(π B ，求 AB 1极坐标与直角坐标互化的三个前提： 2极坐标与直角坐标互化的公式： 四、课后作业 教材第10页 练习第一题、练习第二题 小结评价 一．本节课学习了以下内容，具体有： 二．你有什么收获？写下你的心得及对自己的评价。 1、应该记住的内容： 2、个人心得与质疑： 3、个人或小组评价： 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解． R T K测量中独立坐标系的建立 RTK测量中独立坐标系的建立 摘要：介绍GPS-RTK测量中WGS-84大地坐标系与独立坐标系转换的方法及南方测绘工程之星数据处理中坐标转换的方法，同时结合工程实例予以验证。 关键词：GPS-RTK测量；WGS-84大地坐标系；独立坐标系；坐标转换 1 引言 在水利工程测量中，多数情况下工程所处位置地形复杂，交通不便，通视条件较差，采用以经纬仪、全站仪测量为代表的常规测量常常效率低下。随着GPS-RTK测量系统的使用，由于它具有观测速度快，定位精度高，经济效益高等特点，现在我院多数水利工程测量都是采用RTK测量技术来完成。对于GPS-RTK系统来说，由于它采用的是WGS-84固心坐标系，而在实际工程应用中，由于顾及长度变形、高程异常等影响而采用独立坐标系，这就需要将RTK测量采集的数据在两坐标系中进行转换。 2 国家坐标系及独立坐标系的建立 2.1 国家坐标系的建立 在我国，由于历史原因先后采用不同的参考椭球体和大地起算数据而形成多个国家坐标系，主要国家坐标系有1954北京坐标系、1980西安坐标系、2000国家坐标系和WGS-84坐标系。前两个是参心坐标系，后两个是固心坐标系。由于他们采用不同的椭球体参数，所以地面上同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标值。 国家坐标系的主要作用是在全国建立一个统一的平面和高程基准，为发展国民经济、空间技术及国防建设提供技术支撑，也为防灾、减灾、环境监测及当代地球科学研究提供基础资料。 2.2 独立坐标系的建立 在工程应用中，由于起算数据收集困难、测区远离中央子午线及满足特殊要求等诸多原因，如在水利工程测量中，常要测定或放样水工建筑物的精确位置，要计算料场的土石方贮量和水库的库容。规范要求投影长度变形不大于一定的值（如《工程测量规范》为2.5cm/km,《水利水电工程测量规范（规范设计阶段）》为5.0cm/km）。如果采用国家坐标系统在许多情况下（如高海拔地区、离中央子午线较远地方等）不能满足这一要求，这就要求建立地方独立坐标系。 在常规测量中，这种独立坐标系只是一种高斯平面直角坐标系，而在采用GPS-RTK采集数据时，独立坐标系就是一种不同于国家坐标系的参心坐标系。 跟国家坐标系一样，建立独立坐标要确定的主要元素有：坐标系的起算数据、中央子午线、参考椭球体参数及投影面高程等。对于起算数据，可以采用国家坐标系的坐标和方位角或任意假设坐标和方位角。在RTK测量中，我们常采用基线的某一端点的单点定位解作为起点，然后以另一点定向，用测距仪测出基线边长，经改正后算出基线端点的坐标；中央子午线常采用测区中央的子午线；投影面常采用测区的平均高程面。参考椭球体一般是基于原来的参考椭球体做某种改动，使改变后的参考椭球面与投影面拟合最好，投影变形可以减到最小，也便于与国家坐标系统进行换算。 3 坐标系的转换 GPS-RTK接收机采集的坐标数据是基于WGS-84椭球下的大地坐标，而我们经常使用的独立坐标系是基于某种局部椭球体下的平面直角坐标，这两种坐标是不同坐标基准下的两种表现形式。利用WGS-84下的大地坐标来推求独立坐标系中的平面直角坐标，必然要求得两坐标系之间转换参数。求取转换参数的基本思路是利用两坐标系中必要个数的公共点，根据相应的椭球参数及中央子午线采用最小二乘法严密平差解算转换参数，具体操作是由转换模型把不同坐标基准下的坐标转换为同基准下的不同坐标形式，再进行同基准下不同坐标形式的转换，从而得到所要的独立坐标系中的平面直角坐标。转换的难点是WGS-84椭球与独立坐标系局部椭球的变换。 3.1 常用的坐标转换方法 1．柱坐标系 柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为 Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有 之间的)z ，θ，ρ(表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组R)∈z ()z ，θ，ρ(序数组一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点 R. ∈z ，2π＜θ≥0,0≤ρ，其中)z ，θ，ρ(P 的柱坐标，记作P (2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z. 由公式求出ρ，再由tan θ＝y x 求θ. 由公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ， 得ρ2＝x 2＋y 2 ， 即ρ2 ＝12 ＋(3)2 ＝4，∴ρ＝2. tan θ＝y x ＝3， 又x >0，y >0，点在第一象限．∴θ＝π 3 ， ∴点A 的柱坐标为? ?? ??2，π3，5. 已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是 已知点P 的柱坐标为? ?? ??4，π3，8， 求 它的直角坐标． 直接利用公式求解． 由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z 得 x ＝4cos π 3 ＝2，y ＝4sin π3 ＝23，z ＝8. ∴点P 的直角坐标为(2,23，8)． 已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 即可． 3．点N 的柱坐标为? ?? ??2，π2，3，求它的直角坐标． 解：由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ， 得 x ＝ρcos θ＝2cos π 2 ＝0，y ＝ρsin θ＝2sin π2 ＝2， 故点N 的直角坐标为(0,2,3)． 4．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为? ?? ??2，π2，1，求A ，B 两点间距离． 解：由x ＝ρcos θ，得x ＝cos π＝－1. 由y ＝ρsin θ，得y ＝sin π＝0. ∴A 点的直角坐标为(－1,0,2)． 同理，B 点的直角坐标为(0,2,1)． ∴|AB |＝ －1－ ＋－ ＋ － ＝ 6. 故A ，B 两点间的距离为 6. 课时跟踪检测(五) 一、选择题 1．设点M 的直角坐标为(1，－3，2)，则它的柱坐标是( ) A.? ????2，π3，2 B.? ????2，2π3，2 C.? ????2，4π3，2 D.? ?? ??2，5π3，2 坐标系与参数方程 *选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 第一讲 一、平面直角坐标系 伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 方法1：求伸缩变换后的图形。 由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。 例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。 方法2：待定系数法求伸缩变换。 求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。 例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换: 二、极坐标 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 2.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 4.极坐标与直角坐标的互化： 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 2019-2020年高中数学 第一讲 坐标系 二 极坐标系成长训练 新人教A 版选修4-4 夯基达标 1.点P 的直角坐标为(-,)，那么它的极坐标可表示为( A.(2,) B.(2,) C.(2,) D.(2,) 解析:因为点P (-,)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为,故选B.这种类型的问题是极坐标这一知识点中最基本的知识,是这一章知识的基础 答案:B 2.点P (ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是( ) A.(-ρ0,θ0) B.(ρ0,-θ0) C.(-ρ0,-θ0) D.(-ρ0,θ0+π) 解析:由ρ取负值时点的确定方法即可 答案:A 3.方程ρ2cos2θ=c 2 (c>0)的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:方程ρ2cos2θ=c 2ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=c 2x 2-y 2=c 2 答案:C 4.曲线的极坐标方程为a ρcos 2 θ+bcos θ-sin θ=0(a≠0),则曲线是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:将方程a ρcos 2θ+b cos θ-sin θ=0各项都乘以 ρ,a ρ2cos 2θ+b ρcos θ-ρsin θ=0ax 2+bx -y =0y =ax 2 +bx ,是抛物线 答案:D 5.点P 1(2,),P 2(-3,-),则|P 1P 2|的值为( A. B.5 C. D. 解析:应用极坐标系中两点间的距离公式 |P 1P 2|= )-θ(θρρ-+ρρ12212 221cos 2(ρ1、ρ 2 其中P 2(3,),代入可得 地方独立坐标系的建立 2006年第2期地方独立坐标系的建立43 地方独立坐标系的建立 张胜利 (水利部陕西水利电力勘测设计研究院测绘总队陕西西安710002) 摘要坐标系统是所有测量工作的基础,它影响到测量成果的正确性和可靠性,对 于不同的测量工作选择恰当的独立坐标系能保证工程项目顺利实施.本文介绍了建 立独立坐标系的几种方法,并对其优缺点进行分析. 关键词独立坐标系;高斯投影;抵偿高程面;高程归化面 1引言 在工程建设地区布设测量控制网时,其成果不仅要满足大比例尺地形图测图的需要,还要 满足一般工程放样的需要.施工放样时要求控制网中两点的实测长度与由坐标返算的长度应 尽可能相符,而采用国家坐标系其坐标成果大多数情况下是无法满足这些要求的,这是因为国 家坐标系每个投影带都是按一定间隔(6.或3.)划分,其高程归化面为参考椭球面,工程建设所 在地区不可能正好落在国家坐标系某一投影带中央附近,其地面位置也与参考椭球面有一定 距离,这两项将产生高程归化改正和高斯投影变形改正,经过这两项改正后的长度不可能与实 测长度相等. 《工程测量规范》(GB5oo26--93)规定:平面控制网的坐标系统,应满足测区内高程归化改 正和高斯投影变形改正之代数和(即投影长度变形值)不大于2.5cm/km,即相对误差小于1/4 万.当测区的国家坐标系不能满足这一规定时,就要建立地方独立坐标系以减小投影长度变 形产生的影响,将它们的影响控制在微小的范围内,使计算出的长度在实际利用时不需作任何 改算. 2高程归化改正与高斯投影变形改化的计算 地面观测边长的归算可分为高程归化和高斯投影长度改化,其计算公式如下: (1)地面观测边长归算到参考椭球面上的长度归算公式 S—D十,:一—DH=(1) 式中:S——归化到参考椭球圆上的长度; D——地面上的观测长度; —— 二、极坐标系的概念 教学目标： 知识与技能：理解极坐标的概念,掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点难点： 教学重点：理解极坐标的意义,对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置,互化关系式的掌握 教学过程： 一、复习引入： 情境1：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。 （1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ （2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ 问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？ 这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离 与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础． 二、讲解新课： 从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 1、极坐标系的建立： 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和 计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标 系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。） 强调:极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM ρθ就叫做M的的角度，ρ叫做点M的，θ叫做点M的，有序数对(,) . 强调:一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．特别地，当点M在极 点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数． 三．典型例题 例1 写出下图中各点的极坐标 A（）B（）C（） D（）E（）F（）G（） 【反思感悟】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前， 极角θ在后，不能把顺序搞错了． ①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种 表示方法？ 人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案 课型： 复习课 课时数： 1 讲学时间： 2010年1月18号 班级： 学号： 姓名： 一、【学习目标】： 1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。 4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程，能进行参数方程与普通方程的互化。 二、【回归教材】： 1、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》152P P -,试了解以下内容： （1）设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在伸缩变换公式???>?='>?=') 0()0(:μμλλ?y y x x 的作用下，如何找到点P 的对应点),(y x P '''？试找出x y sin =变换为x y 2sin 3=的伸缩变换公式 . （2）极坐标系是如何建立的？试类比平面直角坐标系的建立过程画一个，并写出点M 的极径与极角来 表示它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，写出极坐标和直角坐标的互化公式 . （3）在平面直角坐标系中，曲线C 可以用方程0),(=y x f 来表示，在极坐标系中，我们用什么方程来 表示这段曲线呢？例如圆222r y x =+，直线x y =，你是如何用极坐标方程表示它们的？ 2、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》3721P P -，了解以下内容： （1）直接给出这条曲线上点的坐标间的关系的方程叫做普通方程，那如果变数t 都是点坐标x ，y 的函 数，我们如何建立这条曲线的参数方程呢？ （2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型，我们是如何做到的？在互化的过程中， 必须注意什么问题？试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。 1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换???x ′＝1 2x ， y ′＝1 3y 后，曲线C ：x 2 ＋y 2 ＝36变为何种曲 线，并求曲线的焦点坐标． 解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)， 则? ????x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1. 所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 2 4＝1， 其焦点坐标为(±5，0)． 2．(2015·高考江苏卷)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin(θ－π 4)－4＝0，求圆C 的半径． 解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C 的极坐标方程为 ρ2＋22ρ?? ? ?22sin θ－22cos θ－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6. 3．(2016·扬州质检)求经过极点O (0，0)，A ????6，π2，B ????62，9π 4三点的圆的极坐标方程． 解：将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)， 故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形， 圆心为(3，3)，半径为32， 圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18， 即x 2＋y 2－6x －6y ＝0， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程， 得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0， 即ρ＝62cos ? ???? θ－π4. 4．圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 解：(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝4x ， 即x 2＋y 2－4x ＝0为⊙O 1的直角坐标方程． 同理，x 2＋y 2＋4y ＝0为⊙O 2的直角坐标方程． 四 柱坐标系与球坐标系简介 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、柱坐标系 定义：如图1-4-1，建立空间直角坐标系O-xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标.这时点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R )表示.这样，就建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z)叫做点P 的柱坐标，记作P(ρ,θ,z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞ 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。 1.2大地测量学的作用 ?大地测量学是一切测绘科学技术的基础，在国民经济建设和社会发展中发挥着决定性的基础保证作用。 ?大地测量学在防灾，减灾，救灾及环境监测、评价与保护中发挥着特殊作用。 ?大地测量是发展空间技术和国防建设的重要保障。 ?在地球科学中的地位。 2.3.3 地方独立坐标系 在城市测量和工程测量中，若直接在国家坐标系中建立控制网，有时会使地面长度的投影变形较大，难以满足实际或工程上的需要。为此，往往需要建立地方独立坐标系。 在常规测量中，这种地方独立坐标系一般只是一种高斯平面坐标系，也可以说是一种不同于国家坐标系的参心坐标系[7]。 建立地方独立坐标系，就是要确立坐标系的一些有关的元素，并根据这些元素和地面观测值求定各点在该坐标系中的坐标值。 (1)独立坐标系的中央子午线： 确定地方独立坐标系的中央子午线一般有三种情况： ①尽量取国家坐标系三度带的中央子午线作为它的中央子午线； ②当测区离三度带中央子午线较远时，应取过测区中心的经线或取过某个起算点的经线作为中央子午线； ③若已有的地方独立坐标系没有明确给定中央子午线，则应该根据实际情况进行分析，找出该地方独立坐标系的中央子午线。 (2)起算点坐标[8]： 一般有以下几种情况： ①以某些在国家坐标系中的坐标为起算点坐标，如果中央子午线不同，可以通过 换带计算求得； 参数名称数值 地球椭球扁率f = 1/ 298.257 赤道上的正常重力= 978.032 ×10?2ms? 2 e γ 极点的正常重力= 983.212×10?2ms ?2 p γ 正常重力公式中的系数0.005302, 0.0000058 1 β= β= ? 正常椭球面上的重力位2 20 U = 62636830m s ? 2 地球椭球与坐标系之基本理论 ②直接以某些点在国家坐标系中的坐标为任意带独立坐标系中的起算点坐标； ③将起算点坐标取为某个特定值。例如取为：xk= 0，yk=0。 (3)坐标方位角： ①以两个点在国家坐标系中的坐标方位角为起始方位角；当采用任意带时，一般 是先将这两个点的坐标通过换带计算求得它们的任意带的坐标值，然后反算得到起算方位角； ②测定两点的天文方位角作起算方位角； §1.3.1极坐标系 在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。 对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。 当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角θ可取任何实数。 在极坐标系中，若无特殊声明，ρ是非负实数，[)+∞∈,0ρ，),(+∞-∞∈θ。 当[)πθρ2,0,0∈>时，平面上的点与极坐标一一对应。事实上，对给定的ρ与θ，由极坐标（ρ，θ）可以唯一地确定一个点M ，但是反过来，平面上给定一点，却可以写出这个点的无数多个极坐标。根据点的极坐标（ρ，θ）的定义，对于给定的点，它的极径ρ是唯一确定的，但极角却可以有无穷多种，如果我们写出了它的极坐标（ρ，θ），则（ρ，πθn 2+）也是这个点的 极坐标，其中n 是任意整数，当0>n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 逆时针转动了n 圈又回到原处，当0 高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 选修4-4 极坐标系课时作业 一、选择题 1．在极坐标系中，点M (－2，π6 )的位置，可按如下规则确定( ) A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6 ，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6 OP 上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使∠xOP ＝ 7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2 D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6 ，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 解析：当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点． 答案：B 2．在极坐标平面内，点M (π3，200π)，N (－π3，201π)，G (－π3，－200π)，H (2π＋π3 ，200π)中互相重合的两个点是( ) A ．M 和N B ．M 和G C ．M 和H D ．N 和H 解析：由极坐标定义可知，M 、N 表示同一个点． 答案：A 3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称 D ．两点重合 解析：因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称． 答案：A 4．已知极坐标平面内的点P (2，－ 5π3 )，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( ) A ．(2，π3)，(1，3) B ．(2，－π3)，(1，－3) 浅谈2000国家大地坐标系向地方独立坐标系的转换 摘要：大约在十年前，我国的国家级和省级的基础地理信息数据已经初步通过2000国家大地坐标系，然而通过国家坐标系统，在一些离中央子午线较远或者海拔较高的地区无法达到相关要求，这就需要将地方独立坐标系建立起来。本文对2000国家大地坐标系向地方独立坐标系的转化进行分析和研究，以供参考。 关键词：2000国家大地坐标系；地方独立坐标系；转换 1 2000国家大地坐标系与地方独立坐标系的建立 1.1 2000国家大地坐标系的建立 2000国家大地坐标系是全球地心坐标系在我国进行实践的具体体现，其原点 主要是大地和海洋的质量中心，z轴是根据相关规定协议地级方向，x轴表示的是相关规定当中定义的协议赤道和子午面的交点，y轴是依照右手坐标系而建立起 来的，通过2000国家大地坐标系能够加强定位系统的精确性，广泛应用于各个 领域。 1.2地方独立坐标系的建立 在工程测量及城市测绘过程中如果通过国家坐标系来进行控制网的建设，往 往会出现地面长度投影变形量较大等问题，无法达到工程的实际操作需求，所以 一定要建立起与实际情况相适应的地方独立坐标系。地方独立坐标系的建立，主 要是为了让高程归化和投影形变的情况造成的误差缩小，通过地方独立坐标系的 建设可以保证达到所需要的精度，不会由于精度无法达到要求，而对工程建设产 生影响。 2 2000国家大地坐标系与地方独立坐标系转换的理论基础 某市在建设的过程中选取四参数转换模型，对坐标转换参数进行控制，把2000国家大地坐标系的成果向地方独立坐标系的成果进行转化。 2.1重合点选取 在坐标系选用的过程中，两个坐标系都有坐标成果控制点，在选择的过程中，主要原则是覆盖整个转换区域，要求精度较高，而且具有较高的等级，分布均匀。 2.2转换参数计算 首先通过转换模型和重合点的选择，对转换参数进行计算，将残差大于三倍 的误差重合点剔除，对坐标转换参数进行重新计算，直到符合精度要求为止，通 过最小二乘法来对参数进行计算。 2.3精度评定 坐标转换精度一般通过外符合精度来进行评定，根据计算参数转换参数的重 合点残差中误差来对坐标转换精度进行评估，如果残差小于三倍，那么其定位精 度符合要求，在计算的过程中，外部的检核点的误差公式为 3转换方法 坐标转换模型需要与地方控制点和城市数字地图的转化相结合，通常条件下 通过平面四参数模型进行转换，如果重合点比较多，可以通过多元回归模型来进 行控制，如果数字地图和相对独立的平面坐标系统控制点都是三维地心坐标的时候，可以通过Bursa七参数转换模型进行转换。在转换的过程中，需要控制误差 不超过0.05米，并且需要对重合点的选取原则进行明确，首先需要对地方控制点 的高精度控制点和计算点进行择优选择，在一般情况下，在大中城市至少需要保 证使用五个重合点，这些重合点需要均匀的分布，包含在城市的各个区域当中， 数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一 平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P ，填表： 两点间的距离公式 中点P 的坐标公式 |P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ???x ＝x 1 ＋x 22y ＝y 1 ＋y 2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ????x ′＝λx （λ>0） y ′＝μy （μ>0）的作用下， 点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 二 极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)，(k ∈Z )． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ? ????x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2 ＝x 2 ＋y 2 ，tan θ＝y x （x ≠0）. 三 简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆心位置 极坐标方程 图 形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π)大地坐标系的建立
高中数学教案：二 极坐标系
1.2.2极坐标系与直角坐标的关系
高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型
RTK测量中独立坐标系的建立
高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系学案含解析新人教A版选修4_4
选修4-4 坐标系与参数方程知识点及经典例题
2019-2020年高中数学 第一讲 坐标系 二 极坐标系成长训练 新人教A版选修4-4
地方独立坐标系的建立
极坐标系的概念
人教版高中数学选修44坐标系与参数方程全套教案
优化方案高考理科数学北师大一轮复习练习：选修44 坐标系与参数方程 第1讲知能训练轻松闯关 含答案
高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介导学案新人教A版选修44
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案
地方独立坐标系介绍
极坐标系
高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》全套教案
新课标人教A版选修4-4第一讲极坐标系课时作业
浅谈2000国家大地坐标系向地方独立坐标系的转换
高中数学选修4-4知识点(坐标系与参数方程)