专训6 三角函数在学科内的综合应用

专训6三角函数在学科内的综合应用名师点金：

1.三角函数与其他函数的综合应用：此类问题常常利用函数图象与坐标轴的交点构造直角三角形，再结合锐角三角函数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标．2．三角函数与方程的综合应用：主要是与一元二次方程之间的联系，利用方程根的情况，最终转化为三角形三边之间的关系求解．

3．三角函数与圆的综合应用：主要利用圆中的垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角关系转化为同一直角三角形的边角关系求解．

4．三角函数与相似三角形的综合应用：此类问题常常是由相似得成比例线段，再转化成所求锐角的三角函数.

三角函数与一次函数的综合应用

1．如图，直线y＝kx－1与x轴、y轴分别交于B，C两点，tan∠OCB＝1

(1)求点B的坐标和k的值；

(2)若点A(x，y)是直线y＝kx－1上的一个动点(且在第一象限内)，在点A的运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式．

(第1题)

2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴直线x＝1交x轴于点B，连接EC，AC，点P，Q为动点，设运动时间为t秒．

(1)求点A的坐标及抛物线对应的函数解析式；

(第2题)

(2)如图，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？

3．如图，反比例函数y＝k

(x＞0)的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x

轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB＝3 2 .

(1)求k的值；

(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y＝k

(x＞0)的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE对应的函数解析式；

(3)若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论，并说明理由．

(第3题)

三角函数与方程的综合应用

4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.已知a，b是关于x的一元二次方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，且9c＝25a sin A.

(1)试判断△ABC的形状；

(2)△ABC的三边长分别是多少？

5．已知关于x的方程5x2－10x cosα－7cosα＋6＝0有两个相等的实数根，求边长为10 cm且两边所夹的锐角为α的菱形的面积．

三角函数与圆的综合应用

6．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心、CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF FD＝4 3.

(1)求证：点F是AD的中点；

(2)求cos∠AED的值；

(3)如果BD＝10，求半径CD的长．

(第6题)

7．【中考·遂宁】如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N.

(1)求证：∠ADC＝∠ABD；

(2)求证：AD2＝AM·AB；

(3)若AM＝18

5，sin∠ABD＝3

5，求线段BN的长．

(第7题)

三角函数与相似三角形的综合应用

8．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连接FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF，BE，且BE⊥FG.

(1)求证：BF＝BG；

(2)若tan∠BFG＝3，S△CGE＝63，求AD的长．

(第8题)

答案

1．解：(1)把x ＝0代入y ＝kx －1，得y ＝－1，∴点C 的坐标是(0，－1)，∴OC ＝1.在Rt △OBC 中，∵tan ∠OCB ＝OB OC ＝12，∴OB ＝1

∴点B

把B y ＝kx －1，得1

k －1＝0.解得k ＝2.

(2)由(1)知直线AB 对应的函数关系式为y ＝2x －1，所以△AOB 的面积S 与x 的函数关系式是S ＝12OB·y ＝12×12(2x －1)＝12x －14

2．解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，矩形OCDE 的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)，点A 在DE 上，

∴点A 坐标为(1，4)，

设抛物线对应的函数解析式为y ＝a(x －1)2＋4，把C(3，0)的坐标代入抛物线对应的函数解析式，可得a(3－1)2＋4＝0，解得a ＝－1.

故抛物线对应的函数解析式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3.

(2)依题意有OC ＝3，OE ＝4，∴CE ＝OC 2＋OE 2＝32＋42＝5.

当∠QPC ＝90°时，∵cos ∠QCP ＝PC CQ ＝OC CE ，

∴3－t 2t

＝35，解得t ＝1511；

当∠PQC ＝90°时，∵cos ∠QCP ＝CQ PC ＝OC

，

∴2t 3－t ＝35

，解得t ＝913.∴当t ＝1511或t ＝913时，△PCQ 为直角三角形．

3．解：(1)易知A 点的坐标为(2，3)，∴k ＝6.

(2)易知点E 纵坐标为32，由点E 在反比例函数y ＝6

x 的图象上，求出点E 结合A 点坐标为(2，3)，求出直线AE 对应的函数解析式为y ＝－34x ＋9

(3)结论：AN ＝ME.理由：在解析式y ＝－34x ＋9

2中，令y ＝0可得x ＝6，令x ＝0可得y

＝9

∴点M(6，0)，∴OM ＝6，ON ＝9

(第3题)

方法一：如图，延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF ＝2，OF ＝3，∴NF ＝ON －OF ＝32.根据勾股定理可得AN ＝5

∵CM ＝6－4＝2，EC ＝3

2，

∴根据勾股定理可得EM ＝5

2，

∴AN ＝ME.

方法二：如图，连接OE ，延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF ＝2，∵S △EOM ＝12OM·EC ＝12×6×32＝92，S △AON ＝12ON·AF ＝12×92×2＝9

2，∴S △EOM ＝S △AON .

又∵△AON 中AN 边上的高和△EOM 中ME 边上的高相等，∴AN ＝ME.

4．解：(1)∵a ，b 是关于x 的方程x 2－(c ＋4)x ＋4c ＋8＝0的两个根，∴a ＋b ＝c ＋4，ab ＝4c ＋8.

∴a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(c ＋4)2－2(4c ＋8)＝c 2.∴△ABC 为直角三角形．

(2)∵△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，∴sin A ＝a

c .

将其代入9c ＝25a sin A ，得9c ＝25a·a

c ，9c 2＝25a 2，3c ＝5a.

∴c ＝5

a.∴b ＝c 2－a 2＝43

将b ＝43a ，c ＝5

3a 代入a ＋b ＝c ＋4，

解得a ＝6.∴b ＝43×6＝8，c ＝5

3×6＝10，

即△ABC 的三边长分别是6，8，10.

5．解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，

∴(－10cos α)2－20(－7cos α＋6)＝0，解得cos α＝－2(舍去)或cos α＝3

设在一内角为α的直角三角形中，α的邻边长为3k(k ＞0)，∴斜边长为5k ，则α的对边长为（5k ）2－（3k ）2＝4k ，∴sin α＝4

，

则菱形一边上的高为10sin α＝8cm ，∴S 菱形＝10×8＝80(cm 2)．6．(1)证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠DAC.

∵∠ADE ＝∠BAD ＋∠B ，∠DAE ＝∠CAD ＋∠CAE ，且∠B ＝∠CAE ，∴∠ADE ＝∠DAE ，∴ED ＝EA.

∵ED 为⊙O 的直径，∴∠DFE ＝90°，∴EF ⊥AD ，∴点F 是AD 的中点．(2)解：如图，连接DM ，则DM ⊥AE.设EF ＝4k ，DF ＝3k ，则ED ＝EF 2＋DF 2＝5k.∵12AD·EF ＝1

2AE·DM ，

∴DM ＝

AD·EF AE ＝6k·4k 5k ＝24

k ，∴ME ＝DE 2－DM 2＝75k ，∴cos ∠AED ＝ME DE ＝7

25.

(3)解：∵∠CAE ＝∠B ，∠AEC 为公共角，∴△AEC ∽△BEA ，∴AE

BE ＝CE

AE ，∴AE 2＝CE·BE ，

∴(5k)2＝5

2k·(10＋5k)．∵k ＞0，

∴k ＝2，∴CD ＝5

k ＝5.

(第6题)

(第7题)

7．(1)证明：如图，连接OD ，∵直线CD 切⊙O 于点D ，∴∠CDO ＝90°.∵AB 为⊙O

的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵OB＝OD，∴∠3＝∠4.

∴∠1＝∠4，即∠ADC＝∠ABD.

(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝90°＝∠ADB.∵∠1＝∠4，

∴△ADM∽△ABD，∴AM

AD＝

AB，∴AD

2＝AM·AB.

(3)解：∵sin∠ABD＝3

5，∴sin∠1＝3

.∵AM＝18

5，∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝

AB2－AD2＝8.∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°，∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°，∴∠DBN＝∠1，

∴sin∠NBD＝3

5，∴DN＝

5，∴BN＝BD

2－DN2＝

8．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCG＝90°.

∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.

∵∠DEF＝∠CEG，∴△EDF≌△ECG，∴EF＝EG.

又∵BE⊥FG，∴BE是FG的中垂线，∴BF＝BG.

(2)解：∵BF＝BG，∴∠BFG＝∠G，∴tan∠BFG＝tan G＝3，设CG＝x，则CE＝3x，∴S△CGE＝3

x2＝63，解得x＝23(负值舍去)，

∴CG＝23，CE＝6，又易通过三角形相似得出EC2＝BC·CG，

∴BC＝63，∴AD＝6 3.