基本不等式-高考历年真题

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【考点20】基本不等式

2009年考题

1.（2009天津高考）设0,0.a b >>若11

333a b a b

+是与的等比中项，则的最小值为

（ ）

A 8

B 4

C 1

D 14

【解析】选B. 因为333=?b a ，所以1=+b a ，

1111()()2224b a b a a b a b a b a b a b

+=++=++≥+?=， 当且仅当b a a b

=即2

1==b a 时“=”成立，故选择B. 2.（2009天津高考）设y

x b a b a b a R y x y x 1

1,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值

为（ ）

A.2

B.2

3 C.1 D.2

1

【解析】选C. 因为3log ,3log ,3b a y x y x b a ====，

1)2

(log log 11233=+≤=+b a ab y x （当且仅当

3时等号成立）.

3.（2009重庆高考）已知0,0a b >>，则112

ab a

b

++的最小值是（ ）

A ．2

B ．22

C ．4

D ．5 【解析】选C. 因为1

1112222()4ab ab ab a

b

ab ab

++≥+=+≥当且仅当11

a b =， 且

1

ab ab

=，即a b =时，取“=”号。.5 4.（2009湖南高考）若x∈(0, 2

π)则2(2

π)的最小值为 .

【解析】由(0,)2

x π∈，知1

tan 0,tan()cot 0,2tan παααα

>-==

>所以1

2tan tan()2tan 22,2tan παααα+-=+≥当且仅当2tan 2α=

时取等号，即最小值是

22。

答案：22

5.（2009湖南高考）若0x >，则2x x

+的最小值为 . .5

【解析】 0x >22

2x x

?+≥2

2x x x

=

?=时取等号. 答案：2

2

6.（2009湖南高考）若0x >，则2x x

+的最小值为 . 【解析】选0x >222x x ?+≥2

2x x x

=?=. 答案：227.（2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a

+；如果他

买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为

n n a

+.如果一个人对两种交易(卖

出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为

12h h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35

A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； (2)设35

A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 【解析】(1)

当35

A B m m =时，235

35(20)(5)125B B B B B B B m m m h m m m m =

?=

++++甲

235320(5)(20)35

B

B B B B B B m m m h m m m m =

?=

++++乙 h 甲=h 乙

（2）当3

5

A B m m =时，

2211

=,20511(20)(5)(1)(1)100()251B B B B B B B

m h m m m m m m ==++++++甲

由111

[5,20][,]205B B m m ∈∈得

，故当1120

B m =即20,12B A m m ==时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为10

5

。

（3）由（2）知：0h 10 由010

=1255

A B A B m m h h m m ?≥=

++甲得：

1255

2

A B A B m m m m ++?≤， 令

35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5(14)(1)2

x y ++≤。 同理，由010

h h ≥=

乙得：5(1)(14)2

x y ++≤

另一方面，1[,1]4

x y ∈、141x x +∈+∈5

、1+4y [2,5],、1+y [,2],2

55(14)(1),(1)(14),22

y x y ++≤++≤当且仅当1

4x y ==，

即A m =35B m 时，取等号。由（1）

知A m =35

B m 时h 甲乙

所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立。

8.（2009湖北高考）围建一个面积为360m 2

的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元,新墙的造价为180元,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元）。

（Ⅰ）将y 表示为x 的函数：.5

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为a m,则

2y =45180(2)+180·2225360360

由已知360,得x

360,

所以2252

360360(0)x x

-> .5 ()

2

23600,225222536010800x x x

>∴+≥?=

104403603602252

≥-+=∴x

x y .当且仅当

225

x

2

360时，等号成立.

即当24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

2008年考题

1、（2008四川高考）已知等比数列{}n a 中2

1a =，则其前3项的和3

S 的取值范

围是( )

（A ）(,1]-∞- （B ）(,0)

(1,)-∞+∞

（C ）[3,)+∞ （D ）(,1]

[3,)-∞-+∞ 【解析】选D.方法1：∵等比数列{}n

a 中2

1a

=∴当公比为1时，1

231a

a a ===，

33S =；

当公比为1-时，1

231,1,1a

a a =-==-，31S =-从而淘汰（A ）

（B ）（C ）故选D ；

方法2：∵等比数列{}n a 中2

1a

=∴3123211

(1)1S a a a a q q q q

=++=++=++∴当公比0

q >时，31

1123S q q q

=+++?；当公比0q <时，311()121S q q q =------∴3(,1][3,)S ∈-∞-+∞故选D ；

方法3：3

11S

x x =++(0)x ≠．由双勾函数1y x x

=+的图象知，1

2x x +或1

2x x

+-，

故选D ．

2、（2008重庆高考）函数()f x =的最大值为（ ）

A ．25

B ．12

C D ．1

【解析】选B.1

1

()

1

2f x

==

（当且仅=，即1x =时取等号）。故选

B 。

3、（2008浙江高考）已知0,0,2,a b

a b +=且则（ ）

A.12

ab

B. 12

ab

C.2

2

2a

b + D. 2

2

3a

b +

【解析】选C.由0,0a b

,且2a b +=∴222

224()22()a b a b ab a b =+=+++，当且仅当

1时等号成立∴2

2

2a

b +。

4、（2008陕西高考）“18a =”是“对任意的正数x ，21a x x

+”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【解析】选A.1

8

a =12222188a x x x x x ?+=+?=，另一方面对任意正数x ，21a x x

+

只要22221a

a x x a

x x

+?=218

a

?，所以选A.

5、（2008江西高考）若1

21212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值

最大的是（ ）

A ．11

22

a b a b + B ．12

12a a

b b + C ．1221a b a b + D ．1

2

【解析】选A.2212121212

1

(

)()222

a a

b b a a b b ++++= 112212************()()()()()

0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--

1122

1221()a b a b a b a b ++

121211221121

11221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=++++∴1122

12

a b a b +

6、（２００８年安徽高考）设函数1()21(0),f x x x x

=+-< 则()f x （ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函

数

【解析】选A .1

020,0x x x

<->->∵∴，11()21[(2)()]1f x x x x x =+-=--+--，由基本不等式1

1()[(2)()]12(2)()1221f x x x x x

=--+------=--有最大值. 7、（2008

江苏高考）2

,,,230,

y x y z R x y z xz

*

∈-+=的最小值为 。

【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由230x y z -+=得32

x z y +=，代入

2

y xz

得

229666344x z xz xz xz

xz xz

+++≥=，当且仅当3x z =时取“=”。 答案:3

8、 (2008湖北高考).如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为180002,

四周空白的宽度为10，两栏之间的中缝空白的宽度为5，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：），能使矩形广告面积最小？

【解析】方法1：设矩形栏目的高为a ，宽为b ，则9000. ①

广告的高为20，宽为225，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(20)(225)＝24025500＝18500+2540b

≥18500+2

b a 4025?=18500+.245001000=ab

当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时a 8

5,代入①式得120，从而75.

即当120，75时取得最小值24500.

故广告的高为140 ,宽为175 时，可使广告的面积最小.

方法2：设广告的高为宽分别为x ，y ，则每栏的高和宽分别为x －20，

,2

25

-y 其中x ＞20，y ＞25

两栏面积之和为2(x －20)180002

25=-y ,由此得,2520

18000+-x

广告的面积(252018000+-x )＝2520

18000+-x x ,

整理得.18500)20(2520

360000+-+-x x

因为x －20＞0，所以S ≥2

.2450018500)20(2520

360000

=+-?-x x 当且仅当)20(2520

360000-=-x x 时等号成立，

此时有(x －20)2

＝14400(x ＞20)，解得140，代入20

18000-x 25,得y ＝175，

即当140，y ＝175时，S 取得最小值24500，

故当广告的高为140 ，宽为175 时，可使广告的面积最小. 2007年考题

1.（2007上海高考）已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）

A 、22a b <

B 、22ab a b <

C 、

2211ab a b

< D 、b a

a b <

【解析】选C. 若0a b <

,ab a b ab a b

>??