高考数学：不等式(高考真题+模拟新题)(文科)
高考数学：不等式（高考真题+模拟新题）（文科）
E1 不等式的概念与性质
10．B11、B12、E1[浙江卷] 设a >0,b >0,e 是自然对数的底数( ) A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ,则a >b B ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ,则a b D ．若e a －2a ＝e b －3b ,则a 10．A [解析] 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否,考查观察、构想、推理的能力．由e a ＋2a ＝e b ＋3b ,有e a ＋3a >e b ＋3b ,令函数f (x )＝e x ＋3x ,则f (x )在(0,＋∞)上单调递增,∵f (a )>f (b ),∴a >b ,A 正确,B 错误； 由e a －2a ＝e b －3b ,有e a －2a 7．E1、B6、B7[湖南卷] 设a ＞b ＞1,c ＜0,给出下列三个结论： ①c a ＞c b ；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③ 7．D [解析] 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较,意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小,利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c (c <0)在(0,＋∞)上单调递减,又a ＞b ＞1,所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )＞log b (b －c ),又由对数的换底公式可知log b (b －c ) ＞log a (b －c ),所以log b (a －c )＞log a (b －c ),故选项D 正确． [易错点] 本题易错一：不等式基本性质不了解,以为①错；易错二：指数式大小比较,利用指数函数的性质比较,容易出错；易错三：对换底公式不了解,无法比较,错以为③错． 1．E1、E3[北京卷] 已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0},B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0},则A ∩B ＝( ) A ．(－∞,－1) B.? ? ? ??－1，－23 C.? ???? －23，3 D ．(3,＋∞) 1．D [解析] 本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解． 因为 A ＝{x |3x ＋2>0}＝??????????x ? ?? x >－2 3＝? ????－23 ，＋∞, B ＝{x |x <－1或x >3}＝(－∞,－1)∪(3,＋∞), 所以A ∩B ＝(3,＋∞),答案为D. 6．D3、E1[北京卷] 已知{a n }为等比数列,下面结论中正确的是( ) A ．a 1＋a 3≥2a 2 B ．a 21＋a 23≥2a 2 2 C ．若a 1＝a 3,则a 1＝a 2 D ．若a 3>a 1,则a 4>a 2 6．B [解析] 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式． 对于A 选项,当数列{a n }首项为负值,公比为负值时明显不成立,比如a n ＝(－1)n ,a 1＋a 3＝－ 2<2a 2＝2,故A 错误；对于B 选项,a 21 ＋ a 23 ≥2|a 1 a 3 | ＝ 2a 22 ,明显成立,故B 正确； 对于C 选项,由a 1＝a 3＝a 1q 2只能得出等比数列公比q 2＝1,q ＝±1,当q ＝－1时,a 1≠a 2,故C 错误；对于选项D,由a 3>a 1可得a 1(q 2－1)>0,而a 4－a 2＝a 2(q 2－1)＝a 1q (q 2－1)的符号还受到q 符号的影响,不一定为正,也就得不出a 4>a 2,故D 错误． E2 绝对值不等式的解法 9．E2[天津卷] 集合A ＝{ x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为________． 9．－3 [解析] 将|x －2|≤5去绝对值得－5≤x －2≤5,解之得－3≤x ≤7,∴x 的最小整数为－3. E3 一元二次不等式的解法 13．E3[江苏卷] 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ,b ∈R )的值域为[0,＋∞),若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ,m ＋6),则实数c 的值为________． 13．9 [解析] 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法．解题突破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系． 由条件得a 2－4b ＝0,从而f (x )＝? ???? x ＋a 22, 不等式f (x ) 2＋c , 故????? －a 2－c ＝m ，－a 2＋ c ＝m ＋6， 两式相减得c ＝3,c ＝9. 12．E3[湖南卷] 不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________． 12．{x |2≤x ≤3} [解析] 本题考查解一元二次不等式,意在考查考生解一元二次不等式． 解不等式得 (x －2)(x －3)≤0,即2≤x ≤3,所以不等式的解集是{x |2≤x ≤3}． [易错点] 本题易错一：把不等式解集的界点忘记,没包括2或者3,错解为{x |2 14．A2、A3、B3、E3[北京卷] 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3),g (x )＝2x －2,若?x ∈R ,f (x )<0或g (x )<0,则m 的取值范围是________． 14．(－4,0) [解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能,考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力． 由已知g (x )＝2x －2<0,可得x <1,要使?x ∈R ,f (x )<0或g (x )<0,必须使x ≥1时,f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0恒成立, 当m ＝0时,f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件,所以二次函数f (x )必须开口向下,也就是m <0,要满足条件,必须使方程f (x )＝0的两根2m ,－m －3都小于1,即??? 2m <1， －m －3<1， 可得m ∈(－4,0)． 1．E1、E3[北京卷] 已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0},B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0},则A ∩B ＝( ) A ．(－∞,－1) B.? ? ???－1，－23 C.? ???? －23，3 D ．(3,＋∞) 1．D [解析] 本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解． 因为 A ＝{x |3x ＋2>0}＝? ????? ????x ??? x >－23 ＝? ????－23，＋∞, B ＝{x |x <－1或x >3}＝(－∞,－1)∪(3,＋∞), 所以A ∩B ＝(3,＋∞),21．B12、E3[广东卷] 设00},B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0},D ＝A ∩B . (1)求集合D (用区间表示)； (2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点． 21．解：(1)x ∈D ?x >0且2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0. 令h (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a , Δ＝9(1＋a )2－48a ＝3(3a －1)(a －3)． ①当1 30,∴B ＝R . 于是D ＝A ∩B ＝A ＝(0,＋∞)． ②当a ＝1 3时,Δ＝0,此时方程h (x )＝0有唯一解 x 1＝x 2＝3(1＋a )4＝3? ? ? ? ?1＋134＝1, ∴B ＝(－∞,1)∪(1,＋∞)． 于是D ＝A ∩B ＝(0,1)∪(1,＋∞)． ③当0 3时,Δ>0,此时方程h (x )＝0有两个不同的解 x 1＝ 3＋3a －3(3a －1)(a －3) 4 , x 2＝ 3＋3a ＋3(3a －1)(a －3) 4 . ∵x 1 ∴B ＝(－∞,x 1)∪(x 2,＋∞)． 又∵x 1>0?a >0, ∴D ＝A ∩B ＝(0,x 1)∪(x 2,＋∞)． (2)f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )． 当0 ①当1 3 由表可得,x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点,x ＝1为 f (x )在D 内的极小值点． ②当a ＝1 3时,D ＝(0,1)∪(1,＋∞)． 由表可得,x ＝1 3为f (x )在D 内的极大值点． ③当0 3时,D ＝(0,x 1)∪(x 2,＋∞)． ∵x 1＝3＋3a －3(3a －1)(a －3)4 ＝3＋3a －(3－5a )2－16a 24 ≥1 4[3＋3a －(3－5a )]＝2a >a 且x 1<3＋3a 4<1, x 2＝ 3＋3a ＋3(3a －1)(a －3) 4 ＝3＋3a ＋(1－3a )2＋(8－24a )4 >3＋3a ＋(1－3a )4 ＝1, ∴a ∈D,1?D . 由表可得,x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点． 答案为D. 2．E3[重庆卷] 不等式x －1 x ＋2<0的解集为( ) A ．(1,＋∞) B ．(－∞,－2) C ．(－2,1) D ．(－∞,－2)∪(1,＋∞) 2．C [解析] 原不等式等价于(x －1)(x ＋2)＜0,解得－2＜x ＜1,选C. [点评] 分式不等式通常转化为整式不等式来解,其主要转化途径：(1)f (x ) g (x ) >0?f (x )g (x )>0；(2) f (x ) g (x ) <0?f (x )g (x )<0. 10．A1、E3、B6[重庆卷] 设函数f (x )＝x 2－4x ＋3,g (x )＝3x －2,集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))>0|,则N ＝{x ∈R |g (x )<2},则M ∩N 为( ) A ．(1,＋∞) B ．(0,1) C ．(－1,1) D ．(－∞,1) 10．D [解析] 因为f (g (x ))＝[g (x )]2－4g (x )＋3,所以解关于g (x )不等式[g (x )]2－4g (x )＋3＞0,得g (x )＜1或g (x )＞3,即3x －2＜1或3x －2＞3,解得x ＜1或x ＞log 35,所以M ＝(－∞,1)∪(log 35,＋∞),又由g (x )＜2,即3x －2＜2,3x ＜4,解得x ＜log 34,所以N ＝(－∞,log 34),故M ∩N ＝(－∞,1),选D. E4 简单的一元高次不等式的解法 11．E4[江西卷] 不等式x 2－9 x －2>0的解集是________． 11．{x |－3 17．B12、E4[重庆卷] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ,b 的值； (2)若f (x )有极大值28,求f (x )在[－3,3]上的最小值． 17．解：因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ,故f ′(x )＝3ax 2＋b . 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16. 故有??? f ′(2)＝0，f (2)＝c －16， 即??? 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得??? 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8， 解得a ＝1,b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ； f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0,得x 1＝－2,x 2＝2. 当x ∈(－∞,－2)时,f ′(x )>0,故f (x )在(－∞,－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时,f ′(x )<0,故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )>0,故f (x )在(2,＋∞)上为增函数． 由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ,f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28,得c ＝12. 此时f (－3)＝9＋c ＝21,f (3)＝－9＋c ＝3,f (2)＝－16＋c ＝－4, 因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4. E5 简单的线性规划问题 2．E5[天津卷] 设变量x ,y 满足约束条件??? 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0， x －1≤0， 则目标函数z ＝3x －2y 的最小 值为( ) A ．－5 B ．－4 2．B [解析] 概括题意画出可行域如图． 当目标函数线过可行域内点A (0,2)时,目标函数有最小值z ＝0×3－2×2＝－4. 8．E5[四川卷] 若变量x ,y 满足约束条件???? ? x －y ≥－3， x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12， x ≥0，y ≥0， 则z ＝3x ＋4y 的最大值是( ) A ．12 B ．26 C ．28 D ． 33 8．C [解析] 由已知,画出可行域如图, 可知当x ＝4,y ＝4时,z ＝3x ＋4y 取得最大值, 最大值为28. 10．E5[上海卷] 满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是________． 10．－2 [解析] 考查简单的线性规划问题,此题的难点是如何正确画出可行域． 画图可知,约束条件表示的区域是一个平行四边形区域,四个顶点分别是(0,1),(2,0)(0,－1)(－2,0)．通过平移参照直线y －x ＝0,可知在(2,0)处取得最小值,z min ＝0－2＝－2. 9．E5[辽宁卷] 设变量x ,y 满足??? x －y ≤10， 0≤x ＋y ≤20， 0≤y ≤15， 则2x ＋3y 的最大值为( ) A ．20 B ．35 9．D [解析] 本小题主要考查线性规划．解题的突破口为作出可行域,借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． 不等式组表示的区域如图1－1所示,令z ＝2x ＋3y ,目标函数变为y ＝－23x ＋z 3,故而当截距越大,z 的取值越大,故当直线z ＝2x ＋3y 经过点A 时,z 最大,由于??? x ＋y ＝20，y ＝15???? x ＝5， y ＝15，故而A 的坐标为(5,15),代人z ＝2x ＋3y ,得到z max ＝55,即2x ＋3y 的最大值为55. 5．E5[课标全国卷] 已知正三角形ABC 的顶点A (1,1),B (1,3),顶点C 在第一象限,若点(x ,y )在△ABC 内部,则z ＝－x ＋y 的取值范围是( ) A ．(1－3,2) B ．(0,2) C ．(3－1,2) D ．(0,1＋3) 5．A [解析] 由正三角形的性质可求得点C ()1＋3，2,作出△ABC 表示的可行域(如下图所示不含△ABC 的三边)． 可知当直线z ＝－x ＋y 经过点C (1＋3,2)时,z ＝－x ＋y 取得最小值,且z min ＝1－3；当直线z ＝－x ＋y 经过点B (1,3)时,z ＝－x ＋y 取得最大值,且z max ＝2.因为可行域不含△ABC 的三边,故z ＝－x ＋y 的取值范围是()1－3，2.故选A. 5．E5[广东卷] 已知变量x ,y 满足约束条件??? x ＋y ≤1， x －y ≤1， x ＋1≥0， 则z ＝x ＋2y 的最小值为( ) A ．3 B ．1 C ．－5 D ．－6 5．C [解析] 作出可行域,如图所示． 目标函数变形为：y ＝－12x ＋1 2z ,平移目标函数线,显然当直线经过图中A 点时,z 最小,由??? x ＝－1，x －y ＝1 得A (－1,－2),所以z min ＝－1－4＝－5.所以选择C. 10．E5[福建卷] 若直线y ＝2x 上存在点(x ,y )满足约束条件??? x ＋y －3≤0， x －2y －3≤0， x ≥m ， 则实数m 的 最大值为( ) A ．－1 B ．1 C.3 2 D ．2 10．B [解析] 根据约束条件画出可行域如下图所示, 根据题意,显然当直线y ＝2x 与直线y ＝－x ＋3相交,交点的横坐标即为m 的最大值,解方程组：??? y ＝2x ，y ＝－x ＋3，解得x ＝1.所以当m ≤1时,直线y ＝2x 上存在点(x ,y )满足约束条件,所以m 的最大值为1. 14．E5[全国卷] 若x ,y 满足约束条件??? x －y ＋1≥0， x ＋y －3≤0， x ＋3y －3≥0， 则z ＝3x －y 的最小值为________． 14．－1 [解析] 本小题主要考查线性规划最优解的应用,解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线． 利用不等式组,作出可行域,则目标函数直线过(0,1)时,z 取最小值－ 1. 8．E5[安徽卷] 若x ,y 满足约束条件??? x ≥0，x ＋2y ≥3， 2x ＋y ≤3， 则z ＝x －y 的最小值是( ) A ．－3 B ．0 C.3 2 D ．3 8．A [解析] 作出不等式组??? x ≥0， x ＋2y ≥3， 2x ＋y ≤3 表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及 内部)．平移直线z ＝x －y ,易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时,目标函数z ＝x －y 取得最小值,即z min ＝－3. 14．E5[浙江卷] 设z ＝x ＋2y ,其中实数x ,y 满足??? x －y ＋1≥0， x ＋y －2≤0， x ≥0， y ≥0， 则z 的取值范围是 ________． 14．[答案] ??? ? ??0，72 [解析] 约束条件得到的可行域为下图中的四边形ABCO 及其内部,由目标函数z ＝x ＋2y 可 得y ＝－12x ＋z 2,直线x ＋2y －z ＝0平移通过可行域时,截距z 2在B 点取得最大值,在O 点取得最小值,B 点坐标为? ????12，32, 故z ∈??? ? ??0，72. 21．B9、B12、E5[陕西卷] 设函数f (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈N ＋,b ,c ∈R )． (1)设n ≥2,b ＝1,c ＝－1,证明：f (x )在区间? ???? 12，1内存在唯一零点； (2)设n 为偶数,|f (－1)|≤1,|f (1)|≤1,求b ＋3c 的最小值和最大值； (3)设n ＝2,若对任意x 1,x 2∈[－1,1]有|f (x 1)－f (x 2)|≤4,求b 的取值范围． 21．解：(1)当b ＝1,c ＝－1,n ≥2时,f (x )＝x n ＋x －1. ∵f ? ????12f (1)＝? ???? 12n －12×1＜0. ∴f (x )在? ?? ?? 12，1内存在零点． 又当x ∈? ???? 12，1时,f ′(x )＝nx n －1＋1＞0, ∴f (x )在? ???? 12，1上是单调递增的, ∴f (x )在? ?? ?? 12，1内存在唯一零点． (2)解法一：由题意知??? －1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1，即??? 0≤b －c ≤2， －2≤b ＋c ≤0. 由图像知,b ＋3c 在点(0,－2)取到最小值－6, 在点(0,0)取到最大值0, ∴b ＋3c 的最小值为－6,最大值为0. 解法二：由题意知 －1≤f (1)＝1＋b ＋c ≤1,即－2≤b ＋c ≤0,① －1≤f (－1)＝1－b ＋c ≤1,即－2≤－b ＋c ≤0,② ①×2＋②得 －6≤2(b ＋c )＋(－b ＋c )＝b ＋3c ≤0, 当b ＝0,c ＝－2时,b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时,b ＋3c ＝0, 所以b ＋3c 的最小值为－6,最大值为0. 解法三：由题意知??? f (－1)＝1－b ＋c ， f (1)＝1＋b ＋c ， 解得b ＝ f (1)－f (－1)2,c ＝f (1)＋f (－1)－22 , ∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3. 又∵－1≤f (－1)≤1,－1≤f (1)≤1, ∴－6≤b ＋3c ≤0, 所以b ＋3c 的最小值为－6,最大值为0. (3)当n ＝2时,f (x )＝x 2＋bx ＋c . 对任意x 1,x 2∈[－1,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4等价于f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4.据此分类讨论如下： ①当?????? b 2＞1,即|b |＞2时,M ＝|f (1)－f (－1)|＝2|b |＞4,与题设矛盾． ②当－1≤－b 2＜0,即0＜b ≤2时, M ＝f (1)－f ? ????－b 2＝? ???? b 2＋12≤4恒成立． ③当0≤－b 2≤1,即－2≤b ≤0时, M ＝f (－1)－f ? ????－b 2＝? ???? b 2－12≤4恒成立． 综上可知,－2≤b ≤2. 注：②,③也可合并证明如下： 用max{a ,b }表示a ,b 中的较大者． 当－1≤－b 2≤1,即－2≤b ≤2时, M ＝max{f (1),f (－1)}－f ? ???? －b 2 ＝ f (－1)＋f (1)2＋|f (－1)－f (1)|2－f ? ?? ?? －b 2 ＝1＋c ＋|b |－? ?? ?? －b 2 4＋c ＝? ? ???1＋|b |22≤4恒成立． 3．E5、K3[北京卷] 设不等式组??? 0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一 个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π 4 B.π－22 C.π 6 D.4－π4 3．D [解析] 本题考查了线性规划、圆的概念、圆的面积公式以及几何概型公式等基础知识． 如图所示,P ＝S 2S ＝S －S 1S ＝4－π 4. 14．E5[湖北卷] 若变量x ,y 满足约束条件??? x －y ≥－1， x ＋y ≥1， 3x －y ≤3， 则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值 是________． 14．[答案] 2 [解析] 作出不等式组??? x －y ≥－1， x ＋y ≥1， 3x －y ≤3 所表示的可行域,如下图阴影部分所示(含边界)． 可知当直线z ＝2x ＋3y 经过直线x ＋y ＝1与直线3x －y ＝3的交点M (1,0)时,z ＝2x ＋3y 取得最小值,且z min ＝2. 6．E5[山东卷] 设变量x ,y 满足约束条件??? x ＋2y ≥2， 2x ＋y ≤4， 4x －y ≥－1， 则目标函数z ＝3x －y 的取值范 围是( ) A.??????－32，6 B.??????－32，－1 C ．[－1,6] D.??? ? ??－6，32 6．A [解析] 本题考查简单的线性规划问题,考查数据处理能力,容易题． 可行域为如图所示阴影部分． 当目标函数线l 移至可行域中的A 点(2,0)时,目标函数有最大值z ＝3×2－0＝6；当目标函数线l 移至可行域中的B 点? ?? ?? 12，3时,目标函数有最小值z ＝3×12－3＝－32. E6 2 a b +≤ 9．E6[浙江卷] 若正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy ,则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6 9．C [解析] 本题考查利用基本不等式求最值,考查学生观察、变形判断的能力． 由x >0,y >0,x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1,则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )? ????15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥13 5＋ 3x 5y ·12y 5x ＝5,当且仅当3x 5y ＝12y 5x 即x ＝1,y ＝1 2时等号成立． 10．E6、E8[陕西卷] 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b ),其全程的平均时速为v ,则( ) A ．a ＜v ＜ab B ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b 2 10．A [解析] 由小王从甲地往返到乙地的时速为a 和b ,则全程的平均时速为v ＝2s ? ????s a ＋s b ＝ 2ab a ＋b ,又∵a 2ab ＝ab ,∴a 21．B12、E7[辽宁卷] 设f (x )＝ln x ＋x －1,证明： (1)当x >1时,f (x )<3 2(x －1)； (2)当1 9(x －1) x ＋5 . 21．解：(1)(证法一) 记g (x )＝ln x ＋x －1－3 2(x －1)．则当x >1时, g ′(x )＝1x ＋12x －3 2<0,g (x )在(1,＋∞)上单调递减． 又g (1)＝0,有g (x )<0,即 f (x )<3 2(x －1)． (证法二) 由均值不等式,当x >1时,2x 令k (x )＝ln x －x ＋1,则k (1)＝0,k ′(x )＝1 x －1<0, 故k (x )<0,即 ln x 由①②得,当x >1时,f (x )<3 2(x －1)． (2)(证法一) 记h (x )＝f (x )－9(x －1) x ＋5,由(1)得 h ′(x )＝1x ＋12x －54 (x ＋5)2 ＝2＋x 2x －54(x ＋5)2 ＝(x ＋5)3－216x 4x (x ＋5)2 令g (x )＝(x ＋5)3－216x ,则当1 x ＋5 . (证法二) 记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1), 则当1 ＋12x －9 ＝1 2x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ] <12x ??????3x (x －1)＋(x ＋5)? ????2＋x 2＋12－18x ＝1 4x (7x 2－32x ＋25) <0. 因此h (x )在(1,3)内单调递减,又h (1)＝0,所以h (x )<0,即f (x )< 9(x －1) x ＋5 . E8 不等式的综合应用 14．E8[江苏卷] 已知正数a ,b ,c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ,c ln b ≥a ＋c ln c ,则b a 的取值范围是 ________． 14．[e,7] [解析] 本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用．解题突破口为将所给不等式条件同时除以c ,三元换成两元． 题设条件可转化为????? 3a c ＋b c ≥5， a c ＋b c ≤4， b c ≥e a c ， 记x ＝a c ,y ＝b c ,则??? 3x ＋y ≥5， x ＋y ≤4，y ≥e x ， x ，y >0， 且目标函数为z ＝y x , 上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形．由方程组??? 3x ＋y ＝5，x ＋y ＝4， 得交点坐标为C ? ????12，72,此时z max ＝7.又过原点作曲线y ＝e x 的切线,切点为(x 0,y 0), 因y ′＝e x ,故切线斜率k ＝e x 0,切线方程为y ＝e x 0x ,而y 0＝e x 0且y 0＝e x 0x 0,解之得x 0＝1,故切线方程为y ＝e x ,从而z min ＝e,所求取值范围为[e,7]． 15．E8[福建卷] 已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是________． 15．(0,8) [解析] 不等式在R 上恒成立,则满足Δ＝a 2－4×2a <0,解得0 10．E6、E8[陕西卷] 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b ),其全程的平均时速为v ,则( ) A ．a ＜v ＜ab B ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b 2 10．A [解析] 由小王从甲地往返到乙地的时速为a 和b ,则全程的平均时速为v ＝2s ? ????s a ＋s b ＝ 2ab a ＋b ,又∵a 2ab ＝ab ,∴a (2)若a ＝1,k 为整数,且当x >0时,(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0,求k 的最大值． 21．解：(1)f (x )的定义域为(－∞,＋∞),f ′(x )＝e x －a . 若a ≤0,则f ′(x )>0,所以f (x )在(－∞,＋∞)单调递增． 若a >0,则当x ∈(－∞,ln a )时,f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ,＋∞)时,f ′(x )>0, 所以,f (x )在(－∞,ln a )单调递减,在(ln a ,＋∞)单调递增． (2)由于a ＝1,所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1. 故当x >0时,(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于 k e x －1＋x (x >0)． ① 令g (x )＝x ＋1 e x －1 ＋x , 则g ′(x )＝－x e x －1(e x －1)2＋1＝e x (e x －x －2) (e x －1)2 . 由(1)知,函数h (x )＝e x －x －2在(0,＋∞)单调递增．而h (1)<0,h (2)>0,所以h (x )在(0,＋∞)存在唯一的零点．故g ′(x )在(0,＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α,则α∈(1,2)． 当x ∈(0,α)时,g ′(x )<0；当x ∈(α,＋∞)时,g ′(x )>0.所以g (x )在(0,＋∞)的最小值为g (α)． 又由g ′(α)＝0,可得e α＝α＋2,所以g (α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k 22．B12、E8[湖北卷] 设函数f (x )＝ax n (1－x )＋b (x ＞0),n 为整数,a ,b 为常数．曲线y ＝f (x )在(1,f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1. (1)求a ,b 的值； (2)求函数f (x )的最大值； (3)证明：f (x )＜1 n e . 22．解：(1)因为f (1)＝b ,由点(1,b )在x ＋y ＝1上,可得1＋b ＝1,即b ＝0. 因为f ′(x )＝anx n －1－a (n ＋1)x n ,所以f ′(1)＝－a , 又因为切线x ＋y ＝1的斜率为－1,所以－a ＝－1,即a ＝1.故a ＝1,b ＝0. (2)由(1)知,f (x )＝x n (1－x )＝x n －x n ＋1 ,f ′(x )＝(n ＋1)x n －1? ? ? ??n n ＋1－x . 令f ′(x )＝0,解得x ＝ n n ＋1,即f ′(x )在(0,＋∞)上有唯一零点x 0＝n n ＋1 . 在? ? ???0，n n ＋1上,f ′(x )>0,f (x )单调递增； 而在? ???? n n ＋1，＋∞上,f ′(x )<0,f (x )单调递减． 故f (x )在(0,＋∞)上的最大值为f ? ????n n ＋1＝ ? ????n n ＋1n ? ? ???1－n n ＋1＝n n (n ＋1)n ＋1 . (3)证明：令φ(t )＝ln t －1＋1t (t ＞0),则φ′(t )＝1t －1t 2＝t －1 t 2(t ＞0)． 在(0,1)上,φ′(t )＜0,故φ(t )单调递减； 而在(1,＋∞)上,φ′(t )＞0,φ(t )单调递增． 故φ(t )在(0,＋∞)上的最小值为φ(1)＝0.所以φ(t )＞0(t ＞1), 即ln t ＞1－1 t (t ＞1)． 令t ＝1＋1n ,得ln n ＋1n ＞1n ＋1,即ln ? ????n ＋1n n ＋1 ＞lne, 所以? ?? ??n ＋1n n ＋1 ＞e,即n n (n ＋1)n ＋1＜1n e . 由(2)知,f (x )≤n n (n ＋1)n ＋1＜1 n e ,故所证不等式成立． 9．A2、E8[湖北卷] 设a ,b ,c ∈R ＋,则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1 c ≤a ＋b ＋c ”的( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像； （Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+，其中0 f x x a x a>． （I）当a=1时，求不等式()32 ≥+的解集． f x x （II）若不等式()0 x≤-，求a的值． f x≤的解集为｛x|1} 2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|. (Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集； （Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12 )时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 2013全国卷Ⅱ 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值； （II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由. 2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a （Ⅰ）证明：() f<，求a的取值范围. f x≥2 （Ⅱ）若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； （Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 1.（2018?卷Ⅱ）设函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围 2.（2013?辽宁）已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1 （1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集； （2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．3.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集； （Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 4.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲] 已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 5.（2017?新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分） （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围． 6.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲] 已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 7.（2018?卷Ⅰ）已知 （1）当时，求不等式的解集 （2）若时，不等式成立，求的取值范围 8.（2018?卷Ⅰ）已知f(x)=|x+1|-|ax-1| （1）当a=1时,求不等式f(x)>1的解集 （2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围 9.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 10.（2014?新课标II）设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）． （1）证明：f（x）≥2； （2）若f（3）＜5，求a的取值范围． 11.（2015·福建)选修4-5：不等式选讲 已知，函数的最小值为4．（1）求的值； 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??= 2012高考真题分类汇编：不等式 1.【2012高考真题重庆理2】不等式 01 21 ≤+-x x 的解集为 A.??? ??- 1,21 B.??????-1,21 C.[)+∞???? ??-∞-,121. D.[)+∞???? ? ? -∞-,121, 对 【答案】A 【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ，即12 1 <<-x 或1=x ，所以不等式的解为12 1 ≤<- x ，选A. 2.【2012高考真题浙江理9】设a 大于0，b 大于0. A.若2a +2a=2b +3b ，则a ＞b B.若2a +2a=2b +3b ，则a ＞b C.若2a -2a=2b-3b ，则a ＞b D.若2a -2a=a b -3b ，则a ＜b 【答案】A 【解析】若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则 ()2ln 220x f x '=?+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其 余选项用同样方法排除．故选A 3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 【答案】C. 【解析】设生产x 桶甲产品，y 桶乙产品，总利润为Z ， 则约束条件为???????>>≤+≤+0 012 2122y x y x y x ，目标函数为300400Z x y =+， 均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< (2019?上海7)若x ，y R +∈，且 123y x +=，则y x 的最大值为 ． 【解答】 解：132y x = +… ∴298 y x =?； 故答案为：98 (2019?上海5)已知x ，y 满足002x y x y ????+? ……?，则23z x y =-的最小值为 ． 【解答】解：作出不等式组002x y x y ????+? ……?表示的平面区域，由23z x y =-即23x z y -=，表示直线在y 轴上的截距的相反数的13 倍，平移直线230x y -=，当经过点(0,2)时，23z x y =-取得最小值6-，故答案为：6-． (2019?浙江3)若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+??--??+? …?…则32z x y =+的最大值是( ) A ．1- B ．1 C ．10 D ．12 【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+??--??+? …?…作出可行域如图，联立340340x y x y -+=??--=?，解得(2,2)A ，化目标函数32z x y =+为3122y x z =-+，由图可知，当直线3122 y x z =-+过(2,2)A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值：10． 故选：C ． (2019?天津文10)设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 ． 【解答】解：2320x x +-<，将232x x +-分解因式即有： (1)(32)0x x +-<；2(1)()03 x x +-<； 由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边” 可得：213 x -<<； 即：2{|1}3x x -<<；或2(1,)3 -； 故答案为：2(1,)3 -； (2019?天津文理13)设0x >，0y >，25x y += 的最小值为 ． 【解答】解：0x >，0 y >，25x y +=， 则===； 由基本不等式有： = 当且仅当=时，即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =??=?或232x y =???=??时；等号成立， 故答案为： 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 2015-2019高考数学全国卷真题（不等式选讲） 2019-3-23.设,,,x y z R ∈且1x y z + +=. （1）求()()()222111x y z -++++的最小值； （2）()()()2221213x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 2019-2-23.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 2019-1-23.已知a ，b ，c 为正数，且满足1=abc ．证明： （1）22211 1 a b c a b c ++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 2018-3-23.已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像； (2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 2018-2-23.设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 2018-1-23.已知()|1||1|f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集； （2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范. 2017-3-23.已知函数21)(--+=x x x f ． （1）求不等式1)(≥x f 的解集； （2）若不等式m x x x f +-≥2)(的解集非空，求m 的取值范围． 第45炼 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >= （1）调和平均数：12 111n n n H a a a = ++ + （2 ）几何平均数：n G = （3）代数平均数：12n n a a a A n ++ + = （4）平方平均数： n Q = 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a === 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b + ≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 3y x x =+≥，右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两 个 2x ，则22422y x x x x x =+=++≥= ② 乘积的式子→和为定值，例如3 02 x << ，求()()32f x x x =-的最大值。则考虑变积为和后保证x 能够消掉，所以()()()2 112329 322322228 x x f x x x x x +-??=-=?-≤= ???（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求 m n x y +的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。 例如：已知0,0,231x y x y >>+=，求 32 x y +的最小值 解： ()3232942366y x x y x y x y x y ??+=++=+++ ??? 94121224y x x y =+ +≥+= （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值 解：()2 2 21 1222 228 x y x y xy x y ++??=??≤ = ? ?? 所以()() 2 224248 x y x y xy x y +++=?++ ≥ 即()()2 282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥，即()min 24x y += 基本不等式 基础梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋ b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 22 ab ≤????a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥????a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2， 当且仅当x ＝1时取等号． 答案 C 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1. 答案 B 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12 . 答案 A 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2 ＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2 (x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则 a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b > >（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。 【例】（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0< <<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______（答：12,2? ?-- ?? ?） 2. 不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 【例】（1）设0,10>≠>t a a 且，比较 21log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22 a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或4 3 x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当 413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3log x ＝2log 2x ） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方 针。 【例】（1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-（答：C ）； （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （答：； （3）正数,x y 满足21x y +=，则y x 1 1+的最小值为______ （答：3+； 4.常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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