七年级初一数学下册14整式的乘法2导学案北师大版

单项式乘多项式 主备

课题 2.单项式乘多项式

学习目标 经历探索整式的乘法运算法则的过程,会进行简单的整式的乘法运算

重点难点

重点：整式的乘法运算

难点：推测整式乘法的运算法则

旧知识链接 我们本单元学习整式的乘法，整式包括什么？什么是多项式？

化简：（1）22m m ?-＝ （2）23)()(xy xy ?

问

题

探

究

达

标

检

测

探究1、单项式与多项式相乘

做一做：

如图所示，公园中有一块长mx 米、宽y 米

的空地，根据需要在两边各留下宽为a 米、b 米的两条小路，其余部分种植花草，求种植花草

部分的面积. （1） 你是怎样列式表示种植花草部分的面积的?是否有不同的表示方

法？其中包含了什么运算?

方法一：可以先表示出种植花草部分的长与宽，由此得到种植花草部分面

积为

方法二：可以用总面积减去两条小路的面积，得到种植花草部分面积为

由上面的探索，我们得到了

上面等式从左到右运用了乘法分配律，将单项式乘以多项式转化为单项式

乘以单项式

单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把

所得的积相

a b

y

mx

探究2计算：（1）)6)(211012(3322xy y y x xy -+--

（2）)(5)()2(2222ab b a a b ab a --+?-

练习：1．判断题：

(1) 3a 3·5a 3=15a 3 （ ）

(2)ab ab ab 4276=? ( )

(3)12832466)22(3a a a a a -=-? ( )

(4) －x 2(2y 2－xy)=－2xy 2－x 3y ( )

2．计算题：

(1) )261(2a a a + (2) )21(2

2y y y -

(3) －3x(－y －xyz) (4) 3x 2(－y －xy 2＋x 2)

(5) （x 3）2―2x 3[x 3―x （2x 2―1）] (6) x n （2x n+2－3x n-1+1）

拓展：

1． 已知有理数a 、b 、c 满足 |a ―b ―3|+（b+1）2+|c －1|=0

，求（－3ab ）·（a 2c －6b 2c ）的值。

七年级下学期期末数学试卷

一、选择题（每题只有一个答案正确）

1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5 cm，BC＝10 cm，将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为()

A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm

【答案】C

【解析】根据图形翻折变换的性质得出AD=BD，故AC+（CD+AD）=AC+BC，由此即可得出结论．

【详解】∵△ADE由△BDE翻折而成，∴AD=BD．

∵AC=5cm，BC=10cm，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=15cm．

故选C．

【点睛】

本题考查了翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．

2．甲仓库与乙仓库共存粮450 吨、现从甲仓库运出存粮的60％．从乙仓库运出存粮的40％．结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30 吨。若设甲仓库原来存粮x吨．乙仓库原来存粮y吨，则有

A．

450

{

(160%)(140%)30

x y

x y

+=

---=

B．

450

{

60%40%30

x y

x y

+=

-=

C．

450

{

(140%)(160%)30

x y

y x

+=

---=

D．

450

{

40%60%30

x y

y x

+=

-=

【答案】C

【解析】分析：要求甲，乙仓库原来存粮分别为多少，就要先设出未知数，找出题中的等量关系列方程求解．题中的等量关系为：从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%．结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食30吨，和甲仓库乙仓库共存粮450吨．

解答：解：设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨．

根据题意得：

450

{

(140%)(160%)30

x y

y x

+=

---=

故选C．

3．在实数22

7

，0.1010010001…38，-π3）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C

【解析】利用无理数定义，无理数是无线不循环小数，直接判断即可

，

在实数22

7，0.1010010001…-π0.1010010001…，-π3个．

故选：C ．

【点睛】

本题考查无理数定义，基础知识扎实是解题关键

4．下列运算结果中，正确的是( )

A ．426a a a +=

B ．236()a a =

C ．3618=a a a

D ．933a a a ÷=

【答案】B

【解析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法和除法法则逐一进行判断即可

【详解】解：A. 4a 与2a 不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；

B. 236()a a =，本选项符合题意；

C. 369a a a =，本选项不符合题意；

D. 936a a a ÷=，本选项不符合题意；

故选：B

【点睛】

本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法和除法，熟练掌握法则是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中,若点P(x-4,3-x)在第三象限,则x 的取值范围是( )

A ．x ＜3

B ．x ＜4

C ．3＜x ＜4

D ．x>3

【答案】C

【解析】根据第二象限的点的纵坐标横坐标都是负数，列出不等式组求解即可．

【详解】∵点P(x-4,3-x)在第三象限，

∴40

3x x --???＜＜0 ，

解得3＜x ＜4.

故选C.

此题考查点的坐标，解题关键在于掌握点坐标与象限的关系

6．下列说法错误．．的是（ ）

A ．9的算术平方根是3

B ．64的立方根是8±

C ．5-没有平方根

D ．平方根是本身的数只有0

【答案】B

【解析】根据平方根、算术平方根与立方根的定义和求法逐个选项进行判断，即可得解．

【详解】A. 9的算术平方根是3，说法正确；

B. 64的立方根是8±，说法错误，正确答案为4；

C. 5-没有平方根，说法正确；

D. 平方根是本身的数只有0，说法正确．

故答案为：B ．

【点睛】

本题关键是区分并掌握平方根、算术平方根及立方根的定义和求法．

7．如图，,A B 的坐标为(2,0)，(0,1)，若将线段AB 平移至11A B ，则+a b 的值为（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

【答案】D

【解析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求解即可．

【详解】解：由B 点平移前后的纵坐标分别为1、1，可得B 点向上平移了1个单位， 由A 点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得A 点向右平移了1个单位，

由此得线段AB 的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，

所以点A 、B 均按此规律平移，

由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，

故a+b=1．

【点睛】

本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．

8．如图，将ABC ?沿直线AB 向右平移后到达BDE ?的位置，连接,CD CE ,若ACD ?的面积为10，则BCE ?的面积为( )

A ．5

B ．6

C ．10

D ．4

【答案】A

【解析】根据平移的性质可得AB=BD=CE ，再由三角形的面积计算公式求解即可.

【详解】由平移得，AB=BD=CE ，CE ∥BD ，

根据“等底等高，面积相等”得，S △ABC =S △BDC =S △CBE ，

∵△ACD 的面积为10，

∴S △CBE =1

2S △ACD =5.

故选A.

【点睛】

此题主要考查了平移的性质，注意掌握性质的运用是解题的关键.

9．关于x 的方程5124x a +=的解是负数，则a 的取值范围是

A ．3a <

B ．3a <-

C ．3a >

D ．3a >-

【答案】A

【解析】本题首先要解这个关于x 的方程，求出方程的解，根据解是负数，可以得到一个关于a 的不等式，就可以求出a 的范围．

【详解】解：解关于x 的方程得到：x=412

5a -，根据题意得：

412

5a -＜0，解得a ＜1．

故选：A ．

本题是一个方程与不等式的综合题目．解关于x 的不等式是本题的一个难点．

10．若关于x 的不等式组521

0x x m ->??-≥?

的整数解共有3个，则m 的取值范围是（ ） A ．10m -≤< B ．10m -<≤ C ．21m ≤<- D ．21m -<≤-

【答案】D

【解析】分别求出不等式组中不等式的解集，利用确定解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有3个，即可得到m 的范围．

【详解】解：5210x x m ->??-≥?①

②，

由①解得：x ＜2，

由②解得：x≥m ，

故不等式组的解集为m≤x ＜2，

由不等式组的整数解有3个，得到整数解为1，0，?1，

则m 的范围为?2＜m≤?1．

故选：D ．

【点睛】

此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键．

二、填空题题

11

3的绝对值是_____．

【答案】3【解析】先判断实数的正负，再根据绝对值的法则进行求值即可．

3＜0，

∴

3|＝

．

故答案为：3

【点睛】

此题主要考查实数的绝对值，会根据实数的正负，运用绝对值法则进行求值是解题的关键．

12．若x y t 、、满足方程组23532x t

y t x =-??-=?

，则x 和y 之间应满足的关系是_____． 【答案】156y x -=

【解析】要想得到x 和y 之间满足的关系，应把t 消去．

【详解】解：由235x t =-得：t ＝325x

-，

代入32y t x -=中得：32325x

y x --?=，

整理得：156y x -=，

故答案为：156y x -=．

【点睛】

本题考查了消元法，解题的关键是消去无关的第三个未知数，得到x 和y 之间满足的关系． 13．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOC ∠，如果50BOE ∠=?，那么AOC ∠=__________度．

【答案】1

【解析】先根据角平分线的定义，求出∠BOC 的度数，再根据邻补角的和等于11°求解即可．

【详解】解：∵OE 平分BOC ∠，50BOE ∠=?，

∴2250100∠=∠=??=?BOC BOE ，

∴180********∠=?-∠=?-?=?AOC BOC ,

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义以及邻补角的性质，属于基础题．

14．中国古代著名的《算法统宗》中有这样一个问题:“只闻隔壁客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”大意为:“一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两;若每人分九两，则还差八两，问共有多少人?所分银子共有多少两?”(注:当时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语)设共有x 人，所分银子共有y 两，则所列方程组为_____________

【答案】

74

98

x y x y

+=?

?

-=?

【解析】题中涉及两个未知数：共有x人，所分银子共有y两；两组条件：每人分七两，则剩余四两；每人分九两，则还差八两；列出二元一次方程组即可.

【详解】两组条件：每人分七两，则剩余四两；每人分九两，则还差八两；

解：

74

98

x y x y

+=?

?

-=?

【点睛】

本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系，列方程组是解答本题的关键.

15．为了解全县七年级学生体育达标情况，随机地从不同学校抽取500名学生的体育成绩进行分析，则这次调查中的样本是_____．

【答案】抽取的500名学生的体育成绩．

【解析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．

【详解】这次调查的样本是抽取的500名学生的体育成绩．

故答案为：抽取的500名学生的体育成绩．

【点睛】

本题主要考查了统计的知识，熟练掌握统计中相关量的概念是解题的关键；

16．环形跑道400米，小明跑步每秒行9米，爸爸骑车每秒行16米，两人同时同地反向而行，经过______ 秒两人第一次相遇？

【答案】1

【解析】经过x秒两人首次相遇，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】解：设经过x秒两人首次相遇，

根据题意得：1x+9x=400，

解得：x=1，

答：经过1秒两人首次相遇，

故答案为1．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 17．对有理数x ，y 定义一种新运算“*”：x*y ＝ax ＋by ，其中a ，b 为常数．等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么a ＋b ＝________．

【答案】－11

【解析】根据新定义运算规律可列出关于a ，b 的一元二次方程组，然后求解方程组即可.

【详解】根据题意，得3515

4728a b a b +=??+=?，

解得35

24a b =-??=?

， 则a ＋b ＝－35＋24＝－11.

故答案为：﹣11.

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程组.

三、解答题

18．如图，//EF AD ，12∠=∠，85BAC ∠=?．求AGD ∠的度数．

【答案】95AGD ∠=?

【解析】由EF 与AD 平行，利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，结合已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到DG 与AB 平行，利用两直线平行同旁内角互补即可求出所求角的度数．

【详解】//EF AD ，

23∴∠=∠，

12∠=∠，

13∴∠=∠，

//DG AB ∴，

180ADG BAC ∴∠+∠=?，

85BAC ∠=?，

95

∴∠=?．

AGD

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

19．如图，，请判断与是否平行，并说明理由.

【答案】，理由详见解析.

【解析】平行，先利用及平角的性质得到，再根据

得到即可证明.

【详解】

理由：∵，

∴

∴

∴

又∵

∴

∴

【点睛】

此题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟知平行线的判定与性质.

20．某校九年级举行数学竞赛，学校准备购买甲、乙、丙三种笔记本奖励给获奖学生，已知甲种笔记本单价比乙种笔记本单价高10元，丙种笔记本单价是甲种笔记本单价的一半，单价和为80元．

（1）甲、乙、丙三种笔记本的单价分别是多少元？

（2）学校计划拿出不超过950元的资金购买三种笔记本40本，要求购买丙种笔记本20本，甲种笔记本超过5本，有哪几种购买方案？

【答案】 (1) 甲种笔记本的单价为36元，乙种为26元，丙种为18元 ;(2)见解析.

【解析】（1）设甲种笔记本的单价为x 元，乙种为（x-10）元，丙种为2x 元，根据“单价和为

80元”列出方程并解答；

（2）设购买甲种笔记本y 本，根据“不超过950元的资金购买三种笔记本40本，要求购买丙种笔记本20本，甲种笔记本超过5本”列出不等式组并解答．

【详解】解：（1）设甲种笔记本的单价为x 元，乙种为（x ﹣10）元，丙种为x

2元，根据题意

得

x+（x ﹣10）+x

2=80，解得x=36，

乙种单价为x ﹣10=36﹣10=26元，丙种为x

2=36

2=18元．

答：甲种笔记本的单价为36元，乙种为26元，丙种为18元．

（2）设购买甲种笔记本y 本，由题意得

36y 2620y 1820950

y>5（）+-+?≤??? 解得5＜y≤7，

因为y 是整数，

所以y=6或y=7 则乙种笔记本购买14本或13本，

所以，方案有2种：

方案一：购买甲种笔记本6本，乙种笔记本14本，丙种笔记本20本；

方案二：购买甲种笔记本7本，乙种笔记本13本，丙种笔记本20本．

【点睛】

本题考查一元一次不等式组的应用, 一元一次方程的应用,解题的关键是找到关系式列出式子 21．如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD ∥BE.

【答案】证明见解析.

【解析】试题分析：先根据平行线的性质得出∠4=∠BAE ．再根据∠3=∠4可知∠3=∠BAE ．由

∠1=∠2，得出∠1+∠CAE=∠2+∠CAE 即∠BAE=∠CAD ，故∠3=∠CAD ，由此可得出结论． 试题解析：证明：∵AB ∥CD ，∴∠4=∠BAE ．∵∠3=∠4，∴∠3=∠BAE ．

∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE ，即∠BAE=∠CAD ，∴∠3=∠CAD ，∴AD ∥BE ． 22．观察以下等式：

1

1

11212++?=；1

1

1

1

12323++?=；1

2

1

2

13434++?=??

第1个等式； 第2个等式；第3个等式

按以上规律解决下列问题：

（1）写出第6个等式是什么？

（2）写出你猜想的第n 个等式是什么？（用含n 的等式表示，并证明）．

【答案】（1）151516767++?=;（2）1111

111n

n n n n n --++=++,证明见解析。

【解析】通过观察可知等式右端都为1,且左端是两个数求和，求积，然后再将和与积相加; 不难发现这两个分数，一个是等式个数分之一, 另一个分数的分母比等式个数多1，分子比等式个数少1,由此解答即可.

【详解】解：（1）由题目中的等式可得，

第6个等式是：1

51516767++?=；

（2）第n 个等式是：1111

111n n n n n n --++=++，

证明：11

1111n n n n n n --++++

1(1)1

(1)(1)n n n n n n n n ++--

=+++

211

(1)n n n n n n ++-+-=+ 22n n

n n +=+

1=，

故1111

111n n n n n n --++=++成立．

【点睛】 本题主要是找规律类型的题目,解题关键在于注意观察各个式子发生的变化规律;

23．观察下列式子，探索它们的规律并解决问题：111122=-?，1

1

1

2323=-?，

1

1

1

3434=-?，……

（1）试用正整数n 表示这个规律，并加以证明；

（2）运用（1）中得到的规律解方程：

()()()()()()()111

1

1

1122320172018x x x x x x x x x +++?+=+++++++

【答案】（1）()11

1

11n n n n =-++，证明见解析；（2）分式方程无解.

【解析】(1)由已知等式知连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差，据此可得；

(2)利用所得规律化简原分式方程，解之可得.

【详解】（1）()11

1

11n n n n =-++

∵左边()1

1n n =+，

右边()()()()1

11

1111n

n n

n n n n n n n n +-=-==++++，

∴左边=右边

∴()11

1

11n n n n =-++；

（2）根据（1）中的规律方程变形为：

11

1

1

1

1

1

+11220172018x x x x x x x -+-+?-=+++++，

1

1

1

2018x x x -=+，

两边都乘以()2018x x +，得：20182018x x x +-=+，

解得：0x =，

检验：0x =时，()20180x x +=，是分式方程的增根，

所以分式方程无解.

【点睛】

此题考查规律型：数字的变化类，解题关键在于掌握运算法则.

24．古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A 、B 两工程队先后接力完成．A 工程队每天整治12米，B 工程队每天整治8米，共用时20天．

(1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：