(完整版)八年级数学-一元二次方程知识点总结及典型习题

金老师复习（2） 一元二次方程

（一）、一元二次方程的概念

1．理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式02=++c bx ax （a>0）；

2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02

=++c bx ax 才是一元二次方程。

（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).

3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解

（二）、一元二次方程的解法

1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；

3．值得注意的几个问题：

(1)开平方法：对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.

形如n x =2的方程的解法：当0>n 时，n x ±=;当0=n 时，021==x x ;当0

（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程，再运用开平方法求解。

配方法的一般步骤：

①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；

②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；

③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2)(的形式；

④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±

-=，若0

ac b b x 242-±-= 当042>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；

当042=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为a

b x x 221-

==； 当042<-ac b 时，方程无实数根.

公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

（4）因式分解法：

因式分解法的一般步骤：

若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。

（三）、根的判别式

1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1）?=ac b 42-

（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）

①当???≥?≠时00a ?方程有实数根；②当???

00a ?方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 例：求证：方程0)4(2)1(222=++-+a ax x a 无实数根。

（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。

（四）、一元二次方程的应用

1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。

3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a ），增长率（x ），变化的次数（n ），变化后的基数（b ）,这四者之间的关系可以用公式b x a n

=+)1(表示。

4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。

（五）新题型与代几综合题

（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？

（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：

大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？

(3)已知：c b a ,,分别是ABC ?的三边长，当0>m 时，关于x 的一元二次方程02)()(22=--++ax m m x b m x c 有两个相等的实数根，求证：ABC ?是直角三角形。

（4）已知：c b a ,,分别是ABC ?的三边长，求证：方程0)(2

22222=+-++c x a c b x b 没有实数根。

（5）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数？ （6）已知关于x 的方程02212222

=-+-++m x x m x x ，其中m 为实数，（1）当m 为何值时，方程没有实数根？（2）当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。

答案：（1）2-

--=x .

（六）相关练习

（一） 一元二次方程的概念

1．一元二次方程的项与各项系数

把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：

（1）x x 3252=-

（2）2

2)3(4)15(-=-a a

2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值

(1) m 为何值时，关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2=+--是一元二次方程。 （2）若分式01

872=---x x x ，则=x 3．由方程的根的定义求字母或代数式值

(1)关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则=a

(2)已知关于x 的一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ，=+-c b a

（二）一元二次方程的解法

1．开平方法解下列方程：

（1）289)3(1692=-x (2) 0)31(2=-m

2．配方法解方程：

（1）0522=-+x x (2)3422

-=-y y \

3．公式法解下列方程：

（1）2632-=x x （2）p p 3232=+

4．因式分解法解下列方程：

（1）04542=-+y y (2) 1)5(2)5(2--=-x x （3）02172

=-x x

5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：

(1))3)(2()2(6+-=-x x x x (2) 2

2)3(144)52(81-=-x x

（三）一元二次方程的根的判别式

1．不解方程判别方程根的情况：

（1）4x x x 732=+- （2）x x 4)2(32=+ (3)x x 54542=+

2．k 为何值时，关于x 的二次方程0962

=+-x kx

（1）有两个不等的实数根 （2）有两个相等的实数根 （3）无实数根

3.k 为何值时，方程0)3()32()1(2

=+++--k x k x k 有实数根.

（四）一元二次方程的应用

1．已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.

2.某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？

3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？