电动力学答案完整
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有一内外半径分别为r1 和r2 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止电荷?f求 1 空间各点的电场；2 极化体电荷和极化面电荷分布。解???sD?ds?4?3f??3fdV3，f 即：D?4?r2?∴E???r?r?r1?? ?r3?r13??33?r，???Qf4?33E?ds??r2?r1??f???s?0 3?0，∴E???r32?r13??3f3?0r?r，??r> r1时，E?0 ?????????0??P??0?eE??0E????? 0?E?0 ?????0r????f?3?????r13????r? 3r?r???p
∴????r3?r13???????P??????0???? ?f33?r???p?P1n?P2n 考虑外球壳时，r= r2 ，n 从介质 1 指向介质 2 ，P2n
=0 ??P1n?????0? ?r3?r133?p3?r??frr?r2?? r?r???1?0?231?f ??3r2?33考虑内球壳时，r= r1 ???????0??r3?r133?p3?r??fr?0r?r1 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为l1 和l2，电容率为ε1和ε，今在两板接上电动势为Ε 的电池，求电容器两板上的自电荷密度ωf 介质分界面上的自电荷密度ωf 若介质是漏电的，电导率分别为σ 1 和σ 2 当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向则???l1E1?l2E2?E??D1n?D2n??1E1??2E 2?0(介质表面上?f?0) 故：E1??2El1?2?l2?1，E2??1El1?2?l2?1 又根据D1n?D2n??f，在上极板的交面上，D1?D2??f1D2是金属板，故D2=0 ?1?2El1?2?l2?1即：?而??f1?D1? f2?0 f3?D1??D2???D2?，??∴??1?2El1?2?l2?1f3???f1 ???j若是漏电，并有稳定电流时，E?可
得?????jE1?1?1 ，??????jE2?2 ?2j2 ?j1l?l?E2?1?2又??1 ?j?j?j?j,(稳定流动)2n12?1n 得：j1?j2?El1?1??D3??l2?2j1?2E?E???1?l1?2 ?l2?1?1 ，即? ?1E?E?j2?2??2l1?2?l2?1???D2???1?2 El1?2?l2?1f上??2?2El1?29?l2?1f 下?f中?D2?D3??2?1??1?2l1?2?l2?1E 、内外半径分别a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度电荷为?f，板间填充电导率为?的非磁性物质。证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。求?f随时间的衰减规律。求与轴相距为r的地方的能量功耗功率密度。求长度为l的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的能减少率。????f证明：电流连续性方程：??J??0 ?t根据高斯定理?f???D??????D????J??t?0, 即：??J???????D?t?0 消。???????D???D)?0，??J??0???
(J??t?t，即传导电流与位移电流严格抵解：高斯定理得：?D?2?rdl???fdl ???f?????f??er, E?er?D?2?r2??r?????????????D?0，J??E,D??E又J??t?????????t?E??E???0,E?E0e??t???
????r0?t??er?e?er 2??r2??r?f??f??f0e???t ??????D ??f0??t??f解：J????(e)???t?t2?r?2?r能量耗散功率密度=J??J221??(?f2??r)? 2解：单位体积dV?l?2?rdr ??P??ba(?f2??r)?l2?rdr?2 l??f2??22Inba 静电能W=?ba1????D?EdV?2?ba1l?f1l?fbdr???In 22??r22??a22 l?f?b??fb减少率???In??In2?t2??a?t2??a?Wl?f2 例1.一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q，同心地包围着一个半径为R1的导体球.使这个导体球接地，求空间各点的的电势和这个导体球的感应电荷。解这个问题有球对称性，电势?不依懒于角度?和?，因此可
以只取???n(anR?nbnRn?1)Pn(co?s 中)n=0项。设导体壳外和壳内的电势为?1?a?bRdR,(R?R3),(R2?R?R1) (1)(2) ?2?c?边界条件为：因内导体球接地，故有?2|R?R??1|R???0 (3) 1因整个导体球壳为等势体，故有?2|R?R??1|R?R(4) 13球壳带总电荷Q，因而?????1R2d??????2R2d??Q R?R?R?R?3R?R20把、代入这些边界条件中，得a?0,c?dR?0, 1c?d?b RR,b?d?Q234??0此解出d?Q1,b?Q?Q14??,
04??04??0c?Q14??, 0R1其中R?1Q31??R?1?11?R2?R?1Q 3把这些值代入、中，得出电势的解(5) (6)
?1??2?Q?Q14??0RQ(, (R?R3)1?1R1 ).(R2?R?R1)4??0R导体球上的感应电荷
为??2?R??0?R?R1Rd??Q1 2例4 导体尖劈带电势V，分析它的尖角附近的电场。解用柱坐标系。取z 轴沿尖边。设尖劈以外的空间，即电场存在的空间为0???2???(?为小角)。因?不依懒于z，柱坐标下的拉氏方程为1?r?r(r???r)?1??r??222 ?0用分离变量法解次方程。设?的特解为??R(r)?(?)则上式分解为两个方程r2dRdr22?r2dRdr??R,2
d?d?22 ????0.其中?为某些正实数或0.把?的特解叠加得?得通解??(A0?B0In)r(0?C?0D?)???(?A? r???Br)(???Cco?s???Ds in).各待定常量和?的可能值都边界条件确定. 在尖劈??0面上，?=V，与r无关，此A0C0?V,B?0,0C??0?(?0).
因r?0时?有限，得B0?B??0. 在尖劈??2???面上，有??V,与r无关，必须D0?0,sin?(2???)?0, 因此?得可能值
为?n?n2?,(n?1,2.. ....)??考虑这些条件，?可以重写为??V??Anr?sin?n? .nn为了确定待定常量An，还必须用某一大曲面包围着电场存在的区域，并给定这曲面上的边界条件。因此，本题所给的条件是不完全的，还不足以确定全空间的电场。但是，我们可以对尖角附近的电场作出一定的分析。在尖角附近，r?0，上式的求和的主要贡献来自r最低幂次项，即n=1项。因此，??V?A1r?sin?1?, 1电场
为???r1??r??Er?????A1r11??1sin?1 ?,
E??? ???A1r11??1cos?1?. 尖劈两面上的电荷密度为??0E?(??0)???0En?? ? ?E(??2???)?0????0?1Ar1??1. 1若?很小，有?1?12,尖角附近的场强和电荷密度都近似地正比于r?12.此可见，尖角附近可能存在很强的电场和电
荷面密度。相应的三维针尖问题就是尖端放电现象。在一很大的电解槽中充满电导率为?2的液体，使其中流着均匀的电流jf0，今在液体中置入一个电导率为?1小球，求稳恒时电流分布。讨论?1???2及?2???1两种情况下电流分布的特点。解：维持电流恒定的电场也是静电场，可令E????，电流恒定条件??Jf?0，等两种介质都是线性均匀的，根据欧姆定律半径为R0??J??E??Ee，令导电液中原电流密度f0。问题就2020z 有z轴对称性。全部定解条件为：??1?02 ；?2?2?0 R=0时，?1有限；R??时，?2??Jf0?2Rcos? ??1?R??2??2?RR= R0时，?1??2，J1R?J2R即?1R=0和R??处的条件，可将两区域电势方程的解写为?1??annRPn(cos?) n?2??nbnRP(cos?)?n?1nJf0?2Rcos?
将和代入，解出?1??3Jf0?1?2?2Jf0Rcos? Jf0??1??2?R032?2???2Rcos???2??1?2?2? Rcos? ?????????0eR?E2?E1??，得球面的
电荷密度：???0??????2?R?3??1??2??0??1??Jf0 cos? ?2?R?R?R0??1?2?2?R球内?1为原外场与球面电荷分布?产生的均匀场之叠加;球外?2的第一项是原外场，第二项是球面电荷产生的偶极场。电流分布为：??????J1??1E1???1??1?????3?1Jf0( ?1?2?2) 3??????????????????????(???)R?3(Jf0?R) RJf0?120J2??2E2???2??2?Jf0??3? ?5(?1? 2?2)?RR?????????????????????????????? 3(Jf0?R)RJf0?3?3?当?1???2时，J1?3Jf0，J2?Jf0?R0?5RR???? 当?2???1时，???J1?0???????R3，J2?Jf0?02?????????????3(Jf0?R)RJf0??3? ?5RR???? ?，导体球接地，离半径为R0的导体球外充满均匀绝缘介质R??，??0；球心为a处?a?R0?置一点电荷Qf，试用分离变数法求空间各点电荷，证明所得结果与镜象法结果相同。【解】以球心为坐标原点，另Qf位于z?a，如图所示。z r Qf R aθ O
于是问题有z 轴对称性。球外电势的全部定解条件为?2???Qf?(x?aez)?/ R??，??0；R?R0，?=0R??处的条件和z轴对称性，泊松方程的解写为??Qf4??r???n?0bnRn?1Pn(cos?) 其中是r点电荷Qf到场点的距离。1可展开成r1r??1??R?n(R?a)????Pn(cos?)1?a?a???n? 0
22?anR?a?2Racos??1(R?a)()Pn(cos?)?R? R?n?0因R0?a，将的第一式代入，并条件R?R0，??0解出bn??QfR02n?14??aQf4??rn?1Qf ?
???Qf4???an?0R02n?1n?1Rn?1Pn(co s?)(R?R0)将代入，便给出R0?R?a和R?a两区域中电势的级数形式，仅在R?a，??0即点电荷Qf所在点级数发散。在R?a区域，式给出1?nR02n?1?a?n?1a???Pn(cos?)
???Qf4????n?0Rn?1
它包含着这电荷体系
所有各级电多极矩的电势，P0(cos?)=1，P1(cos?)=cos?，P2(cos?)=?3cos??1?/22 式的前三项是单极项，偶极项和四极项电势：?(0)?Qf4??RQf4??RQf8??R32( 1?R0aR0a3)?(1)?(a?2)co s??(2)?(a?2R0a52)(3 cos??1)2式和式，可推知这体系的电偶极矩和电四极矩。【镜像法】以假象的像电荷代替导体球与介质分界面真实的感应电荷及极化电荷对电场的贡献，为使所得的解满足求解区域即球外的方程，像电荷必须置于球内。轴对称性，在球内z?b处置像电荷Q?，于是球外任一点的电势可写成??Qf4??r?Q?4??r?其中r是Qf到场点的距离，r?是Q?到场点的距离，即1r1r??1R?a?2Racos??1R?b?2Rbcos?2222 R?R0，?=0的条件，有f??0，即????r??R?RQfr?r0?QQ??Q?r?R?R0 将r和r?代入上式并两边平方，可解出
2/， a b?R0/a Q???QfR0 ??Qf4??r?QfR0/a4??r?此解与式是一致的，它显然也满足R??，??0的条件。接地的空心导体球的内外半径为R1 和R2 ，在球内离球心为a(a解：于接地导体球壳的静电屏蔽作用，球壳及其外部空间的电势为零，求解区域为球腔。设点电荷q位于z=a,球腔内电势的定解条件为??????q?(x?aez)/?02R=0, ?有限；R= R1 ，??0z轴对称性，将代替导体球面感应电荷的镜像电荷q’置于z=b处，且必须使b> R1,于是球腔内任意一点的电势为??1(q?q’r’) 4??0r 其中r和r’分别为场点到q和q’的距离，即1r?1R?a?2Racos?22，1r’?1R?b?2Rbcos?22(4) R= R1 ，??0的条件，解出q’??qR1/a, b?R12/a (5) 将,代入得??14??0[qR?a?2Racos?22??qR1/aR?( R/a)?2R(R/a)cos?221221] 因为球外??0故感应电荷集中在内表面并且总电量为
q。在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸部，如图半球的球心在导体平面上，点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b试用电象法求空间电势。解：以z轴为系统的对称轴，球心为坐标原点，求解区域为导体表面上方空间，导体表面的电势为零，定解条件为????q?(x,y,z?b)/?02 R?a，以及R?a但z?0处??0 ，??0 R??要满足导体表面电势为零的条件，需要导体内设置三个假想的像电荷：在z=-b 处置-q，在z?a2/b处置-qa/b，在z??a2/b 处置+qa/b。于是导体外任意一点的电势为??14??0[qx?y?(z?b)222??qx?y?(z ?b)222??qa/bx?y?(z?a/b)2222?qa/bx?y?(z ?a/b)2222] 有一个均匀带电的薄导体壳，半径为R0，总电荷为q，今使球壳绕自身某一直径以角速度?转动，求球内外的磁场B. 【解】以球心为坐标原点，转轴为z轴.球壳电荷面密度?f=q/4?R02，因球壳自转而形成的面电
流密度为αf??fv?q4?R0?ez?R0eR?2q?4?2R0sin?e?【磁标势法】球内外两区域均无传导电流分布，磁标势均满足方程?2??0，边界条件为R?0，?1有限；R??，?2?0 R?R0处，B2R?B1R，eR?(H2?H1)?α f
即??2?R???1?R，?1??2R0???1??1 R0???q?4?R0sin?z 轴对称性，及的两个条件，磁标势方程的解写为?1??anRnPn?co?s? (R?R0)
n ?2??nbnRn?1Pn(co?s ) (R?R0) 条件，解出?1??q?6?R0co?s，?2? ??0q?6?R0m4?R2cos??m?R4?R3
B1??0(???1)?ez m? 3?R?B2??0(???2)??4???0?3?m?R?R5?
球内为均匀场，球外为磁偶极场，球面电流形成的磁矩为m?1?Re??2s0R?αf?dS?q?R032ez
电荷按体均匀分布的刚性小球，总电荷
量为q，半径为R0，它以角速度?绕自身某一直径转动，求：它的磁矩；它的磁矩与自转角动量之比。设小球质量M0是均匀分布的。【解】小球的电荷密度与质量密度分别为?q?3q4?R03，?m?3M04?R03 设转动轴为z轴，则球内任一点的转动速度为v??ez?r??re?，球内电流密度与动量密度分别为J??qv??q?re?，p??mv??m?re? 小球的磁矩m与自转角动量L分别为m?1?2Vr?JdV?q?R052ez
2L?1?2Vr?PdV?2M0?R05ez M0 于是有m/L?q/2 有两z轴传播，一个波沿x方向偏振，?2另一个沿y方向偏振，但相位比前者超前，求合成波的偏振。反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？解：两个波德波矢量均为k?kez，设振幅均为E0，有E1?E0exei(kz??t) ?2)E2?E0eyei(kz? ?t??iE0eyei(kz??t) 于是合成波
E?E1?E2?E0(ex?iey)ei(kz??t) 是振幅为E0的圆偏振波，在迎着传播方向看来，电矢量E逆时针旋转，故是右旋的圆偏振波。若E2的相位比E1滞后E?E1?E2?E0(ex?iey)ei(kz??t)?2，则合成波是左旋的圆偏振波。若E1和E2的振幅不等，则合成波是右旋或左旋的椭圆偏振波。反之，一个圆偏振波可以分解为两个相互独立，相位差为?线偏振波。考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为??d?和??d?的线偏振平面波，它们都沿z轴方向传播求合成波，证明波德振幅不是常数，而是一个波：求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。解：因d???，这是两列频率接近的波，波数分别为k1?k?dk,k2?k?dk。设它E0们都沿x方向偏振，振幅为E0，且初相位一致，即E1?E0exei[(k?dk)z?(??d?)t]?2
的,E2?E0exei[(k?dk)z?(??d?)t] 于是合成波E?E1?E2?2E0excos(dk?z?d??t)ei(kz??t)
仍是x方向上的线偏振波，其实数形式为??z?d? E?2E0cosd(kt)co?sk?(zex t)这表明频率为?的高频波受到了频率为d?的低频波调制，2E0cos(dk?z?d??t)
是已调至的振幅，或称包络线，等相位面方程为??kz??t?常数，对它求时间导数，得相速度vp?dzdt??k 等振幅面方程为2E0cos(dk?z?d??t)=常数，对此求时间的导数美得振幅传播速度vg?d?dk 它是波包整体的传播速度，即群速。一平面电磁波以??45o 从真空入射到?r?2得介质，电场强度垂直于入射面。求反射系数和折射系数解：设介质是非铁磁性且线性均匀的，即?r?1，折射率n21??r?r?2，因入射角??45o，折射定律sin?’’?12,cos?’’?32sin?sin?’’?n21，得即折射角?’’?30o。当E垂直于入射面时，边值关系
E?E?E,Hcos??Hcos??Hcos?’’’’’’’’ 及H??0?0E,H’??0?0R?E,H?2’’’??0?E可解出E’，反射系数为’’SnSn’?EE’2?2?33?(2?3)?7?43? 不考虑介质损耗时，折射系数为T?1?R?232?3? 有一个可见平面光波水入射到空气，入射角为600。证明这时将会发生全反射，并求折射波沿表面传播的相度和透入空气的深度。设该波在空气中的波长为?0??10cm，水的折射率为n= ?5解：空气的折射率n2?1，水的折射率n1?n?n2，这是光从光密介质入射至光疏介质的问题，折射定律
sin?sin?’’?n2n1?n21?1n??0?0?1?1
可得这问题的临界角为?c?arcsin 入射角??600??c，故sin?’’?nsin??1，已没有实数意义上的折射角，将发生全反射。设界面为z=0的平面，入射面为xz平面，入射波矢k?kxex?kzez，折射波矢k’’?kx’’ex?kz’’ez,k???1?1,k’’???0?0，折射定律，有
k?n21k,kx?kxsin??k’’’’’’’’n2n1??49450’kz?’’k’’2?kx?iksin??n21?i?’’222
折射波矢的法向分量kz’’为虚数，故折射波电场为i(k?x??t)’’??zi(k E’’?E’’e?Eee00’’’’xx??t)
可见这是沿界面切向x传播，振幅在法向z按指数规律衰减的表面波。设E’’?E’’ey / B’’??0H’’?(k’’?E’’)? 得折射波磁场两个分量：因此折射波的法向平均能流密度：H?E’’z’’?0sin??0n21,Hx??iE’’?’0’?0sin?n 2212?1Sz’’?? 12ReE(Hx?)’’*’’ 0透射系数T=0.这是因为入射波能量在半个周期内透入第二介质，在另半个周期内又完全反射回到第一个介质所致。k?nk’’?2n?/?0，波透入空气中的深度为????1?1ksin??n2122?2 n??0sin??1/n22?5??10cm 折射波德相速度为vp? 频率为?的电磁波在各向异性介质中传播
时，若E,D,B,H仍按e?但D不再与E平行。证明k?B=k?D=B?D=B?E?0，但一般k?E?0 证明D?[k2E?(k?E)k]/?2? 证明能流S与波矢k一般不在同一方向上解：设介质内?f?0,Jf?0即介质中的场方程为??D?0,??E?? 设Β??H 成立，将E?E0eio(k?x??t),D?D0eio(k?x??t),B?B0ei o(k?x??t)代入上述场方程，得k?D?0,k?B?0,B?1k?E,D??1k?B?B?tik?x?? t??k’’x??ksin??233nc?32c
变化，??B?0,??H???D?t??? E?B?0,B?D=0,k?E?k?D/??0
k?E?0是于D??E。将的第三式代入第四式，得D??12??k?(k?E)?1??2[kE?(k?E)k]2
因k?E?0，故D与电场E不同向。介质中的能流密度为S=E?H?1E?(k?E)?1[Ek?(k?E)E]2????
显然，S与波矢k不在同一方向。已知海水的?r?1,??1S?m?1，试计算频率v 为50Hz，106Hz的三种电磁波在海水中
电动力学试题库十及其答案
简答题（每题5分，共15分）。 1．请写出达朗伯方程及其推迟势的解． 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什 么？ 3．请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量和静止质量的关 系式。 证明题（共15分）。 当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足： 1 21 2εεθθ= t a n t a n ，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两 侧电力线与法线的夹角。（15分） 四. 综合题（共55分）。 1．平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，介电常数为1ε和 2ε，今在两板上接上电动势为U 的电池，若介质是漏电的，电导率分别为1 σ和2σ，当电流达到稳恒时，求电容器两板上的自由电荷面密度f ω和介质分界面上的自由电荷面密度f ω。（15分） 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分）
3．一对无限大平行的理想导体板，相距为d ，电磁波沿平行于板面的z 轴方向传播，设波在x 方向是均匀的，求可能传播的波型和相应的截止频率．（15分） 4．一把直尺相对于∑坐标系静止，直尺与x 轴夹角为θ，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到直尺与x 轴的夹角'θ有何变化？（10分） 二、简答题 1、达朗伯方程：2 2 022 1A A j c t μ??-=-? 222201c t ?ρ?ε??-=-? 推迟势的解：()()0 ,,, , ,44r r j x t x t c c A x t dV x t dV r r ρμμ?π π ?? ?? ''-- ? ?? ?? ? ''= =?? 2、由于电磁辐射的平均能流密度为222 3 2 0sin 32P S n c R θπε= ，正比于2 sin θ，反比于 2 R ，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。 3 、能量：2 m c W = ；动量：),,m iW P u ic P c μ?? == ??? ；能量、动量和静止质量的关系为：22 22 02 W P m c c -=- 三、证明：如图所示 在分界面处，由边值关系可得： 切线方向 12t t E E = （1） 法线方向 12n n D D = （2） 1 ε
电动力学作业
电动力学习题
第一章 习题 练习一 1. 若a 为常矢量, k z z j y y i x x r )'()'()'(-+-+-=为从源点指向场点的矢量, k E ,0为常 矢量,则=??)(2a r _____ , =???)(r a ___,=??r ___,=??r ,=?r _____, =??)(r a ______, =? ?r r ______, =? ?r r ______，=????)(A _______. =???)]sin([0r k E ________, 当0≠r 时,=??)/(3r r ______. =???)(0r k i e E _______, =??)]([r f r ________. =??)]([r f r ____________ 2. 矢量场f 的唯一性定理是说：在以 s 为界面的区域V 内,若已知矢量场在V 内各点的_______ 和____________,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则 f 在V 内唯一确定. 练习二 3. 当下列四个选项(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普 适常数)中的_ ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 4. 电荷守恒定律的微分形式为_______________,若J 为稳恒电流情况下的电流密度,则J 满足 _______________. 5. 场强与电势梯度的关系式为__________.对电偶极子而言,如已知其在远处的电势为
)4/(30R R P πε? ?=，则该点的场强为__________. 6. 自由电荷Q 均匀分布于一个半径为 a 的球体内,则在球外)(a r >任意一点D 的散度为 _____________, 内)(a r <任意一点D 的散度为 ____________. 7. 已知空间电场为b a r r b r r a E ,(3 2 +=为常数），则空间电荷分布为______. 8. 电流I 均匀分布于半径为 a 的无穷长直导线内，则在导线外)(a r >任意一点B 的旋度的大 小为 ________, 导线内)(a r <任意一点B 的旋度的大小为___________. 9. 均匀电介质（介电常数为 ε ）中,自由电荷体密度为f ρ与电位移矢量D 的微分关系为 _____________, 缚电荷体密度为P ρ与电极化矢量P 的微分关系为____________,则P ρ与 f ρ间的关系为________________________________. 10. 无穷大的均匀电介质被均匀极化，极化矢量为P ，若在介质中挖去半径为R 的球形区域，设空 心球的球心到球面某处的矢径为R ，则该处的极化电荷面密度为_____________. 11. 电量为q 的点电荷处于介电常数为ε的均匀介质中，则点电荷附近的极化电荷为___________. 12. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为f J ,磁化电流密度为M J ,磁导率μ,磁场强度为H ，磁
郭硕鸿《电动力学》课后答案
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第 40 页 电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=?? A A A A )()(2 2 1??-?=???A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=?? B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???= （2）在（1）中令B A =得： A A A A A A )(2)(2)(??+???=??， 所以 A A A A A A )()()(2 1 ??-??=??? 即 A A A A )()(2 2 1??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?=?d d )( ， u u u d d )(A A ??=??， u u u d d )(A A ? ?=?? 证明： （1） z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??= ?)()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=d d d d d d u u f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2） z u A y u A x u A u z y x ??+ ??+??=??)()()()(A z u u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (e e e e e e ??=??+??+???++=
电动力学答案
电动力学(A) 试卷 一、填空题（每空2分，共32分） 1、已知矢径r ，则 ? r = 。 2、已知矢量A 和标量φ，则=??)(A φ 。 3、区域V 内给定自由电荷分布ρ 、σ ，在V 的边界上给定 或 ，则V 内电场唯一确定。 4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势φ，则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的微分形式 、 、 、 。 6、电磁场的能量密度为 w = 。 7、库仑规范为 。 8、相对论的基本原理为 ， 。 9、电磁波在导电介质中传播时，导体内的电荷密度 ρ = 。 10、电荷守恒定律的数学表达式为 。 二、判断题（每题2分，共20分） 1、由0 ερ =??E 可知电荷是电场的源，空间任一点，周围电荷不但对该点的场强有贡献，而且对该 点散度有贡献。（ ） 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。（ ） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波是横电磁波。（ ） 4、任何相互作用都不是瞬时作用,而是以有限的速度传播的。（ ） 5、只要区域V 内各处的电流密度0=j ，该区域内就可引入磁标势。（ ） 6、如果两事件在某一惯性系中是同时发生的，在其他任何惯性系中它们必不同时发生。（ ） 7、在0=B 的区域，其矢势A 也等于零。（ ） 8、E 、D 、B 、H 四个 ） 9、由于A B ??=，矢势A 不同，描述的磁场也不同。（ ） 10、电磁波的波动方程012222 =??-?E t v E 适用于任何形式的电磁波。（ ） 三、证明题（每题9分，共18分） 1、利用算符? 的矢量性和微分性，证明 0)(=????φr 式中r 为矢径，φ为任一标量。 2、已知平面电磁波的电场强度i t z c E E )sin( 0ωω -=，求证此平面电磁波的磁场强度为
电动力学试题库十及其答案
电动力学试题库十及其答案 简答题（每题5分，共15分）。 1 .请写出达朗伯方程及其推迟势的解. 2 .当您接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离与方向有关，这就是为什 么？ 3. 请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量与静止质量的关系式。 证明题（共15分）。 当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足:史宜w,其中i与2分别为两种介质的介电常数，1与2分别为界面两tan 1 1 侧电力线与法线的火角。（15分） 四、综合题（共55分）。 1. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分另U为11与12,介电常数为1与2,今在两板上接上电动势为U的电池，若介质就是漏电的，电导率分别为1与2，当电流达到稳包时，求电容器两板上的自由电荷面密度f与介质分界面上的自由电荷面密度f。（15分） 2. 介电常数为的均匀介质中有均匀场强为E。，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分） 3. 一对无限大平行的理想导体板，相距为d，电磁波沿平行丁板面的z轴方向传播,设波在x方向就是均匀的，求可能传播的波型与相应的截止频率.（15分）
电动力学试题库十及其答案 4.一把直尺相对丁坐标系静止，直尺与x轴火角为，今有一观察者以速度v 沿x轴运动，她瞧到直尺与x轴的火角' 有何变化? (10分)二、简答题r、 (2v) 1、达朗伯万程：A i 2A c t2 ，八v v 推退势的 解：A x,t v,t v,t x,t —dV v 2、由于电磁辐射的平均能流密度为S32 2 c3R2 sin2音,正比于 sin2，反比于R2, 因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小与方向有关。 2 3、能量:W ：m。：. i u2c2 m 。 ,1 u2c2 v u,ic V iW …，一… P,—;能重、动重与静止 c 质量的关系为：P2W 2 c 2 2 m b c 三、证明：如图所示 在分界面处，由边值关系可得 切线方向 法线万向 v v 又DE 由⑴得： E i sin i 由⑵(3)得： i E i cos E it D in E2t D2n E2sin i 2 E2 cos (5) 由⑷(5)两式可得：
电动力学复习总结电动力学复习总结答案
第二章 静 电 场 一、 填空题 1、若一半径为R 的导体球外电势为b a b r a ,,+=φ为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 。 答案： 02a R ε 2、若一半径为R 的导体球外电势为3 002cos cos =-+E R E r r φθθ,0E 为非零常数， 球外为真空，则球面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 . 答案：003cos E εθ ,303[cos (1)sin ]=-+-v v v r R E E e e r θθθ 3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 ；介质分界面上电势的边值关系是 和 ；有导体时的边值关系是 和 。 答案： σφ εφσφεφεφφερφ-=??=-=??-??=- =?n c n n ,,,,1122212 4、设某一静电场的电势可以表示为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。 答案：z y x e b e ax e axy ? ??+--22 5、真空中静场中的导体表面电荷密度_______。 答案：0n ? σε?=-? 6、均匀介质部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ_____的倍。 答案： -（1- ε ε0 ） 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1 ()() 8x x W dv dv r ρρπε''= ??v v 的适用于 情 形. 答案：全空间充满均匀介质 8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。 答案： 3 4qR R πεv 9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生
的电势为等于 . 答案： 04q a πε 10、无电荷分布的空间电势 极值.(填写“有”或“无”) 答案：无 11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。 答案：唯一性定理, 求解区以外空间 12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。 答案：零 13、一个外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。 答案：212014() R q a R a a πε- 二、 选择题 1、泊松方程ε ρ φ- =?2适用于 A.任何电场 B. 静电场; C. 静电场而且介质分区均匀; D.高频电场 答案： C 2、下列标量函数中能描述无电荷区域静电势的是 A ．2363y x + B. 222532z y x -+ C. 32285z y x ++ D. 2237z x + 答案： B 3、真空中有两个静止的点电荷1q 和2q ，相距为a ，它们之间的相互作用能是 A ．a q q 0214πε B. a q q 0218πε C. a q q 0212πε D. a q q 02132πε 答案：A 4、线性介质中,电场的能量密度可表示为 A. ρφ21; B.E D ? ??21; C. ρφ D. E D ??? 答案：B 5、两个半径为12,R R ,124R R =带电量分别是12,q q ,且12q q =导体球相距为a(a>>12,R R ),将他们接触后又放回原处,系统的相互作用能变为原来的 A. 16,25倍 B. 1,倍 C. 1,4倍 D. 1 ,16倍 答案： A
电动力学期末考试试卷及答案五
判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3分） 1． 库仑力3 04r r Q Q F πε??'=表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q 把作用力直接施于电荷Q '上。 （ ） 2． 电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。 （ ） 3． 电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为： t j ??=??/ρ? 。 （ ） 4． 在介质的界面两侧，电场强度E ?切向分量连续，而磁感应强度B ? 法向分 量连续。 （ ） 5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为： 4 2022c m c P W += 。 （ ） 一． 简答题（每题5分，共15分）。 1．如果0>??E ρ ，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？ 3．以真空中平面波为例，说明动量密度g ρ，能流密度s ρ 之间的关系。
二． 证明题（共15分）。 多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率 ω与它的静止角频率0ω的关系为：) cos 1(0 θγωωc v -= ，其中 122)/1(--=c v γ；v 为光源运动速度。（15分） 四. 综合题（共55分）。 1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求： （1）导体内、外空间的B ?、H ? ； （2）体内磁化电流密度M j ? ；（15分）。 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ? ，求介质中球形空腔内的电势和电场（分离变量法）。（15分） 3．两频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z 轴方向传播，一个沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，且其相位比前者超前2 π 。求合成波的偏振。若 合成波代表电场矢量，求磁场矢量B v 以及能流密度平均值S v 。（15分） 4．在接地的导体平面有一半径为a 的半球凸部，半球的球心在导体平面上，如图所示。点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b （a b >）。试用电像法求空间电势。（10分） Q a b ?
电动力学试题及其答案(3)
电动力学(C) 试卷 班级 姓名 学号 题号 一 二 三 四 总 分 分数 一、填空题（每空2分，共32分） 1、已知矢径r ，则 ×r = 。 2、已知矢量A 和标量 ，则 )(A 。 3、一定频率ω的电磁波在导体内传播时，形式上引入导体的“复电容率”为 。 4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势 ，则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的积分形 式 、 、 、 。 6、电磁场的能流密度为 S = 。 7、欧姆定律的微分形式为 。 8、相对论的基本原理 为 ， 。 9、事件A ( x 1 , y 1 , z 1 , t 1 ) 和事件B ( x 2 , y 2 , z 2 , t 2 ) 的间隔为 s 2 = 。
10、位移电流的表达式为 。 二、判断题（每题2分，共20分） 1、由j B 0 可知，周围电流不但对该点的磁感应强度有贡献，而且对该点磁感应强度的旋度有贡献。（ ） 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。（ ） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波可以是横电波，也可以是横磁波。（ ） 4、任何相互作用都是以有限的速度传播的。（ ） 5、由0 j 可知，稳定电流场是无源场。。（ ） 6、如果两事件在某一惯性系中是同时同地发生的，在其他任何惯性系中它们必同时发生。（ ） 7、平面电磁波的电矢量和磁矢量为同相位。（ ） 8、E 、D 、B 、H 四个物理量中只有E 、B 为描述场的基本物理量。（ ） 9、由于A B ，虽然矢势A 不同，但可以描述同一个磁场。（ ） 10、电磁波的亥姆霍兹方程022 E k E 适用于任何形式的电磁波。（ ） 三、证明题（每题9分，共18分） 1、利用算符 的矢量性和微分性，证明 )cos()]sin([00r k E k r k E 式中r 为矢径，k 、0E 为常矢量。 2、已知平面电磁波的电场强度j t z c E E )sin(0 ，求证此平面电磁波的 磁场强度为 i t z c c E B )sin(0 四、计算题（每题10分，共30分） 1、迅变场中，已知)(0t r k i e A A , ) (0t r k i e ，求电磁场的E 和B 。 2、一星球距地球5光年，它与地球保持相对静止，一个宇航员在一年
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电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=??A A A A )()(2 21??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?= ?d d )(， u u u d d )(A A ? ?=??， u u u d d )(A A ??=?? 证明：
3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-= 为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ； 0)/(3=??r r ； 0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。 （2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E ???及 )]sin([0r k E ??? ，其中a 、k 及0E 均为常向量。 4. 应用高斯定理证明 f S f ?=????S V V d d ，应用斯托克斯 （Stokes ）定理证明??=??L S ??l S d d
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V x x p ? = ρ，利用电荷守恒定律0=??+ ??t ρ J 证明p 的变化率为：?=V V t t d ),'(d d x J p 6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3 /R ）（R m A ?=的旋度等于标量3 /R R m ?=?的梯度的负值，即 ?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原 点指向场点。
电动力学答案完整
1.7. 有一内外半径分别为 r 1 和 r 2 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止由电荷f ρ求 1 空间各点的电场； 2 极化体电荷和极化面电荷分布。 解（1） f s D ds dV ρ→ ?=??， （r 2>r> r 1） 即：()2 3 31 443 f D r r r π πρ?=- ∴()3 313 3f r r E r r ρε→ -= ， （r 2>r> r 1） 由 ()33 210 43f f s Q E d s r r πρεε?= = -? ， （r> r 2） ∴()3 32 13 03f r r E r r ρε→ -= ， （r> r 2） r> r 1时， 0E = （2）()0 00 00 e P E E E εεεχεεεε-===- ∴ ()()()33310103 30033303p f f f f r r r P r r r r r εερεερρεεεεεερρεε??-?? -??=-??=--??=-??- ???????--=--=- （r 2>r> r 1） 12p n n P P σ=- 考虑外球壳时， r= r 2 ，n 从介质 1 指向介质 2 （介质指向真空），P 2n =0 () () 2 3 333 1021103 3 2 133p n f f r r r r r r P r r r εσεερρεε=--??==-=- ??? 考虑内球壳时， r= r 1 () () 1 3 3103 03p f r r r r r r σεερε=-=--=
1.11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 l 1 和l 2，电容率为ε1和ε，今在两板接上电动势为 Ε 的电池，求 （1） 电容器两板上的自由电荷密度ωf （2） 介质分界面上的自由电荷密度ωf 若介质是漏电的，电导率分别为 σ 1 和σ 2 当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？ 解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向 则11221211220(0) n n f l E l E E D D E E εεσ-=???-=-==??介质表面上 故：211221 E E l l εεε= +，121221 E E l l εεε= + 又根据12n n f D D σ-=， （n 从介质1指向介质2） 在上极板的交面上， 112f D D σ-= 2D 是金属板，故2D =0 即：11211221 f E D l l εεσεε==+ 而20f σ= 3 122f D D D σ'''=-=-，（1D '是下极板金属，故1D '=0） ∴31 121221 f f E l l εεσσεε=- =-+ 若是漏电，并有稳定电流时，由j E σ = 可得 1 11 j E σ= ， 2 22 j E σ= 又1 21 2121212,() n n j j l l E j j j j σσ?+=???===?稳定流动
电动力学试卷及答案1A
电动力学期末考试 物理学 专业 级 班 《电动力学》 试卷A 一．填空（每空1分，共14分） 1. a 、k 及0E 为常矢量，则)]sin([0r k E ???= , )]sin([0r k E ???= 2. 能量守恒定律的积分式是－??σ d s =??dV f ν +dV w dt d ?，它的物理意义是____________________ 3. 反射波电场与入射波电场反相,这现象称为反射过程中的 4. 平面波e x t kx E E ?)cos(0ω-= ,e y t kx C E B ?)cos(0ω-= ，则动量密度B E g ?=0ε的周期平均值为 ；若这平面波垂直投射于一平板上，并全部被吸收，则平板所受的压强为 5. 波矢量αβ i k +=,其中相位常数是 ，衰减常数是 6．电容率ε'=ε+i ω σ ,其中实数部分ε代表______电流的贡献，它不能引起电磁波功率的耗散，而虚数部分是______电流的贡献，它引起能量耗散。 7．频率为91030?HZ 的微波，在0.7cm ?0.4cm 的矩形波导管中，能以什么波模传播？答： 8. 洛伦兹规范辅助条件为____________ ；达朗贝尔方程的四维形式是 9. 洛伦兹变换矩阵为 二． 单项选择（每题2分，共26分） 1. 若m 为常矢量，矢量R R m A 3 ?=标量R R m 3 ?=φ，则除R=0点外，A 与φ应满足关系（ ） A. ▽?A =▽φ B. ▽?A =-▽φ C. A =▽φ D. 以上都不对 2．设区域V 内给定自由电荷分布)(x ρ,在V 的边界S 上给定电势φ/s 或电势的法向导数n ??φ /s,则V 内的电场（ ） A. 唯一确定 B.可以确定但不唯一 C.不能确定 D.以上都不对 3．对于均匀带电的立方体，有（ ） A.电偶极矩不为零，电四极矩也不为零 B.电偶极矩为零，电四极矩不为零 C.电偶极矩为零，电四极矩也为零 D.电偶极矩不为零，电四极矩为零 4．电四极矩是无迹对称张量，它有几个独立分量？（ ） A. 9个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 5．一个处于x ' 点上的单位点电荷所激发的电势)(x ψ满足方程（ ）
电动力学试题库一及答案
福建师范大学物理与光电信息科技学院 20___ - 20___ 学年度学期____ 级物理教育专业 《电动力学》试题（一） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 姓名______________________ 学号____________________ 一．判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3分） 1．电磁场也是一种物质，因此它具有能量、动量，满足能量动量守恒定律。 ( ) 2．在静电情况，导体内无电荷分布，电荷只分布在表面上。 （） 3．当光从光密介质中射入，那么在光密与光疏介质界面上就会产生全反射。
（） 4．在相对论中，间隔2S在任何惯性系都是不变的，也就是说两事件时间先后关系保持不变。 （） 5．电磁波若要在一个宽为a，高为b的无穷长矩形波导管中传播，其角 频率为 2 2 ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ≥ b n a m με π ω （） 二．简答题。（每题5分，共15分） 1．写出麦克斯韦方程组，由此分析电场与磁场是否对称为什么 2．在稳恒电流情况下，有没有磁场存在若有磁场存在，磁场满足什么方程 3．请画出相对论的时空结构图，说明类空与类时的区别．
三． 证明题。（共15分） 从没有电荷、电流分布的麦克斯韦方程出发，推导真空中的E 、B 的波动方程。 四． 综合题。（共55分） 1．内外半径分别为1r 和2r 的无穷长空心导体圆柱，沿轴向流有稳恒均 匀自由电流f j ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。（15分） 2． 有一个很大的电解槽中充满电导率为2σ的液体，使其中流着均匀 的电流f j ，今在液体中置入一个电导率为1σ的小球，求稳恒时电流分布和 面电荷分布。（分离变量法）（15分） 3． 有带电粒子沿z 轴作简谐振动t i e z z ω-=0，设c z <<ω0，求它的辐 射场E 、B 和能流S 。（13分） 4． 一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物 时，看见其避雷针跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时间差。该建筑
电动力学习题解答
第二章 静电场 1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2 /r K r P =，电容率为ε。 （1）计算束缚电荷的体密度和面密度： （2）计算自由电荷体密度； （3）计算球外和球的电势； （4）求该带电介质球产生的静电场总能量。 解：（1）P ?-?=p ρ2 222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=??+??-=??-=r r r )(12P P n -?-=p σR K R r r /=?==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内 200)/()/(r K f εεεεεερ-=-??=??=P D 内 （3）)/(/0εεε-==P D E 内内 r r f r KR r V e e D E 2002 00 )(4d εεεεπερε-= = = ?外 外 r KR r )(d 00εεεε?-= ?=?∞r E 外外 )(ln d d 0 0εε εε?+-= ?+?=??∞r R K R R r r E r E 外内内 （4）???∞-+-=?=R R r r r R K r r r K V W 42200222022202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 2 0))(1(2εεεεπε-+=K R 2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势： （1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ； （2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为 极轴，球心为原点建立球坐标系。 当0R R >时，电势?满足拉普拉斯方程，通解为 ∑++ =n n n n n n P R b R a )(cos )(1 θ? 因为无穷远处 0E E →，)(cos cos 10000θ?θ??RP E R E -=-→ 所以 00?=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n 当 0R R →时，0Φ→? 所以 010 1000)(cos )(cos Φ=+-∑+n n n n P R b P R E θθ? 即： 002010000/, /R E R b R b =Φ=+?
电动力学期末考试试卷及答案五
. . 20___ - 20___ 学年度 学期 ____ 级物理教育专业 《电动力学》试题（五） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 ______________________ 学号____________________ 一． 判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每 题3分） 1． 库仑力3 04r r Q Q F πε '=表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q 把作用力直接施于电荷Q '上。 （ ） 2． 电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。 （ ） 3． 电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为： t j ??=??/ρ 。 （ ）
. . 4． 在介质的界面两侧，电场强度E 切向分量连续，而磁感应强度B 法向分 量 连续。 （ ） 5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为： 4 2022c m c P W += 。 （ ） 二． 简答题（每题5分，共15分）。 1．如果0>??E ，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？ 3．以真空中平面波为例，说明动量密度g ，能流密度s 之间的关系。 三． 证明题（共15分）。
多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率 ω与它的静止角频率0ω的关系为：) cos 1(0 θγωωc v -= ，其中 122)/1(--=c v γ；v 为光源运动速度。（15分） 四. 综合题（共55分）。 1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求： （1）导体、外空间的B 、H ； （2）体磁化电流密度M j ；（15分）。 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ，求介质中球形空腔的电势 和电场（分离变量法）。（15分） 3．两频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z 轴方向传播，一个沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，且其相位比前者超前2 π 。求合成波的偏振。若 合成波代表电场矢量，求磁场矢量B 以及能流密度平均值S 。（15分）
电动力学习题集答案
电动力学第一章习题及其答案 1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普 适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 2. 若 a 为常矢量 , r (x x ')i ( y y ')j (z z ')k 为从源点指向场点的矢量 , E , k 为常矢量,则 ！ (r 2 a ) =(r 2 a ) (r a 2r a , )a ) ddrr r a 2r r r 2 r i j — k (x x ') (y y ') (z z ') i j k — ！ 2(x x ') (x x ') ,同理， ？ x (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') 2 / r 2 (x x ')(y y ')(z z ') (y y ') (x x ') （ (y y ') 2 (z z ') y (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') # 2 , z 2 2 (z z ') r 【 r e e e x x x ！ r (x-x') r (y-y') y (z-z') 3 z ， ' x y z x x ' y y ' z z ' 0， x (a r ) a ( r ) 0 , : ) r r r r r r r 0 r rr ( r 1 1 r 《 a ， , ( ) [ a (x -x' )] [ a (y - y')] … j [a (z -z')] a r i k x y z * r r r r 1 r 1 r … r 3 r 2 3 r ， ( A ) __0___. r r , [E sin(k r )] k E 0 cos(k r ) __0__. (E 0e ik r ) , 当 r 0 时 , ! (r / r ) ik E 0 exp(ik r ) , [rf (r )] _0_. [ r f ( r )] 3f (r )r # s 3. 矢量场 f 的唯一性定理是说：在以 为界面的区域V 内, 若已知矢量场在V 内各点的旋度和散 度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则 在 内唯一确定. f V 0 ,若 J 为稳恒电流情况下的电流密度 ,则 J 满足 4. 电荷守恒定律的微分形式为 — J t J 0 . 5. 场强与电势梯度的关系式为， E .对电偶极子而言 ,如已知其在远处的电势为
《电动力学(第二版)》(郭硕鸿)第二章习题
第二章 习 题 1. ε ε0 R (1) 2 2 323222323211r K r K r r K r K r r K r K r K r K P -=-?--=-?--=??-??? ? ???-=??? ????-=?-?=r r r r r P ρ ()2 P R K K R R σ∧ ∧ =?=?=r P R n r (2) E E P 0001εεεεχ??? ? ??-==e ()2 K r εε=ε= =ε-εε-ε00P r D E () 2r K f 0r D εεερ= ??-=??= (3) R r <<0 ()r K r E d r 2 2 4? ??-==?εεεπε0S D ()r K E 0εε-= R r > ()r K r E d R 2 2 04???-==?εεεπε0S D ()2 00r KR E εεεε-= ()()r KR dr r KR r out 002 00 εεεεεεεε?-=-=? ∞ ()()()()??? ? ??+??? ??-= ? ? ? ??-+-=-+-=??∞ 000000200ln ln εεεεεεεεεεεεεεεε?r R K r R K K dr r K dr r KR R R r in (4) ()()()()2 000202002 0200202 02 00212ln ln 2ln ln 2ln 24ln 2121 ? ??? ??-???? ? ?+=???? ??++--=???? ? ?++--= ???? ? ?+??? ??-= ???? ??+??? ??--== ??????εεεεπεεεεεπεεεεεπεεεεεπεπεεεεεεε?ρK R R R R R R R K dr R r K dr r R K dr r r R K r K dV W R R R in f e 0 2. (1) 边界条件：设未放置导体球时，原点电位 为0?，任意点电位则为 ?-=?-=z R E d 0 0001cos θ???0l E 球外空间0=ρ，电位?满足拉普拉斯方程 02=?? 解为：()∑∞ =+??? ? ? +=01cos n n n n n n P R b R a θ? 放入导体球后：01, ??→∞→R
电动力学答案
2．一平面电磁波以045=θ从真空入射到24=ε的介质。电场强度垂直于入射面。求反射系数和折射系数。 解：由 1 122sin sin εμεμθθ = ' ' 1r 2r 12sin sin εεεεθθ=='' 1 2 s i n s i n 450= ''∴θ 解得 030=''θ 由菲涅耳公式： θ εθεθεθε''+''-=' sin sin sin sin E E 2121 = =+= 3 12cos cos cos 2E E 211+= ''+=' 'θεθεθε 由定义:
3 2323131E E R 2 2 +-=? ??? ??+-='== 3 2321 22 223312cos cos E E T 2 1 22 +=???? ??+=''''= = εεθθ 7．已知海水的1 1m 1s ,1-?==σμ,试计算频率ν为50,9 61010和Hz 的三种电磁波在海 水中的透入深度. 解: ωμσ α δ2 1 = = , 72m 1 1042502 7 50 =????= -=ππδ γ , 5m .01 1042102 7610 r 6 =????= -=ππδ 16mm 1 1042102 7 910r 9 =????= -=ππδ
2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v 相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。 解：根据相对论速度交换公式可得2'∑系相对于1'∑的速度大小是 )/1/(2'22c v v v += （1） ∴在1'∑系中测量2'∑系中静长为0 l 的尺子的长度为 220/'1c v l l -= （2） 将（1）代入（2）即得： )/1/()/1(22220c v c v l l +-= （3） 此即是在1'∑系中观测到的相对于2'∑静止的尺子的长度。 3. 静止长度为l 0的车厢，以速度v 相对于地面S 运行，车厢的后壁以速度u 0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。 解：根据题意取地面为参考系S ，车厢为参考系S ’，于是相对于地面参考系S ，车长为 220/1c v l l -=， （1） 车速为v ，球速为 )/1/()(200c v u v u u ++= （2） 所以在地面参考系S 中观察小球由车后壁到车前壁 l t v t u +?=? 所以 )/(v u l t -=? （3） 将（1）（2）代入（3）得：2 2 0200/1)/1(c v u c v u l t -+= ? （4） 4. 一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离都是l 0。 解：取地面为静止的参考系∑，列车为运动的参 考系'∑。 取 x 轴与 x ′轴平行同向，与列车车速方向一致，令t=0时刻为列车经过建筑物时，并令此处为∑系与'∑的原点，如图。 在∑系中光经过c l t /0=的时间后同时照亮左 右两塔,但在'∑系中观察两塔的位置坐标为 ) /1(/1/1'2 2 02 2 0c v c v l c v vt l x --=--=右 )/1(/1/1'2 20 220c v c v l c v vt l x +--= ---= 左 即：)/1(/1'220c v c v l d --=右,)/1(/1'2 20 c v c v l d +--=左 时间差为 2220 /12''c v c vl c d c d t -= -= ?右左 5. 有一光源S 与接收器R 相对静止，距离为0l ,S-R 装置浸在均匀无限的液体介质（静止折射 率n ）中。试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间。 （1）液体介质相对于S-R 装置静止；
电动力学试题及其答案
一、填空题(每空2分,共32分) 1、已知矢径r ,则 r = 。 2、已知矢量A 与标量 ,则 )(A 。 3、区域V 内给定自由电荷分布 、 ,在V 的边界上给定 或 ,则V 内电场唯一确定。 4、在迅变电磁场中,引入矢势A 与标势 ,则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的微分形式 、 、 、 。 6、电磁场的能量密度为 w = 。 7、库仑规范为 。 8、相对论的基本原理为 , 。 9、电磁波在导电介质中传播时,导体内的电荷密度 = 。 10、电荷守恒定律的数学表达式为 。 二、判断题(每题2分,共20分) 1、由0 E 可知电荷就是电场的源,空间任一点,周围电荷不但对该点的场强有贡献,而且对该点散度有贡献。( ) 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。( ) 3、电磁波在波导管内传播时,其电磁波就是横电磁波。( ) 4、任何相互作用都不就是瞬时作用,而就是以有限的速度传播的。( ) 5、只要区域V 内各处的电流密度0 j ,该区域内就可引入磁标势。( ) 6、如果两事件在某一惯性系中就是同时发生的,在其她任何惯性系中它们必不同时发生。( ) 7、在0 B 的区域,其矢势A 也等于零。( ) 8、E 、D 、B 、H 四个物理量均为描述场的基本物理量。( ) 9、由于A B ,矢势A 不同,描述的磁场也不同。( ) 10、电磁波的波动方程012222 E t v E 适用于任何形式的电磁波。( ) 三、证明题(每题9分,共18分) 1、利用算符 的矢量性与微分性,证明 0)( r 式中r 为矢径, 为任一标量。 2、已知平面电磁波的电场强度i t z c E E )sin(0 ,求证此平面电磁波的磁场强度为 j t z c c E B )sin(0 四、计算题(每题10分,共30分) 1、迅变场中,已知)cos(0t r K A A , )cos(0 t r K ,求电磁场的E 与B 。 2、一长度为80厘米的杆,沿其长度方向以0、8 c 的速率相对观察者运动,求该杆首、尾端通过观察者 时的时间间隔。