分式知识点及例题

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分式

知识点一：分式的定义

一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B

叫做分式，A 为分子，B 为分母。知识点二：与分式有关的条件

1、分式有意义：分母不为0（0B ≠）

2、分式值为0：分子为0且分母不为

0（?

??≠=00B A ）

3、分式无意义：分母为0（0B =）

4、分式值为正或大于0：分子分母同

号（???>>00B A 或?

??<<00B A ）

5、分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><00B A ）

知识点三：分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：

C B C ??=

A B A ，C

B C

÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

B A B B --

=--=--=A

A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件

B ≠0。

知识点四：分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点四：最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

知识点五：分式的通分

①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的

分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

知识点六：分式的四则运算与分式的乘方

1、分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示

为：d

b c a d c b a ??=?

分式除以分式：式子表示为

c ??=

?=÷b d

a d

b a d

c b a 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n

b a b a =???

3、分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为 c b

a c

b ±=±

c a

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

ad d c ±=

±b a 注意：加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。知识点七：整数指数幂 ★n m n m a a +=?a ★()

mn n

a a = ★()n n n

b b a a =

★n

m n m a a -=÷a （0≠a ） ★n n b a b a =??

? ??n

★n a 1=-n a （0≠a ）

★10=a （0≠a ）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m ，n 均为整数。

知识点八：分式方程的解的步骤

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

分式方程应用题解题基本步骤

1、审—仔细审题，找出等量关系。

2、设—合理设未知数。

3、列—根据等量关系列出方程（组）。

4、解—解出方程（组）。注意检验

（一）分式知识点总结

题型一：考查分式的定义

【例1】下列代数式中：y

x y

x y x y x b a b a y x x -++-+--1

,,21,22π，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）

4+-x x （2）

32+x x （3）

22-x （4）

3||6--x x

（5）x

x 11-

题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）

+-x x （2）

2||2--x x （3）

53222----x x x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x 为何值时，分式x

-84为正；

（2）当x 为何值时，分式

)1(35-+-x x 为负；

（3）当x 为何值时，分式

32+-x x 为非负数.

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：M

B M A M B M A B A ÷÷=??=

2．分式的变号法则：

b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y

x 4

13132

21+- （2）b

a b

a +-04.003.02.0

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）

x y

x --+- （2）b

a a ---

（3）b

a ---

题型三：化简求值题

【例1】已知：21=-x

x ，求221

x +的值.

【例2】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y

x 241

-的值.

（三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分.

（1）c

b a

c a b ab c 225,3,2--；（2）a b b b a a 22,--；

题型二：约分

【例2】约分：（1）322016xy y x -；（3）n m m n --2

2；（3）6

222---+x x x x .

题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

（1）4

2232)()()(a

bc ab c c b a ÷-?-；

（2）

2233)()()3(x

y x y y x y x a +-÷-?+；（3）

n m

n m n m n n m ---+-+22；

（4）11

---a a a ；

（5）8

4321814121111x x x x x x x x +-

+-+-+--；

（6）)

5)(3(1

)3)(1(1)1)(1(1+++

++++-x x x x x x ；

（7）)12()214

(22

2+-?--+--x x x x x x x

题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值

（1）已知：1-=x ，求分子)]1

21()144[(4

122x x x x -÷-+--的值；

（2）已知：4

z y x ==，求

2232z y x xz yz xy ++-+的值；

题型五：求待定字母的值

【例5】若1

312-+

--x N

x M x x ，试求N M ,的值.

（四）、整数指数幂与科学记数法

题型一化简求值题

【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.

第二讲分式方程

【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;

2.分式方程产生增根的原因

3.分式方程的应用题

【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;

2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.

3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.

（一）分式方程题型分析

题型一：用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程（1）x

x 3

11=-；（2）

32=--x

x ；

（3）11

112=---+x x x ；（4）

x x x x -+=++4535

题型二：增根

【例4】若关于x 的分式方程3

132--=-x m

x 有增根，求m 的值.

题型三：列分式方程解应用题

练习：

1．解下列方程：

（1）021211=-++-x

x x ；（2）

23-=--x x x ；（3）22

22=--+x x x ；（4）

7137222

2--+

=--

+x x x x x

（5）2

23524245--+=--x x x x （6）

215111++

+=+++x x x x

2.如果解关于x 的方程

22-=+-x x

x k 会产生增根，求k 的值.

3．已知关于x 的分式方程

a x a =++1

2无解，试求a 的值.

（二）分式方程的特殊解法

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法

例1．解方程：2

31+=

x x

二、化归法

例2．解方程：01

2112=---x x

三、左边通分法

例3：解方程：871

78=----x

x x

四、分子对等法

例4．解方程：)(11b a x

b b x a a ≠+=+

五、观察比较法

例5．解方程：4

425254=-+-x x x x

六、分离常数法

例6．解方程：8

329821+++

++=+++++x x x x x x x x

七、分组通分法

例7．解方程：4

315121+++=+++x x x x

（三）分式方程求待定字母值的方法

例1．若分式方程x

x x -=--221无解，求m 的值。