《相似三角形》知识结构详解

《相似三角形》知识结构梳理

相似三角形是平面几何中极为重要的内容，是中考数学中的重点考察内容。相似三角形的性质和判别方法是重点也是核心知识。现就本节知识点梳理如下：

一、知识结构图

二、核心知识：

1．理解并相似三角形的判定与性质

2．位似图形的有关概念、性质与作图．

3．利用位似将一个图形放大或缩小．

4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．

5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．

三、突破方法：

1、运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养数学建模思想。

2、在综合题中，注意相似知识的领会运用，熟练掌握等线段代换，等比代换，等两代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。

3、判定相似三角形的几条思路：

①条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理;

②条件中若有一对的等角，可再找一对等角，利用判定1或再找家变成比例用判定2 ；

③条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例；

④条件中若有的等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可以找底和腰对应成比例。

四、知识点、概念总结

1. 相似：

每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。

相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

我们可以这样理解相似形：

两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．

若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例—全等形．

2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形。

相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。

成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a：b=c：d那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

3. 相似的性质

（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

（3）相似三角形周长比等于相似比。

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

（5）相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆

面积比是相似比的平方。

4．相似三角形的判定方法:

根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）

①平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；

②如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；

③如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；

④如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；

5．直角三角形相似判定定理:

①斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

②直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

6. 一定相似的三角形

（1）两个全等的三角形一定相似。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1）

（2）两个等腰直角三角形一定相似（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。）

（3）两个等边三角形一定相似。

7. 三角形相似的判定定理推论

推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，

那么这两个三角形相似。

8. 相似的应用：位似

（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．（2）掌握位似图形概念，需注意：

①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；

②两个位似图形的位似中心只有一个；

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；

④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．

（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．

（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．

（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小．